Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 26-31. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-26-31

УДК 517.95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Р. Х. Макаова

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик,

ул. Шортанова, 89А

E-mail: [email protected]

В работе исследуется краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка. Доказана теорема существования и единственности регулярного решения. Решение исследуемой задачи найдено в явном виде.

Ключевые слова: уравнение параболо-гиперболического типа, уравнение Аллера, метод Трикоми.

@ Макаова Р.Х., 2019

MSC 35L25, 35L80

THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THIRD ORDER EQUATION OF PARABOLIC-HYPERBOLIC

TYPE

R. Kh. Makaova

Institute of Applied Mathematics and Automation, 89А Shortanova St., Nalchik, 360000, Russia

E-mail: [email protected]

In this paper we study the boundary value problem for third order equation of parabolic-hyperbolic type. The existence and uniqueness theorem of a regular solution is proved. The solution to the problem under study was found explicitly.

Key words: equation of parabolic-hyperbolic type, Hallaire equation, Tricomi method.

© Makaova R. Kh., 2019

Введение

В евклидовой плоскости точек (х,у) рассмотрим уравнение вида

0 I Му - аихх - Ьихху, у > 0,

I Му + сихх, У < 0, ч /

где а, Ь и с - заданные положительные числа; и = и(х,у) - искомая действительная функция независимых переменных х и у.

Рассматриваемое уравнение при у > 0 совпадает с уравнением Аллера [1]:

ди д / ди ^ д2и \ (2)

ду дх \ дх дхду у '

а при у < 0 - с обратным уравнением параболического типа [2]:

ди д2и

Т" + с ТТ = 0. (3)

д у д х 2

Уравнение (2) также называется модифицированным уравнением диффузии [3] и относится к уравнениям псевдопараболического типа [4]. Исследованию различных локальных, нелокальных и смешанных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка, в частности для уравнения Аллера, посвящены работы [5]-[11].

Постановка задачи и полученные результаты

Пусть П = П+ иП- и (А0Аг), где П+ = {(х,у) : 0 < х < г,0 < у < Т}, П- = {(х,у) : 0 < х < г,-Т < у < 0} и А0Аг = {(х,0) : 0 < х < г}, А0 = (0,0), Аг = (г,0).

Регулярным в области П решением и = и(х,у) уравнения (1) назовем функцию и = и(х,у) такую, что и е С(П) П С2(П), ихху е С(П+) и ихху(х,0) е ^(А0Аг), удовлетворяющую уравнению (1).

Исследуется следующая

Задача. Найти регулярное в области П решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим краевым условиям:

и(0,у) = т(у), -Т < у < Т, (4)

и(г,у) = тг(у), -Т < у < Т, (5)

где т(у), Тг(у) е С1 [Т;-Т]. Имеет место следующая

Теорема. Регулярное решение задачи (4), (5) для уравнения (1) существует и оно единственно.

Доказательство. Положим

и(х, 0) = ф(х), 0 < х < г, (6)

wy(x, 0) = у(x), 0 < x < r,

(7)

тогда ф(0) = т(0), ф (г) = тг(0).

Переходя к пределу при у ^ +0 с учетом (6) и (7), из (2) находим функциональное соотношение между функциями ф(х) и ¥(х), принесенное из области О+ на линию у = 0, в виде

¥(х) - аф"(х) - Ьцт"(х) = 0, (8)

а из граничных условий (4) и (5) с учетом (7) имеем, что

¥ (0) = т'(0), (9)

¥(г) = тГ (0). (10)

Рассмотрим интеграл

г г

] = Iиу(х, 0)ихх(х, 0)йх = I у(х)ф"(х)йх. (11)

0 0

Умножив (8) на функцию ¥(х) и проинтегрировав в пределах от 0 до г, получим

г г г

J ¥2(х)(^х- а^ ¥(х)ф"(х)йх- Ь^ ¥"(х)¥(x)dx = 0. 0 0 0

Откуда в силу обозначения (11) при однородных краевых условиях (4) и (5) верно, что

