CC BY
15
Visnyk N'l'UU KP1 Seriia Radiolekhnika tiadioaparatobuduummia, "2017, Iss. 69, pp. 72—77
УДК 621.372.542.21
Дельта-модел! реактивних радюелемен'пв та фшьтр!в нижшх частот
Нелгн 6. А., Шульга А. В., Згнгер Я. Л.
Нацншалышй тохшчшш ушворситот Укра'ши "Кшвський иолггохшчшш шститут ¡Moiii 1горя СЛкорського"
E-mail: a.l-iaehok&kpi.ua
Запропоновано модел! реактивних радюелеменив, назван! ¿-моделями, яш на в!дмшу в!д традшцйних не мають частотпих обмежепь. Викоиапо пор1впяппя характеристик традициших моделей реактивних радюелеменив та ¿-моделей. Представлено ¿-модел! ф!льтр1в нижни частот. Виходячи з ¿-модел! показана можлшмсть шдвищеппя виб1рпост1 ф!льтр1в.
Клюноаг слова: реактивпий радюелемепт: дельта-модель: ф!льтр пижшх частот
Вступ
У тео1Л1 систем розр1зняють два загалышх кла-си систем: 1) системи на основ1 елеменпв 1з зосереджеиими параметрами: 2) системи на основ1 елеменпв 1з розиодшеиими параметрами [1]. В1д-поввдно до ирийнято! термшолоп! сам1 елемеити 1 системи иазивають зосереджеиими та розиодшеиими. Модсл1 зосереджеиих 1 розподшених систем використовують при моделюванш р1зномаштних за своею природою систем: електричних. електрома-гштних. мехашчних. бюлопчних, комушкацшних. сощалышх 1 т. д. Останшм часом злачного розвитку набули хйкро- 1 нанослектромехашчш системи [2].
Функщонування зосередженого елемента пов-шетю визначаеться його зовшшшми характеристиками в термшах вхщних-вихвдних сшвввдно-шень [3]. Сукупшсть пов'язаних зосереджеиих оломгатв утворюе зосореджоиу систему. Лпш. що зв'язують елемеити. вказують лише на тополои-чш сшвввдношсння. <Мзичш розм1ри та мкця роз-ташування елеменпв не враховуються. Математи-чно така система оиисуеться системою звичайних диферонщалышх р1внянь. а динахнчний режим 11 функщонування за допомогою едино! нозаложнем змшно1 часу.
При необхвдносп врахування особливостой вну-тршшього функщонування елемента вш розглядае-ться як розподшений. Вщиоввдно. анатзуеться роз-подшена система або вщлшуеться польова задача. У розиодшешй систем! просторовий розхйр елемента стае складовою системи 1 новою незаложною змшною. Розиодшена система оиисуеться системою диферонщалышх р1внянь в частинних похвдних.
Значний розвиток зосореджеш 1 розподшеш системи мають в радкхгехшщ як кола з зосереджеиими та розиодшеиими параметрами. Щлм моделей
зосереджеиих реактивних радюелементав (дал1 оле-ментав) використовуються також модат кваз1зосе-роджених реактивних елеменпв на основ1 вщлзшв лпш передач! [4]. Як иернп. так 1 друп модат на-ближеш та обмежеш по частот. оскшьки довжииа олемоита повиииа бути значно меишою довжини хвиль В теоретичному 1 прикладному плаш значний штерес стаиовить можливкть точного моделювання реактивних елементав без обмежонь по частот.
Цшь статт полягае у розробщ моделей реактивних елеменпв, названих ¿-моделями, без частотних обмежонь. у застосуванш цих моделей для фшкцлв нижшх частот, у пор1внянш коми'ютерним модолю-ванням частотних характеристик запропонованих та традшцйних моделей.
