CC BY
31
Мікроелектронна та наноелектронна техніка
УДК 537.311.6:621.372
КРИТЕРІЇ НАБЛИЖЕННЯ ІМПЕДАНСНИХ НЕОДНОРІДНОСТЕЙ ДЕЛЬТА-НЕОДНОРІДНОСТЯМИ1
Нелін Є. А., д.т.н., професор; Ляшок А. В., к.т.н.
Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», м. Київ, Україна, [email protected]
CRITERIA OF IMPEDANCE INHOMOGENEITIES
APPROACHING BY DELTA-INHOMOGENEITIES
Nelin E. A., Doctor of Engineering, Professor; Liashok A. V., PhD
National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine,
Вступ
Для нашого хвильового світу хвильовий імпеданс, що характеризує реакцію середовища на хвильове збурювання, є фундаментальною та універсальною характеристикою. Концепція хвильового імпедансу знайшла застосування в різних областях фізики і техніки, хоча її потенціальні можливості значно більші. Ця концепція може бути застосована в незвичних для неї квантовій механіці [1, 2] і космології [3].
Мікро- та наноструктури у вигляді поодиноких хвильових неоднорід-ностей і ґрат неоднородностей, таких як двобар’єрна і кристалоподобні структури — надґрати, фотонні, електромагнітні й фононні кристали, становлять основу пристроїв обробки сигналів нового покоління. Традиційно такі структури моделюють методом матриці переносу [4]. Підхід на основі хвильового імпедансу спрощує моделювання, наповнює його фізичним змістом, дозволяє отримати аналітичні рішення [5].
В різних науково-технічних областях при моделюванні широко використовують підхід на основі 5-функції, що, як і імпедансний підхід, суттєво спрощує моделювання.
В [6] для моделювання хвильових мікро- та наноструктур запропоновано модель імпедансних 5-неоднорідностей, яка поєднує переваги підходів на основі хвильового імпедансу і 5-функції. Відповідність характеристик структур і їх 5-моделей в [6] розглянуто на прикладах окремих структур, утворених неоднорідностями скінченних розмірів (скінченними неоднорі-дностями). Для узагальнення відповідності структур і їх 5-моделей необхідні кількісні критерії наближення скінченних неоднорідностей 5-неодно-
1 http://radap.kpi.ua/radiotechnique/article/view/1157
Вісник Національного технічного університету України «КПІ» Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — 2015. — №63
127
Мікроелектронна та наноелектронна техніка
рідностями (критерії 5-наближення).
Метою статті є встановлення критеріїв 5-наближення імпедансних не-однорідностей. Для спрощення перетворень імпеданси нормовано до імпедансу зовнішнього середовища.
Вхідний імпеданс імпедансних 5-неоднорідностей
Розглянемо такі середовища: середовище 1 — квантово-механічне, нормований хвильовий імпеданс визначається виразом
Z =
(E - V)т' Em
(1)
де E — енергія електрона; V — потенціальна енергія; т — ефективна маса електрона; штрих відповідає зовнішньому середовищу; середовище 2 — електромагнітне або акустичне з імпедансом
Z = const. (2)
Імпедансні 5-неоднорідності в середовищах 1 і 2 позначимо нижніми індексами 1 і 2, а індекси параметрів бар’єра і ями — буквами b і w (barrier і well).
Рис. 1. Імпедансні неоднорідності: скінченної ширини а в середови-
щах 1 (а) і 2 (б); 5-неоднорідно-сті в середовищах 1 (в) і 2 (г).
На рис. 1 показано імпедансні неоднорідності. Ефективність взаємодії хвилі з неоднорідністю характеризує константа а, яка дорівнює її «площі». У середовищі 1 а = |V|a; у середовищі 2 для бар’єра
а = Zba, а для ями а = Gwa, де Gw = Z-1. Ширина 5-неоднорідності а ^ 0. Для
51- неоднорідностей |V| = а /а ^ да. З урахуванням цього виходячи з (1) Z^ = iZw і Zw = Vam' / am ^ да. Виходячи з (2) для
52- неоднорідностей Zb =а / а ^ да і Zw = а / а ^ 0.