г г

Ь

J = 1 i ¥2(x)dx + - f ¥,2(x)dx > 0. (12)

a j a j

2

0 0

Найдем теперь фундаментальное соотношение между искомыми функциями ф(х) и ¥(х), принесенное из области О- на линию у = 0. Из (3), переходя к пределу при у ^ -0 с учетом (6) и (7), получим

¥ (х) + сф "(х) = 0. (13)

Аналогично, умножив на функцию ¥(х) и проинтегрировав в пределах от 0 до г, из (13) имеем

г

] = - Ц ¥2(х^х < 0. (14)

0

Таким образом, из (12) и (14) следует, что ] = 0, которое имеет место тогда и только тогда, когда ¥(х) = 0. Тогда, как видно из (13), функция ф(х) = ф'(0)х + ф(0). При однородных граничных условиях (4), (5) из последнего равенства следует, что ф(х) = 0. Тогда в области О+ приходим к задаче и(0,у) = 0, и(г,у) = 0 и и(х, 0) = 0 для уравнения (2), которая согласно результатам работы [11] имеет только тривиальное решение и(х,у) = 0. А в области О- решение однородной первой краевой задачи для уравнения (3) не может отличаться от нулевого. То есть, и(х,у) = 0 в области О, откуда следует единственность решения исследуемой задачи.

Перейдем к доказательству существования решения исследуемой задачи. Исключая из полученных выше фундаментальных соотношений (8) и (13) функцию ф"(х), относительно функции у(х) приходим к задаче нахождения решения уравнения

а + с

у"(х) + Ау(х) = 0, А = < 0,

Ьс

удовлетворяющее условиям

у (0) = т'(0), у (г) = < (0), решение которого можно выписать в явном виде

(х) = т/(0) 8И[У=Х(г - х)] + тг(0) 8И(У=Хх) < 0 П ) 8И(^=Хг) , . ()

Тогда из (13) и (15) с учетом краевых условий (4), (5) функция ф(х) находится однозначно по формуле

х г

ф(х) = 1 /(§ -х)у(§)А§ + - /(г- §)у(§)А§ + г [тг(0) - т(0)] + т(0). (16) с гс г

00

Краевая задача (4)-(6) для уравнения (1) при у > 0 совпадает с неоднородной первой краевой задачей для уравнения Аллера, решение которой находим с помощью метода функции Грина в виде

/

u(x,y) = | G(x,y; , 0)[Ф(<§) - M +

0

у

+ У т(п) [аО§(х,у;0,п) - ЬО§п(х,у;0, п)] Ап-

0

у

-1 тг(п) [аО§ (х, у; г, п) - ЬО§п (х,у; г, п)] Ап+

0

+Ь [т(у)О§(х,у;0,у) - тг(у)О§(х,у;г,у)], (17)

где функция О(х,у; §, п) определяется по формуле [11]:

О(х,у;§,п) = 2 £ —Ь— е-™(у-п} 81п(^ДП§) 81п(^ДПх), = 2.

г п=1 1 + ЬМи V г /

Решение задачи (4)-(6) для уравнения (1) при у < 0 находим в виде

г

и(х, у) = / О0(х, у; §, 0)ф (§ )А § +

о

+c|т(n)G0(x,y;0,n)dn -cjтг(n)G0(x,y;r,n)dn, (18)

y

0

где

г\ < _ 2

00(х,у; , п) = - £ е-с^(п-у) ) 81п(^х), = (—) .

г п=1 г

Отметим, что полученная функция 00(х,у;^,п) совпадает с функцией мгновенного точечного источника для уравнения теплопроводности [12].

Следовательно, с учетом найденной функции ф(х) по формуле (16), решение исследуемой задачи (4), (5) для уравнения (2) в области О+ находится по формуле (17), а для уравнения (3) в области О- находится по формуле (18).

