Критерии скользящего контроля в задаче структурной идентификации гетероскедастической модели объекта управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.513

КРИТЕРИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО КОНТРОЛЯ В ЗАДАЧЕ СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

УПРАВЛЕНИЯ

А. В. Цуканов, Д. В. Филатова

Рассматривается проблема структурной идентификации гетероскедастической модели объекта управления оптимальной сложности. Для решения проблемы предлагается использовать критерий скользящего контроля. Для изучения свойств критерия выполняется имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Розглядаеться проблема структурноi 1дент1ф1кацп гетероскедастическоЧ модел1 об'екту керування оптимальноi складност1. Для розв'язку проблеми пропонуеться використо-вувати критерш ковзаного контролю. Для вивчення власт-ностг критергю виконуеться имгтацшне моделювання методом Монте-Карло.

The problem of optimal complexity control object heterosce-dastic model structurial identification is discussed. The jack-knife criterion for model selection is used in order to resolve the problem. An example with nested polynomial models using computer simulation is given.

При идентификации сложного объекта управления часто возникает задача определения модели объекта, в которой в качестве функции отклика используется дисперсия X выходной величины, зависящая от вектора

входов x . Такая модель в литературе называется гетероскедастической моделью или моделью условной дисперсии [1].

В настоящей работе рассматривается гетероскедасти-ческая модель вида

X = П(X)£,, (1)

где n( x) - истинная модель, вид которой не известен, и £, - независимая случайная ошибка, распределенная по х 2 (у)

закону Y ' , у - число степеней свободы случайной величины £,.

Пусть целью структурной идентификации модели (1) является получение модели с наилучшей прогнозирующей способностью. В этом случае применяются методы селекции моделей оптимальной сложности [2]. Проблема заключается в том, можно ли использовать для мультипликативной модели (1) классические методы, разработанные для аддитивных регрессионных моделей и нормального закона распределения случайной составляющей. С этой целью в данной работе исследуются свойства двух критериев селекции типа "скользящего контроля" в случае решения их к множеству мультипликативных моделей типа (1) [2].

Пусть на множестве мультипликативных моделей

задана структура, позволяющая ввести частичный порядок. При таком порядке модели как бы вложены одна в другую: с ¡2 с ... с ¡5 , - множество моделей, ] = 1, 2, ..., ч , ч - максимально возможный порядок модели. Для линейной по параметрам модели можно задать структуру в зависимости от членов модели. В этом случае каждый класс задается следующей

моделью

П(х, а.) = /т(х)ау- () = 1, 2, ..., ч ), где /т( х) = /.(х), /2( х ),.■■,/„ (х)] - вектор

известных

функций от вектора х , п. - число параметров модели / ,

~>Т г 1

а. = [а., «2> .,ап.] - вектор неизвестных параметров.

Сущность критерия "скользящего контроля" заключается в следующем [3].

Из имеющейся выборки данных

х. , Цх.) ; х2 , Цх2) ; ... xN, Цх^) (2)

исключают g пар: х. , Цх.) , х. , Цх.) , ... хт , Цхт) ,

г , . , ..., т - номера исключенных пар.

Пусть а(у...т) является оценкой вектора а , полученной взвешенным методом наименьших квадратов [3] при исключении пар х. , Цх.) ; х. , Цх.) ; ...; хт,

Ц хт) из выборки (2). Тогда прогнозирующая точность

или среднеквадратическое отклонение на исключенных парах есть [2]

ф = х») -п(х«> а (у\..т, (и = г,..., т ), (3)

и

Т л Т * Т где х» а (ц...т) = /Т (х»), а (г/...т) .