1 Традицшш модел1 реактивних елемеишв
Модат зосеродженнх реактивних елементав використовуються в кат з зосереджеиими параметрами. У такому кол! шдуктившеть та емшеть зосореджеш на окремш дшянщ завдовжки I. У кол1 з розиодшеиими параметрами (довпй jiiiiii* (ДЛ)) за певннх умов реактивпий елемент можо вважатися кваз1зоссредженим на окромому вщлзку ДЛ. На рис. 1 наведено ланки. екв1валентш вщлзку ДЛ. Елементи П- i Т-иод1бно1 ланок визначаються ви-разами [4]:
Хц = iZsin Вп =\Z-1 tan ip/2 XT = i Z tan y>/2, Вт = iZ-1 sin
Д<;лыа-модо.;и роактишшх радюоломонтш та фшьтрш иижшх частот
73
де шдекси <<П»- 1 «Т»- ввдповвдають <<П»- 1 <<Т»-под1бнш ланкам; 1 = I; Z - хвильовий 1мпеданс ввдр1зка; ф = к1, I - довжина в1др1зка; к = 2-к/Х, \ -довжина хвиль
X XX
iYV^^-о о—ПГГ\__ГЧУ~\_о
-1- в
-1- в
(а)
(б)
Виходячи з (6) отримаемо
Ь' = ^
V
dL
С' = ^
dr
dC
I
(а)
(7)
dg
Рис. 1. П- 1 Т-подобш ланки, екв1валентш вщнзку
ДЛ.
Оскшьки для традищйних моделей зоссредже-них 1 кваз1зоссрсджсних реактивних слеменпв ви-конуеться умова
I < А, (2)
щ модел1 наближеш \ 1х застосування обложено верхньою граничною частотою.
У раз1 виконання умови (2) вирази (1) приймуть вигляд
Хп - 1^,
Вп - ^-1^/2
хт -1г^/2, вт -1г-1<р.
(3)
У випадках 2 << Za \ 2 >> ^о, де Z 0 — хвильовий 1мпеданс ДЛ, в П \ Т-иод1бнш ланках не враховуються емноста та шдуктивноста ввдпо-ввдно. У результат! залишаеться лише поатдовна шдуктившеть 1 паралельна емшеть, яш зидно з (3) визначаються виразами
V
- - Ь
(4)
де у — фазова швидкшть хвшл.
2 Дельта-модел1 елемент1в
<ь = ь'<1, <с = с'<1,
(5)
де Ь', С' — иогонш шдуктившеть та емшеть.
Хвильовий 1мпеданс та фазова швидшеть хвшл в ДЛ без втрат дор1вшоють [5]
Ь'
~С<'
% = \ -ГГ., V =
{ш'
(6)
I
■*-*
гъ
I
■*-►
2н
(б)
Рис. 2. Екв1валентна схема нескшчснно короткого вщлзка ДЛ (а), 1миедансш бар'ер та яма скшчснних
У результат! подстановки (7) в (5) маемо
а Ь
г <1
(8)
реактивних
На рис. 26 показано 1миедансш нсоднорвдносп скшчснних розм1р1в завширшки, яш, враховуючи характер 1мпедансно1 залежность назвемо 1мпсдан-сними бар'ером та ямою. Малими буквами «т» по-значено нормоваш до Zo 1миеданси, шдекси «в» та «н» вщповщають високому та низькому (вадносно 1) 1миедансам. Нормування викоиаио для спрощеиия подалыпих перетвореиь.
Спрямуемо I ^ <1, ^ <х \ тя ^ 0, причому гъ<1 = а^, а г—1<1 = ас, де а^,с — константи. Щ
частинах сшвввдношснь (8) величини скшченш 1 щ сшввадношоння приймуть вигляд:
Розглянемо екв1валеитиу схему носкшчонно ко-
<
Тут ёЬ, <С, ёг 1 dg — зосереджен1 неск1нченно мал1 елементи: шдуктившеть, емшеть, ошр 1 про-в1дн1сть в1дпов1дно. Оп1р 1 провадшеть враховують втрати. Для шдуктивност1 1 емносп маемо
Ь
аLZ0
С =
ас
(9)
V Z§v
ст1; тут \ дал1 шдекси «Ь» та «С» в1дповвдають шду-ктивност1 та емност1. Назвемо щ модел1 реактивних
в точш, тому на ввдмшу ввд традищйних моделей
по частот.
а
ОО
z
В
z
Н
74
Hojiiii 6. Л., Шульга Л. В., Зшгор Я. Л.
