CC BY
17
Visnyk NTIJU KP1 Seriia Radiolekhnika tiadioaparatobuduuannia, "2016, Iss. 67, pp. 58—64
УДК 537.311.6:621.372
Критери наближення кристалопсдабних структур репптками ¡мпедансних дельта-неоднорщностей
Нелгн 6. А., Ляшок А. В.
Нацншалышй тохшчшш ушворситот Укра'ши "Кшвський иолггпхшчций шститут ¡м. 1. Сжорського", м. Кшв, Украша
E-mail: a. lAaehok&kpi. иа
Розгляпуто особливост! залеж-постей активно! й реактивно! складових вх1дпого 1миедапсу ретшток 1мие-дансних ¿-неоднор!дностей у квантово-мехашчному, електромагштному та акустичному сере-довищах. На основ! пор1впялыюго апал!зу залежпостей вх1дпого 1мпедапсу пеобмежепих i обмежепнх кристалопод1бпих структур (КС) та реплток ¡мпедансних ¿-неоднор!дностей встановлено критери наближення КС реплтками ¡мпедансних ¿-неоднор!дностей. Щ крнтерй' обмежують ширину неоднор!дност! КС одшею чет-вертою довжипи хвиль а пормований хвильовий 1миедапс електромагштпих та акус-тичних пеодпор1дпостей значениями не мепше 3 або не больше 1/3.
Клюноог слова: кристалопод!бпа структур: 1миедапспа дельта-пеодпор1дшсть.
Вступ
Кристалоиод1бш структуры (КС) мають ушкаль-ш, аналопчш кристалам. зонш сиектралыи характеристики й становлять основу новых р1зномаштних пристроТв обробки сигнал1в [1 3]. КС належать до иерюдичних структур, надзвичайно широко застосо-вуваних в р1зних техшчних галузях. 1нтерес до пе-рюдичних структур збер1гаеться протягом значного часу, про що еввдчить перевидання другого видання фундаментально! монографИ [4] через и'ятдесят рошв (переклад доповнонсм монографИ [4.5]).
Принципов! властивоста КС виявляються в одно-втирних структурах. яш традицшно моделюють методом матрищ переносу [6]. Метод хвильового 1мпе-дансу спрощуе моделювання. наповшос його ф1зи-чним змктом. дозволяс отримати анаттичш ршен-ня [7.8].
Для моделювання поодиноких хвильових неодно-рщностей 1 КС в [9] запропоновано модель 1мпедан-сних ¿-неоднорщностей, яка поеднуе переваги метод1в хвильового 1миедансу й ¿-функцш. Оскщьки реаль-ш неоднорщноста скшченш. постас питания взаемно! вщиовщносп КС 1 регштки ¿-неоднорвдностей.
Метою стати с встановлення критерИв наближення необмежених 1 обмежених КС ренптками 1мпедан-сних ¿-неоднорщностей. Для спрогцення перетворень 1миеданси нормовано до 1мпедансу зовшшнього сере-довигца.
1 Хвильов1 середовища криста-лопод1бних структур
Розглянемо так1 середовища: середовигце 1 квантово-мехашчне. пормований хвильовий 1миеданс визначасться виразом
Z :
У
(Е - V)т' Em
де Е — енерпя електрона; V — потенщальна енерпя; т — ефективна маса електрона; штрих вщповщае зовшшньому середовигцу: середовигце 2 електрома-гштне або акустичне з 1мпедансом Z = const.
КС у середовищах 1 i 2 иозначимо як KCl i КС2. 1мпедансш ¿-неоднорвдносп в середовищах 1 i 2 — нижшми шдексами 1 i 2. а шдекси иараметр1в бар'ера i ями — буквами bi w (barrier i well).
