Задача Дирихле для нелокального волнового уравнения с производной Римана-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 27. № 2. C. 6-11. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-27-2-6-11 МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

О.Х. Масаева

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89a E-mail: [email protected]

Доказано существование и единственность решения задачи Дирихле для уравнения второго порядка с дробной производной. Исследуемое уравнение переходит в волновое уравнение при целом значении порядка дробной производной.

Ключевые слова: задача Дирихле, дробная производная Римана-Лиувилля, дробная производная Капуто, волновое уравнение

© Масаева О.Х., 2019

MATHEMATICS

MSC 35L05

DIRCHLET PROBLEM FOR A NONLOCAL WAVE EQUATION WITH RIEMANN-LIOUVILLE

DERIVATIVE

О. Kh. Masaeva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Kabardino-Balkarian Republic, Nalchik, st. Shortanova, 89a E-mail: [email protected]

The existence and uniqueness of the solution to Dirichlet problem for a second-order equation with a fractional derivative is proved. The equation under study is a wave equation for a integer value of the order of the fractional derivative.

Key words: Dirichlet problem, Riemann-Liouville fractional derivative, Caputo fractional derivative, wave equation

© Masaeva О. Kh., 2019

Введение

Рассмотрим в области D = {(x,y) : 0 < x < r, 0 < y < a} уравнение

Lu(x,y) = (- Doy) u(x,y) = 0, (1)

где 1 < a < 2, D®y — оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля порядка а, с началом в точке y = 0, по переменной y [1]. При а = 2 уравнение (1) совпадает с волновым уравнением.

Дифференциальные уравнения дробного порядка возникают при математическом моделировании различных физических процессов и явлений [1].

Уравнения второго порядка вида (1) с частными производными дробного порядка а Е (0,2) исследовались в работах [1]-[6] и др. (см. библиографию, приведенную в [2] и [6]). В указанных работах рассматривались задача Коши, первая, вторая и смешанные краевые задачи, найдено фундаментальное решение, построено общее представление решений.

В работах [7] и [8] была исследована задача Дирихле для уравнения (1) с дробной производной в смысле Капуто, было получено необходимое и достаточное условие единственности решения задачи, доказана теорема существования решения.

В данной работе доказано существование и единственность решения задачи Дирихле для уравнения (1).

Постановка задачи

Регулярным решением уравнения (1) в области D назовем функцию u = u(x,y) такую, что y2-au Е C(D), uxx,D®yu е C(D) и удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках области D.

В данной работе исследуется следующая задача:найти регулярное решение уравнения (1) в области D, удовлетворяющее краевым условиям

u (0,y)= 0, u (r, y) = 0, 0 < y < a, (2)

[D0°y-2u(x,y)]y=0 = ф (x), 0 < x < r, (3)

[D0y-2u(x,y)]y=a = W(x), 0 < x < r, (4)

где ф (x), w(x) - заданные непрерывные функции на [0,r].

Существование решения

Введем в рассмотрение множество Qa — подмножество действительных чисел вида

А1/а

(пn)2/a,

где n е N, А > 0 такое, что Ea,2(-А) = 0.

Здесь

zk

EP" (z) = I Г^,P > 0' (5)

- функция типа Миттаг-Леффлера.

Известно, что если р > -, д = 2 функция (5) имеет не менее двух нулей [11], 4

если р < -, д = 2 функция не имеет нулей [10]. Вообще говоря, при р < 2 функция

типа Миттаг-Леффлера (5) может иметь лишь конечное число вещественных нулей [9, с. 142].

Очевидно, что множество Оа ограничено, точка 0 является точкой сгущения. Теорема. Пусть у(х) е С![0,г], ф(х) е С![0,г], функции у"(х) и ф"(х) кусочно-непрерывны на отрезке [0,г],у"(0) = у"(г) = 0, ф"(0) = ф"(г) = 0.

4 е оа, (6)

г 2

тогда существует регулярное решение задачи (1)-(4).

