Краевая задача для модельного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 6-15. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-6-15 МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В. А. Водахова, М. С. Балкизова

Кабардино-Балкарский государственный университет, 360005, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 175 E-mail: [email protected]

В работе исследована краевая задача для модельного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка. Доказана теорема о единственности и существовании регулярного решения исследуемой задачи. Решение исследуемой задачи выписано в явном виде.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, уравнение Аллера, уравнение третьего порядка с кратными характеристиками, метод Трикоми

(с) Водахова В. А., Балкизова M. C., 2019

Введение

В прямоугольной области П = {(х, у) : 0 < х < г, —а < у < в} евклидовой плоскости независимых переменных х и у рассмотрим уравнение

0 = Г иу + иххх, у < 0, (1)

{ Ыу — йЫхх — Ъихху, У > 0,

где и = и (х,у) - искомая функция, а, Ь, г, а, в - заданные положительные числа. Обозначим:

П = {(х, у) : 0 < х < г, —а < у < 0}, П2 = {(х, у) : 0 < х < г, 0 < у < в},

I = {(х, у) : 0 < х < г, у = 0} , П = П иП2 иI. В области П уравнение (1) совпадает с уравнением вида

Ыу + Ыххх = 0, (2)

а в области Q2 - с уравнением вида

My - a Mxx - b Uxy = 0. (3)

По классификации, приведенной в монографии [1][c. 72] уравнение (2) относится к уравнениям третьего порядка параболического типа, которые в [2][с. 9] названы уравнениями третьего порядка с кратными характеристиками. Уравнение (2) является аналогом уравнения диффузии с обратным ходом времени. Как показаны в работах [3]-[4] линейное приближение распространения нелинейных звуковых волн в жидкости при кавитации описывается уравнением вида (1). В работах [5], [6], [7] изучены локальная, нелокальная и общие краевые задачи для общих уравнений с оператором вида (2) в главной части.

Уравнение (3) совпадает с уравнением Аллера [8] и является уравнением гиперболического типа. При b = 0 уравнение (3) совпадает с обычным уравнением теплопроводности, в связи с чем уравнение (3) еще называют модифицированным уравнением диффузии. В монографии [9][с. 254] отмечено, что при определенных допущениях уравнение (3) описывает фильтрацию жидкости в пористых средах и его решение u = u (x,y) интерпретируется как влажность почвы с коэффициентом диффузивности a и коэффициентом влагопроводности b в точке x (0 < x < r) в момент времени t = y (0 <y < в). В работах [10], [11], [12] исследованы первая и вторая краевые задачи для уравнения (3). Задача Гурса для общего уравнения вида

Lu = Mxxy + A Mxx + a (x) Mx + b (x, y) My + c (x) u = f (x, y), (4)

когда заданы значения u(x,0), u(0,y), ux(0,y) исследована в [13], а в [14] изучена краевая задача для уравнения (4), когда в начальный момент времени y = 0 задан глубинный ход влажности, а также заданы поток влаги на глубине x = r и скорость расхода влаги x0 < x < r, начиная с некоторой глубины x0 > 0. Краевые задачи с нелокальными условиями А.М. Нахушева для уравнения (4) исследованы в работах

[15], [16].

В данной работе в области Q исследуется аналог задачи Трикоми для уравнения (1). Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи.

Постановка задачи

Регулярным в области Q решением уравнения (1) назовем функцию u = u (x,y) из класса u (x, y) e C1 (й) nC^ (Q), Mxxx (x, y) e C(Q1), Mxx (x, y), Mxxy (x, y) e C(Q2), Mxx (x, 0) e L2(I), при подстановке которой уравнение (1) обращается в тождество.

Задача 1. Найти регулярное в области Q решение u = u (x, y) уравнения (1) из класса uxx (x, y) e C (Qi U{y = 0}), удовлетворяющее граничным условиям:

u (0, y) = ф (y), u (r, y) = Ф2 (y), -a < y < в, (5)

Mxx(0, y) = Фз (y), -a < y < 0, (6)

где ф1 (y), Ф2(y) e C1 [-a, в], Фз (y) e C1 [-a, 0].

Теорема существования и единственности

Справедлива

Теорема. Существует единственное регулярное в области П решение задачи 1.