Вхщний 1мпеданс ¿-6ap'epiB i ¿i-ями й вхщний адмианс ¿2-ями визначаються формулами [ ]
z s = 1 + 2щ, gs = 1 + 2щ,
де r/1 = ±a\Jm'¡'IE/Н = ±am'/h2k' , h = h/2-к, h _ постшна Планка (знак «+» з «±» вщповщае ^-бар'еру); щ = -ак/2, к — хвильове число.
В [ ] розглянуто лише необмежеш регштки S 6ap'epiB. Для встановлення критерпо наближення як для КС на ocuoBi 6ap'epiB, так i для КС на основ! ям розглянемо особливосп реш1ток ¿-ям.
Криторй' иаближошш кристалошшбиих структур рошггками ¡миодаисиих до.-шта-иоодиор1ашк:той
59
2 Необмежеш репитки 1мпедан-сних ¿-ям
Ренлтки ¿1-ям 1 ¿1-бар'ер1в вццнзняються лише знаком величини Для ренл ток ¿2-ям 1 ¿2-бар'ер1в = г-1 , тому вщмшносп бшьш суттевь Знайдомо вхщний 1миоданс неоднорщносп в нео-бмеженш реллтщ ¿2-ям (рис. )
Рис. 1. Ренлтка 62-ям.
^ . * . . . .
Тут г 1 г — вх1дн11мпеданси в1дпов1дно у прямому 1 зворотному напрямках на л1вш \ правш меж1 ¿-ями ; с — ввдстань мЬк неоднорвдностями.
У дозволених зонах. яш с зонами власних значень КС, г= г , де г — вхвдний 1мпеданс у прямому на-прямку на правш меж1 ¿-ями. Виходячи з цього \ враховуючи зв'язок вхвдного 1мпедансу ¿-ями з вхь дним 1мподансом середовища справа в1д не!, маемо
г =
1 + 21 г ц
*
1мпеданси ъ\ г зв'язаш також стввщношенням
(и
г =
г +1С
* '
1 + 1 г С г!
(2)
де С = tan = к' с . 3 (1) 1 (2) отримаемо
Иег
- 1т2 г - 2!шгС-1,
1т г
V
2ПС-1 - 1'
Для ренлток £-бар'ер1в \ ¿1-ям зв'язок м1ж Иег 1 1т г також визначаеться ( ), а 1шг =
Поставивши ( ) в ( ), для ренлтки 62 ям маемо
Иег =
у/1 - ц2 - 2^С-1
2цС-1 - 1 '
(5)
(3)
(4)
Таким чином, чисельники вираз1в для Иег 1 1шг ренлтки ¿2 -ям ( ) 1 ( ) сшвпадають з в1дпов1дними виразами для ренлток ¿-бар'ер1в 1 д1 ям.
Меж1 зон внзначаються умовою Иег = 0. Для ренлток £^ар'ер1в 1 ¿-ям з однаковими значениями ввд-поввдних параметр1в маемо ц1ь = -Г11т \ щъ = -Щ-ш-Таким чипом, моли зон таких ренлток не сшвпадають в середовинц 1 \ сшвпадають в середовинц 2.
Рис. 2. Залежносп активно! (1) та реактивно! (2) складових вхадного 1мподансу нообмежоних ренлток ¿1-неоднор1дностой, а = 0, 3 еВ-им, с = 3 нм, т = т' = то, де то — маса електрона: а бар'ери: б ями.
На рис. 2 приведено залежносп складових вхщного 1мпедансу необмежених ренлток ¿1-нооднорщностей. Знак реактивно! складово!
обумовлений протиложшетю знашв фази прямо! хви-«ш в квантовш мохашщ 1 в радютохшщ. Залежноста являють собою чергування смуг, в яких Ие г > 0 1 Ие г = 0 , в1диов1дно дозволених 1 заборонених зон.