а
1 воличиш шдуктивносп або емность На вщмшу ввд звичайних граф1чних иозначень реактивних оломен-
ня мЬк значениями реактивностей схеми.
Дольта-модол1 реактивних оломонтв доповшо-
зволяють скористатися зручними модолышми вла-
Для реактивних слсмсппв скшчснних рстпр1в константи аь,с дор1внюють аь = 1 ас = г-1/; у формулах ( ) знак змшиться з «=» на знак ««» \ вони сшвпадуть з виразами (4).
Виходячи з (9) нормоваш вхвдш1мподанс \ адмь
ться виразами
zs = 1 +i Г]Ь, gs = 1 +i Г]С,
1 - zs r = --.
1 + z¿
Поставивши в (11) вирази (10). отримаемо
гь =
re
"i VL
2 + Щь ir/ с
=
1
\¡1 + (v/2)2
=
/
1 + tan2 p
1 + [(z + z-1) tan p/2]2 '
(10)
ims, im
4 3 2 1 0
де vl,c = al,ck.
Коофшдент вадбиття в1д реактивних оломонтав в
10 0 10 20 30
(а)
(И)
ts, t дБ
(12)
2 + i^c
Як видно з ( ), при аь = ас та однаковому зна-
яка визначаеться модулем коофшдента вадбиття.
Коофшдент проходжеиия реактивних оломонтав дор1внюе t = \J1— | г |2. Виходячи з ( ) для 5-модол1 отримаемо
0,5 0,08
(б)
0,75 0,12
Н St, %
30 - 20 ; 10
Ф 1
де г] = r]L,c-
Для моделювання розподшеного характеру реактивних властивостой зосередженого реактивного оломонта CKÍii4eiiiiiix po3MÍpÍB представимо його коротким вщлзком ДЛ. замшивши в cxomí рис. 2а нескшченно малу величину di скшченною малою
кваз1зосороджоний реактивний елемент.
3 формули для видного 1мподансу вщлзка ДЛ можна показати. гцо реактивна складова вхадних 1миодансу i адштансу вщлзка (для шдуктивносп i cmiioctí ввдповвдно) дор1вшое
±(z — z-1) tan p
г m = -г-2-,
1 + z^2 tan2 p
де верхн1 знаки з «±» i ввдносяться до шду-ktiibiioctí. нижш до cmiioctí. а коофщент проходжеиия вщлзка ДЛ визначаеться формулою
Рис. 3. Залежносп реактивних складових вхщшх 1миоданса та адмианса (а) та коофщента проходже-ння (б) реактивних елеменпв зпдно (5-модел1 (img та t¿, суцшьш лшй') i модел1 вщ1зка ДЛ (штри-xobí лшй°) та вщгосно1 похибки модол1 вщлзка ДЛ (з урахуванням знака ввдхилоння) для реактивно! складово! i коефщента ироходження (5im, St штри-хпунктирш лшй'). I = I/X, 1 — z = 2, 5 або 0,4, 2 — z = 5 або 0, 2.
Заложносп на рис. 3 шюструють взаемну вщ повщисть реактивних складових вхщшх 1миоданса та адмианса i коофщента ироходження роактив-
сшввщношеннями а = z±1l i г/ = z±1p, де знак «+» з «±» ввдповщае z > 1, а знак «—» — z < 1. Як бачимо, 3Í збшыненням частоти похибки Sim i St, як
= 0, 1 z
дор1внюють 2, 5 i 5, значения Sim i St становлять 10 Í7%i33i12% ввдиовщно.
0
Д<;льта-мод<;.;и роактишшх радюоломонтш та фшьтрш нижшх частот
75
На рис. представлено залежност /(z). При елементав нормовано так, що go = 1 i кутова грани-задапому значенш 5t 3i збшыпеппям z гранична чна частота смуги пропускания фшьтра-прототипу частота зростае за умовою ( ). = 1.
Г
II
о
0,5 2
0,167 6
0,1 10
або
'S-
(n парне)
(n непарне)
(а)
---CYYV-
I__м
або
(n парне)
(n непарне)
(б)
Рис. 4. Залежносп нормовано! довжини реактивного елемента скшчеппих po3MipiB при 5t = 10 20 i 30% (1, 2 i 3 в1дпов1дно) 0 < у < к/2.
