CC BY
38
УДК 537.311.6:621.372
ВХ1ДН1 1МПЕДАНСН1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВОБАР'СРНИХ СТРУКТУР
Водолазька М. В., астрантка; Миколайчик О. В., магктрант;
Нелш €. А., д.т.н., професор
Нацгоналъний технгчний унгверситет Украгни «Кшвсъкий полтехнгчний ¡нститут», м. Кигв, Украгна, m.vodolazka@kpi. ua
INPUT IMPEDANCE CHARACTERISTICS OF DOUBLE BARRIER STRUCTURES
Vodolazka M. V., Postgraduate Student; Mykolaichyk O. V., Undergraduate Student;
Nelin E. A., Doctor of Engineering, Professor
National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine
Вступ
Двобар'ерш структури (ДБС) широко застосовують в рiзних техшчних областях. Ключовий ефект, що спостер^аеться в ДБС, i який е основою функщонування рiзноманiтних пристро1в обробки сигнаив — резонансне проходження, у тому чи^ резонансне тунелювання, хвиль з коефщентом проходження 7=1. Квантово-механiчна ДБС з резонансним тунелюванням електронiв (РТЕ) [1] — базова структура наноелектрошки. ДБС з РТЕ пок-ладено в основу резонансного тунельного дюда, що характеризуеться вщ'емним дiференцiйним опором та шшими нелiнiйними ефектами [2]. Резонансне тунелювання ^зь ДБС використовують для електромагнiтних [3, 4] та акустичних [5] хвиль. На основi ДБС конструюють оптичнi мшро-резонатори [1, 6].
Традицшно для моделювання ДБС, як i iнших хвильових структур, використовують матричний математичний апарат, що встановлюе зв'язок мiж полями падаючо!' та вiдбитоi хвиль [1, 6]. 1мпедансний пiдхiд [7, 8] до-зволяе суттево спростити виршення, у багатьох випадках ршення мае аналiтичний характер. В рамках такого тдходу фiзичнi властивостi хви-льовоi структури iлюструють iмпеданснi характеристики.
Метою статл е дослiдження особливостей вхщних iмпедансних характеристик ДБС, встановлення iмпедансних умов резонансного проходження, у тому чи^ резонансного тунелювання, хвиль.
Дельта-модель двобар'ерно'1 структури
На рис.1, а i 1, б показано ДБС та ii модель у виглядi двох iмпедансних 5-бар'ерiв. 1мпедансна 5-модель структури дозволяе отримати зручш для аналiзу аналггичш рiшення [9]. Розглянемо бар'ери в таких середовищах: середовище 1 — квантово-мехашчне, хвильовий iмпеданс бар'ера, нормо-
ваний до шпедансу зовшшнього середовища, визначаеться виразом Z = *J(E - V)m' / Em , де E — енерпя електрона; V — потенщальна енерпя
(висота бар'ера); m — ефективна маса електрона, штрих вщповщае зовнь шньому середовищу; середовище 2 — електромагштне або акустичне, Z = const. Параметри 1мпедансних 5-бар'ер1в у середовищах 1 i 2 позначи-мо нижшми iндексами 1 i 2.
а ^ Ефектившсть 5-бар'ера визначае константа
I—I I—I t а, що дор1внюе його «плонц». Товщина
I ^ > 5-бар'ера <2—»0. Для 5i-6ap'epa a = Va, V = a/a—>co, Z—>ioo; для 52-бар'ера a = Za, Z = а /a ^го.
Знайдемо вхiдний iмпеданс ДБС (рис.1, б), послiдовно визначивши iмпеданси Z1, Z2 i Z,.
Вхiдний iмпеданс 5-бар'ера визначаеться виразом [9]
Z1 = \ + 2щ. (1)
Для 5i-6ap'epa т|1 = а у/т' / 2Е / h [9]. Ана-ло-гiчно перетворенням [9], у випадку 52-бар'ера маемо ц2 =-ak /2, де к — хвильове число.
Як бачимо з (1), 5-бар'ер трансформуе iмпеданс зовшшнього середовища, вносячи реактивну складову. Знак «+» в (1) вщповщае знаку «+» у фазовому множ-
нику eikx прямо!' хвилi. У реактивному середовишд (наприклад, тунельному бар'ер^ к = i|к| i з вказаним знаком хвиля експоненцшно загасае. Оскiльки
в теорii радютехшчних кiл [10] у фазовому множнику знак «-», при аналiзi характеру реактивно! складово! вхiдного iмпедансу в радютехшчних тер-мiнах (емнiсний або шдуктивний) знак реактивно! складово! необхщно змiнити на протилежний.