Список литературы/References

[1] Hallaire M., "L'eau et la productions vegetable", Institut National de la Recherche Agronomique, 9 (1964).

[2] Джураев Т. Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов., Фан, Ташкент, 1979, 120 с. [Dzhuraev T. D., Kraevye zadachi dlya uravnenij smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov., Fan, Tashkent, 1979, 120 pp., (in Russian)].

[3] Чудновский А.Ф., Теплофизика почв, Наука, М., 1976, 352 с. [Chudnovskij A.F., Teplofizika pochv, Nauka, M., 1976, 352 pp., (in Russian)].

[4] Showalter R.E., Ting T.W., "Pseudoparabolic partial differential equations", SIAM J. Math. Anal, 1:1 (1970), 1-26.

[5] Yangarber V.A., "The mixed problem for a modified moisture-transfer equation", Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 8:1 (1967), 62-64.

[6] Шхануков М. Х., "О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах", Дифференциальные уравнения, 18:4 (1982), 689-699. [Shkhanukov M. Kh., "Some boundary value problems for a third-order equation that arise in the modeling of the filtration of a fluid in porous media", Differential Equations, 18:4 (1982), 689-699].

[7] Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995, 301 с. [Nahushev A. M., Uravneniya matematicheskoj biologii, Vysshaya shkola, M., 1995, 301 pp., (in Russian)].

[8] Хубиев К.У., "О математической модели уравнения Аллера", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 4-1:16 (2016), 56-65. [Hubiev K.U., "O matematicheskoj modeli uravneniya Allera", Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 4-1:16 (2016), 56-65, (in Russian)].

[9] Макаова Р.Х., "Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана - Лиувилля", Вестник АГУ. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 4:211 (2017), 36-41. [Makaova R.H., "Pervaya kraevaya zadacha v nelokal'noj postanovke dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoj proizvodnoj Rimana - Liuvillya", Vestnik AGU. Seriya 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki, 4:211 (2017), 36-41, (in Russian)].

[10] Макаова Р.Х., "Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:3 (2015), 35-38. [Makaova R.H., "Vtoraya kraevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoj proizvodnoj Rimana-Liuvillya", Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 17:3 (2015), 35-38, (in Russian)].

[11] Макаова Р.Х., "Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера", Вестник КРАУНЦ. Физ.-Мат. науки, 4-1:16 (2016), 45-49. [Makaova R.H., "Pervaya kraevaya zadacha dlya neodnorodnogo uravneniya Allera", Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. nauki., 41:16 (2016), 45-49, (in Russian)].

[12] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, Наука, М., 1977, 736 с. [Tihonov A. N., Samarskij A. A., Uravneniya matematicheskoj fiziki, Nauka, M., 1977, 736 pp., (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Hallaire M. L'eau et la productions vegetable // Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. vol. 9.

[2] Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. 120 с.

[3] Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.

[4] Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. vol. 1. no. 1. pp. 1-26.

[5] Yangarber V.A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1967. vol. 8. no. 1. pp. 62-64.

[6] Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. №4. С. 689-699.

[7] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 c.

[8] Хубиев К. У. О математической модели уравнения Аллера // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. №4-1(16). С. 56-65.

[9] Макаова Р. Х. Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана - Лиувилля // Вестник АГУ. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. 2017. Т. 4. №211. С. 36-41.

[10] Макаова Р. Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. №3. С. 35-38.

[11] Макаова Р.Х. Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера // Вестник КРАУНЦ. Физ.-Мат. науки. 2016. №4-1(16). С. 45-49.

[12] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 c.

Для цитирования: Макаова Р. Х. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического

типа третьего порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 26-31.

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-26-31

For citation: Makaova R. Kh. The boundary value problem for order equation of parabolic-

hyperbolic type, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 28: 3, 26-31. DOI: 10.26117/20796641-2019-28-3-26-31

Поступила в редакцию / Original article submitted: 19.09.2019