Вектор а (г)'...т) можно определить по следующей формуле [4]:

а(у...т) = ^т^-^)-.^т^Ш^ Л , где ^ - матрица функций /(х) , Ш - матрица весов, Лт = [Цх.), Цх2), х^)1 - вектор функции отклика,

А. В. Цуканов, Д. В. Филатова: КРИТЕРИИ СКОЛЬЗЯЩЕГО КОНТРОЛЯ В ЗАДАЧЕ СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

. пР - диагональная матрица с элементами ^. Значения элементов ^ задаются следующим образом

| 0, (к = I, ..., т) [1, в остальных случаях. Тогда выражение (3) может быть записано в виде ш = ЛТ. N.. НТЛ, где .. Н =.. Т-. . Б.. В.. Т,

т I]... т .... т ' " 1]...т ....т 1]...т 1]...т 1]...т '

. ...т

Т - диагональная матрица, элементы которой

1кк

1, (к = г,}, ..., т) 0, во всех других случаях

и у... тВ = Р^и..^-^)-1 FTlJ. т^-1 .

Затем из выборки (2) исключаются следующие g пар, например, пары х.- 1,Цх.- 1) ; х. , Цх.) ; ...; хт ,Цхт) , и вычисляются величины ф для исключенных пар. Такую процедуру повторяют СN раз, где СN - количество

всех возможных сочетаний. Величины ф суммируют и усредняют. Полученное значение и является оценкой критерия "скользящего контроля".

Первый критерий, рассматриваемый в данной работе, соответствует случаю, когда из выборки (2) исключается

только одна пара х1 , Цх1) , . = 1, 2, ..., N. Тогда значение критерия "скользящего контроля" определяется по формуле

N ^ 2

тж1 = N I {*-(х.) - х, а (.)) |. (4) .=1

В матричном виде выражение (4) может быть записано следующим образом:

^К1 = т

I ННТ

Vl = 1

Л .

ТЖ2 = -С2 I

CNl * 1

д х.) - пГ х., а (1 т +

2_

+ -Шх1) - п(^х1, а (1 ))

или в матричном виде ТЗК2 = -4- ЛТ

С]Я

I 1тН1тН

Vl * 1

Л.

глобальный критерий качества всей процедуры селекции. В данной работе в качестве такого критерия используется статистика МСКОП - математическое ожидание среднеквадратической ошибки прогноза в заданной точке [3]. Получить аналитическое выражение для глобального критерия МСКОП в случае гетеро-скедастической модели не удается. В связи с этим представляет интерес сравнение двух критериев селекции с помощью вычислительного эксперимента на ЭВМ.

Сущность вычислительного эксперимента по исследованию свойств критериев заключается в следующем. Задается модель, которая описывает зависимость между входными переменными и выходной переменной

Мх.) = /Т(х)а , и план эксперимента X, что дает возможность вычислить истинные значения функции отклика в каждой точке эксперимента пист = Р(Х)а . Для каждой точки плана генерируется псевдослучайная составляющая £, и определяется вектор экспериментальных значений функции отклика Ль = ®Пист, где Ь -

номер испытания, 0 - диагональная матрица с элементами £, на главной диагонали. Определяется множество

тестируемых моделей Бн . Для каждой тестируемой моден

ли предложенного множества оцениваются параметры и вычисляются значения критерия селекции. Далее производится выбор модели с наименьшим значением критерия селекции, а номер выбранной модели фиксируется. Эта операция проводится многократно. Часто-

В

та выбора модели . вычисляется как Д. = I 3.(Ль),

Ь = 1

где В - число испытаний и

Второй критерий соответствует случаю исключения из выборки (2) двух пар. Пусть это пары х1 , Цх1) и хт ,

Цхт) , тогда значение критерия "скользящего контроля" можно вычислить, как

1

8/Ль ) = {0,

1, если выбрана модель 0, во всех остальных случаях.