Z2 Z\< 1
Рис. 1. ДБС та п 5-модель: a — ДБС; б — 5-модель ДБС, b — вщстань м1ж 5-ба-р'ерами, 1 — нормований
1мпеданс зовшшнього середови-ща, Z1, Z2 i Zi — нормоваш вхщш 1мпеданси правого 5-бар'ера, на правш меж1 л1вого 5-бар'ера i ДБС.
Вхщний iмпеданс Z2 визначаеться формулою
Z,
Z - iB
1
iZ1B
(2)
де B = tg9, ф = к'Ь — наб^ фаз мiж бар'ерами. Аналогiчно (1) для iмпедансу Zi маемо
Z = Z2 + 2in.
Поставивши в (3) вирази (2) i (1), пiсля перетворень отримаемо
(3)
1+Б2+41л[пБ (2цБ + 3) + 1]
--л л
(4)
(2цВ + 1)2 +
1мпедансна умова резонансного проходження ДБС (РТЕ для 5гбар'е-рiв) визначаеться узгодженням вхiдного iмпедансу ДБС з iмпедансом зов-нiшнього середовища:
Яе -1, 1т^ - 0, (5)
де Яе i 1т— активна i реактивна складовi . Умовам (5) вщповщае
Б --л
-1
(6)
що для 5l-бар'ерiв збiгаеться з вщомою формулою [1].
Вираз (4) «вщкривае» додатковi умови резонансного проходження ДБС. Друге з стввщношень (5) виконуеться не лише при (6), але i, якщо
Б --(2л)
-1
(7)
О
Позначимо випадки (6) i (7) як I i II. У випадку II Яе -1 + 4 л . Таким чином, резонансне проходження ДБС буде i у випадку II, якщо iмпе-данс зовшшнього середовища з однiеi з сторш ДБС дорiвнюе Яе .
Електромагнiтна та акустична двобар'eрнi структури
На рис. 2 приведено залежносп активноi i реактивноi складових входного iмпедансу ДБС на основi 52-бар'ерiв згiдно (4). Знак «-» перед ImZг■ обумовлений зазначеним вище знаком фази хвилi. Точки I i II вiдповiдають випадкам I i II. Залежностi шюструють значну трансформацiю вхiдного iмпедансу: активна складова змiнюеться вiд 45 до 0,2 (в межах рис. 2), а реактивна — вщ 29 до -16 i двiчi змiнюе характер.
1,0
40
20 Яе 2и -1т7г-
0
0,75 -
Т
0,5 -
0,25 -
3
Рис. 2. Залежносп активно'1' (1) 1 реактивно'!' (2) складових вхщного 1мпедансу ДБС. к - к', а-2Ь.
2,6
3,0
Ф
3,4
3,8
Рис. 3. Характеристики коефщ1ента проходження ДБС для випадюв I 1 II (вщиовщно 1 1 2).
В результат змщення ре-активно! складово! уверх резонанснi значення
ф
випадюв I i II знаходяться справа вщ максимуму Яе 2 т. Зазначимо, що
Яе гт * Яе г,т. (8)
Характеристики розглянуто! ДБС на рис. 3 шюструють резонансне про-ходження для випадюв I i II. Резонансне проходження обумовлене компен-сащею неоднорiдностей хвильових збурень на зовшшшх межах ДБС полем резонансно! стоячо! хвилi, сформовано! в ДБС [8]. Поле резонансно! стоячо! хвилi «узгоджуе» вхiдний iмпеданс ДБС з iмпедансом зовнiшнього середовища. Випадок I вщповщае узгодженню без трансформацi! iмпедан-су зовшшнього середовища, а випадок II — з трансформащею.
Рис. 4, а i 4, б iлюструють вiдповiднiсть iмпедансних характеристик ДБС зi скiнченними бар'ерами i !! 5-модел^
Рис. 4. Залежност вхщного 1мпедансу ДБС з1 скшченними бар'ерами (1) 1 !! 5-модел1
(2): а — активна; б — реактивна складов!, к = к', а = 2Ь, для ДБС з1 скшченними бар'ерами а=0,1Ь, що вщиовщае 7=20, вщстань м1ж скшченними бар'ерами 0,9932Ь. У випадку врахування втрат при поширенш хвилi постiйна поширення дорiвнюе у = -р + \к', де Р — коефiцiент загасання амплiтуди хвилi, i у фо-рмулi (3) В = -\ihyb. Втрати зменшують розмах iмпедансних характеристик i змiнюють умови узгодження. Так, при рЬ = 0,01 дiапазони змiни за-лежностей активно! i реактивно! складових вхiдного iмпедансу на рис. 2, розрахованих зпдно (1 - 3), дорiвнюють вiдповiдно 31...0,3 i 22...-9, а то-чцi I вщповщае значення Яе 2 = 1,53.
