Задача Неймана для обобщенного уравнения Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 83-90. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-83-90

УДК 517.95

ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

О.Х. Масаева

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89a E-mail: [email protected]

Доказано существование и единственность решения задачи Неймана для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной в верхней полуплоскости.

Ключевые слова: задача Неймана, оператор Римана-Лиувилля, интегральное преобразование с функцией Райта, обобщенное уравнение Лапласа

© Масаева О.Х., 2018

MSC 35L05

THE NEUMANN PROBLEM FOR THE GENERALIZED LAPLACE EQUATION

О. Kh. Masaeva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Kabardino-Balkarian Republic, Nalchik, st. Shortanova,89a E-mail: [email protected]

The existence and uniqueness of the solution of the Neumann problem is proved for the generalized Laplace equation with a fractional derivative in the upper half-plane.

Key words: Neumann problem, Riemann-Liouville operator, integral transformation with Wright function, generalized Laplace equation.

© Masaeva О. Kh., 2018

Введение

В области П = {(x,y) : —^ < x < 0 < y < рассмотрим уравнение

д 2

Lu = u(x, y)+ D0yD0yU(x, y) = 0, (1)

где 0 < а < 1, D"y - оператор дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля порядка а [1, с. 9]: Dayu(x,y) = dyDa—lu(x,y), Da—lu(x,y) = f ———)u(x,t)dt.

Регулярным решением уравнения (1) в области П назовем функцию u = u(x,y) такую, что y1—аu Е С(П), uxx,DayDayu(x,y) Е С(П), и удовлетворяющую уравнению (1).

Сформулируем задачу Неймана для уравнения (1): найти в области П регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию

limD^1D^yu(x,y) = т(x), < x < (2)

y^0 у

где т(x) - заданная непрерывная функция на всей действительной оси.

В работе [2] был получен аналог интеграла Шварца для полуплоскости в случае системы Коши-Римана дробного порядка. В работе [3] была исследована задача Дирихле для уравнения (1) в полуплоскости. В работе [4] исследовалась единственность решения задачи Дирихле для уравнения

Da—1ux + Dß—luy + c(x,y)u = 0, 1 < а,ß < 2,

в ограниченной области D, лежащей в первом квадранте, которая вместе с любой точкой (x,y) Е D содержит интервалы с концами в точках (x,y), (x,0) и (x,y), (0,y).

В данной работе доказаны существование и единственность решения аналога задачи Неймана для уравнения (1) в верхней полуплоскости.

1. Предварительные сведения

Интегральные преобразования с функцией Райта [5] в ядре определяются с помощью формул

Ау,*v(x) = x*—1jv(t)ф (—у, \, — xY) dt, BYv(x) = Jv(t)t*—1ф (—у, \, — dt, 0 < у < 1,

0

(p n

Справедлива формула

где ф(p, 8,z) = L wir, \, v(x) - функция заданная на положительной полуоси.

n=0 (Р П+8'

! и(х)Лг'»у(х^х = ! у(х)Бг'»и(х)йх. (3) 0 0 Пусть V < — 8, 8 = 0. Тогда

БГ,5 ^ = х(V+8 )/у Г( — (8 + V )/7) (4)

уГ(—V) . ' ; Доказательство и более подробное изложение можно найти в монографии [6].

оо

оо

оо

оо

2. Общее представление решения

Теорема 1. Пусть |х|е+1т(х) ^ 0 при |х| ^ Тогда функция и(х,у), определенная по формуле

°° 1

1 Г уа-1

и(х,у) = -1 0(1 — х,у)т(|Ж + СГ^у, (5)

—^

где

уа-1 у3а—1 !■ / у2а+2 \

0(1—х,л = Га)1п|1 — х|+(I——е—п—(у—о*) л, (6)

является регулярным решением задачи (1), (2). Здесь Ер,ц (—г) = £ г(р£+ц) _

функция типа Миттаг-Леффлера [7]. Лемма 1. Справедлива оценка

Суа—1в

|е(| — х,у)|< С^^ 1пвуа, (7)

где С - некоторая положительная постоянная, в = .

