КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 32. № 3. C. 55-64. ISSN 2079-6641

УДК 517.956.6 Научная статья

Краевая задача со смещением для обобщенного уравнения Трикоми со спектральным параметром в неограниченной области

Р. Т. Зуннунов1, И. У. Хайдаров2

1 Институт Математики имени В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, ул. Университетская 4 Б, 100170, Республика Узбекистан

2 Ферганский государственный университет,

г. Фергана, ул. Мураббийлар 19, 150100, Республика Узбекистан. E-mail: zunnunov@mail.ru, ibrohimbek@mail.ru

В данной работе для обобщенного уравнения Трикоми со спектральным параметром в неограниченной области эллиптическая часть которой является горизонтальной полосой исследуется задача со смещением на характеристиках разных семейств. Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии, а существование решения задачи методом функций Грина и методом интегральных уравнений.

Ключевые слова: задача со смещением, обобщенное уравнение Трикоми, уравнение смешанного типа, неограниченная область, метод функций Грина, метод интегральных уравнений, метод интегралов энергии.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-55-64

Поступила в редакцию: 10.09.2020 В окончательном варианте: 10.10.2020

Для цитирования. Зуннунов Р. Т., Хайдаров И. У. Краевая задача со смещением для обобщенного уравнения Трикоми со спектральным параметром в неограниченной области // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 32. № 3. C. 55-64. DOI: 10.26117/2079-66412020-32-3-55-64

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Зуннунов Р. Т., Хайдаров И. У., 2020

Введение

В большинстве работ, где изучены задачи со смещением для уравнений смешанного типа, рассмотрены модельные уравнения или линейные уравнения со специально подобранными коэффициентами при младших производных. Как известно, А. М. Нахушевым в 1970 году доказано [1], что коэффициенты уравнения при младших членах существенно влияют на постановку и исследование краевых задач со смещением. В самом деле, из задач, впервые изученных в 1969 году [2], видно, что при постановке задач со смещением для уравнения колебаний струны использован оператор sign(x — а)(ё/ёх), а в случае уравнений

уихх + Ыуу = 0,

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования

.и'£иу|урихх + Муу = 0

— операторы дробного дифференцирования ОХ. В нашем же случае, при постановке и исследовании задач со смещением для уравнений с младшими членами возникают операторы более сложной структуры [3].

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение смешанного типа

signy|y|mwxx + wyy - X2|y|mu = 0, m = const > 0, (1)

в неограниченной смешанной области Q = Q UAB U Q2, где Q = {(x,y) : —^ < x < +<*>, 0 < y < 1}, AB = {(x,y) : —1 < x < 1,y = 0}, а Q2 — область полуплоскости y < 0, ограниченная отрезком AB и характеристиками

AC : x — [2/(m + 2)] (—y)(m+2)/2 = — 1, BC : x + [2/(m + 2)] (—y)(m+2)/2 = 1

уравнения (1), X — заданное действительное число, причем X = Xj в Qj, при j = 1,2. Введем обозначения: в = m/ (2m + 4), 10 = {(x,y) : —^ < x < +<*>,y = 1},

11 = {(x,y) : — ~ < x < —1,y = 0}, 12 = {(x,y) : 1 < x < +<*>,y = 0},

„ / \ , x —1 0-i (x) =

m + 2 x + 1

2 2

m+2 ^ / 1 + X

m + 2 1 — x

2

m+2

Очевидно, что 0_х (х) и 0\ (х) есть точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (х,0) € АВ, с характеристиками АС и ВС соответственно. Задача ГО^. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1) и(х, у) € С(П и /0 и /1 и /2 и АС и ВС) П С!(П) П С2(^1 и П2), причем в окрестности точек А(_1,0), В (1,0) функции утиХ (х,у), иу(х,у) могут иметь особенность порядка меньше 1 _ 2в;

2) удовлетворяет уравнению (1) в областях и

3) удовлетворяет условиям

и(х,0) = ц(х), < х ^ _1; и(х,0) = 12 (х), 1 ^ х < +<^;

и(х, 1) = 13(х), < х < (2)

Иш и (х, у) = 0, равномерно по у € [0,1], (3)