Доказательство. Методом разделения переменных можно найти формальное решение задачи (1)-(4) в виде

"(х,у) = £ Ып(х,у), (7)

п=1

где u„(x,y) = (C(Àn,y)Yn + [ya Ea,a-\(~Kya) -C(An,y)Ea,i(-A„aa)] фп) sin(>/Ânx),

aEa,2{-haa )

больших значениях аргумента t > 0 [9, с. 134]:

C(An,y) = y" У), An = . Оценим функцию C(An,y). Известно, что при

t-2

Ea,a (-t) = - Y—a) + O(t-3) , t ^ - (8)

t-1

Ea,2(-t) = г(2 - a) + °(t) , t ^ (9)

Тогда учитывая асимптотическое представление (8) приходим к оценке |Ea,a(—t)| < 1+2, t > 0, C - некоторая положительная постоянная. Так как из оценки (9) следует

lim tEa ,2(-1 ) = Г(2^ ) > 0, ив силу (6) Ea ,2(-A„aa ) = 0, n = 1,2,..., то имеем

t—»—

|AnaaEa,2(—Anaa)| > Ci, Ci -некоторая постоянная. Тогда

ya-1 з

|C(An,y)|< C21+ 2^2a, 3nya > 0. (10)

Принимая во внимание формулу (10), а также представления

t-2

Ea ,a-1 (-1 ) = - r(-a _ 1) + O(t-3) , t ^ —, (11)

t

1

Ea) = + -2) , t ^ (12)

получаем

с ya-2

|ya-2Ea,a-l(-\ya) -C(An,y)Ea,i(-Anaa)| < 1 Д2y2 a, (13)

C3 - константа, зависящая от y. Учитывая оценки (10), (13) заключаем

/ ya-1^2 ya-2^з \

|un(x,y)^< 1 + Â2y2 a W + 1 + Â2y3 a ^J ^

Так как справедливы оценки yn = o(n-2), фп = o(n-2) [12, с. 530], то

ya-2K

|A„un(x, y)| <

1 + W

a

Отсюда заключаем равномерную сходимость ряда (7), точнее ряда £ у2 аии(х,у)

п=0

в области Л. Ряды, получаемые из него после двукратного дифференцирования по переменной х под знаком суммы, ихх = — £ АиМи, и применения оператора ^уи =

п=1

— £ \ии, также сходятся абсолютно и равномерно относительно любого замкнутого

П=1

подмножества области Л. □

Единственность решения

Теорема. Задача (1)-(4) может иметь не более одного регулярного решения и е С1 (Л) тогда и только тогда, когда

4- е о>а. (14)

Г 2

Доказательство. Пусть у(х,у) = (а — у)Еа,2(—Аи(а — у)а) 8тл/Хих. Функция у(х,у) является решением уравнения

Ь*у = ухх — ¿оуу = 0,

и выполнены условия

Так как

имеем

v(0, y)= v(r, y) = 0, v(x, a) = 0. vLu = (vmx - vxw)x + mvxx + (vyD0«y-2u - vD^-1 m)y - vyyD0y-2u,

a r a r a

J Jv Ludxdy = J Ju L^vdxdy - uvx)|0 dy +

0 0 0 0 0 r

+ |(vyD0«y-2u - vD0«y-1u)|adx. (15)

Из (15) при однородных краевых условиях (2)-(4) имеем

r

aEa,2(-^„aa) У [Dg-^=0 sin vXnxdx = 0. (16)

о

Отсюда в силу (14) Ea,2(-A„aa) = 0,n = 1,2,..., следовательно, по лемме Лагранжа

[Dg-1 u]y=o = 0, x е [0,r]. (17)

Таким образом, задача (1)-(4) при ф (x) = 0, ^(x) = 0 редуцировалась к задаче (1)-(3), (17). Известно [2], что решение этой задачи тривиально. Допустим, что -От е Qa, т. е. при фиксированных n и X

r 2

a

X1/а

ra/2 (пя)2/а" Тогда нетрудно показать, что функция

u(x, y) = yEa ,2 (-A„ya) sin ^x,

удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2)-(4) при ф (x) = 0, Y(x) = 0 .

Таким образом, функция u(x,y) = 0, (x,y) e D, что и требовалось доказать. □

Список литературы/References

[1] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nakhushev A. M., Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]

[2] Псху А. B., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. B., Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 pp.]