Вертикальна лпия I вщповщае ннжньому i верх-ньому граничним значеннням хвильових 1мпедан-ciB традшцйних мшросмужкових кваз1зосередже-них реактивних ел сменив, а лпш II i III ннжньому i всрхньому граничним значеннням скв1валснтних хвильових 1миеданс1в мшросмужкових кваз1зоссре-джених реактивних слеменпв на основ! тривтир-них неоднорвдностей [7,8]. Традицшш елемеити секцй' мшросмужково! jiiiiiT з широким i вузьким мпсросмужковим провшпиком (Zo = 50 Ом, грани-чш значения 1мпедапав 20 i 125 Ом). Трившшрш неоднорщносп отвори: глухий мотатзований в основ! та наскр1зний з нависним вузьким провщ-ником (граничш значения 1мпедапшв 4 i 400 Ом). Як бачимо, для традицшпих елеменпв St > 20, %. При St = 30, % граничним значениям 1мпедапшв цих елемеппв вщповщае лише I = 0, 04. Трившупр-iii елементн мають помтго меншу иохибку i бшып високу граничну частоту, оскшьки вони ближч1 до ¿-моделей.
3 Дельта-модел1 фшьтр1в ни-жшх частот
Рис. 5. Схема багатоланкового фшьтра-прототипу нижшх частот (а) та його дуальна схема (б).
Значения шдуктивностей i емностей фшьтра зв'язаш 3i значениями gj формулами [ ]:
Пс
Li = 7o— gi ,Ci = 7o
1
— gi, шг
(13)
де 7о = Zo/go, якщо go — onip, 70 = Zogo, якщо go — проввдшеть, Zo — onip джерела сигналу (у даному випадку хвильовий 1мпеданс ДЛ); шс = 2^/с, fc — гранична частота смуги пропускания фшьтра.
3 урахуванням (9), з (13) отримаемо
gi кг
(14)
де кс — хвильове число на частот! ]с. Таким чином, ¿-модел1 реактивних елеменпв безиосередньо зв'язаш з модоллю фшьтра-прототипу.
На рис. зображепо ¿-модат фшьтр1в для схеми рис. б при п = 31 п = 5. Вадсташ мЬк ¿-моделями реактивних елементав показано умовно. Значения g¿ для цих випадшв наведено в табл. 1 [4].
Z1 -
Розглянемо впкорпстання ¿-моделей реактивних оломонтв для моделювання фшьтр1в нижшх частот. На рис. 5 приведено схеми багатоланкового фшьтра-прототипу нижшх частот [ ]. Величина г = 1...п являе собою шдуктившеть посладовно! котушки ш-дуктивносп або емшеть паралельного конденсатора, п — число реактивних елеменпв. Якщо gl — емшеть або шдуктившеть, то go вщиовшае опору або провщносп джерела сигналу. Аналоично, якщо gn — емшеть або шдуктившеть, то gn+l вщиовщ-ае опору або провщносп наваптажепня. Величипи де Р = ///с-
(а)
(б)
Рис. 6. Дольта-модат фшьцлв з характеристиками Баттерворта (а) та Чебишова (б), zi i z2 — Bxi-дш 1мпеданеи на л1вш меий ¿-моделей реактивних ел сменив фшьтра.
Оскшьки цi = aik, то виходячи з (14) маемо
Vi = giF, (15)
g
g
g
g
g
g
g
н
в
с
ал =
Z
2
76
Нолш €?. Л., Шульга Л. В., Зшгор Я. Л.