Вхідний імпеданс 51-неоднорідностей і 52-бар’єра і вхідний адмітанс 52-ями ви-
значаються формулами [6]
Z5 = 1 + 2in, Gs = 1 + 2in, (3)
де n1 = ±<Wm' / 2E /h = ±ат' / h2 k', h = Ы2п, h — постійна Планка (знак «+» з « ± » відповідає 51-бар’єру); ^2 = -ак /2, k — хвильове число.
Імпедансна 5-неоднорідність своєрідно трансформує імпеданс середовища, вносячи реактивну складову.
128
Вісник Національного технічного університету України «КПІ» Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — 2015. — №63
Мікроелектронна та наноелектронна техніка
Рис. 2 ілюструє рівень значень і характер залежностей реактивної складової (по модулю) вхідного імпедансу і адмітансу 5-неоднорідностей згідно (3). Як бачимо, реактивна складова може перевищувати хвильовий імпеданс середовища. Залежності реактивних складових 2 |г|і| і 2 |п2| від час-
тоти мають протилежний характер: зі зростанням частоти (або енергії для 5і-неоднорідності) значення 2 |г|і| зменшується, а значення 2 |п2| збільшу-
0,4 0,5 0,6 0,7 X, мкм
Рис. 2. Залежності реактивної складової вхідного імпедансу 51-неоднорідності від енергії (1) та імпедансу б2-бар’єра і адмітансу б2-ями від довжини хвилі X (2). а1=0,1 еВнм, т' = т0, де т0 — маса електрона; а2=0,1мкм.
ється.
Знак реактивної складової в (3) відповідає знаку «+» фази у фазовому множнику прямої хвилі exp(i kx), прийнятому в квантовій механіці. У реактивному середовищі (наприклад, в потенціальному бар'єрі при E<V) k = i|k| і exp(ikx) = exp(-|k|x) —
амплітуда прямої хвилі експоне-нційно зменшується. Оскільки в теорії довгих ліній у фази прямої хвилі знак «-», при аналізі характеру реактивності реактивної складової її знак необхідно змінити на протилежний.
Критерії дельта-наближення скінченних неоднорідностей
Критерії б-наближення мають встановлювати обмеження на параметри скінченних неоднорідностей, при яких похибка наближення їх характеристик співідношеннями (3) не перевищує задану.
У рамках імпедансного підходу скінченній імпедансній неоднорідності відповідає відрізок лінії передачі з імпедансом Z і вхідним імпедансом
v _ 1 - iZtg9
Zi . _1 ,
1 - iZ :tg9
(4)
де ф = ka. Для б1-бар’єра при E<VZ і k уявні і tg9 = ith|ф| При виконанні умов
tgф * ф і th І ф|*|ф|
з (4) для дійсних і уявних Z і k маємо відповідно
Z * 1 + Ф2 - iZ-
i * 1 + z-y ,
(5)
(6)
Вісник Національного технічного університету України «КПІ» Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — 2015. — №63
129
Мікроелектронна та наноелектронна техніка
G
Z,
1 + ф + iZ_ 1 + Z 2ф2 1 _ |ф|2 +iZ^
1 1 2 Z _1Ф
1+
(7)
(8)
де
Z_ = (Z _ Z-1)ф; Z+ = (|Z| + Z-1 )|ф.
Приймемо, що для неоднорідностей в середовищі 1 m' = m. При E > ±V (тут і далі верхній знак відповідає бар’єру, а нижній — ямі) в результаті перетворень отримаємо Z_ = _2ц1. Якщо E < V, для бар’єра маємо
Z+ = 2п1. При виконанні (5) ф2 << 1, ф << 1
Z_2ф2 << 1
Z _1ф
<<1,тому
2
з (6) і (8) отримаємо Zt * 1 + 2щ, що наближено відповідає (3).
Враховуючи, що Z _1ф= Z_ 1ф = ф', відносні похибки активної і реактив-
2 2
ної складових виразів (6) і (8) дорівнюють 8Re«+2mHz /h і 8Im = -{k’af = -2Ета2 /й2. При Е > V маємо [8^1 > |SRe|.