Х—У

а(х)А_Я {о_1х(1 + х)2в-1 [и(0_1(х))]} + Ь(х)А1хЯ2 {о&(1 _х)2в-1 [и(^(х))]} =

= с(х)и(х, 0) + ¿(х), _1 ^ х ^ 1 (4)

где ц(х), 12 (х), 13 (х), а(х), Ь(х), с(х), ¿(х) — заданные функции, причем а2(х) + Ь2(х) = 0, _1 ^ х ^ 1. При постановке и исследовании этой задачи для уравнения (1) мы будем пользоваться свойствами следующего интегрального оператора [3]:

Х / \ д А.1/ [/(Х)] = /(Х) _ | / (г^э/0 [я^(Х _ *)(х _ г)] ¿г.

2

Единственность решения задачи ТО™

Пусть и (х,у) решение задачи ТО™. Введем обозначения и (х, 0) = т (х), —1 ^ х ^ 1; иу (х,о) = V (х), —1 < х < 1 и предположим, что т(х) е С[—1,1] П С2 (—1,1), V (х) е С2 (—1,1) и V(х) может обращаться в бесконечность порядка меньше 1 — 2в при х ^ —1 и х ^ 1. Тогда решение задачи ТО™ в области О представимо в виде [4]

"(x, y) = Yi

т [x + а (2t - 1)]_

[t (1 -t)]

1-T" 'e-1

2Аа jt (1 -1)

dt+

+ Y2 У

v [x + а (2t - 1)]_

[t (1 -1)]

ß

2Аа jt (1 -1)

dt,

(5)

где а =[2/ (т+ 2)] (— у)(т+2)/2, л = Г(2в) /Г2 (в), 72 = Г(2 — 2в) /Г2 (1 — в), /а(г) = Г(а + 1)(г/2)—а/а(г) где /а(г) — называется модифицированной функцией Бесселя

[5].

Пользуясь формулой (5), аналогично как в работе [3] получим

"[0-1 (x)] = пгоз )(1+x)1-2e о-^

(1 + x)e-1т (x)

— (2 — 4в)2в—172Г(1 — в)О——х1 В—£ [(1 + х) —'V(х) и[01 (х)] = пГ(в)(1 — х)1—2вО—1вВ^2 [т(х)(1 — х)в—1

— (2 — 4в)2в—172Г(1 — вКгЧ*2 [V(х)(1 — х)—в" .

Умножая обе части этих равенств на (1 + х)2в—1 и (1 — х)2в—1, а затем применяя

1 Я в 1 я в операторы А^О^ 1х и А1х 2О"х соответственно, получим

A^K 1x

(1 + x)2e-1 "(0-1 (x))

[Г (2в) /Г (в)] (1 + x)2e-1 1т (x) - nj v (t) (x -1)-2в J-в [Я2 (x -1)] dt,

(6)

ALM ofx

(1 - x)2e 1" (01 (x))

[Г (2в) /Г (в)] (1 - x)2e-1 | т (x) - Y3 J v (t) (t - x)-2e J-в [Я2 (t - x)] dt

(7)

Подставляя (6) и (7) в условие (4) и умножая обе части полученного равенства

на [(1 — х2)]1 вГ (в) /Г (2в), получим основное функциональное соотношение между т (х) и V (х) на АВ, из области 02 :

p (x) т (x) = [Г (в) /Г (2в )][ (1 - x2)]1-e d (x) +

1

1

ß

x

+73(1 -x)1-0a(x) / v (t)(x - t)-20J-e [A2 (x - t)]dt+

+73 (1 + х)1-0Ь (х) I V (г) (г _ х)-20/-0 [Я2 (г _ х)]Л, _1 ^ Х ^ 1, (8)

Х

где р (х) = (1 -х)1-0а (х) + (1 _х)1-0Ь (х) _ [Г(0) /Г(20)] [(1 _х2)]1-0с (х) , Гз = [(2 - 40)20Г(0)] / [2Г(1 - 0) Г(20)], /а(г) = Г(а + 1)(г/2)-а/(г), /а(г) — функция Бесселя первого рода порядка а [5].