Табл. 1
Тип характеристики п ё1 ё2 ёз ё4 ё5
Баттерворта 3 I, 0000 2,0000 1,0000
5 0, 6!80 I, 6!80 2,0000 I, 6!80 0, 6I80
Чебишова, р1вень пульсацш 0, I дБ 3 I, 03I6 I, I474 1,03!6
5 I, I468 I, 37I2 I, 9750 I, 37I2 I, I468
модел1 фшьтра при п = 3 у загальиому випадку. Виходячи з ( ), для вхвдних 1мпеданав г2
(рис. 6а) отримаемо
Т1-1 =
I
+ 111с,
(16)
1+1Щ
г2 = г1 + щь. 31 сшввщношонь
I — г2
Д = 1-2,
I + г2 Т = л/1- | Д |2,
де Д 1 Т — коефщенти ввдбиття 1 ироходження, виходячи з (16) у результат! поротворонь маемо
Т =
2
-/4 + {2г]Ь -цс)2 \цс(2 + г]ь2) — Ць]'
(17)
я, дБ
-10
-20
-30
0
2
4
6
F
Т--
I
уДТ
На рис. 7 наведено амшптудно-частотш характе-
(ввдповадно до виразу (17)) для схоми рис. 76. 3 урахуванням впливу емностей в « Л^>-под1биш ланщ та шдуктивностей в «Т» - под1бнш, яш не вра-ховуються в моделях кваз1зосороджоних слсмснпв, 1мподанси реактивних оломонпв скориговано: шду-ктивних зменшено на 6, 7 %, а емшеного збшыиено на 13,6 %. У смуз1 пропускания АЧХ збшаються (див. вр1зку на рис. 7).
Дольта-модол1 реактивних ел сменив «шдказу-ють» ршоння, що дозволяють шдвшцити виб1ршсть фшьтра: рсактивш елементи мають бути ближч1 до
для цього необхщно зменшити значения гн. Такш 2
ку корскщя 1мисданав така: 1мисданс шдуктивних елементав зменшено на 8,6 %, а емшеного збшыиено на 2,9 %. В АЧХ 2 у иор1внянш з АЧХ I частота
3, 44
6, 85, а значения мшмуму зменшуеться з —15, 6 дБ до —34, I дБ. При цьому розьйри фшьтра мении в два рази.
§я ,%г
1
3
5 F
Рис. 7. АЧХ фшьтра Чебишова (I 2) та його 3-модел1 (3). I — гн = 0, 4, 2 — гн = 0, 2. Параметры ¿-модат: ас = г-1/, аь = рас, р = g1/g2• Для еле-монпв скшчснних розм1р1в ввдношення однакове.
У раз1 характеристики Баттерворта виходячи з (14) 1 табл. 1 маемо ас = 2а^ . При цьому цс = 2ць \ з виразу (17) отримаемо
(18)
Зпдно (15), для характеристики Баттерворта ць = Р- Як 1 очшувалося, вираз ( ) ввдповвдае
п = 3
I _ 2н = 0,4; 2 — г„ = 0, 2.
модат при гн = 0, 2 штотно ширший у иор1внянш з випадком гн = 0,4. Значению ¿„ = 20% щи гн = 0,4 1^=0, 2 в1дпов1дають частота I, 23 1 5, 27.
Висновки
ввдмшу вщ традищйних моделей не мають часто-
The dolta-modols of reactive olomonts and low-pass filters
77
тних обмежень. У граф1чному зображенш ¿-модел1 реактивного елемента сумщсш позначення характеру peaKTHBiiocTi i i"i чнеельне значения. Дельта-модсл1 «шдказують» piniciiira, гцо дозволяють шд-внщити Bii6ipnicTb фшьтр1в нижшх частот.
Перелж посилань
1. Doobolin Е. О. System dynamics: modeling, analysis, simulation, design / E. O. Doobolin. N. Y. : CRC Press. 1998. 759 p.
2. Leondes С. Т., od. Mems/Nems: handbook techniques and applications, Vol. 1 / С. T. Leondes, ed. N. Y.: Springer. 2006. 387 p.
3. Vemuri V. Modeling of complex systems: an introduction / V. Vemuri. N. Y.: Academic Press, Inc. N. Y.: Springer. 1978. 447 p.
4. Hong .I.-S. Microstrip Filters for RF/Microwave Applications / .I.-S. Hong. N. Y. : Wiley. 2011. 656 p.
5. Зериов H. В. Теория радиотехнических цеией / H. В. Зериов, В. Г. Карпов. Л. : Энергия. 1972. 816 с.