Доказательство. Сначала докажем единственность решения задачи (1), (5), (6). Рассмотрим однородную задачу, соответствующую задаче 1, то есть будем считать, что < (у) = 0, I = 1,3. Введем обозначения

и (х, 0) = т (х), иу (х, 0) = V (х), 0 < х < г. (7)

Путем предельного перехода при у ^ —0 из уравнения (1) с учетом обозначений (7), получим фундаментальное соотношение между функциями т (х) и V (х) вида

V (х) + т'" (х) = 0, 0 < х < г, (8)

а при предельном переходе при у ^ +0 из (1) придем ко второму фундаментальному соотношению вида

V (х) — а т'' (х) — Ь V'' (х) = 0, 0 < х < г. (9)

Рассмотрим далее интеграл:

/

] = I т'' (х) V (х) ¿х.

0

Умножая соотношение (8) на т'' (х) и интегрируя полученное равенство по х от 0 до г, легко убедиться в том, что

г г

] = у т'' (х) V (х) ¿х = — У т'' (х) т''' (х) ¿х = — 1 [т'' (г)] 2 < 0. (10)

00

Аналогично, умножая соотношение (9) на функцию V (х) и, интегрируя полученное равенство по х от 0 до г, находим

г г г

/ = У т'' (х) V (х) ¿х = ^ У V2 (х) ¿х--У V (х) V'' (х) ¿х =

0 0 0

г / г N

= И V2 (х) ¿х — Ь (V (г) V' (г) — V (0) V' (0) — I [V' (х)]2 ¿х а 0 а 0

Так как из однородных условий, соответствующих условиям (5) следует, что V (0) = V (г) = 0, то из последнего равенства приходим к неравенству

г г

Ь Г ии]2

J = 1 [ v2 (x) dx + -f [v; (x)]2 dx > 0. (11)

a j a j

0

Из неравенств (10) и (11) следует, что интеграл J = 0. Но при J = 0 из (11) следует, что v (x) = 0. Тогда из соотношения (8) имеем:

т"' (x) = 0,

откуда

т (x) = c1 + c2x + c3x2, c1, c2, c3 = const. (12)

Переходя к пределу при y ^ -0 из однородных условий, соответствующих условиям (5), (6) получим, что

т (0)= 0, т (r) = 0, т" (0) = 0. (13)

Из (12) при условиях (13) найдем, что т(x) = 0. Таким образом, показано, что для соответствующей задаче 1 однородной задачи имеют место равенства т (x) = 0 и v (x) = 0. При этом в области Q1 приходим к задаче нахождения решения уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию

u (x, 0)= 0, 0 < x < r (14)

и граничным условиям

u (0, y) = 0, u (r, y) = 0, Mxx (0, y) = 0, -a < y < 0, (15)

а в области Q2 - к задаче нахождения решения уравнения (3), удовлетворяющего начальному условию (14) и граничным условиям

u (0, y)= 0, u (r, y)= 0, 0 < y < в. (16)

Покажем, что задача (2), (14), (15) имеет только тривиальное решение. Для этого введем в уравнении (2) новую искомую функцию по формуле:

u (x, y) = едyu (x, y), д = const, (x, y) e Q1. (17)

При замене (17) из уравнения (2) приходим к новому уравнению

LMU = Uxxx + Uy + д и = 0

с начально краевыми условиями

U (x, 0)= 0, 0 < x < r (18)

и (0, у) = 0, и (г, у) = 0, ихх (0, у) = 0, -а < у < 0. (19)

Введем далее вспомогательную область = {(х, у): е < х < г — е, —а + е < у < е} и проинтегрируем уравнение 2= 0 по области ^1е. Будем иметь

2 У иххЬм и¿х^у = 2 у ихх [иххх + иу + д и] ¿х^у = 0,

откуда

2 у иххЬми¿х^у = У [и^ + 2ихиу + 2диих] ¿у + и2¿х — 2д I их2¿х^у = 0, (20)

г1е

где Гхе — граница области П1е.

Перейдем в равенстве (20) к пределу при е ^ 0. Легко заметить, что при этом область ^1е переходит в П1. Тогда с учетом граничных условий (18), (19) из (20) получим

0 г

2 у иххЬми¿х^у = J их (г, у) ¿у + J Ц2 (х, — а) ¿у — 2д ^ Ц2¿х^у = 0. (21)

О —а о о

Выбирая значение постоянной д < 0 замечаем, что равенство (21) может иметь место в том и только в том случае, когда их (х, у) = 0. Откуда

и (х, у) = 8 (у), (22)

где 8 (у) — произвольная функция от у. Удовлетворяя (22) одному из граничных условий (19) убеждаемся, что 8(у) = 0, и, стало быть, и (х, у) = 0 в О. Тогда из замены (17) заключаем, что и и (х, у) = 0 в

Как следует из результатов работы [10], однородная первая краевая задача (14), (16) для уравнения Аллера (3) имеет только тривиальное решение и (х, у) = 0 в П2. Таким образом доказано, что однородная задача, соответствующая задаче 1 имеет только тривиальное решение и (х, у) = 0 в О, что говорит о единственности регулярного решения задачи (1), (5), (6).