Умови узгодження при Яе 2 = 1 з урахуванням втрат можна знайти з залежностей активно! i реактивно! складових вхщного iмпедансу варiацiею в (3) параметра ал лiвого вiдбивача. У даному випадку ал = 1,62Ь i
__Г\
фт = 3,454, що вщповщае спiввiдношенню Лл -Л *4рЬ [11], отримано-му з умови оптимального зв'язку резонатора з падаючою хвилею [6].
Моделювання двобар'ерно'1 структури паралельним контуром
Характер залежностей на рис. 2 вщповщае паралельному коливальному контуру зi змiщенням уверх реактивно! складово!, обумовленим тдуктив-ним доданком в (3). Вхiдний iмпеданс паралельного контуру дорiвнюе [10]
- Яе5т(1- 1 Э , (9)
гк 1 + ^2
де £ - 2@8, 0 — добротнiсть, 5 - (/ - /0) / /0, /0 — резонансна частота. У даному випадку 5- (ф-ф0)/ ф0, де ф0 вiдповiдае ЯеZiт. При 0=78 зале-жностi активно! i реактивно! складових вхiдного iмпедансу - + 1ак спiвпадають з залежностями на рис. 2. Таким чином, ДБС можна моделю-вати паралельним контуром з послщовною реактивнiстю.
Виходячи з (9) i враховуючи (8), для коефiцiента вiдбиття вiд ДБС у випадку II маемо
^Яе Zi т - - 1(Х-^)
~ Яе^-т + Z; 2 + ^2 +1(х-^)'
де X - ак / Яе Ziт. Зi спiввiдношення Т 1 - \я\2 отримаемо
Т
1
1 + (£ / 2)2 +х(х-2$)/4(1 + ^2) Оскiльки третя складова набагато менша перших двох, маемо
Т
1
1 (10)
1 + (£ / 2)2 '
Вираз (10) вiдповiдае рiвнянню гранично! резонансною! криво! [10]. Характеристика зпдно (10) практично ствпадае з залежтстю 2 на рис. 3. Доброттсть характеристики (10) вдвiчi менша добротносл характеристики активно! складово! вхiдного iмпедансу ДБС. Таке зменшення обумовлене тим, що активна складова враховуе втрати випромтювання ДБС лише у прямому напрямку, а коефщент проходження — i у протилежному. Можна показати, що, незважаючи на рiзнi хвильовi iмпеданси середовищ з рiз-них сторiн ДБС, модулi коефщенлв вiдбиття вiд лiвого i правого бар'ерiв зi сторони резонаторно! порожнини ДБС приблизно однаковi, тому i втрати випромiнювання ДБС в рiзних напрямках приблизно однаковi. При уз-годженнi амплiтуда хвилi, що випромшюеться у протилежному напрямку, ствпадае з амплггудою вiдбитоi вiд ДБС хвил^ а фази цих хвиль протиле-жнi, в результатi вщбуваеться компенсацiя вiдбитоi хвилi.
Квантово-механiчна двобар'ерна структура
На рис. 5 приведено характеристики 5-моделi ДБС на основi 51-бар'ерiв
зпдно (4). Внаслщок емшсного доданка в (3) реактивна складова змiщена вниз i власнi значення випадкiв I i II знаходяться злiва вiд Яе 2 m.
На рис. 6 показано залежнють коефiцiента проходження ДБС зi скш-ченними бар'ерами у випадку I. Як бачимо, РТЕ спостер^аеться при двох рiвнях енергп. Оскiльки коефiцiент вiдбиття вщ тунельного бар'ера близь-кий до одинищ, добротнiсть резонансних характеристик ДБС дуже висока.
0
20 "
10
Яе
-1т2,
0
-10
-20
0,25
4
0,3 0,35 Е, еВ
Рис. 5. Залежносп активно! (1) 1 реактивно! (2) складових вхщного ¡мпедансу ДБС.
а=0,5 еВнм, Ъ=1 нм, т = т' = т, де т0 —
0
0,06
0,18 0,24
0,12 Е, еВ
Рис. 6. Характеристики коефщ1ента проходження ДБС. К=0,24еВ, а=Ъ=2,5нм, т = т' = щ.
маса електрона.
Рис. 7 шюструе iмпедaнснi характеристики ДБС з параметрами рис. 6. Характер залежносп активно! складово! повторюе характер залежносп ко-ефiцiентa проходження. Поблизу власних значень активна складова значно збшьшуеться, що вщповщае зростанню штенсивносл хвилi, яка проходить крiзь ДБС. Удалечиш вiд власних значень реактивна складова мае емшс-ний характер, причому 1т 2 >> Яе 2.