Обмежимо максимальну похибку значенням приблизно 30%. З цього обмеження отримаємо к'а<,п /6 і критерій 8-наближення:
asxm. (9)
Для неоднорідностей в середовищі 2 Z_ « +2г|2 з похибкою, що зменшується зі зменшенням Zw і збільшенням Zb. Приймемо, що значення Zw = 0,5 і Zb = 2, яким відповідає похибка 33,3%, граничні. Відповідний критерій S-наближення прийме вигляд:
Zw < 0,5, Zb > 2. (10)
Оскільки при виконанні (5) і (10) Z'__2ф2 << 1 і Z2^®2 << 1, з (6) і (7) отримаємо Z * 1 + 2ip2b і G/ * 1 + 2ip2w, що наближено відповідає (3).
Відносні похибки активної і реактивної складових виразів (6) і (7) дорівнюють 8Ке * ф2 - Я+2ф2 * ф2 і Sjjh = -Я+2ф2. Як бачимо, 8Re > JSjjJ. Похибці SRe 5 30% відповідає ка <: л / 6 і критерій 8-наближення:
asxm. (11)
Критерії (9) і (11) обмежують відповідно діапазон енергії і частоти при моделюванні скінченних неоднорідностей S-неоднорідностями.
Похибки дельта-наближення вхідного імпедансу скінченних неоднорідностей
Пересвідчимося у виконанні умов критеріїв (9 — 11) без наближень.
130
Вісник Національного технічного університету України «КПІ» Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — 2015. — №63
Мікроелектронна та наноелектронна техніка
На рис. 3 приведено залежності, які характеризують похибку 5-набли-ження (з урахуванням знака відхилення) складових вхідного імпедансу не-однорідностей в середовищі 1. Як і очікувалося, активна складова практично не залежить від енергії і для ями змінюється від 1,074 до 1,065, а для бар’єра — від 0,932 до 0, 938. Відповідно, практично не змінюється відносна похибка активної складової SRe. Відносна похибка реактивної складової SIm суттєво збільшується зі збільшенням енергії. При похибці |5Im|
=30% для ями і бар’єра маємо значення X'=1,0 нм і X'=1,1 нм або співвідношення a = X' /10 і a = X' /11, що відповідає (9).
Рис. 3. Залежності реактивної складової вхідного імпедансу (а) скінченних ями (1), бар’єра (2) і 5 ^неоднорідності (3) та відносної похибки 5-набли-ження (б) активної (1, 2) і реактивної (3, 4) складової вхідного імпедансу
ями (1, 3) і бар’єра (2, 4). а=0,03 еВ нм, а=0,1 нм, V=0,3 еВ, m = m' = m0.
Залежності на рис. 4 характеризують похибку 5-наближення складових вхідного імпедансу неоднорідностей в середовищі 2. Оскільки ab = Zba, а
aw = Z-1a, то - ImZ5 = Zb<p і -ImG5 = ZwV — залежності лінійні. На відміну від неоднорідностей у середовищі 1, активна складова суттєво залежить від фазової довжини неоднорідності і визначає максимальну похибку. Похібці 5Re =30% при Z = 3 відповідає a = X /10, а при Z = 5 — a = X /11, що узгоджується з (11).
Таким чином, при виконанні критеріїв (9) — (11) максимальна (по модулю) похибка 5-наближення складових вхідного імпедансу скінченних неоднорідностей знаходиться в межах приблизно 30%.
Вісник Національного технічного університету України «КПІ»
Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — 2015. — №63 131
Мікроелектронна та наноелектронна техніка
ф
Рис. 4. Залежності складових вхідного імпедансу (а): активної (1), реактивної (2) скінченної неоднорідності і реактивної (3) б2-неоднорідності та відносної похибки б-наближення (б) активної (1) і реактивної (2) складових. Z=3 або Z=1/3.
Похибки дельта-наближення коефіцієнта відбиття скінченних неоднорідностей
На рис. 5 приведено залежності коефіцієнта відбиття (по модулю) скінченних ями, бар’єра та б-неоднорідності в середовищі 1 і відносної похибки б-наближення. Як бачимо, похибка б-наближення коефіцієнта відбиття набагато менша у порівнянні з похибками б-наближення складових вхідного імпедансу. Ця похибка, за винятком малої ділянки на початку залежності 2, збільшується зі збільшенням енергії і при E=1,5 еВ для ями і бар’єра складає відповідно -8 і -5%.