Як 1 очпсувалося, меяй зон ренлток ¿1-бар'ер1в та ¿1—ям з однаковим значениями в1диов1дних пара-метр1в не сшвпадають. Дозволен! зони ренлтки ¿1— бар'ер1в обумовлеш резонаненнм тунелюванням еле-ктрошв, а ренлтки ¿рям — !х резонансним прохо-джонням. Розширення дозволених зон з1 зростанням енергл обумовлене зменшенням значения | '1, в1д-повадно, коеф1щента ввдбиття ввд неоднор1дност1, а розширення заборонених зон збшьшонням в1дстан1 хйж власними значениями енергл структури з двох
враховаио комилоксиу сиряжошсть вх1диих 1миолаш:ш у иротиложиих иаирямках
з
60
Нелш G. А., Ляшок А. В.
¿i-неоднорщностей, яи приблизно визначають сере-дшш дозволених зон.
2
1 -
Rez, -Imz
0
-1
2% ф
3%
4%
1
Rez, -Imz
0
-1
Ом
> N \ i \ -
\ / \ i
И \ I
п '_LL
И
i\ / \
л
2л Ф
Зл
4л
му випадку реактивно, a niapiB II дисперсивне (про-зоре). 1мпсданс i хвнльове число реактивного середовища уявш, а шар такого середовища туислышй. Позначимо параметри niapiB I i II шдсксами I i II та пронормуемо iMncflaiicii до 1мпсдаису шару II.
Рис. 4. 1мпедансна залежшеть необмежено! КС.
Згщно иеретворень, аналопчних наведеним вище, отримаемо, що Rez визначаеться ( ), a Imz виразом
Imz =
1- Z2
2(В-1 + ZA-1
Рис. 3. Залсжиоста активно! (1) та реактивно! (2) складових вхщпого 1мпедансу необмежених ренлток ¿2-неоднорщностей, а = с/3: а — бар'ери; б — ями.
На рис. 3 наведено залсжиоста складових вхщпого 1мпедансу регшток ¿2-неоднорщностей.
Як 1 очшувалося, меж! зон ренлток ¿2-бар'ер1в та §2 -ям з однаковим значениями вщповщних параме-тр1в сшвпадають.
3 Наближення необмежених кристалопод1бних структур
Критерп наближення КС регштками 5-неоднорщностей мають встановлювати обмеження на параметри КС, при яких похибка иаближеиия е прийнятною.
Розглянемо 1мпсдансиу модель исобмсжсно! одио-втлрио! КС, утворену шарами 11II, для хвиль р!зио1 природи (рис. 4), де г вхщиий 1мпсданс
у прямому напрямку на правш меж1 мЬк шарами II11. Сущльна 1 штрихова лшГ! вщповщають 1мпедан-сиим бар'ерам 1 ямам. Ссредовище шар1в I у загально-
де Z — ¡мпеданс шару I ( Zb при Z > 1 i Zw при Z < 1 ); А = tan(fi ; В = tanipu, = k\a, <рц = кцЬ—фазовг na6ira хвшл у шарах I i II, a i & — товщини niapiB I i II вщповщно.
Ha рис. 5 приведено залсжиоста складових bxí-дного iMneflancy необмежених KCl i ренлток ¿i-исодиорщиостсй. Похибка наближення КС1 регштка-ми ^-неоднорщностей, у щлому, зростае 3Í збшыпе-нням eiiepril Е, що вщповщае зменшеншо довжипи xBii.ni. Вщносш похибки ширини першо!, друго!, тре-тьо! i четверто! заборонених зон регштки ¿1-6ap'epÍB з урахування знака вщхилення складають вщповщно 3, 0, 5 — 8 i -26%, а першо!, друго! i третьей" заборонених зон ренлтки ^-ям--7, —16 i 36 %.
Таким чином, значения Е = 1 еВ е межею наближення. Вщповщний критерш наближення
<
А/4,
(6)
де А — довжина хвшл, А = Ъ,/\/ 2тЕ, причому т ~ т. Критерш ( ) викоиуеться 1 при шших значениях парамстр1в КС1.