0 -
-4 -
Ьв(Яе2г)
-12
0 -4
-12
I I I
/Г'
I ■ I
б
0,06 0,12 0,18 0,24 Е, еВ
0,06 0,12 0,18 0,24 Е, еВ
Рис. 7. Залежносп вхщного ¡мпедансу ДБС: а — активна; б — реактивна складов!. На рис. 8 приведено характеристики ДБС, що розглядаеться, поблизу
0
0
першого власного piBM. Як бачимо, характер iмпедансних залежностей вщповщае рис. 5. Характеристики проходження на рис. 8, б шюструють РТЕ для випадюв I i II.
Рис. 8. Характеристики ДБС поблизу першого власного piвня: а — активна (1) та реактивна (2) складов^ б — коефщент проходження для випадюв I i II (вiдповiдно 1 i 2).
Висновки
Вхiднi iмпеданснi характеристики двобар'ерних структур дозволяють проанаизувати хвильовi властивостi таких структур, встановити iмпеданс-нi умови резонансного проходження, у тому чи^ резонансного тунелю-вання, хвиль. В pезультатi анаизу особливостей вхiдних iмпедансних характеристик встановлено умови резонансного проходження для ДБС, роз-мщено! мiж хвильовими середовищами з piзними iмпедансами. Становить штерес дослiдження вхiдних iмпедансних характеристик шших хвильових мiкpо- i наноструктур.
Перелж посилань
1. Markos P. Wave Propagation From Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials / P. Markos, C. M. Soukoulis. — Princeton and Oxford: Princeton University Press, 2008. - 352 p.
2. Nguyen H. S. Realization of a double-barrier resonant tunneling diode for cavity polaritons / H. S. Nguyen, D. Vishnevsky, C. Sturm et al. // Phys. Rev.Lett. - 2013. - Vol. 110. - 236601.
3. Seo K. C. Spin filtering in an electromagnetic structure / K. C. Seo, G. Ihm, K.-H. Ahn et al. // J. Appl. Phys. - 2004. - Vol. 95, No. 11. - pp. 7252—7254.
4. Hayashi S. Observation of resonant photon tunneling in photonic double barrier structures / S. Hayashi, H. Kurokawa, H. Oga // Opt. Rev. - 1999. - Vol. 6, No. 3. - P. 204210.
5. Qiu C. Mode-selecting acoustic filter by using resonant tunneling of two-dimensional double phononic crystals / C. Qiu, Z. Liu, J. Mei et al. // Appl. Phys. Lett. - 2005. - Vol. 87, No. 10. - pp. 104101-104103.
6. Городецкий М. Л. Основы теории оптических микрорезонаторов / М. Л. Городецкий. - М. : МГУ, 2010. - 203 с.
7. Khondker A. N. Transmission line analogy of resonance tunneling phenomena: The generalized impedance concept / A. N. Khondker, M. R. Khan, A. F. M. Anwar // J. Appl.
Phys. - 1988. - Vol. 63, No. 10. - P. 5191;5193.
8. Нелин Е. А. Импедансная модель для "барьерных" задач квантовой механики / Е. А. Нелин // УФН. - 2007. - Т. 177, №3. - С. 307-313.
9. Нелш С. А. Квантово-мехашчш структури з дельта-функщональним потенща-лом / С. А. Нелш, М. В. Водолазька // ^yKOBi вют НТУУ «КП1». - 2013. - № 4(90). -С. 137—144.
10. Зернов Н. В. Теория радиотехнических цепей / Н. В. Зернов, В. Г. Карпов. - Л. : Энергия, 1972. - 816 с.
11. Водолазская М. В. Модель импедансных дельта-неоднородностей для микро- и наноструктур / М. В. Водолазская, Е. А. Нелин // Известия вузов. Радиоэлектроника. -2014. - Т. 57, №5. - С. 25-34.
References
1. Markos P. and Soukoulis C. M. (2008) Wave Propagation From Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton and Oxford: Princeton University Press, 352 p.
2. Nguyen H. S., Vishnevsky D., Sturm C., Tanese D., Solnyshkov D., Galopin E., Le-maitre A., Sagnes I., Amo A., Malpuech G. and Bloch J. (2013) Realization of a double-barrier resonant tunneling diode for cavity polaritons. Phys. Rev. Lett., Vol. 110, pp. 236601.