Перейдем далее к исследованию вопроса о существовании решения задачи (1), (5), (6). Путем дифференцирования из соотношения (9) находим

V/ (х) — а т/// (х) — Ь V//; (х) = 0, 0 < х < г. (23)

Исключая из (8) и (23) искомую функцию т (х), относительно функции V (х) приходим к уравнению

V/// (х) — 1V/ (х) — а V (х) = 0, 0 < х < г. (24)

ЬЬ

Соответственно, путем дифференцирования с последующим предельным переходом при у ^ 0, из граничных условий (5), (6) находим

V (0) = ^ (0), V (г) = ф2 (0), V// (0) = (0). (25)

Таким образом, для определения искомой функции V(х) получили краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка (24) с условиями (25). Задачу (24), (25) будем решать методом функции Грина. С помощью замены

V (х) = у (х) + (1 — х) ^ (0) + х ф2 (0) + (0) (26)

задача (24)-(25) сводится к неоднородному уравнению вида

2Ь гу/// (х) — 2гу/ (х) — 2а гу (х) = 2 [а (г — х) — 1] $ (0) +

+2 (ах + 1) (0) + r [ах2 +(2 - ar) x - r] (0),

(27)

с однородными краевыми условиями

у (0) = 0, у (г) = 0, у" (0) = 0

относительно искомой функции у(х).

Решение задачи (27)-(28) выписывается по формуле:

(28)

г

y (x) = | G (x, $)

а (r - $) -1 V (0) + а$ +1 -'

br

br

v2 (0) + а$2 + (2 -"> $- r V (0)

2b

d$, (29)

где О(х, £) функция Грина задачи (27), (28), явный вид которой в зависимости от

( д2 р3\ 27 а2 Ь — 4 знака дискриминанта и = I + ^ ) =—— характеристического уравнения

1

а

к3 + рк + д = к3 — - к — - = 0 ЬЬ

выписывается по одной из следующих формул: либо

81 ekix + 82 ek2x + 83 ek3x, о < x < $,

G(x, $) = JL J 8i ekix + ¿2ek2x + 83ek3x + 8 [(fc, -k2) eki(x-$) +

+ (ki - k,) ek2(x-$) + (k2 - ki) ek3(x-$)! , $ < x < r,

где D = 271а8|-4 < 0; А = (k2 - ki)(k3 - ki)(k3 - k2) = 0;

Ai = (k2 - k3) eki (r-$) + (k3 - ki) ek2 (r-$ > + (ki - k2) ek3 (r-$>; 8 = ki (k2 - k3) eki r + k2 (k3 - ki) ek2r + k3 (ki - k2) ek3r;

81 = (k32 - k2) Ai; 82 = (k2 -k32) Ai; 83 = (kf -k2) Ai;

2 /© + 2п Л

kj = cos —- , j = 0,1,2, где sin - > 0; V 3 b V 3 /

либо

G (x, $) = A8 <

gki x + 3 k2x-2 ek2x eki x + 3 k2x-2 ek2 x

81, 81+

0 < x < $,

+8 |eki(x-$) + [(k2 - ki) (x - $) - 1] ek2(x-$)} , $ < x < r,

где D =

или же

G (x, $ ) =

27 а2 b-4 108 b3

= 0; A =(k2 - ki)2 = 0; ki = 2л3/а/b; k2 = - л3/а/b

8 = ekir + 3k22 2ek2r; 81 = [1 + (ki -k2) (r- $)] ek2(r-$) - eki(r-$);

«ix

?aix _ e-~ cos

(fPi x) + W1 e-^ sin(fft

- e- ¥ cos (#ft x) + e- ¥ sin (#Pi x)

_e-ai (x-$)

в

1 cos

а1, 0 < x < $, ai + Pieai (x-$ )-

^ pi (x - $)!+ V3 aisin pi (x - $) ¡>, $ < x < r,

где D = ^^Цт4 > 0; ki = аь k2,3 = -f ± 4ßi i, «i = « + ß, ßi = « -ß,

а = ^-2+ ^ = V b +

q ^ V a 127a2b - 4 31 q ^ 3 / a 127a2b - 4

108 b3, ß = 3 - 2 = 3 b -

108b3 '

ai = (а2 - ß2

-ßi eai(z-%) + e-^(r-%) {ßi cos [^ßi (r - %)] - V3ai sin [^ßi (r- %)] }

(a2 - ß2) eair - (a2 - ß2) e- ^ cos (^ßi r) + ^3 (a2 + ß2) e- ^ sin (^ßir)