Залежності на рис. 6 характеризують б-наближення коефіцієнта відбиття скінченної неоднорідності в середовищі 2. Як і для неоднорідностей в
0,12
0,10
R
0,08
0,06
Рис. 5. Залежності коефіцієнта відбиття (а) скінченних ями (1), бар’єра (2), б-неоднорідності (3) та відносної похибки б-наближення (б) скінченних ями (1) і бар’єра (2). Параметри відповідають рис. 3.
132
Вісник Національного технічного університету України «КПІ» Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — 2015. — №63
Мікроелектронна та наноелектронна техніка
середовищі 1, похибка 5-на-ближення коефіцієнта відбиття набагато менша у порівнянні з похибками 5-набли-ження складових вхідного імпедансу і зі збільшенням значення ф зменшується з -13 до -11%. Зі збільшенням частоти похибка 5-наближення коефіцієнта відбиття у середовищі 1 збільшується, а у середовищі 2 — зменшується.
Таким чином, при виконанні критеріїв (9) — (11) максимальна (по модулю) похибка 5-наближення коефіцієнта відбиття знаходиться в межах приблизно 15%.
Висновки
Критерії наближення скінченних імпедансних неоднорідностей 5-неод-норідностями обмежують ширину неоднорідності однією дванадцятою довжини хвилі, а нормований хвильовий імпеданс електромагнітних та акустичних неоднорідностей значеннями не більше 0,5 або не менше 2. За такими критеріями максимальна (по модулю) похибка 5-наближення складових вхідного імпедансу скінченних неоднорідностей знаходиться в межах приблизно 30%, а коефіцієнта відбиття — 15%.
Перелік посилань
1. Cameron P. Historical perspective on the impedance approach to quantum field theory / P. Cameron. - 2014. - Режим доступу: http://vixra.org/pdf/1408.0109v4.pdf
2. Нелин Е. А. Импедансная модель для “барьерных” задач квантовой механики / Е. А. Нелин // УФН. - 2007. - Т. 177, №3. - С. 307-313.
3. Cameron P. Impedance Quantization in Gauge Theory Gravity / P. Cameron. - 2015. -http://vixra.org/pdf/1503.0262v1.pdf
4. Markos P. Wave Propagation From Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials / P. Markos, C. M. Soukoulis. - Princeton and Oxford: Princeton University Press. - 2008. - 352 p.
5. Нелин Е. А. Импедансные характеристики кристаллоподобных структур/ Е. А. Нелин // ЖТФ. - 2009. - Т. 79, № 7. - С. 27-31.
6. Водолазская М. В. Модель импедансных дельта-неоднородностей для микро- и наноструктур / М. В. Водолазская, Е. А. Нелин // Известия вузов. Радиоэлектроника. -2014. - Т. 57, № 5. - С. 25-34.
- -11,5
11,0
'-’R’
%
-12,0
-12,5
Рис. 6. Залежності коефіцієнта відбиття скінченної неоднорідності (1), 5-неоднорідності (2) та відносної похибки 5-наближення (3). Параметри відповідають рис. 4.
References
1. Cameron P. (2014.) Historical perspective on the impedance approach to quantum field theory, Available at: http://vixra.org/pdf/1408.0109v4.pdf
Вісник Національного технічного університету України «КПІ» Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — 2015. — №63
133
Мікроелектронна та наноелектронна техніка
2. Nelin E.A. (2007) Impedance model for quantum-mechanical barrier problems. Phys. Usp., vol. 50, no. 3, pp. 293-299
3. Cameron P. (2015) Impedance Quantization in Gauge Theory Gravity, Available at : http://vixra.org/pdf/1503.0262v1.pdf
4. Markos P. and Soukoulis C. M. (2008) Wave Propagation From Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton and Oxford: Princeton University Press, 352p.
5. Nelin E. A. (2009) Impedance Characteristics of Crystal-like Structures. Tech. Phys., vol. 54, no. 7, pp. 953-957.
6. Vodolazka, M. and Nelin, E. Model of impedance delta-inhomogeneities for micro-and nanostructures. Radioelectronics and Communications Systems, 2014, vol. 57, no 5.
pp. 208-216.