- х|

Доказательство. Из (6) в результате замены г = ^/я, получим

1 °° 1 -..а 1 р ,,а 1

0(1 — х,у) = ^ I е—в^Е1а,3а+ Г—д 1п|х — 11. (8)

0

Представим интеграл (8) в виде

ya—1 / 1 \ ya—1

G(<§ — x,y) = У— [j e—ß^E2aßa(—s)ds +J e—ß^Ela?a(—s)dsj + ^lnßya. (9)

Подставив во второй интеграл равенство

1

r(a)

E2a ,a (—s) = рт^т — sE2a ,3a (—s), (10)

и интегрируя по частям, имеем

je—ß^E2a,3a(—s)ds = — -Oye—ß lnß + ГОу /e—slnsds — Je—ß^2a,a( s) ds, (11)

ß

Подставляя (11) в (9) и устремляя в к нулю, так как /Е2а,3а (—я^я < Е2а¿я <

1

, J e s ln sds < <*>, получим о

G(% — x,y)= O(ya—1), ß ^ 0. (12)

oo

DO

OO

Так как — x,y) = y-2ßr f e ^E2а,з а (— ßr) dt + ^ lnßy а, то

0

— х, у) = О (уа—11п в Уа), в ^ У > 0. (13)

Таким образом, из оценок (12) и (13) следует оценка (7).

□

Лемма 2. Функция О(% — х,у) удовлетворяет уравнению (1), т. е.

Охх($ — х, у) = —О^О^ — х, у). (14)

Доказательство. Внеся в правой части формулы (8) операцию дифференцирования дважды по х под знак интеграла, имеем

у—а—1 г 1 уа—1

О»« — х,й = V/и—в^а— ^Га) ■ (15)

Далее учитывая формулу дробного дифференцирования функции типа Миттаг-Леффлера [6, с. 15], получаем О^у3а—1Е2а,з а(—= у2а—^2а,2 а(—(^—р), и

(t2y2а ч s t2y2а \

—U—xj^) = y а—1E2 а, а Г ,

а_1 ( t^y^ \ yа—1 t2y3а—1 ( {^ч^а \ а yа—1

Так как y0i— e2 а, а {— у—у) = Г(О) — фф^аЗа {— (¡—у), D%y Щ) = 0, имеем

y а 1 y3 а 1 р у 12y2 а

^yGtt — ^ у) = Г( а){1: — x)2 — ^—xfj t3e—tE2 а ,3 а (— g—xp )

dt.

— V (£ — x)2J

0

+2 у 2 а

В результате замены переменной ,2 = 5 получ

1 1 х у а —1 y—а—1 г

D*yD*yG(i — x,y) = У — 2 — I te—ß,3 а(—)dt. (16)

Г( а)($ — х)2 2 0

Из формул (15) и (16) видим, что имеет место (14). □ Лемма 3. Справедлива оценка

M1y—а—1

lG"« — x,y)IS ß\(11y+ß2—\) , (17)

где д - сколь угодно малое положительное число. Доказательство. Из формулы (15) с учетом (10) имеем

у—О—! I—* (л_—е. - _(_,Л *,__^ уа—1

0

G" = — J e ЧГС5) " E2а а(")) dt — Ц — x|2 Г( а)

Отсюда следует, что

сю

y-a-1 г г

- x,y) = -^^ J , a(-i)di. (18)

0

—a—1 /-

Пусть далее Gxx(<§ -x,y) = -(g(вV?)-M£2a, a(-i)di. Так как f (z)

0

е достигает своего максимального значения в точке г = ц, имеем оценку

у—а—1 в —ц

е ' ц

0

то

v-a-lß-м Г „

(§ -x,y)| < y 2P J t-1 |E2a,a(-t)|dt.

д

Так как /1- 2 |E2 a, a(-1)|dt < с при 0 < д < 2, имеем оценку

0

|Gx(£ -x,y)| < Ciy- а-1в-д. (19)

C1 - некоторая постоянная. Из (18) следует Gxx(£ -x,y) = ---g--1 , a gj) dt.