На рис. 6 1 7 наведено залсжиоста складових вхщпого 1мпедансу необмежених КС2, утво-рених чвертьхвильовими шарами, та ренлток §2-неоднорщностей. Як бачимо, з1 збшыпенням Zь 1 зменшенням Zw похибка наближення зменшуеться. Ця похибка обмежуе значения Еь \ и Zь = 3
1 Zw = 1/3 вщносна похибка активно! складово! вхь дного 1мпедансу необмежених КС2 при (р = 0 складае вщповщно -15 1 13 %. Приймемо щ значения Z1 Zw як граничт. Вщповщний критерш наближення:
гъ > 3, г.ш < 1/3.
0
Л
2
б
0
a
Криторй иаближошш кристалошшбиих структур рошггками ¡миодаисиих до.-шта-иоодиор1ашк:той
61
2
Rez 1
0
3 г
0 0,25 0,5 0,75 1 E, eB
0 -
-Im z -1
-2
0 0,25 0,5 0,75 E, eB
3 г
2
Re z 1
0
0 0,25 0,5 0,75 1 E, eB
0
-Im z -1
г
И г-
f !\ 1
-
2
Re z , -Im z
1 -
%/2 Ф
3 Г
2 -
0 0,25 0,5 0,75 1 E, eB
Рис. 5. Залежносп активно! та реактивно!' складових входного 1миедансу нообможоних КС 1 (1. 3) i ренпток ¿1-неоднорвдностей (2, 4), 0,03 eB-нм, V = 0,1 eB, а = 0, 3 нм, b = 2 нм, с = а + b, т = т' = то : а, б бар'ери: в. г ями.
Re z , -Im z
1
0 л/2 л
Ф
Рис. 6. Залежноста активно! (1. 2) та реактивно! (3. 4) складових входного 1мподансу нообможоних КС 2 (1. 3) i peniiTOK ¿2~6ap'epiB (2, 4), <р = щ + <рц, щ = а = \\/А, b = Ац/4, де Ai i Ац — довжини хвшл на середнш частота першо! заборонено! зони, с = Ь:'л Zь = 3; б — Zb = 8.
Приймемо за межу наближення значения ip = я, яке ввдповвдае середиш першо! заборонено! зони. Вщ-повадний критерш наближення
« < Ai/4. (7)
Цей критерш виконуеться i для шших значень а .
4 Наближення обмежених кри-сталопод1бних структур
На рис. 8 приведено залежноста складових вхвдно-
1
Сшввщношсння хйж залежностямн складових вхвдно-го 1миедансу обмежених KCl на основ! иотенщалышх 1
бачимо. критер1й (6) виконуеться i для обмежених KCl.
3
0
0
%
0
1
6 2
Hojiiii G. Л., Ляшок Л. В.
0,5
0,25 Re z , -Im z 0
-0,25
-0,5
0
л/2 Ф
0,5
0,25 Re z, -Im z О
-0,25
-0,5
314
0
л/2 Ф
2
Re Z 1
о,25 о,5 о,75 E , еВ
-Im Z
О
-2
К i 1 л б
! ^ ■2
II щ\ \ШаЫ' 1 A^/CviA^
i i/X/4^
0,25
0,5 E, еВ
0,75
На рис. 9 наведено заложносп складов их bxí-дного 1мпедансу обмежених КС 2 i peniiTOK ¿2-нооднорщностой.
Поблизу значения р = -к в КС 2 на ochobí öap'epiß вщбуваеться вузькосмугова висоюимподансна трансформация хвильового 1мподансу середовища, розмщо-ного на виход1 КС 2.
Рис. 7. Заложносп активно! (1, 2) та реактивно! (3, 4) складових вхвдного 1миодансу необмежених КС 2 (1, 3) i peniiTOK 62-ям (2, 4): а — Zw = 1/3; б — Zw = 1/8.
