Задача Дарбу для дробного телеграфного уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 91-97. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-91-97

УДК 517.91

ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ДРОБНОГО ТЕЛЕГРАФНОГО

УРАВНЕНИЯ*

Р. А. Пшибихова

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г.Нальчик, ул.

Шортанова,89А

E-mail: Pshibihova@mail.ru

В данной работе доказана теорема существования и единственности решения задачи Дарбу для обобщенного телеграфного уравнения дробного порядка с производными Римана-Лиувилля.

Ключевые слова: задача Дарбу, дробное телеграфное уравнение, дробная производная, оператор Римана-Лиувилля

© Пшибихова Р. А., 2018

MSC 35R11

DARBOUX PROBLEM FOR FRACTIONAL TELEGRAPH EQUATION

R. A. Pshibikhova

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: Pshibihova@mail.ru

In this paper we prove a theorem of existence and uniqueness of solutions of the Darboux problem for the generalized telegraph equation of fractional order with Riemann-Liouville derivatives.

Key words: Darboux problem, fractional telegraph equation, fractional derivative, Riemann-Liouville operator.

© Pshibikhova R. A., 2018

*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 16-01-00462-а)

Введение

Рассмотрим уравнение

y) + Я u(x, y) = f (x, y), (1)

где а, ß e (0,1), Я e R, D,0s _ оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка у с началом в точке 0 по переменной s, определенный следующим образом [1, c. 9]:

Y i П-й j ffc*, Y < 0, D0sf(l) = | f(s),0 Y = 0, (2)

l i"Dj-"f (s), " - 1 < Y < ", я e N.

Смешанную производную дробного порядка DaxDßyu(x,y) будем понимать как смешанную производную dxdy композиции D^X-1 Dßy 1u(x,y) [2, c. 342]:

D«DßyU(x, y) = dddyDo0x-1Dßy-1u(x, y).

Ранее, в работе [3] доказана теорема существования и единственности решения аналога задачи Гурса для уравнения вида (1) с производными Римана-Лиувилля. Укажем работу [4], в которой исследовались краевые задачи для уравнения со смешанными частными производными дробного порядка. Более полный обзор работ, посвященных исследованию уравнений в частных производных дробного порядка можно найти, например, в [5] и [6].

В данной работе доказана теорема существования и единственности решения задачи Дарбу для уравнения (1).

Постановка задачи

Регулярным решением уравнения (1) в области

D = {(x,y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1 -x}

будем называть функцию u(x,y) такую, что x1-^y1-8u(x,y) e C(D), для некоторых д > 0 и 8 > 0; Dax-1u(x,y) и Dßy-1u(x,y) непрерывны в области D вплоть до

участков границы x = 0 и y = 0, соответственно; Dax-1Dßy 1 u(x,y) имеет непрерывные производные в области D по x и y, а также непрерынвую смешанную производную д2/dxdy; u(x,y) удовлетворяет уравнению (1) во всех точках (x,y) e D.

Задача. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

limD«-1u(x,y) = ф(y), 0 < y < 1, (3)

x^0

u(x, 1 -x) = т(x), 0 < x < 1, (4)

где ф(y), т(x) — заданные непрерывные функции.

Редукция к интегральному уравнению

Примем обозначение

W» >5 (x, y) = x»-1y5-1e»- (-Axayß), (5)

где

гп

e

(г) П=0 г(т+м)г(у - 5п) (6)

— функция типа Райта [5, ^ 23]. Заметим, что функцию '(г) можно выразить в виде

(г)= Е(у,-5) ,(м ,V)(г),

где

^ ^п т

Е(РД'<М)(г)= £ Г(м + пр,)...Г(№„ + прт) (т - 1 I Р > 0)

— многопараметрическая функция Миттаг-Леффлера (см., например, [7]). В работе [3] получено представление решения задачи Гурса

lim D0x 1'u (x, У) = Ф (У), lim Dßy 1 и (x, y) = у (x), для уравнения (1) в виде

u(x, y) = j J f (s, t)Wa ,ß (x - s, y - t)dtds+ (7)

x y

, - s, y -

00

где

л у

+ J Y(s)DasWa!ß (x - s, y)ds + J ф(t)DßytWa,ß (x,y - t)dt+ 00 yß-1 xa-1

+ У(x) ГЩ + Ф(y) ГЩ - ФоWa,ß ^ y),

Ф0 = lim Dßy-V (y).