Теорема 1. Пусть функции а(х), Ь(х), с(х) удовлетворяют условиям

а(х) = (1 + х)1-0+е а0(х), Ь(х) = (1 - х)1-0+е Ь0(х), с(х) = [(1 - х2)]е о(х); (9)

а0 (х) , Ь0 (х) , с0(х) € С1 [0,1]; Р0 (х) = (1 + Х)е 00 (х) + (1 - Х)е ь0(х)-- [Г(0)/Г(20)] [(1 -Х2)]еС0(Х) = 0, -1 ^ х ^ 1; (10)

[(1 + х)е00 (х) /р0 (х)]' ^ 0, [(1 - х)еЬ0 (х) /р0 (х)]' ^ 0, -1 < х < 1. (11)

Тогда задача ТО™ не может иметь более одного решения. Прежде чем перейти к доказательству теоремы 1, рассмотрим следующую лемму. Лемма. Если и(х,у) - решение однородной задачи ТО™ и выполнены условия теоремы 1, то справедливо неравенство

1

А = J т(x)v(x)dx ^ 0.

Доказательство. Пусть и (х,у) - решение однородной задачи ТО™. Тогда, согласно (8), справедливо равенство

x

p (x) т (x) = 7з (1 - x)1-0a (x) У v (t) (x -1)-20 J-e [A2 (x -1)]dt+

1

1

+7з(1 + x)1-0 b (x) У v (t)(t - x)-20J-e [A2 (t - x)]dt, -1 ^ x ^ 1. (12)

1

VI

Х

Принимая во внимание условия (9) и (10), из (12) находим

Х

т (х) = 73о1 (х) у V (г) (х - г)-20/-0 [Я2 (х - г)] ¿г+ -1

1

' -20"

+7зЬ1 (x) J v (t)(t - x)-2pJ-j3 [Я2 (t - x)] dt, -1 ^ x ^ 1, (13)

x

x

1

где ai(x) = (1 + x)eao (x) /po (x), bi(x) = (1 -x)% (x) /po (x). Подставляя функцию (13) в А, имеем

1 x

A = Уз J v(x) ai(x)dxy v(t)(x- t)-2ß[Я2(x- t)]dt+

+y3y v(x)b1 (x)dx J v(t)(t - x) 2ßJ[A2(x -t)]dt.

-1 x

Пользуясь формулами [5]

|x -t |-2ß =

——^ z2ß-1cos[z (x -t )]dz, cos(nß) J

Г (2ß) cos(nß)

i

J-в [Я2 (x _ t)] = ^Г^%^(1 _ ^2)_в_(1/2) C0S № (x _ t)] d,

из последнего равенства получим:

A = rW z2ß-1dz / (1 - §2)^-1/2d§ x

2Л -ß-1/2,

x< £

k=1

— / a

(x) £

k=1

2

+ £

k=1

+ b1(x) £

k=1

v (t) cos(zkt )dtj + v (t) sin(zkt )dt

x \ 2 / x

J v(t) cos(zkt)dt I + I у v(t) sin(zkt)dt У v (t) cos(zkt )dt | + |y v (t) sin(zkt )dt v(t) cos(zkt)dt I + I у v(t) sin(zkt)dt

dx+

+

dx

где zk = z +(_1)%§, 74 = [(2 _ 4в)2в Г (в )] / [8Г (1/2 _ в) Г2 (в) cos пв]. Отсюда, в силу условий (11) следует, что А ^ 0. Лемма доказана. □ Доказательство. Пусть w(x,y) - решение однородной задачи TN™. Тогда в области справедливо тождество

(ymuux)x + (uuy)y -ym(ux)2 - (uy)2 -ymA12u2 = 0

2 mi 2 2

(14)

а на AB имеет место равенство (13).

