Задача с локальным смещением для уравнения дробной диффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 28-34. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-28-34

УДК 517.9

ЗАДАЧА С ЛОКАЛЬНЫМ СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДРОБНОЙ ДИФФУЗИИ

Ф.М. Лосанова

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А E-mail: losanovaf@gmail.com

Для уравнения дробной диффузии исследуется нелокальная краевая задача первого рода, нелокальность которой проявляется в том, что в граничном условии задается линейная комбинация значений искомой функции. В работе доказана теорема о существовании и единственности решения поставленной задачи.

Ключевые слова: нелокальная краевая задача, дробная производная Римана-Лиувилля, уравнение дробной диффузии, функция типа Райта

© Лосанова Ф.М., 2019

MSC 34L99

LOCAL DISPLACEMENT PROBLEM FOR EQUATION OF FRACTIONAL DIFFUSION

F. M. Losanova

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia E-mail: losanovaf@gmail.com

For the fractional diffusion equation, we study a nonlocal boundary value problem of the first kind. The problem nonlocality is manifested in the fact that a linear combination of the values of the desired function is specified in the boundary condition. The theorem on the existence and uniqueness of a solution to the problem is proved.

Key words: nonlocal boundary value problem, Riemann-Liouville fractional derivative, fractional diffusion equation, Wright type function.

© Losanova F.M., 2019

Введение

В области Q = {(x,t) : 0 < x < l,0 < t < T} рассматривается уравнение дробной диффузии

uxx(x,t) —Dgtu(x,n)= f (x,t), (1)

удовлетворяющее условиям

limDat-1u(x, t) = т(x), 0 < x < l, (2)

k

u(0,t) + £aiu(xi,t) = ф(t), 0 < t < T, (3)

i=0

u(l,t) = у(t), 0 < t < T (4)

где D§£ - оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка а, определяемый следующим образом [1]

а < 0,

а = 0, p — 1 < а < p, p е N.

Г(а) - гамма-функция Эйлера, 0 < а < 1, ai - некоторые произвольные постоянные, т(x), ф(t), у(t) - заданные непрерывные функции.

При изучении ряда прикладных задач возникают различные математические модели, которые приводят к необходимости решения нелокальных краевых задач. Интерес к которым впервые проявили в своей работе А.В. Бицадзе и А.А. Самарский [2]. Уравнение (1) же возникает при математическом моделировании динамики численности популяции с учетом различных миграционных процессов [3].

Перечислим некоторые работы, посвященные уравнению (1). В работе [4] исследовалась задача Коши для уравнения диффузии дробного порядка (0 < а < 1) с регуляризованной дробной производной и эллиптическим оператором с коэффициентами, зависящими от пространственных переменных.

Для построения фундаментальных решений диффузионных и диффузионно-волновых уравнений дробного порядка с производными Капуто и Римана-Лиувилля в работе [5] были использованы преобразование Лапласа и преобразовние Фурье.

Диффузионно-волновое уравнение было исследовано в работе [6] методами группового анализа, а в работе [7] методом разделения переменных.

В работах [8] и [9] методом редукции к системе уравнений меньшего порядка решена задача Коши и первая краевая задача для дробного уравнения диффузии вида (1). Затем методом функции Грина построены решения основных краевых задач в прямоугольной области и решена задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с помощью фундаментального решения.

В работе [10] строится решение внутреннекраевой задачи с нелокальным смещением для уравнения дробной диффузии в прямоугольной области, а в работе строится решение нелокальной краевой задачи с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе.

1

DoXn) =

Г(—а)

<П)

\а+1

d n,

0 (t—n) u(t ^

I )PDor Pu(n),

Для уравнения (1) были рассмотрены и другие задачи, полный список работ можно найти к примеру в [11], [12], [18].

Далее обратим внимание на условие (3). В 1979 году А.М. Нахушевым была предложена задача для уравнения теплопроводности с внутреннекраевыми условиями вида (3), которое возникает при численной реализации на ЭВМ задачи Самарского [1].

Фундаментальную роль в развитие методов исследования нелокальных краевых и внутреннекраевых задач с условием (3) сыграли работы В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [14], [15], где была изучена нелокальная краевая задача первого рода в дифференциальной и разностной трактовках. Нелокальность первого рода проявляется вследствие того, что в граничном условии задается линейная комбинация значений искомой функции. Наиболее подробный анализ работ с условием (3) был проведен в Главе 2 [1].

Постановка задачи

Регулярным решением уравнения (1) в области О назовем функцию и = и(х,г) из класса ^^^(х, п) е С (О.), ихх, 0^1и(х, п) е С (О.), удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках (х, г) е О.

Задача. Найти регулярное решение и(х, г) уравнения (1) в области О, удовлетворяющее условиям (2)-(4).