Тогда

Gxx(<§ - x, y) = в^ , в ^ с. (20)

Из оценок (19) и (20) заключаем неравенство (17). □ Лемма 4. Для функции (5) справедливо равенство

сю

lim D0ay-1D0> = 2T(x) f E2a, a+1(-s2)ds. (21)

y^0 y * К J

0

Доказательство. Применяя композицию DO0-операторов Римана-Лиувилля к интегралу в правой части формулы (5), имеем

D0ay-1D0> = 1 / т(§ )D0ay-1D0ayG(^ - x,y)d§, (22)

где

сю

Л0°у—1Л0оуе(| — х, у) = (¡—е—ггуаЕ2а, а+1 —) ¿г. Пусть е - некоторое фиксированное положительное число, тогда

х—е х+е с4

Day-1D?yU = 1 ( / +1+1 I Т(§^D«^ - x,y)d§.

-с x-е x+e

Сделав замену £ - x = yan, имеем

y a то то

y ' ,a~\ г / / /2

ПD 0y-1D 0yU = ( / + / ) Т(X +Г^ 7 a,a+1 (- ^ )dtdП +

0

ya u

OO

y^ сю 2 y сю 2

/ lí^nT-^/ ^а,a+l(- )dtdП + 2т{x)J ^ f ^2а,а+1 (- .

0 0 0

(23)

а

Из равенства (23) следует, что limD® ^и = ^^^^^ linj / IЬЕ2а, а+1 (-)dtdП.

Так как

£ £

y а ^ и а пл rv~»

- л

л

/ ПП 1 е?Е2а, а+1 ^—"г)= ] ! Е2а, а+1 (—= у Е2а,а+1(—52)(1 — е уа')*5, 0 0 0 0 0

получаем (21) □

оо

Лемма 5. Справедливо равенство $Е2а, а+1(—£2)*у = 2.

02

Доказательство. В результате замены 5 = + а имеем

У Е2а, а+l(-s2)ds = а 11а-1Е2 а, а+l(-t2 а)dt. о о

Отсюда, так как (см. [6, с. 84]) Аа,1- аsint = tаE2а,а+1(-t2cc), имеем

сю сю

J Е2а, а+1(-s2)ds = а J1А а,:1- а sin tdt.

оо

По формуле (3) получаем

сю сю

у 1a а ,1- а sin tdt = J sin tBа,1- а 1 dt. (24)

оо

По формуле (4) имеем Ба,1—а 1 = а, и /Е2 а,а+1 (—= / ^= п. □

0 0 Перейдем к доказательству теоермы 1.

Доказательство. С помощью оценки (7) заключаем, что

с

|и(^у)|< СуП11 / уа+—^ 1п|х—%||т(%№ <уа—1К/ у а 11п|х—%||%|—*%.

оо

Таким образом, имеем оценку

|и(х, у) | < Муа—1, где М - некоторая постоянная. По лемме 3 получаем

о

, , у—1М1 г |т (% )|*% 1

^хх| < ^-1 / ]-% % ,2 < М2у—1,

ж .] |х — % + |х — % |2

сю

сю

где М1,М2 - положительные постоянные. Из леммы 2 следует, что функция (5) удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, интегралы, полученные при внесении под знак интеграла в правой части (5) операторов дифференцирования д2 и сходятся равномерно вблизи каждой точки (х,у), у > 0. Из лемм 4 и 5 следует, что и(х,у) удовлетворяет условию (2). Поэтому функция и(х,у), представимая в виде (5), в области П является регулярным решением задачи (1), (2). □

3. Единственность решения

Теорема 2. Пусть wx, y1- аDgw е C(Ö) и пусть

lim и*■ D0«-1w = 0, limDg-1w■ Dg-1Dgw = 0. (25)

Ixl^TO y y^TO У У У

а—1

Тогда решение задачи (1), (2) единственно с точностью до слагаемого Сцо). Доказательство. Установим, что однородная задача (1), (2) имеет только решение

у а-1

и(х,у) = СГ(-), где С -произвольная постоянная. Так как

D0«—1u ■ Lu = (uxD0«—1u)x — uxD0«—1ux + (D0«—1u ■ Dg—1Dgu)y — Dgu ■ Dg—1Dgi

то

ab b

J j Dg 1 u ■ Ludxdy = J{ux(a,y)Dg 1u(a,y) — ux(—a,y)Dg 1u(—a,y)}dy+ (26)

—a 0 0

a ab

J {[Dg—1uDg—1Dgu]y=b — [Dg—1uDg—1Dgu]y=o}dx —J j {uxDg"4+Dgu ■ Dg—1Dgu} dxdy.