1

1

оо

2

2

1

1

Пусть = {(х, у) : — Я < х < Я, 0 < у < 1}. Интегрируя тождество (14) по области 01Я, с учетом условия (3) и (х) = 0 (п = 1,3), получим

ym(wx)2 + (My)2 + Afymw2 dxdy + т(x)V(x)dx = 0. (15)

ßi

В силу утверждения леммы, из (15) при A1 = 0 сразу следует, что w(x,y) = 0 в U10 U11 UAB U12. Если A1 = 0, то из (15) получим w(x,y) = const в U10 U11 UABU12. Учитывая условие (3) и yn(x) = 0 (n = 1,3), и в этом случае, имеем w(x,y) = 0 в U10U11UABU12. Отсюда следует, что на AB w(x, 0) = 0, wy(x,0) = 0. Отсюда, согласно формуле (5), получим w(x,y) = 0 в Ci2. Следовательно, w(x,y) = 0, (x,y) e ПU10 U11 U 12 UAC UBC. Тем самым теорема 1 доказана. □

1

Существование решения задачи

Переходим к доказательству существования решения задачи Пусть выпол-

нены условия теоремы 1, а и (х,у) - решение задачи Тогда функция и (х,у) в

области 0.2 представлена в виде (5), откуда в силу условия (4) следует, что на АВ справедливо равенство (8). Функция и (х,у) в области О1, можно найти как решение задачи Дирихле для уравнения (1), удовлетворяющее условиям и(х, 1) = у3(х) и и(х, 0) = т0(х), — те < х < +те, где

^1(x), < x ^ -1; T0(x) = { т(x), -1 ^ x ^ 1;

i^2(x), 1 ^ x < +те

(16)

Решая задачу Дирихле в области О методом функций Грина получим:

и (х, у) = У Т0 (*) Сп (*, 0;х,у) Л — ^ уз (*) (*, 1;х,у) Л, (17)

Gn (t, 0;x,y) = ky (t - x)2 + 4a2y

\2 ^ /1™2л,m+2

ß-1

+ кУ U J

A2\n 1

\\4j (ß)

2 I zl/T/^,m+2

(t - x)2 + 4a 2y'

n+ß -1

vy

n(m + 2)aГ (a)

M

aKa (2aM)

Ia (2aM)

Ia (2aMy(m+2)/2) eip(t-x)dp

Gn (t, 1;x,у) = n (m+ 2)1 MKa-1 (2aM)1a (2aMy(m+2)/2) eip(t-x)dp+

+ vy f Ka (2aM)

n (m + 2) J ^ Ia (2aM)

Ia-1 (2aM)/a (2aMy(m+2)/2) eip(t-x)dp

где k = 4П(m+2)2 2вщ-гЦ, = P2 + A2,a = ^, а Ka(z) - функция Макдональда

[5].

n

00

00

Учитывая (16), перепишем (17) в виде

" (x, у) = ky j т (t) (x -1)2 + 4a2ym+2 1

в-1

dt + J т (t)g (t;x, y) dt + Ф (x, y), 1

где

g (t; x, y) = ky £

A?\n 1

'ЛЧ (в)

2 I /1^2,.,m+2

(x -1 )2 + 4a 2y

n+в -1

f ^aKa (2aß)/a (2aMy(m+2)/^ e'P(t-)dp,

2)aГ (a) J и Ia (2aß) a V ^ / ^

n (m + 2)a Г (a)

- 1 —|—^ —|—<-X_)

Ф (x, y) = J ^ (t) Gn (t, 0;x,y) dt + J (t) Gn (t, 0;x.y) dt + J y3 (t) Gn (t, 1;x,y) dt.

Учитывая, что

d y

2 2 m+2

(x -1 )2 + 4a 2y

в-1

1 ^ 1 - 2в dt

(x -1) (x -1)2 + 4a2y'

2 2 m+2

в-1

считая у = 0 и дифференцируя по у, а затем переходя к пределу при у ^ 0 имеем

v (x) = -

л 1

d f т (t) dt d f т (t) dt

1 - 2в I dW (x - 01-2в dx У (t - x)1-

2в

+

1

+ У т(t)gy (t;x,0) dt + Ф1 (x), 0 < x < 1,

(18)

2 2\n 1 aa-1

2 \ 1 - -n+в-1 a_

gy(t;x0)=*Е(т) Ж[(t -x)]

ß

2a

Ka [2 aß ]

Г2 (a Ia [2 aß ]

e'P (t -x)dp,

Ф1 (x) = lim Фу (x, y).

Равенство (18) является основным функциональным соотношением между т (х) и V (х) на АВ, из области 01.

В силу условия (9) равенство (8) переписывается в виде

Р0 (х) т (х) = [Г (в) /Г (2в)] d (х) +

х

+7з(1 + х)еа0 (х) | V (г) (х — г)—2в 1 —в [Я2 (х — г+ —1

1

+7з (1 — х)% (х) / V (г) (г — х)^/^ Я (г — х)^г, —1 ^ х ^ 1. (19)

Следовательно, задача ТО™ (в смысле разрешимости и в класса искомых функций) эквивалентна системе уравнений (18), (19). Если из этой системы однозначно

1

1

п

оо

y

k

оо

найдем функции т(х) и V (х) с требуемыми свойствами, то решение задачи в областях О1 и О2, определяется формулами (17) и (5) соответственно. Поэтому, теперь займемся решением системы (18), (19).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и а0(х), Ь0 (х), с0(х) е С2[—1,1], й(х) е С[—1,1] ПС2(—1,1), а0 (1) ■ Ь0 (—1) = 0, (—1) = у2 (1)= 0, уЦх) е С(—— 1], у2(х) е С[1; у3(х) е С(—и при достаточно больших |х| справедливы неравенства (х)| ^ М|х|—е, ] = 1,3. Тогда решение задачи существует.

Доказательство. Исключая функцию V(х) из (18) и (19), получим

A (x) т (x) + f 1Ш.dt = f Q (x, t) т (t) dt + Fi (x), -1 ^ x ^ 1, П ,) t — x ,)

1

тф

? — х

(20)

где

A (x) = po (x)+ [(1 + x)eao (x) + (1 — x)ebo (x)] sin(0n), B (x) = — [(1 + x)eao (x) + (1 — x)ebo (x)] cos(en),

Й1 (x, t )= 02 (x4 — 02 (x x) + Й3 (x, t) ,

tx

02 (x, t) =

(1 + x)e ao (x)

x + 1

1—2в

+ (1 — x)e bo (x)

t +1.

03 (x, t) = |x — t|2в — 104 (x, t)

1 — x

1—2в

(21) (22)

cos(ßn)

Q4 (x, t) e C (—1 ^ x, t ^ 1) n C2 (—1 < x, t < 1),

+7з(1 + x)fc'ao (x) / Ф1 (t) (x —1)—2eJ

—в [^2 (x — t)] dt+

+73(1 — x)ebo (x) / Ф1 (t) (t — x)—2в J—в [*2 (t — x)] dt.

Очевидно, что (х,¿) — ядро со слабой особенностью, а на основании условий, наложенных на заданные функции, легко следует, что ^3 (х) е С [0,1] ПС2 (0,1).

Следовательно, задача эквивалентна в смысле разрешимости сингулярному интегральному уравнению (20), а в силу наложенных условий на заданные функции А2 (х) + В2 (х) = 0,Ух е [—1,1], то есть является уравнением нормального типа [6]. Его индекс равен нулю в классе функций ограниченных при х ^ ±1. Регуляризи-руя уравнение (20) методом Карлемана-Векуа [7], получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода со слабой особенностью, безусловная разрешимость которой следует из теоремы 1.

1

x

1

Заключение

При X = 0, учитывая что А]^/(х)] = / (х) получим задачу исследованную в работе [7]. Из этой задачи в случае а(х) = Ь(х) = 0, с(х) = 0, х е [—1,1] следует задача Дирихле для уравнения (Г™) в области 01, а при а(х) = 0, Ь(х) = с(х) = 0, х е

[-1,1]; 11 (-1) = 0 и b (x) = 0, a (x) = c (x) = 0, x e [-1,1]; l2(1) = 0 следует задача Трикоми в области П с заданными значениями искомой функции на /0 U /1 UACU /2 и /0 U /1 UBCU /2 соответственно, которые представляют самостоятельный интерес.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответсвенность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Список литературы/References

[1] Нахушев А.М., "Методика постановки корректных задач для линейных гиперболических уравнений на плоскости", Дифференциальные уравнения, 6:1 (1970), 191-195.

[Nakhushev A.M., "Mrtodika postanovki korrektnikh zadach diva giperbolichekhkikh urav-neniv na ploskosti", Differensialnive uravneniva, 6:1 (1970), 191-195].