Интегральное уравнение

Пусть и(х,г) - является регулярным решением уравнения (1). Тогда для нахождения решения задачи (1)-(4), воспользуемся предсталением решения первой краевой задачи для уравнения (1), которое выписывается в виде [12, стр. 99]

t

u(

0 0 l t l

L L

i(x, t) = Ju(0, n)G$ (x, t, 0, n)dn - J W(n)G$ (x, t, l, n)dn+

+ j t (n )G(x, t, $, 0 )d$ -Jj f($, n )G(x, t, $, n )d$ dn, (5)

00

где

x L

П=—ж

G(x, t, $, n)=(t n2)ß- x ei,ß f_ | x - $ + 2nl\ f_ | x + $ + 2nl

'1в\ (г - П)в ) 1'Ч (г - П )в

— функция Грина первой краевой задачи, в = а/2,

_ V _-_

n=0 n'r(M - Рn)

elj (z) = L

— функция Райта [12, стр. 23].

Удовлетворив функцию (5) условию (3), после несложных преобразований получим

г

и(0,0 + у и(0, п )К(г, п Мп = F (г), (6)

о

где

к

К(г, п )= £ а,^ (х, г, 0, п), (7)

о

- ядро интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода (6),

^ (^г,0, п) = (г - п)-1 (-—

10 / |х — 2п/|\ ^ 10 / (х + 2п1 )\

£ в1,п (t — n + £ M (t — n)Ч

t l

^ (г) = Ф(г)^ у(г)К(г, п Мп — /т(<§ )К(г, п Ж + /\/(<§, п )К(г, п Ж ^п

0 0 0 0

- правая часть уравнения (6). Далее исследуем ядро (7).

Используя оценку для функции Райта [12, стр. 27] и учитывая, что е 1 'в(г) — положительная функция, получим

|К(г, п) | < £ |а,| |(х,г, 0, п) | < С(г — п)вв—1, (8)

0

где С = С(в,а,,в) — константа, не зависящая от х, причем в € (1,2].

Основной результат

Пусть г1—ам(0,г) € С[0,г). Тогда решение интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода (6) можно выписать в виде [см. 17]

г

и(0, г) = ^ (г) — (п )Я(г, п Мп, (9)

0

где Я (г, п) — резольвента ядра К (г, п) и имеет вид

Я (г, п ) = £ (—1)иКи+1(г, п), к=0

г

К1(г, п) = К (г, п), Ки(г, п) = У К(г, ^)КИ—1(5, п

п

а

t

В результате, пользуясь представлением (5), решение задачи (1)-(4) может быть выписано в виде

t t u(x, t) = J F(t) - Jl

F(t) -JF(n)R(t, n)dn

0

G% (x, t, 0, n )dn -

L

- J ф(n)G% (x, t, l, n)dn+

(10)

t i

+ J T (n )G(x, t, %, 0)d% - у/ f(%, n )G(x, t, %, n )d% dn.

00

Сформулируем теорему.

Теорема. Пусть г 1-ау(г), г 1-ау(г) е С[0, Т), т(х) е С[0,1], г1-а/(х,г) е С(П), /(х,г) удовлетворяет условию Гельдера по переменной х. Тогда решение задачи (2)-(4) для уравнения (1) существует, единственно и представимо в виде (10).

Доказательство.

Единственность решения задачи (1)-(4) следует из единственности решения интегрального уравнения (6) и представления (10).

Учитывая условия, наложенные на ф (г), у (г), и(0, г) доказательство того, что функция (10) является решением уравнения (1) и удовлетворяет условиям (2)-(4) проводится также как и в работе [9]. □

i

Список литературы/References

[1] Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высш. шк., М., 1995, 301 с. [Nakhushev A. M., Uravneniya matematicheskoy biologii, Vyssh. shk., M., 1995, 301 pp., (in Russian)].

[2] Бицадзе А. В., Самарский А. А., "О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач", Докл. АН СССР, 185:4 (1969), 739-740. [Bitsadze A. V., Samarskiy A. A., "O nekotorykh prosteyshikh obobshcheniyakh lineynykh ellipticheskikh krayevykh zadach", Dokl. AN SSSR, 185:4 (1969), 739-740, (in Russian)].

[3] Лосанова Ф. М., "Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2015, №2(11), 17-21. [Losanova F. M., "Zadacha s usloviyem Samarskogo dlya uravneniya drobnoy diffuzii v polupolose", Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 2015, №2(11), 17-21, (in Russian)].

[4] Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д., "Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка", Докл. РАН, 394:2 (2004), 159-161. [Kochubey A. N., Eydel'man S. D., "Zadacha Koshi dlya evolyutsionnykh uravneniy drobnogo poryadka", Dokl. RAN, 394:2 (2004), 159-161, (in Russian)].

[5] Mainardi F., "Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena", Chaos Solitons Fractals, 1996, №7:9, 1461-1477.