—a —a 0

a b

C учетом условий (25) из (26) получаем lim lim / /{uxDg—1ux + Dgu ■

b^TO—a 0 y y

Dg—1Dgu}dxdy = 0. Отсюда, в силу положительности оператора дробного

y -1

интегрирования [8], получаем ux = 0, Dgu = 0 или u(x,y) = u(y) + c, т. е. u(x,y) = Cц^у,

C- некоторая постоянная. □

Список литературы

[1] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение свободные произведения, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie svobodnye proizvedeniya, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]

[2] Псху А. B., "Аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка", Современные методы в теории краевых задач, Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XIII", 2002, С. 127. [Pskhu A. B., "Analog formuly SHvarca dlya sistemy Koshi-Rimana drobnogo poryadka", Sovremennye metody v teorii kraevyh zadach, Materialy Voronezhskoj vesennej matematicheskoj shkoly "Pontryaginskie chteniya — XIII", 2002, S. 127].

[3] Масаева О. Х., "Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной", Челябинский физико-математический журнал, 2:3 (2017), 312-322. [Masaeva O. H., "Zadacha Dirihle dlya obobshchennogo uravneniya Laplasa s drobnoj proizvodnoj", CHelyabinskij fiziko-matematicheskij zhurnal, 2:3 (2017), 312-322].

[4] Масаева О. Х., "Единственность решения задачи Дирихле для уравнения с фрактальным оператором Лапласа в главной части", Известия КБНЦ РАН, (68)-2:6 (2015), 127-130. [Masaeva O. H., "Edinstvennost' resheniya zadachi Dirihie dlya urav-neniya s fraktal'nym operatorom Laplasa v glavnoj chasti", Izvestiya KBNC RAN, (68)-2:6 (2015), 127-130].

[5] Wright E. M., "On the coefficients of power series having exponential singularities", J. London Math. Soc., 8:29 (1933.), 71-79.

[6] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. V., Uravneniya v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 pp.]

[7] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Наука, М., 1966, 672 с. [Dzhrbashyan M. M., Integral'nye preo-brazovaniya i predstavleniya funkcij v kompleksnoj oblasti, Nauka, M., 1966, 672 pp.]

[8] Нахушев А. М., "О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа", Дифференц. уравнения, 34:1 (1998), 101-109. [Nahushev A. M., "O polozhitel'nosti operatorov nepreryvnogo i diskretnogo differencirovaniya i inte-grirovaniya ves'ma vazhnyh v drobnom ischislenii i v teorii uravnenij smeshannogo tipa", Differenc. uravneniya, 34:1 (1998), 101-109].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение свободные произведения. М.: Физматлит, 2003. 272 c.

[2] Псху А. B. Аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка // Современные методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XIII 2002. С. 127.

[3] Масаева О. Х. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной // Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2. № 3. С. 312322.

[4] Масаева О. Х. Единственность решения задачи Дирихле для уравнения с фрактальным оператором Лапласа в главной части // Известия КБНЦ РАН. 2015. Т. (68)-2. №6. С. 127-130.

[5] Wright E. M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc. 1933. vol. 8. no. 29. pp. 71-79.

[6] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199

[7] Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 c.

[8] Нахушев А. М. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 101-109.

Для цитирования: Масаева О. Х. Задача Неймана для обобщенного уравнения Лапласа // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 83-90. DOI: 10.18454/2079-66412018-23-3-83-90

For citation: Masaeva O. Kh. The Neumann problem for the generalized Laplace equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 83-90. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-8390

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.06.2018