Re Z
1 О -1
3 2
-ImZ 1
0 -1
0 1,5
1
Re Z, -Im Z -0,5
-1,5
ж12 Ф
ж/2 Ф
ж/2 Ф
Рис. 9. Заложноста активно! (1, 2) та реактивно! (3, 4) складових вхвдного 1миодансу обмежених КС2 (1, 3) i peniiTOK ¿2-неоднорвдностей (2, 4), а = \I/4, Ъ = Ап/4, N = 7, с = 1, 25(а + 6): а, б Zb = 3; в — Zw = i/З.
Рис. 8. Заложноста активно! (а) та реактивно! (б)
складових вхвдного 1мподансу обмежених KCl (1) i Без врахування щя особливосп можна зробити
peniiTKH ¿1-6ap'epÍB (2); параметры рис. , кшькшть висновок, що критерш ( ) виконуеться i для обмеже-
HiapiB КС N = 9. них КС2.
Л
3
б
2
О
ж
л
б
3
ж
о
о
2
0
71
0
KpuTopiï иаближеиия кристалошшбиих структур решггками ¡миодаисиих дельта-иеодиорщиостеи
63
Висновки
Критерп наближення КС рогштками 1мподансних ¿-неоднорвдностей обмежують ширину неоднорщносп КС одшяо четвертою довжини хвиль а пормований хвильовий 1мподанс олоктромагштних та акусти-чних нооднорвдностой значениями не менше 3 або не бшыно 1/3. Щ критерп встановлюють моли доапазо-ну моделювання ввдиовщно eiiepriï для квантово-мехашчних КС i частоти для олоктромагштних та акустичних КС.
Перелж посилань
1. Razeghi M. The Wonder of Nanotechnology : Quantum Optoelectronic Devices and Applications / M. Razeghi. L. Esaki. K. von Klitzing. ods. Bellingham: SP1E Press. ■2013. 1000 p.
2. Massaro Л. Photonic Crystals Introduction. Applications and Theory / Л. Massaro. od. Publisher: InTech. 2012. 356 p.
3. Khelif A.. Adibi Л. Phononic Crystals: Fundamentals and Applications / Khelif A.. Adibi A., eds. N. Y.: Springer. 2015. 268 p.
4. Brillouin L. Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices / L. Brillouin. N. Y. : McCraw Hill. 1946* (1st ed.); Dover. 1953 (2nd ed. corrections and additions); Courier Corporation (unabridged republication of 2nd ed.). 2003. 260 p.
5. Вриллюэи Л. Волны в иеридических структурах / .il. Вриллюэи. М. Народи. М. : Изд. иностр. лит. 1956. 457 с.
6. Markos P. Wave Propagation From Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials / P. Markos. С. M. Soukoulis. Princeton and Oxford: Princeton University Press. 2008. 352 p.
7. Нелии E. А. Моделирование и повышение избирательности кристаллоиодобиых структур / Е. А. Нелии // ЖТФ. 2004. Т. 74. № 11. С. 70-74.
8. Нелии Е. А. Краевая аиодизация кристаллоиодобиых структур / Е. А. Нелии // ЖТФ. 2005. Т. 75. № 11. С. 120-121.
9. Водолазская М. В. Модель имиедаисиых дельта-иеодиородиостеи для микро- и наноструктур / М. В. Водолазская. Е. А. Нелии // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2014. Т. 57. № 5. С. 25-34.
References
[1] Razeghi M.. Esaki L. and Klitzing K. (2013) The Wonder of Nanotechnology: Quantum Optoelectronic Devices and Applications, Bellingham. SP1E Press. 1000 p. DOl: 10.1117/3.1002245
[2] Massaro A. (2012) Photonic Crystals Introduction, Applications and Theory, InTech Publisher. 356 p. DOl: 10.5772/1971
[3] Khelif A. and Adibi A. (2015) Phononic Crystals: Fundamentals and Applications, N. Y.. Springer. 268 p. DOl: 10.1007/978-1-4614-9393-8
[4] Brillouin L. (2003) Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices, 2nd ed, Dover Publications. 260 p.