[6] Luchko Yu., Gorenflo R., "Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order", Fract. Calc. Appl. Anal., 1:1 (1998), 63—78.

[7] Андреев А. А., Еремин А. С., "Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени", Математическое моделирование и краевые задачи, Тр. двенадцатой межвуз. конф.. Т. 3, СамГТУ, Самара, 2004, 3-9. [Andreyev A. A. , Yeremin A. S., "Krayevaya zadacha dlya uravneniya diffuzii s drobnoy proizvodnoy po vremeni", Matematicheskoye modelirovaniye i krayevyye zadachi, Tr. dvenadtsatoy mezhvuz. konf.. V.3, SamGTU, Samara, 2004, 3-9, (in Russian)].

[8] Псху А. В., "Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина", Дифференциальные уравнения, 39:10 (2003), 1430-1433. [Pskhu A. V., "Resheniye krayevykh zadach dlya uravneniya diffuzii drobnogo poryadka metodom funktsii Grina", Differentsial'nyye uravneniya, 39:10 (2003), 1430-1433, (in Russian)].

[9] Псху А. В., "Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка", Дифференциальные уравнения, 39:9 (2003), 1286-1289. [Pskhu A. V., "Resheniye pervoy krayevoy zadachi dlya uravneniya diffuzii drobnogo poryadka", Differentsial'nyye uravneniya, 39:9 (2003), 1286-1289, (in Russian)].

[10] Лосанова Ф. М., "Задача с нелокальным смещением для уравнения дробной диффузии", Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 24:3 (2018), 35-40. [Losanova F. M., "Zadacha s nelokal'nym smeshcheniyem dlya uravneniya drobnoy diffuzii", Vestnik Samarskogo universiteta. Yestestvennonauchnaya seriya, 24:3 (2018), 35-40, (in Russian)].

[11] Нахушев А. М., Задачи со смещением для уравнения в частных производных, Наука, М., 2006, 287 с. [Nakhushev A. M., Zadachi so smeshcheniyem dlya uravneniya v chastnykh proizvodnykh, Nauka, M., 2006, 287 pp., (in Russian)].

[12] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. V., Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 pp., (in Russian)].

[13] Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с. [Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I., Integraly i proizvodnyye drobnogo poryadka i nekotoryye ikh prilozheniya, Nauka i tekhnika, Minsk, 1987, 688 pp., (in Russian)].

[14] Ильин В. А., Моисеев Е. И., "Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках", Докл. АН СССР, 291:3 (1986), 534-538. [Il'in V. A., Moiseyev Ye. I., "Nelokal'naya krayevaya zadacha dlya operatora Shturma-Liuvillya v differentsial'noy i raznostnoy traktovkakh", Dokl. AN SSSR, 291:3 (1986), 534-538, (in Russian)].

[15] Ильин В. А., Моисеев Е. И., "Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля", Дифференциальные уравнения, 23:8 (1987), 1422-1431. [Il'in V. A., Moiseyev Ye. I., "Nelokal'naya krayevaya zadacha vtorogo roda dlya operatora Shturma-Liuvillya", Differentsial'nyye uravneniya, 23:8 (1987), 1422-1431, (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. M. Уравнения математической биологии. M.: Высш. шк., 1995. 301 c.

[2] Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач II Докл. АН СССР. 1969. Т. 1В5. №4. С. 739-740.

[3] Лосанова Ф. M. Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе II Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. №2(11). С. 17-21.

[4] Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка II Докл. РАН. 2004. Т. 394. №2. С. 159-161.

[5] Mainarái F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena II Chaos Solitons Fractals. 1996. vol. 9. no. 7. pp. 1461—1477.

[6] Luchko Yu., Gorenflo R. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional oгdeг II Fract. Calc. Appl. Anal. 199В. vol. 1. no. 1. pp. 63—7В.

[7] Андреев А. А., Еремин А. С. Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени II Mатематическое моделирование и краевые задачи. Тр. двенадцатой межвуз. конф. Ч. 3. СамГТУ. Самара. 2004. С. 3-9.

[В] Псху А. В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина II Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. №10. С. 1430-1433.

[9] Псху А. В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка II Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. №9. С. 12В6-12В9.

[10] Лосанова Ф. М. Задача с нелокальным смещением для уравнения дробной диффузии // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2018. Т. 24. №3. С. 35-40.

[11] Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.

[12] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[13] Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

[14] Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291. №3. C. 534-538.

[15] Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. №. 8. С. 1422-1431.

Для цитирования: Лосанова Ф. М. Задача с локальным смещением для уравнения дробной диффузии // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 28-34. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-28-34

For citation: Losanova F. M. Local displacement problem for equation of fractional diffusion, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 29: 4, 28-34. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-2834

Поступила в редакцию / Original article submitted: 28.11.2019