у^0

Преобразуем равенство (7) с помощью формул

в (х, у) = Wo,p (х, у); Б^а ,р (х, у) = ,о(х, у),

которые следуют из формулы дробного дифференцирования (интегрирования) степенных функций (см., например, [5, с. 15])

z5-1 z5-»-1 D» z z

0г Г(5) Г(5 - м)' Далее, используя формулу трансформации [5, c.24]:

x»-1y5-1

W» ,5(x y) = W»+a ,5+ß(x, y)+ Г(» )F(g)

получаем, что

(х, у) = -Я ^ ,2в (х, у); (8)

^а ,о(х, у) = -Я Ж2а ,в (х, у). (9)

Таким образом, равенство (7) запишется в виде

X у

и(х, у) = J ! / (5, О^а ,в (х — 5, у —

00

y

mMl Д/,

2а,,

Л /

-Я J у(s)Wa,2ß (x - s, y)ds - Я J Ф(t)W2 а ,ß(x, у -t )dt+

0

ув—1 ха—1

+ ¥(х) Г(в) + ^(у) Г(а) — ф0^а,в (x,у) .

Теперь удовлетворим условию (4) функцию и(х,у) для нахождения у(х)

X 1-х

м(х, 1 — х) = J ! /(5, г)Жа в (х — 5, 1 — х — г

00

1 х 11 — х

—Я (£)Жа,2в (х — 5,1 — — Я у ф(г)Ж2а в (х, 1 — х — г)Л+

а—1

(1_ х)в — 1 х + ¥^ Г(в) + ф(1 — х)Г(О) — фо^а,в(x, 1 — х)= Т(х).

Получаем относительно у(х) следующее уравнение

п_ х)в—1 х

¥(хГ Г(в)--Я ] у(5)^а,2в (х — 5, 1 — х)^ = Т(х) —

x 1— x

J J f (s, t)Wa,ß (x - s, 1 - x -t)dtds+

00

11 x

/ха —1

ф (г) ^2а ,в (х, 1 — х — г )Л — ф (1 — х) Г(а) + фо^а ,в (х, 1 — х), которое после простых преобразований можно записать в виде

1

у(x) -J K(x, s)y(s)ds = F (x), (10)

где

K (x, s)= Я r(ß )(1 - x)1-ß Wa ,2ß (x - s, 1 - x) 94

1-x

F(х) = (1 ^-1 [т(х) + а| ф(t)W2a(x, 1 - х -t)dt-( ) 0

1 x 11 x

, , Xa-1

I f (s,t)Wa,ß (x - s, 1 -x - t)dtds - ф(1 -x) —) + VoWaß (x, 1 - x) .

00

Таким образом, вопрос о разрешимости задачи (1), (3) и (4) сводится к решению уравнения (10), которое представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода с ядром K(x,s), имеющим слабую особенность. Определив функцию Y(x), решение искомой задачи может быть найдено как решение задачи Гурса и представлено формулой (7).

Основные результаты

Сформулируем теорему существования и единственности решения задачи (1), (3) и (4).

Теорема. Пусть

x1-ay1-ßf(x,y) G c(D), (11)

y1-ßV(y) e C[0, 1] nC1(0, 1), (12)

x1-a(1 -x)1-ßT(x) e C[0,1] nC1 (0,1), (13)

и выполнено условие согласования

ф (1) = lim0 D«-1 т (x). (14)

Тогда в области D существует и притом единственное регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (3) и (4).

Доказательство. Пусть u(x,y) — регулярное решение исследуемой задачи. Тогда для него выполнено соотношение (7), и как показано выше, след дробного интеграла от него на линии y = 0, то есть функция y(x), удовлетворяет интегральному уравнению (10), которое при сделанных предположениях не может иметь более одного решения. Отсюда, с учетом результатов работы [3], следует, в частности, единственность решения задачи (1), (3) и (4).