Для каждой модели класса Б определяются оценки

параметров и оценивается среднеквадратическая ошибка прогноза по формуле

Да,.) = (2 + т)п2(х) - 2 п(х/а. + +

Г 2

п2 0

+ -/.[ Р ТШ-1Р ]-1 Р ТШ-1 у. .. . . ]

0 П2

0 0

п N

ш -1 Р.[ РТШ -1Р.]-1/Т,

] Г ] ] I1 ■'] '

В работе [4] было показано, что выбор количества пар, исключаемых из последовательности (2), влияет на прогнозирующую точность идентифицируемой аддитивной модели объекта [4]. Для сравнения двух критериев селекции ТЗК1 и ТЗК2 требуется определить общий или

где п. - элемент вектора п. = ра. , . = 1, 2,.,N,

П(х) - значение функции, которая выбрана в качестве тестовой, в прогнозной точке х. Находится оценка вероятности выбора каждой модели как отношение

изменялся от 0,2 до 1,6 с шагом 0,2, количество степеней свободы случайной составляющей равнялось 25. Для определения качества рассматриваемых критериев вычислительный эксперимент был повторен 500 раз. Вычисления были выполнены с использованием ЭВМ типа IBM PC Pentium-II с использованием пакета MAT-LAB - 5.2. В таблице 1 приведены значения статистики для критериев TJK1 и TJK2.

По результатам этого эксперимента можно сделать вывод о том, что при заданном плане эксперимента значения статистики МСКОП, вычисленной с использованием критерия TJK1 на всей области исследования и при заданных ограничениях на параметры модели, меньше, чем при использовании критерия TJK2.

Для задачи структурной идентификации гетероскедастической модели объекта управления можно предложить метод селекции, который заключается в том, что с помощью вычислительного эксперимента выбирается тот критерий, который на данном наборе экспериментальных данных и априорных ограничениях на функцию отклика, дает минимальное значение статистики МСКОП.

Таблица 1 - Значения статистики МСКОП для двух критериев селекции

(в ячейке таблицы первым приведено значение критерия TJK1, под ним - TJK2)

Значения статистики МСКОП

a2 =0,2 a2 =0,4 a2 =0,6 a2 =0,8 a2 =1,0 a2 =1,2 a2 =1,4 a2 =1,6

а1=0,1 0,022 0,054 0,102 0,164 0,243 0,331 0,439 0,560

0,031 0,069 0,124 0,207 0,298 0,390 0,527 0,656

ai =0,2 0,043 0,074 0,123 0,193 0,279 0,376 0,487 0,608

0,064 0,098 0,162 0,238 0,327 0,477 0,582 0,736

a1 =0,3 0,067 0,094 0,154 0,227 0,313 0,418 0,539 0,663

0,084 0,136 0,210 0,298 0,406 0,519 0,628 0,805

a1 =0,4 0,083 0,134 0,192 0,255 0,351 0,458 0,602 0,723

0,100 0,185 0,267 0,326 0,463 0,564 0,732 0,896

a1 =0,5 0,121 0,170 0,246 0,298 0,391 0,510 0,625 0,781

0,132 0,242 0,315 0,409 0,540 0,684 0,856 0,997

частоты выбора модели к общему числу испытаний

А,

V ■ = — , где В - число испытаний в одной точке вычис-1 В

лительного эксперимента. Для каждой точки вычислительного эксперимента оценивается значение статис-

ч

тики МСКОП, как Я = £ Да- ■ V - .

1 = 1

В качестве примера рассмотрим множество моделей: 1: = а0 + а1Х ,

2: = а0 + а1Х + а2Х2 ,

3: Пз = а0 + а1Х + а2Х2 + а3х3 .

Истинной моделью является модель класса ^. В качестве плана эксперимента было выбрано 12 равноудаленных точек на отрезке [-0, 99;+0, 99] , т.е. точки ±0, 99 , ±0, 81 , ±0, 63 , ±0, 45 , ±0, 27 и ±0, 09 . Количество степеней свободы случайной составляющей было равно 25. В ходе выполнения эксперимента были заданы следующие параметры модели 2: а0 = 1 , а1

изменялся в пределах от 0,1 до 0,5 с шагом 0,1 и а2

Е. А. Шушляпин, Л. Н. Канов:

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Дисперсионная идентификация / под редакцией Н.С. Райбмана. - М.: Наука, 1981. - 336 с.

2. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. - М.: Наука, 1979. - 448 с.

3. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир,

1980. - 456 c.

4. Tsukanov A.V., Herzberg A. M. The Monte-Carlo comparison of two criteria for the selection of the models // Journal of Statistical Computation and Simulation. - GB: Gordon and Breach, 1985. - N. 22.- P. 113-126.

Haaiftrnja 14.06.99 nic^A aopoÖKH 27.09.99

УДК 681.511.46

МОДЕЛИ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ

СИСТЕМ

Е. А. Шушляпин, Л. Н. Канов

Получена модель конечного состояния для непрерывно-дискретных систем. Модель конечного состояния определяется через переменные, отображающие в каждый момент времени прогноз неуправляемого конечного состояния. Приведен пример синтеза терминального управления с использованием модели конечного состояния.

Розроблена модель кiнцевого стану для неперервно-дис-кретних систем. Модель тнцевого стану визначаеться через змiннi, якi вiдображують у кожний момент часу прогноз неке-рованого кiнцевого стану. Наведен приклад синтезу термi-нального управлiння, яке використовуе моделi кiнцевого стану.

The model of terminal state for continuously-time-discrete systems is constructed. Model of terminal state is defined through variable, displaying at each moment a forecast of uncontrolled terminal state. The example of syntheses of terminal control with use model of terminal state is adduced.

ВВЕДЕНИЕ

В ряде работ ([1], [2] и других) в качестве альтернативного способа описания непрерывных терминальных систем с аддитивными внешними воздействиями использовались модели, названные моделями конечного состояния (МКС). Эти модели определяются через переменные у(Ф, t) , отображающие прогноз конечного состояния системы в предположении, что в текущий момент t состояние системы - x(t) и на интервале [t, Ф] внешние воздействия на систему отсутствуют. Переменная МКС является функцией двух аргументов, первый из которых указывает момент времени, в который фиксируется конечное состояние системы, а второй -момент, в который обнуляются внешние воздействия. Модели конечного состояния применимы как для линейных, так и нелинейных систем с гладкими нелиней-ностями. При этом требование аддитивности воздействий во многих случаях удается обойти, определяя неаддитивные воздействия через дополнительные дифференциальные уравнения с аддитивными воздействиями. Для переменных МКС линейных непрерывных систем вида

^ = А (г)х(г) + В (г)/( г) , г е [ г0, /], х(г0) = х0

справедливы следующие соотношения [!]: у(«, г) = Ш(«, г)х(г) ,

ау(Ь' г) = А(«)у(«, г) , «е [г, /] , аГ 1

у(г, г) = х(г) , г е [г0, г/] , О)

= Ш(«, г). В (г). /(г) , г е [ г0, «] ,

у(«, г0) = у0 = Ш(«, г0)х0 , у(«, «) = х(«) ,

где Ш - матрица весовых функций системы. Последнее дифференциальное уравнение из О), определяющее переменные МКС как функции второго аргумента, мы и называем моделью конечного состояния.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Получим модель конечного состояния для непрерывно-дискретных систем с математическим описанием:

ах(г) = А. (г) х (г) + в.( г)/. (г), г «а, аг . . . (2) х(гк) = А2(гк)х(гк- 0) + В2(гк)/2(гк), гк е а,

где а - множество точек на временной оси, в которых вектор состояния претерпевает разрывы (скачки).

Приведенная форма записи непрерывно-дискретных систем (2), которую можно назвать "моделью со скачками", предложена в [3] и отличается от привычной формы записи непрерывно-дискретных систем. Ее достоинством является однородный вид, пригодный для описания как однотактных, так и многотактных непрерывно-дискретных систем с произвольными соотношениями тактов, а также любых других линейных систем с разрывными решениями. В [3] выведено также обобщение известной формулы Коши-Лагранжа для представления решения в некоторый заданный момент времени г/ через решение в другой момент времени г. Это представление задается соотношением: