КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 32. № 3. C. 65-74. ISSN 2079-6641

УДК 517.95 Научная статья

Краевые задачи с интегральным смещением для модельного уравнения эллиптического типа

З.А. Нахушева

Кабардино-Балкарский государственный университет имени Х. М. Бербекова, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173. E-mail: [email protected]

Для модельного эллиптического уравнения второго порядка рассматривается метод редукции нелокальных краевых задач с интегральным смещением к локальным краевым задачам для уравнения более высокого порядка составного типа. Исследуется разрешимость поставленных задач.

Ключевые слова: интегральные условия, задачи со смещением, уравнение Лапласа, уравнение Адамара, метод редукции, нелокальные краевые задачи, регулярное решение.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-65-74

Поступила в редакцию: 16.07.2020 В окончательном варианте: 09.09.2020

Для цитирования. Нахушева З. А. Краевые задачи с интегральным смещением для модельного уравнения эллиптического типа // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 32. № 3. C. 65-74. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-65-74

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Нахушева З. А., 2020

Введение

Как известно, необходимость в интегральных краевых условиях возникает в случае, когда в процессе математического моделирования той или иной сложной системы становится недостаточным поточечного задания граничных условий. Интегральные нелокальные условия являются обобщением дискретных нелокальных условий или условий локального смещения.

В определенных случаях интегральные условия можно свести к условиям, описанным В.А. Стекловым [1, c. 66].

a\u(0, y) + й2Ых (0, y) + ази(1, y) + aAux(l, y) = Щ, (1)

b\u(0, y)+ b2Ux (0, y)+ b3u(l, y) + bAUx(l, y) = Щ, (2)

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования

где аг = аг(у), Ьг = Ьг(у), г = 1,2,3,4; щ = щ(у), ] = 1,2 - заданные функции такие, что по крайней мере одна из разностей агЬк — акЬг (г,к = 1,2,3,4) отлична от тождественного нуля.

Краевым задачам с нелокальными условиями вида (1), (2) посвящены интересные и глубокие работы В.А. Стеклова [1], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [2], Н.И. Ионкина и Е.И. Моисеева [3].

А.А. Самарский, в своей обзорной работе, вышедшей в журнале "Дифференциальные уравнения" в 1980 году [4], еще раз обращает внимание на актуальность задач с нелокальными, в том числе интегральными, условиями.

Задачи с интегральными условиями для параболических и гиперболических уравнений второго порядка были поставлены и изучены Л.И. Камыниным [5], А.А. Самарским [4], А.М. Нахушевым [6], Н.И. Ионкиным [7], Н.И. Юрчуком [8], А.И. Кожановым и Л.С. Пулькиной [9]-[10], Нахушевой З.А. [11]. Задачи с нелокальными условиями, в том числе и интегральными, для уравнений эллиптического типа рассматривались А.Л. Скубачевским [12]-[13], А.К. Гущиным и В.П. Михайловым

Нельзя не отметить, что огромную роль в развитии нелокальных краевых задач сыграли работы А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [2], в которых систематизированы начально-краевые задачи с дискретными нелокальными условиями, поставлены и исследованы пространственно-нелокальные задачи для определенного класса уравнений эллиптического типа.

Общая постановка задачи

Для модельного эллиптического уравнения второго порядка

в области Б = (г :0 < х < а, 0 < у < Ь} рассмотрим следующую задачу:

Задача 1. Найти регулярное в области Б решение и = и(х,у) = и(г), г = х + гу, уравнения (3) непрерывное в Б и удовлетворяющее следующим условиям

[14].

uxx + uyy — 0

(3)

и (x + ib) — т1 (x), 0 < x < a,

(4)

и (a + iy) — у (y), 0 < y < b,

(5)

а

0

в

(7)

0

где т1 (х), щ(у), ща (у) и фр (х) - заданные функции, такие, что

Т1(х) е С1[0,а], щ(у) е С[0,Ь], фр(х) е С2[0,а], ща(у) е С2[0,Ь], (8)

и(х) = 8ю(х), 8 ^ОрД (9)

Условия вида (6)-(7) назовем нелокальными условиями с интегральным смещением. Редуцируем задачу 1 к задаче с локальным смещением. Опираясь на уравнение Лапласа (3), заключаем, что

-,2 в в -,2 , N

-2 ¡' , ч , ¡' д2и(х,у) , . . л

j и(х,у)ау = — ! —— ау = —иу(х,в) + иу(х, 0), 0 < х < а.

О О

Отсюда, в силу (7) и (9) имеем

иу (х, 0) = иу (х,в) + ф'р (х) — 8и"(х), 0 < х < а. (10)

Аналогично, из (3) получаем

г. а а г.

-2 [ , ч , [ -2и(х,у) г .. ч , . ч _

—~2 и(х,у)ах = — —-~2— ау = их(гу) — их(а + 1у), 0 < х < а.

Далее с учетом (6), (8), (9) приходим к условиям

их (0,у) = их (а,у) + у1 (у), 0 < у < Ь. (11)

Итак, задача 1 с интегральным смещением сведена к задаче (4)-(5), (10)-(11) с локальным смещением для уравнения (3) в области Б.

Случай а = а, в = 0.

Интегральное условие со смещением на части Т0 = {¡у : 0 < у < Ь} границы дБ будет иметь вид

а

!и(х + ¡у)ах = Уа(у), 0 < у < Ь. (12)

0

Задача 1 сводится к следующей задаче

Задача 2. Найти регулярное в области Б решение и(г) = и(х,у) уравнения (3), непрерывное в замкнутой области Б и удовлетворяющее локальным краевым условиям

и(х) = ф0(х), и(х + Ы) = Т\(х), 0 < х < а, (13)

и (а + ¡у) = у (у), 0 < у < Ь, (14)

Здесь ф0(х), тг(х) е С[0, а], уа(у), У (у) е С[0, Ь].

Первое из условия (13) получаем на основании (9), (7).

В уравнении (3) перейдем к новой зависимой переменной и = и (г), однозначно определяемой как решение задачи Коши

и (¡у) = 0, 0 < у < Ь, (15)

для уравнения

их(г) = и (г), г е П. (16)

Единственное решение задачи (15)-(16) для любой функции и (г) е С (Б) имеет вид

х

и (г)=| и(§ + гу)^ §. (17)

0

Функция и (г) в силу (12)-(13) и (17), наряду с (15), должна удовлетворять краевым условиям

и (х) = и0(х), и (х + гЬ) = и1(х), 0 < х < а, (18)

и (а + гу) = Ща(у), их(а + гу) = щ (у), 0 < у < Ь (19)

и уравнению Адамара

+ Uyy) = 0. (20)

д_

д x

Следовательно, нелокальная краевая задача 2 с интегральным смещением на части со границы области D свелась к следующей локальной краевой задаче для уравнения третьего порядка (20).

Задача 3. Найти регулярное в области D решение и(z) = и(x,y) уравнения (20), которое непрерывно вместе с производной ux(z) на компакте D и удовлетворяет краевым условиям (15), (18) и (19).

Соответствующее уравнению (20) характеристическое уравнение имеет вид 2 2

(dy) + (dx) dy = 0. Оно в каждой точке имеет одно действительное и два комплексных решения и, стало быть, является уравнением составного типа. Координатные прямые y = const образуют семейство действительных характеристик.

Уравнение (20) как модельное уравнение с частными производными третьего порядка составного типа предложено J. Hadamard [ 15] — [16].

Фундаментальные результаты по уравнениям составного и смешанно-составного типа получены в работе А.В. Бицадзе и М.С. Салахитдинова [17] и в монографиях М.С. Салахитдинова [18] и Т.Д. Джураева [19].

Учитывая (11), задачу 2 можно свести и к задаче с локальным смещением для уравнения Лапласа.

Задача 4. Найти регулярное в области D и непрерывное в D решение w(z) уравнения (3), удовлетворяющее условиям (13), (14) и (11).

Докажем, что в классе C!(D) однородная задача:

и(х) = 0, и(х + ib) = 0, 0 < x < a, (21)

и (а + гу) = 0, их(гу) = их(а + гу), 0 < у < Ь, (22)

соответствующая задаче 4, имеет лишь тривиальное решение и (г) = 0.

Для любой гармонической функции и (г) в области П справедливо равенство

д , 2 2\ д

— (их — и2) = — ду (ихиу), г е П. (23)

Проинтегрируем по частям равенство (23), воспользуемся формулой Грина и условиями (21)-(22)

д Ь

J — (и^ — и^) ¿х^у = J (и^ — и^) ¿у = J [и^(а + гу) — и^(а + гу)] ¿у—

О дБ 0

Ь Ь Ь

— I [и^О'у) — и^Сгу)] ¿у = I [и^(а + гу) — и^гу)] ¿у + ^ и^гу^у =

= J и2(гу)^у; — J —- (ихиу) ¿х^у = J ихиу^х = 0. 0 о —О

Ь

Видно, что / и2(гу)^у = 0 и, следовательно, иу(гу) = 0. Но и (0) = 0. Поэтому и (гу) = 0 0

при 0 < у < Ь. Это равенство вместе с (21) - (22) приводит к однородному условию Дирихле:

и|—Б = 0. (24)

Из тривиальности решения задачи Дирихле (24) для уравнения (3) следует единственность решения задачи 4.

Заметим, что задача 2 остается корректно поставленной, если условие (14) заменить условием

их(а + гу) = Щ1 (у), 0 < у < Ь, (25)

а условие (12) - условием

а

^и(х + гу)^х = ф1 (у), 0 < у < Ь, (26)

0

с верхним пределом интегрирования а е]0,а[.

Эту задачу назовем задачей 5 и сформулируем следующим образом.

Задача 5. Найти регулярное в области Б решение и(г) уравнения (3), непрерывное в Б и удовлетворяющее краевым условиям (13), (25) и (26), где т0(х) и т1(х) принадлежат С1[0,а), а щ1(у) и ф1 (у) - С[0,Ь].

Задача 5 сводится к задаче Бицадзе-Самарского [2], если ввести новую зависимую переменную ^(г) = их(г). Относительно ^(г) уравнение (3) и условия (13), (25) и (26) соответственно принимают вид

^хх + ^уу = 0, (27)

^(х) = т0 (х), ^(х + гЬ) = (х), 0 < х < а, (28)

^(а + гу) = щ1(у), 0 < у < Ь, (29)

^(гу) = ^(а + гу) — ф1 (у), 0 < у < Ь. (30)

Задача (28)-(30) для уравнения (27) имеет, и притом единственное, решение ^(¿). После того как найдена функция w(z), решение и(г) задачи 5 определяется формулой

x

u(z) = J + iy)d £ + w(iy).

1. Случай a = a, в = 0.

Вернемся к задаче 1.

В уравнении (3) перейдем к новой зависимой переменной v(z) = v(x,y):

x y

v (z) = J dsj u (S, n) dn. (31)

0 0

Функция v (z) является решением задачи Гурса:

v (0, y) = 0, v (x, 0) = 0, 0 < y < b, 0 < x < a (32)

для уравнения

vxy = u (z), z e D. (33)

Подчинив функцию (31) условиям (6) и (7), получим

v (a,y)= ¥ (y), v (x, в) = Ф (x), 0 < y < b, 0 < x < a, (34)

x в x

Ф (x) = j ds j u (S, n )dS = j Vp (S) dS,

0 0 0

y a y

¥ (y) = j dnj u (S, n)dS = j Wa (П) dn. 0 0 0 Из равенств (4)-(5) и (33) следует:

vxy(x + ib) = Ti(x), vxy (a + iy) = W (y), 0 < x < a, 0 < y < b; (35)

AzVxy = 0. (36)

Равенство (36) означает, что функция и (z) является решением уравнения Адама-

ра

д 2

dxdy (Uxx + Uyy) = 0, z e D. (37)

Краевые задачи для уравнения (37) впервые исследовал J. Hadamard [15], [16]. Уравнение (37) является важной моделью уравнения составного типа четвертого порядка, которое в каждой точке z имеет две действительные характеристики x = const, y = const и столько же комплексных характеристик.

Задача 1 свелась к задаче поиска регулярного в области D решения и (z) уравнения (37), удовлетворяющего локальным внутренне - краевым условиям (32), (34) и (35).

ISSN 2079-6641

При а = а, в = Ь эта задача представляет собой локальную краевую задачу:

и (0, у) = 0, и (а, у) = Ч(у), 0 < у < в, (38)

и(x, 0)= 0, и (x, ß)= Ф(х), 0 < x < а, (39)

VyX(x,ß) = Ti(x), Uxy(a,y) = Y(y), 0 < x < а, 0 < y < ß, (40)

для уравнения Адамара (36).

y x

Так как ux(x,y) = ju(x, n)dn, uy(x,y) = /u(%,y)d% и согласно (4), (5)

0 0

x x

Uy(x, ß )=J U(% , ß )d% =J Ti(% )d% ,

00

y y

Ux(a,y) = J u(a, n)dn = J Y(n)dn, 00 то условие (40) можно заменить условием

Uy(x,ß) = Ti(x), Ux(a,y)= ^i(y), 0 < x < а, 0 < y < ß,

где

x y

Ti(x) = f Ti(%)d%, 4i(y) = J Y(n)dn.

00

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответсвенность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Список литературы/References

[1] Стеклов В.А., Основные задачи математической физики, Наука, М., 1983. fSteklov V.A., Osnovnyve zadachi matematicheskov fiziki, Nauka, Moscow, 1983].

[2] Бицадзе А. В., Самарский А. А., "О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач", ДАН СССР, 1969, №185(4), 739-740. [Bitsadze А. V., Samarskiv А. А., "О nekotorvkh prostevshikh obobshchenivakh linevnvkh ellipticheskikh

№

[3] Ионкин Н. И., Моисеев Е. И., "О задаче для уравнения теплопроводности с двутотеч-ными краевыми условиями", Дифференциальные уравнения, 1979, №15(7), 1284-1295. flonkin N. I., Moisevev Е. I., "О zadache diva uravneniva teploprovodnosti s dvutotechnvmi

№

[4] Самарский А. А., "О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений", Дифференциальные уравнения, 1980, №16(11), 1221-1228. [Samarskiv А. А., "О nekotorvkh problemakh sovremennov teorii differentsialnvkh uravneniv", Dif-

№

[5] Камынин Л. И., "Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями", Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964, №4(6), 1006-1024. [Kamvnin L. I., "Ob odnov krayevov zadache teorii teploprovodnosti s neklassicheskimi granichnymi usloviyami", Zhurnal vychislitelnov

№

[6] Нахушев А. M., "Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложений к динамике почвенной влаги и грунтовых вод", Дифференциальные уравнения, 1982, № 18(1), 72-84. [Nakhushev А. М., "Ob odnom priblizhennom metode resheniva krayevvkh zadach diva differentsialnykh uravneniv i ego prilozheniv k dinamike pochvennov vlagi i gruntovvkh vod", Differentsialnvve urav-

№

[7] Ионкин Н. И., "Решение одной краевой задачи теплопроводности с неклассическим краевым условием", Дифференциальные уравнения, 1977, №13(2), 294-304. flonkin

N. I., "Reshenive odnov krayevov zadachi teploprovodnosti s neklassicheskim krayevym

№

[8] Юрчук Н. И., "Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений", Дифференциальные уравнения, 1986, №22(12), 2117-2126. [Yurchuk N. I., "Smeshannaya zadacha s integralnym usloviyem diva nekotorvkh parabolicheskikh

№

[9] Кожанов А. И., Пулькина Л. С., "О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений", Дифференциальные уравнения, 2006, №42(9), 1166-1179. [Kozhanov А. I., Pulkina L. S., "О razreshimosti krayevvkh zadach s nelokalnym granichnym usloviyem integralnogo vida diva

№

1166-1179].'

[10] Кожанов А. И., Пулькина Л. С., "О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений", Математический журнал, 2009, № 9(2), 78-92.

zadach so smeshchenivem diva linevnvkh giperbolicheskikh uravneniv", Matematicheskiv №

[11] Нахушева З. А., "Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений", Издательство КБНЦ РАН, 2011. [Nakhusheva Z. А., "Nelokalnvve kravevvve zadachi diva osnovnvkh i smeshannogo tipov differentsialnvkh uravneniv", Izdatelstvo KBNTs RAN, 2011].

[12] Скубачевский А. Л., "Неклассические краевые задачи. I", Современная математика. Фундаментальные направления, 2007, №26, 3-132. fSkubachevskiv A. L., "Neklassich-eskive kravevvve zadachi. I. Sovremennava matematika. Fundamentalnvve napravleniva",

№

[13] Скубачевский А. Л., "Неклассические краевые задачи. II", Современная математика. Фундаментальные направления, 2009, № 33, 3-179.

№

[14] Гущин А. К., Михайлов В. П., "О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения", Математический сборник, 1995, №186(2), 3758.

№

[15]

№

[16]

№

[17] Бицадзе А. В., Салахитдинов М. С., "К теории уравнений смешанно-составного типа", Сиб. матем. журн., 1961, № II(1). [Bitsadze А. V., Salakhitdinov M. S., "К teorii uravneniv

№

[18] Салахитдинов M. С., Уравнения смешанно-составного типа, ФАН, Ташкент, 1974. [Salakhitdinov M. S., Uravneniva smeshanno-sostavnogo tipa, FAN, Tashkent, 1974].

[19] Джураев Т. Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, ФАН, Ташкент, 1979. [Dzhuravev T. D., Kravevvve zadachi diva uravneniv smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov, FAN, Tashkent, 1979].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983.

[2] Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач II ДАН СССР. 1969. Т. 185(4). С. 739-740.

[3] Ионкин Н. И., Моисеев Е. И. О задаче для уравнения теплопроводности с двутотечными краевыми условиями II Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15(7). С. 1284-1295.

[4] Самарский А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений II Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16(11). С. 1221-1228

[5] Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями II Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4(6). С. 1006-1024.

[6] Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложений к динамике почвенной влаги и грунтовых вод II Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18(1). С. 72-84.

[7] Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теплопроводности с неклассическим краевым условием II Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13(2). С. 294-304.

[8] Юрчук Н. И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений II Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22(12). С. 2117-2126.

[9] Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений II Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42(9). С. 1166-1179.

[10] Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений II Математический журнал. 2009. Т. 9(2). С. 78-92.

[11] Нахушева З. А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений II Издательство КБНЦ РАН. 2011.

[12] Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. I II Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 26. С. 3-132.

[13] Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. II II Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. Т. 33. С. 3-179.

[14] Гущин А. К., Михайлов В. П. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения II Математический сборник. 1995. Т. 186(2). С. 37-58.

[15] Hadamard J. Proprictes d'une equation lineare aux derivees partielles du quatrine ordre II The Tonoku math. J. 1933. vol. 37. pp. 133-150.

[16] Hadamard J. Equatuions aux derivees partielles II L'enseigment mathematique. 1936. vol. 35.

[17] Бицадзе А. В., Салахитдинов М.С. К теории уравнений смешанно-составного типа II Сиб. матем. журн. 1961. II(1).

[18] Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974.

[19] Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979.

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2020. vol. 32. no. 3. pp. 65-74. ISSN 2079-6641

MSC 35J25 Research Article

Boundary problem with integral displacement for the model

equation of elliptic type

Z.A. Nakhusheva

Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov, 360004, Nalchik, Chernyshevskoqo st., 173, Russia. E-mail: [email protected]

For a model second order elliptic equation is considered the method of reduction of nonlocal boundary value problems with integral offset to the local boundary value problems for equations of higher order composite type. The solvability of tasks is investigated.

Key words: integral conditions, problems with displacement, Laplace equation, the equation Hadamard reduction method, nonlocal boundary value problems, regular solutionintegral conditions, problems with displacement, Laplace equation, the equation Hadamard reduction method, nonlocal boundary value problems, regular solution.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-65-74

Original article submitted: 16.07.2020 Revision submitted: 09.09.2020

For citation. Nakhusheva Z. A. Boundary problem with integral displacement for the model equation of elliptic type. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020, 32: 3,65-74. DOI: 10.26117/20796641-2020-32-3-65-74

Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

Acknowledgments. The authors are deeply grateful to the referee for a number of comments that contributed to the improvement of the article.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Nakhusheva Z. A., 2020

Funding. This research received no specific grant from any funding agency in the public, commercial, or not-for-profit sectors