[3] Керефов М. А., "Решение одной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка", Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики, Сб. научных трудов института математики НАН Украины, Киев, 1997, 144-145. [Kerefov M. A., "Resheniye odnoy krayevoy zadachi dlya volnovogo uravneniya drobnogo poryadka", Nelineynyye problemy differentsial'nykh uravneniy i matematicheskoy fiziki, Sb. nauchnykh trudov instituta matematiki NAN Ukrainy, Kiyev, 1997, 144-145].

[4] Agrawal O. P., "Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain", Nonlinear Dynam, (29)-1:4 (2002), 145-155.

[5] Mainardi F., "The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation", Appl. Math. Lett., 9:6 (1996), 23-28..

[6] Псху А.В., "Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка", Изв. РАН, 73:2 (2009), 141-182. [Pskhu A.V., "Fundamental'noye resheniye diffuzionno-volnovogo uravneniya drobnogo poryadka", Izv. RAN, 73:2 (2009), 141-182].

[7] Масаева О. Х., "Задача Дирихле для нелокального волнового уравнения", Диффе-ренц. уравнения, 49:12 (2013), 1554-1559. [Masayeva O. KH., "Zadacha Dirikhle dlya nelokal'nogo volnovogo uravneniya", Differents. uravneniya, 49:12 (2013), 1554-1559].

[8] Масаева О. Х., "Необходимое и достаточное условие единственности решения задачи Дирихле для нелокального волнового уравнения", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки., 11:2 (2015), 16-20. [Masaeva O.Kh., "Necessary and sufficient conditions for the uniqueness od Dirichlet problem solution for nonlocal wave equation", Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 11:2 (2015), 19-23].

[9] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Наука, М., 1966, 672 с. [Dzhrbashyan M. M., Integral'nyye preobrazovaniya i predstavleniya funktsiy v kompleksnoy oblasti, Nauka, M., 1966, 672 pp.]

[10] Псху А. В., "О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера", Мат. заметки, 77:4 (2005), 592-599. [Pskhu A. V., "O veshchestvennykh nulyakh funktsii tipa Mittag-Lefflera", Mat. zametki, 77:4 (2005), 592-599].

[11] Попов А. Ю., "О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной", Фундаментальная и прикладная математика, 12:6 (2006), 137-155. [Popov A. YU., "O kolichestve veshchestvennykh sobstvennykh znacheniy odnoy krayevoy zadachi dlya uravneniya vtorogo poryadka s drobnoy proizvodnoy", Fundamental'naya i prikladnaya matematika, 12:6 (2006), 137155].

[12] Зорич В. А., Математический анализ. Т. II, Наука, М., 1984, 640 с. [Zorich V. A., Matematicheskiy analiz. V. II, Nauka, M., 1984, 640 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

[2] Псху А. B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[3] Керефов М. А. Решение одной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка. Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики // Сб. научных трудов института математики НАН Украины. Киев, 1997. C. 144-145.

[4] Agrawal O. P. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Nonlinear Dynam. 2002. vol 29-1. no. 4. C. 145-155.

[5] Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Appl. Math. Lett. 1996. vol. 9. no. 6. pp. 23-28.

[6] Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. РАН. 2009. Т. 73. № 2. С. 141-182.

[7] Масаева О. Х. Задача Дирихле для нелокального волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 12. С. 1554-1559.

[8] Масаева О. Х. Необходимое и достаточное условие единственности решения задачи Дирихле для нелокального волнового уравнения // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 11. № 2. С. 16-20.

[9] Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

[10] Псху А. В. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2005. T. 77. №. 4. С. 592-599.

[11] Попов А. Ю.О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. № 6. С. 137-155.

[12] Зорич В.А. Математический анализ. Т. II. М.: Наука, 1984. 640 с.

Для цитирования: Масаева О. Х. Задача Дирихле для нелокального волнового уравнения с производной Римана-Лиувилля // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 27. № 2. C. 6-11. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-27-2-6-11

For citation: Masaeva О. Kh. Dirichlet problem for a nonlocal wave equation with Riemann-Liouville derivative, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 27: 2, 6-11. DOI: 10.26117/20796641-2019-27-2-6-11

Поступила в редакцию I Ortginal article submitted: 02.06.2019