6. Нелш С. А. Водолазская М. В. Модель имиедаисиых дольта-иеодиородиостей для микро- и наноструктур / М. В. Водолазская, Е. А. Нолии // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2014. Т. 57, № 5. С. 25-34.
7. Назарько А. 11. Двухфазный электромагнитный кристалл / А. 11. Назарько, Е. А. Нелии, В. 11. Поисуй, Ю. Ф. Тимофеева // Письма в ЖТФ. 2011. Т. 37, № 4. С. 81-86.
8. Нелии Е. А. Высокоэффективные электромагиитио-кристаллические неоднородности / Е. А. Нелии, А. И. Назарько // ИСГФ. 2013. Т. 83, № 4. С. 146-148.
References
[1] Doobolin Е. О. (1998) System dynamics: modeling, analysis, simulation, design, CRC Press, 759 p.
[2] Leondes C. T., ed. (2006) Mems/Nems: handbook techniques and applications, Vol. 1, Springer, 387 p. DOl: 10.1007/Ы36111
[3] Vemuri V. (1978) Modeling of complex systems: an introduction, Academic Press Inc., 447 p. DOl: 10.1016/B978-0-12-716550-9.50010-8
[4] Hong .I.-S. (2011) Microstrip Filters for RF/Microwave Applications, Wiley, 656 p. DOl: 10.1002/9780470937297.scard
[5] Zernov N. V. and Karpov V. O. (1972) Teoriya radiotekhni-che.ski.kh tsepei [The Theory of Radio Engineering Chains], Leningrad, Energy, 816 p.
[6] Vodolazka M. V. and Nelin E. A. (2014) Model of impedance delta-inhomogeneities for micro- and nanostructures. Radioele.ctroni.es and Communications Systems, Vol. 57, No. 5, pp. 208-216. DOl: 10.3103/s0735272714050033
[7] Nazarko, A. 1., Nelin, E. A., Popsui V. 1. and Timofeeva Yu. F. (2011) Two phase electromagnetic crystal. Technical Physics Letters, Vol. 37, No. 2, pp. 185 187. DOl: 10.1134/sl063785011020283
[8] Nelin E. A. and Nazarko A. 1. (2013) Effective electromagnetocrystalline inhomogeneities. Technical Physics, Vol. 58, No. 4, pp. 612 614. DOl: 10.1134/sl063784213040166
Дельта-модели реактивных радиоэлементов и фильтров нижних частот
Нелии Е. А., Шульга А. В., Зингер Я. Л.
Предложены модели реактивных радиоэлементов, названные ¿-моделями, в отличие от традиционных не имеющие частотных ограничений. Проанализировано взаимное соответствие характеристик традиционных и ¿-моделей. Представлены ¿-модели фильтров нижних частот. Исходя из ¿-модели показана возможность повышения избирательности фильтров пижпих частот.
Ключевые слова: реактивный радиоэлемент: дельта-модель: фильтр пижпих частот
The delta-models of reactive elements and low-pass filters
Nelin, E. A., Shulha, A. V., Zinher, Ya. L.
Frequency limitations of lumped and distributed reactive elements traditional models are considered. Based on equivalent ciruit. of infinitely short, transmission line section inductance and capacitance models with properties correspond to delta-function are received. These models called delta-models are without frequency restrictions. In the delta-model graphic designation delta-function length is directly proportional to inductance or capacitance value. Unlike to ordinary graphic designations delta-models allow to represent scheme reactivities values ratios. Traditional models and delta-models reactive elements frequency characteristics are compared. It is found that because of frequency limitations traditional planar microstrip quasi-lumped reactive elements characteristics have substantial errors. Considerable reduction of errors is ensured by microstrip quasi-lumped reactive elements on the basis of three-dimensional inhomogeneities. Based on reactive elements delta-models But.terwort.h and Cliebyshev low-pass filters delta-models are presented. Low-pass filter delta-model "prompt" possibility of filter selectivity increasing. Frequency characteristics of Cliebyshev low-pass filter designed on traditional planar microstrip quasi-lumped reactive elements and three-dimensional inhomogeneities are given.
Key words: reactive element.: delta-model: low-pass filter