Для доказательства существования искомого решения достаточно показать, что найденная функция y(x) (вместе с заданными ф(y) и f (x,y)) удовлетворяет условиям разрешимости задачи Гурса для рассматриваемого уравнения, сформулированные в работе [3]. Для этого необходимо показать, что

limy1-5v(y) < Dßy-1V(y) e C[0, 1] ПC1 (0, 1), (15)

lim x1-MY(x) < Dax-V(x) e C[0, 1] П C1(0, 1), (16)

x 0 0x

lim D«->(x) = lim D0y ф (y). (17)

и

Прежде всего отметим, что условия, наложенные на функцию ф(у) в условии теоремы, обеспечивают выполнение (15). Далее, из (12), (14) и оценки

|W (x, У)| - const ■ x^-1 -1

следует, что для правой части уравнения (10) справедливы соотношения

|F(x)|- const ■ xa-1, F(x) g C1(0, 1),

и

lim0 Dx-1F (x) = Г(в) Отсюда, с учетом (14) и соотношений

limDx-1F(x) = limD«-1y(x), |K(x,s)| - const ■ (x-s)a-1(1 -x)e,

x 0 x 0

следует справедливость (16) и (17). Это завершает доказательство теоремы. □

Список литературы

[1] Нахушев А. М., Дробное исчиление и его применение, Физматлит, М., 2003. [Nahushev A. M., Drobnoe ischilenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003].

[2] Самко С. Г., Килбас А.А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с. [Samko S. G., Kilbas A.A., Marichev O. I., Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ih prilozheniya, Nauka i tekhnika, Minsk, 1987, 688 pp.]

[3] Пшибихова Р. А., "Аналог задачи Гурса для обобщенного телеграфного уравнения дробного порядка", Дифференц. уравнения, 2014, №50(6), 839-843. [Pshibikhova R. A., "Analog zadachi Gursa dlya obobshchennogo telegrafnogo uravneniya drobnogo poryadka", Differenc. uravneniya, 2014, №50(6), 839-843].

[4] Еремин A. С., "Три задачи для одного уравнения в частных дробных производных", Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Труды Всероссийской научной конференции, 3, 2004, 94-98. [Eremin A. S., "Tri zadachi dlya odnogo uravneniya v chast-nyh drobnyh proizvodnyh", Differencial'nye uravneniya i kraevye zadachi, Trudy Vserossi-jskoj nauchnoj konferencii, 3, 2004, 94-98].

[5] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. V., Uravneniya v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 pp.]

[6] Kilbas A. A., Srivastava H.M., Trijillo J.J., Theory and application of fractional differential equations, Math. Stud.Elsevier, North-Holland Amsterdam, 2006, 323 pp.

[7] Kiryakova V. S., "The Multi-Index Mittag-Leffler Functions as Generators of Fractional Calculus Operators and Laplace Transforms.", Internetional Conference on Mathemetics and Its Aplications, Extended Abstracts, Kuwait Univ., 2004, 169-175.

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчиление и его применение. М.: Физматлит, 2003

[2] Самко С. Г., Килбас А.А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

[3] Пшибихова Р. А. Аналог задачи Гурса для обобщенного телеграфного уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2014. №50(6). С. 839-843.

Um(x) - Ф(1) + ГШ

[4] Еремин A. С. Три задачи для одного уравнения в частных дробных производных // Дифференциальные уравнения и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. Т. 3. 2004. С. 94-98.

[5] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[6] Kilbas A. A., Srivastava H.M., Trijillo J.J. Theory and application of fractional differential equations. North-Holland Amsterdam: Elsevier, 2006. 323 p.

[7] Kiryakova V. S. The Multi-Index Mittag-Leffler Functions as Generators of Fractional Calculus Operators and Laplace Transforms // Internetional Conference on Mathemetics and Its Aplications: Extended Abstracts, Kuwait Univ. 2004. pp. 169-175.

Для цитирования: Пшибихова Р. А. Задача Дарбу для дробного телеграфного уравнения // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 91-97. DOI: 10.18454/2079-66412018-23-3-91-97

For citation: Pshibikhova R. A. Darboux problem for fractional telegraph equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 91-97. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-91-97

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.06.2018