3. Seo K. C., Ihm G., Ahn K.-H. and Lee S. J. (2004) Spin filtering in an electromagnetic structure. J. Appl. Phys., Vol. 95, No. 11, pp. 7252-7254.
4. Hayashi S., Kurokawa H. and Oga H. (1999) Observation of resonant photon tunneling in photonic double barrier structures. Opt. Rev., Vol. 6, No. 3, pp. 204-210.
5. Qiu C., Liu Z. and Mei J. (2005) Mode-selecting acoustic filter by using resonant tunneling of two-dimensional double phononic crystals. Appl. Phys. Lett., Vol. 87, No. 10, pp 104101-104103.
6. Gorodetskii M. L. (2010) Osnovy teorii opticheskikh mikrorezonatorov [Fundamentals of the theory of optical microcavities]. Moscow, MHU, 203 p.
7. Khondker A. N., Khan M. R. and Anwar A. F. M. (1988) Transmission line analogy of resonance tunneling phenomena: The generalized impedance concept. J. Appl. Phys., Vol. 63, No. 10, pp. 5191—5193.
8. Nelin E.A. (2007) Impedance model for quantum-mechanical barrier problems. Physics-Uspekhi, Vol. 50, No. 3, pp. 293-299.
9. Nelin E. A. and Vodolazka M. V. (2013) Kvantovo-mekhanichni struktury z del'ta-funktsional'nym potentsialom [Quantum-mechanical structures with delta-functional potential]. Naukovi visti NTUU«KPI», no. 4, pp. 137-144.
10. Zernov N. V. and Karpov V. G. (1972) Teorija radiotehnicheskih cepej [Radio circuits theory]. Leningrad, Energiya Publ., 816 p.
11. Vodolazka M. V. and Nelin E. A. (2014) Model of impedance delta-inhomogeneities for micro- and nanostructures. Radioelectronics and Communications Systems, Vol. 57, No. 5, pp. 208-216.
Водолазька М. В., Миколайчик О. В., Нелш С. А. Bxidni 1мпеданст характеристики двобар'ерних структур. В cmammi досл1джено особливост1 вх1дних iмпедансних характеристик двобар 'ерних структур. Розглянуто модель двобар'ерног структури у виглядi двох iмпедансних 5-бар 'ерiв у квантово-мехатчному, електромагнтному та акустичному середовищах. Отримано аналтичш вирази для вхiдного iмпедансу. Вста-новлено та проаналiзовано iмпеданснi умови резонансного проходження, у тому чи^i резонансного тунелювання, хвиль.
Ключовi слова: резонансне проходження, резонансне тунелювання, двобар'ерна структура, 5-бар 'ер.
Водолазская М. В., Миколайчик А. В., Нелин Е. А. Входные импедансные характеристики двухбарьерных структур. В статье исследованы особенности входных им-педансных характеристик двухбарьерных структур. Рассмотрена модель двухбарьер-ной структуры в виде двух импедансных 8-барьеров в квантово-механической, электромагнитной и акустической средах. Получены аналитические выражения для входного импеданса. Установлены и проанализированы импедансные условия резонансного прохождения, в том числе резонансного туннелирования, волн.
Ключевые слова: резонансное прохождение, резонансное туннелирование, двухба-рьерная структура, ¿¡-барьер.
Vodolazka M. V., Mikolaychik O. V., Nelin E. A. Input impedance characteristics of double barrier structures.
Introduction. Double barrier structures (DBSs) are widely used in different technical areas. In the paper the features of input impedance characteristics of DBS are investigated and conditions of resonant passing, including resonant tunneling, of waves are set.
Delta-model of double barrier structure. A model of DBS in the form of two impedance ¿-barriers in quantum-mechanical, electromagnetic and acoustic media is considered. Analytical expressions for the input impedance characteristics are received. Impedance conditions of resonance passing of waves through DBS are obtained. New condition of resonance passing through DBS is set.
Electromagnetic and acoustic double barrier structures. Dependences of input impedance active and reactive components and transfer coefficient of DBS are given. Accordance of DBS characteristics with finite size barriers and its ¿-model is analysed. The analogy of DBS and parallel oscillatory circuit is set.
Quantum-mechanical double barrier structure. Dependences of input impedance and transfer coefficient of quantum-mechanical DBS are given. Character of active component dependence is similar to transfer coefficient characteristic. Resonance transfer characteristics have very high quality factor.
Conclusions. Input impedance characteristics of DBS allow to analyse wave properties of such structures, set the conditions of resonant passing, including resonant tunneling, waves. By analysing the input impedance characteristics conditions of resonant passing for DBS, located between media with different wave impedances, were determined.
Keywords: resonant passing, resonant tunneling, double barrier structure, ¿-barrier.