Из (26) и (29) находим:

v (x) = Г

br

r

b (r -x) + y G(x, %) (ar- i - a%) d%

(0) +

i

+7T br

i

bx +J G (x, %) (i + a %) d%

(0)+

i

+2b

f

bx (x - r) + y G (x, %) [a % 2 +(2 - 2 r) % - r] d%

(0)

После того как функция V (х) найдена, т (х) находится по формуле

i f x f b

t (x) = - (x -t) v (t) dt--(r -t) v (t) dt — v (x) +

a J ar J a

+

rx

(0) + x Ф2 (0) + ^^^ ^ (0) + bx (0).

bx ar

г г аг

Тогда в области приходим к задаче нахождения решения первой краевой задачи с условиями (5) и и (х, 0) = т (х) для уравнения (3), решение которой выписано в работе [10], а в области решение задачи (5), (6) и и (х, 0) = т (х) для уравнения (2) выписывается по формуле:

{о о

/ О(х, -у; 0, -п) Фз (п) Ап - / О££ (х, -у; 0, -п) Ф1 (п) ¿п +

-у -у

0 г 1

+ / (х, -у; г, -п) Ф2 (п) А п + /О (х, -у; £, 0) т (£) А О ,

-у 0 J

где О(х, у; £, п) = и (х, у; £, п) - ^ (х, у; £, п) - функция Грина задачи (2), (5), (6) с начальным условием и(х, 0) = т(х); и (х, у; £, п) и W (х, у; £, п) фундаментальные решения уравнения (2) [2][с. 135].

Список литературы/References

[1] Нахушев А.М., Уравнения математической биологии, «Высшая школа», М., 1995, 301 с. [Nahushev A.M., Uravneniya matematicheskoj biologii, «Vysshaya shkola», M., 1995, 301 pp., (in Russian)].

x

r

[2] Джураев Т.Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, «ФАН», Ташкент, 1979, 236 с. [Dzhuraev T.D., Kraevye zadachi dlya uravnenij smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov, «FAN», Tashkent, 1979, 236 pp., in Russian].

[3] Красильников В.А., Кузнецов В.П, "Распространение нелинейных звуковых волн в жидкости при кавитации", Акустический журнал, 3:20 (1974), 473-477. [Krasilnikov V. A., Kuznetsov V.G., "Rasprostraneniye nelineynykh zvukovykh voln v zhidkosti pri kavitatsii", Akkusticheskiy zhurnal, 3:20 (1974), 473-477, (in Russian)]].

[4] Карпман В. И., Нелинейные волны в диспергирующих средах, «Наука», М., 1973, 175 с. [Karpman V. I., Nelineynyye volny v dispergiruyushchikh sredakh, «Nauka», M., 1973, 175 pp., (in Russian)].

[5] Иргашев Ю., Сборник научных трудов «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения», «ФАН», Ташкент, 1976, 17-31 с. [Irgashev Yu., Sbornik nauchnykh trudov «Krayevyye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy i ikh prilozheniya», «FAN», Tashkent., 1976, 17-31 pp., (in Russian)].

[6] Джураев Т. Д., Абдиназаров С., "Краевые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками", Известия АН Узбекской ССР, 1 (1981), 8-11. [Juraev T. D., Abdinazarov S., "Krayevyye zadachi tipa zadachi Bitsadze-Samarskogo dlya uravneniy tret'yego poryadka s kratnymi kharakteristikami", Izvestiya Akademii nauk Uzbekskoy SSR, 1 (1981), 8-11, (in Russian)].

[7] Абдиназаров С., "Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками", Дифференц. уравнения, 17:1 (1981), 3-12. [Abdinazarov S., "Obshchiye krayevyye zadachi dlya uravneniya tret'yego poryadka s kratnymi kharakteristikami", Differencialnie uravneniya, 17:1 (1981), 3-12, (in Russian)].

[8] Hallaire M., "Potential efficace de l'eau dans le sol en regime de dessechement", Assemblee gene'rale de Berkeley General Assembly of Berkeley, 1963, №62, 114-122.

[9] Нахушев А.М., Задачи со смещением для уравнений в частных производных, «Наука», М., 2006, 287 с. [Nahushev A.M., Zadachi so smeshcheniyem dlya uravneniy v chastnykh proizvodnykh, «Nauka», M., 2006, 287 pp., (in Russian)].