Нелін Є. А., Ляшок А. В. Критерії наближення імпедансних неоднорідностей дельта-неоднорідностями. Розглянуто особливості вхідного імпедансу імпедансних S-неоднорідностей в квантово-механічному, електромагнітному та акустичному се-ре-довищах. На основі аналізу вхідних характеристик імпедансних неоднорідностей скін-ченних розмірів і S-неоднорідностей встановлено критерії наближення неоднорідностей скінченних розмірів S-неоднорідностями. Похибка наближення складових вхідного імпе-дансу скінченних неоднорідностей знаходиться в межах приблизно 30%, а коефіцієнта відбиття — 15%.
Ключові слова: імпедансна неоднорідність, імпедансна дельта-неоднорідність.
Нелин Е. А., Ляшок А. В. Критерии приближения импедансных неоднородностей дельта-неоднородностями. Рассмотрены особенности входного импеданса импеданс-ных S-неоднородностей в квантово-механической, электромагнитной и акустической средах. На основе анализа входных характеристик импедансных неоднородностей ко-нечных размеров и S-неоднородностей установлены критерии приближения неоднород-ностей конечных размеров S-неоднородностям. Погрешность приближения составляющих входного импеданса неоднородностей конечных размеров находится в пределах приблизительно 30%, а коэффициента отражения — 15%.
Ключевые слова: импедансная неоднородность, импедансная дельта-неоднородность.
Nelin E. A., Liashok A. V. Сгіїегіа of impedance inhomogeneities approaching by delta-inhomogeneities.
Introduction. Impedance S-inhomogeneities are used for modeling of micro- and nanostructures. In this paper the criteria of impedance inhomogeneities approaching by S-inho-mogeneities are established.
Input impedance of S-inhomogeneities. Expressions for the S-inhomogeneities input impe-dance in quantum-mechanical, electromagnetic and acoustic media are given. Delta-inhomoge-neities peculiarly transformed medium impedance, introducing a reactive component. The level of values and character of dependencies of the reactive components of the S-inhomogeneities input impedance are illustrated.
Criteria of delta-approaching for finite inhomogeneities. As a result of approximation error analysis for the input impedance expressions of finite size inhomogeneities (finite in-homo-geneities) by input impedance expressions of S-inhomogeneities criteria of S-inhomogeneities approaching (S-approaching) for finite inhomogeneities are obtained. According to these criteria inhomogeneity width should not exceed one-twelfth of the wavelength and normalized wave impedance values of electromagnetic and acoustic inhomogene-
134
Вісник Національного технічного університету України «КПІ» Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — 2015. — №63
Мікроелектронна та наноелектронна техніка
ities should not exceed 0.5 or should be at least 2.
Errors of delta-approaching for finite inhomogeneities input impedance characteristics. The analysis of the approximation errors of the finite inhomogeneities input impedance compo-nents characteristics by corresponding input impedance components characteristics of 6-inho-mogeneities is fulfilled. Within the 6-approaching criteria the maximum (in magnitude) appro-ximation error of finite inhomogeneities input impedance components is within about 30%.
Errors of delta-approaching for finite inhomogeneities reflection coefficient characteristics. The analysis of the approximation errors of the finite inhomogeneities reflection coefficient characteristics by reflection coefficient characteristics of 6-inhomogeneities is fulfilled. Within the 6-approaching criteria the maximum (in magnitude) approximation error of finite inhomogeneities reflection coefficient is within about 15%.
Conclusions. Criteria of finite inhomogeneities approaching by 6-inhomogeneities limit the inhomogeneity width by one-twelfth of the wavelength and normalized wave impedance va-lues of electromagnetic and acoustic inhomogeneities should not exceed 0.5 or should be at least 2. By this criteria the maximum (in magnitude) error of 6-approaching of finite in-homoge-neities input impedance components is within about 30%, and the reflection coefficient — 15%.
Keywords: impedance inhomogeneity, impedance delta-inhomogeneity.
Вісник Національного технічного університету України «КПІ» Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування. — 2015. — №63
135