[2] Нахушев А.М., "О некоторых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа", Дифференциальные уравнения, 5:1 (1969), 44-59. [Nakhushev A.M., "О nekotorikh zadachakh diva giperbolicheskikh uravneniv i uravneniv smeshannogo tipa", Differensialnive uravneniva, 5:1 (1969), 44-59].

[3] Салахитдинов М.С., Уринов А. К., Краевые задачи для уравнения смешанного типа со спектральным параметром, Фан, Ташкент, 1997, 166 с. fSalakhivdinov M.S., Urinov А. К, Krayevive zadachi diva uravneniva smeshannogo tipa so spektralnim parametrom, Fan, Tashkent, 1997, 166 pp.]

[4] Капилевич М. Б., "Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа", Математический сборник, 30(72):1 (1952), 11-38. [Kapilevich М. В., "Ob odnom uravnenii smeshannogo elliptiko-giperbolicheskogo tipa", Matimaticheskiv sbornik, 30(72):1 (1952), 1138].

[5] Кузнецов М. С., Специальные функции, Высшая школа, M., 1965, 424 с. [Kuznesov M.S., Spesialnive funksii, Visshava shkola, M., 1965, 424 pp.]

[6] Мусхелишвили Н.И., Сингулярные интегральные уравнения, Наука, M., 1968, 512 с.

[Muskhelishvili N.I., Singulyarnive integralnive uravneniva, Nauka, M., 1968, 512 pp.]

[7] Зуннунов Р. Т., Толибжонов Ж. А., "Краевая задача со смещением для модельного уравнения смешанного типа в неограниченной области", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 30:1 (2020), 31-41. fZunnunov R. Т., Tolibjonov J. A., "Krayevive zadachi so smeshenivem diva modelnogo uravneniva smeshannogo tipa v neogranichennov oblasti", Vestnik KRAUNC. Fiziko-matematicheskive nauki, 30:1 (2020), 31-41].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Методика постановки корректных задач для линейных гиперболических уравнений на плоскости // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. №1. С. 191-195.

[2] Нахушев А. М. О некоторых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. V. №1. С. 44-59.

[3] Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи для уравнения смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: ФАН, 1997. 166 с.

[4] Капилевич М. Б. Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа // Математический сборник. 1952. Т. 30(72). №1. С. 11-38.

[5] Кузнецов М.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. 424 с.

[6] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

[7] Зуннунов Р. Т., Толибжонов Ж. А. Краевая задача со смещением для модельного уравнения смешанного типа в неограниченной области // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2020. Т. 30. №2. С. 31-41.

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2020. vol. 32. no. 3. pp. 55-64. ISSN 2079-6641

MSC 35M12 Research Article

A boundary value problem with a displacement for the generalized equation of Trikomi with a spectral parameter in an unbounded

domain

R. T. Zunnunov1, I. U.Khaydarov2

1 Institute of Mathematics named after V. I. Romanovskiy, Academy of Sciences of Uzbekistan, Academy of Sciences of Uzbekistan

2 Fergana State university, Uzbekistan. E-mail: zunnunov@mail.ru, ibrohimbek@mail.ru

In this paper, for the generalized Tricomi equation with a spectral parameter in an unbounded domain, the elliptical part of which is a horizontal strip, we study a problem with a shift on the characteristics of different families. The uniqueness of the solution to the problem is proved by the method of energy integrals, and the existence of the solution to the problem by the method of Green's functions and the method of integral equations.

Key words: problem with displacement, generalized Tricomi equation, mixed-type equation, unbounded domain, method of Green's functions, method of integral equations, method of energy integrals.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-55-64

Original article submitted: 10.09.2020 Revision submitted: 10.10.2020

For citation. Zunnunov R. T., Khaydarov I. U. A boundary value problem with a displacement for the generalized equation of Trikomi with a spectral parameter in an unbounded domain. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020,32: 3,55-64. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-55-64

Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

Acknowledgments. The authors are deeply grateful to the referee for a number of comments that contributed to the improvement of the article.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

Zunnunov R. T., Khaydarov I. U., 2020

Funding. This research received no specific grant from any funding agency in the public, commercial, or not-for-profit sectors