[10] Макаова Р. Х., "Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера", Вестник КРАУНЦ, 2016, №4(16), 45-49. [Makaova R. Kh., "Pervaya krayevaya zadacha dlya neodnorodnogo uravneniya Allera", Vestnik KRAUNTS, 2016, №4 (16), 45-49, (in Russian)].

[11] Yangarber V. A., "The mixed problem for a modified moisture-transfer equation", Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 8:1 (1967), 62-64.

[12] Макаова Р. Х., "Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:3 (2015), 35-38. [Makaova R. Kh., "Vtoraya krayevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoy proizvodnoy Rimana-Liuvillya", Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 17:3 (2015), 35-38, (in Russian)].

[13] Colton D., "Pseudoparabolic equations in one space variable", Journal of Differential Equations, 12:559-565 (1972), 62-64.

[14] Нахушев А. М., "Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод", Дифференц. уравнения, 18:1 (1982), 72-81. [Nakhushev A. M., "Ob odnom priblizhennom metode resheniya krayevykh zadach dlya differentsial'nykh uravneniy i yego prilozheniya k dinamike pochvennoy vlagi i gruntovykh vod", Differentsial'nyye uravneniya, 18:1 (1982), 72-81, (in Russian)].

[15] Водахова В. А., "Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса", Дифференц. уравнения, 18:2 (1982), 280-285. [Vodakhova V. A., "Krayevaya zadacha s nelokal'nym usloviyem A. M. Nakhusheva dlya odnogo psevdoparabolicheskogo uravneniya vlagoperenosa", Differentsial'nyye uravneniya, 18:2 (1982), 280-285, (in Russian)].

[16] Водахова В. А., "Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М. Нахушева", Дифференц. уравнения, 19:1 (1983), 163-166. [Vodakhova V. A., "Ob odnoy krayevoy zadache dlya uravneniya tret'yego poryadka s nelokal'nym usloviyem A.M. Nakhusheva", Differentsial'nyye uravneniya, 19:1 (1983), 163-166, (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

[2] Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: «ФАН», 1979. 236 с.

[3] Красильников В. А., Кузнецов В. П. Распространение нелинейных звуковых волн в жидкости при кавитации // Акустический журнал. 1974. T. 3. №20. 473-477.

[4] Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: «Наука», 1973. 175 с.

[5] Иргашев Ю. Сборник научных трудов «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения». Ташкент: «ФАН», 1976. C. 17-31.

[6] Джураев Т.Д., Абдиназаров С. Краевые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Известия АН Узбекской ССР. 1981. №1. С. 8-11.

[7] Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. №1. С. 3-12.

[8] Hallaire M. Potential efficace de l'eau dans le sol en régime de dessèchement // Assemblée générale de Berkeley General Assembly of Berkeley. 1963. no. 62. pp. 114-122.

[9] Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: «Наука». 2006. 287 с.

[10] Макаова Р. Х. Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2016. №4(16). С. 45-49.

[11] Yangarber V. A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation//Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1967. vol. 8. no. 1. pp. 62-64.

[12] Макаова Р. Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. №3. С. 35-38.

[13] Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // Journal of Differential Equations. 1972. vol. 12. no. 559-565. pp. 62-64.

[14] Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №1 . С. 72-81.

[15] Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №2. С. 280-285.

[16] Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М. Нахушева//Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №1. С. 163-166.

Для цитирования: Водахова В. А., Балкизова M. C. Краевая задача для модельного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 6-15. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-6-15

For citation: Vodahova V. A., Balkizova M. S. A boundary value problem with displacement for a model equation of a parabolic-hyperbolic type of the third order, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 28: 3, 6-15. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-6-15

Поступила в редакцию / Original article submitted: 19.07.2019

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2019. vol. 28. no.3. pp. 6-15.

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-6-15 MATHEMATICS

MSC 35M12

A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH DISPLACEMENT FOR A MODEL EQUATION OF A PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE OF THE THIRD

ORDER

V. A. Vodahova, M. S. Balkizova

Kabardino-Balkarian State University, 360005, Nalchik, Chernishevskogo st., 175, Russia E-mail: [email protected]

In this paper, a boundary value problem for a model inhomogeneous mixed parabolic-hyperbolic type equation of third order is investigated. A theorem on uniqueness and the existence of a regular solution of the problem under investigation is proved. The solution of the investigated problem is written out in an explicit form.

Key words: mixed type equation, Aller equation, third-order equation with multiple characteristics, Tricomi method.

© Vodahova V. A., Balkizova M.S., 2019