[5] Brillouin L. and Parodi M. (1956) Propagation des ondes dans les milieux perodiques. Paris. Masson et Cie. 347 p.
[6] Markos P. and Soukoulis С. M. (2008) Wave Propagation From Electrons to Photonic Crystals and Left-handed Materials. Princeton and Oxford: Princeton University Press. 352 p. DOl: 10.1515/9781400835676
[7] Nelin E. A. (2004) Simulation and improvement of the selectivity of crystal-like structures. Tech. Phys., Vol. 49. No. 11. pp" 1464-1468. DOl: 10.1134/1.1826191
[8] Nelin E. A. (2005) Edge apodization of crystal-like structures. Tech. Phys., vol. 50. no. 11. pp. 1511-1512. DOl: 10.1134/1.2131963
[9] Vodolazka M. V. and Nelin E. A. (2014) Model of impedance delta-inhomogeneities for micro- and nanostructures. tiadi-oelectronics and Communications Systems, Vol. 57. No. 5. pp. 208-216. DOl: 10.3103/s0735272714050033
Критерии приближения кристаллоиодобиых структур решетками имиедаисиых дельта-неоднородностей
Нелии Е. А., Ляшок А. В.
Рассмотрены особенности зависимостей активной и реактивной составляющих входного импеданса решеток им-педансних ¿-иеоднородиостей в квантово-механической, электромагнитной и акустической средах. На основе сравнительного анализа зависимостей входного импеданса неограниченных и ограниченных кристаллоподобпых структур (КС) и решеток импедансних ¿-иеоднородиостей установлены критерии приближения КС решетками импедансних ¿-иеоднородиостей. Эти критерии ограничивают ширину неоднородности КС одной четвертой длины волны, а нормированный волновой импеданс электромагнитных и акустических пеодпородпостей значениями не меньше 3 или не больше 1/3.
Ключевые слова: кристаллоподобпая структура: импе-дапепая дельта-пеодпородпость
Criteria of crystal-like structures approaching by impedance delta-inhomogeneities lattices
Nelin E. A., Liashok A. V.
Introduction. Crystal-like structures (CS) have unique, similar to crystals, band spectral characteristics and form the basis of new various signal processing devices. In this paper the criteria of CS approaching by ¿-inhomogeneities lattices are established. Wave mediums of crystal-like structures. Quantum-mechanical, electromagnetic and acoustic wave mediums are considered and expressions for impedance ¿-barriers and ¿-wells input impedances and admittance are described. Unlimited impedance ¿-wells lattices. Features of impedance ¿-wells lattice are considered. Expression for input impedance of impedance ¿-wells lattice is obtained.
64
Nelin, E. A., Liashok, A. V.
Active and reactive input impedance components characteristics of unlimited impedance ¿-inhomogeneities lattices are presented. Unlimited crystal-like structures approaching. Comparative analysis of input impedance components characteristics of unlimited CSs and ¿-inhomogeneities lattices are considered. Criteria of unlimited CSs approaching by ¿-inhomogeneities lattices are established. Limited crystal-like structures approaching. Comparative analysis of input impedance components characteristics of limited CSs and ¿-inhomogeneities lattices are considered. Criteria of limited CSs approaching by ¿-inhomogeneities lattices are
established. Conclusions. Criteria for unlimited and limited CS approaching by ¿-inhomogeneities lattices limiting CS inhomogeneity width by one-fourth of the wavelength and normalized wave impedance of electromagnetic and acoustic inhomogeneities by values of not less than 3 or not more than 1/3. These criteria determine range of modeling — energy for quantum-mechanical CSs and frequency for electromagnetic and acoustic CSs accordingly.
Key words: crystal-like structure; impedance delta-inhomogeneity
