Краевая задача для обобщенного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 50-55. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-50-55

УДК 517.925.4

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ *

Р. А. Пшибихова

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шорта-нова, 89А

E-mail: [email protected]

В данной работе для обобщенного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами строится решение задачи Гурса.

Ключевые слова: задача Гурса, дробная производная.

© Пшибихова Р. А., 2016

MSC 35А99

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A GENERALIZED TELEGRAPH EQUATION OF FRACTIONAL ORDER WITH VARIABLE COEFFICIENTS

R. A. Pshibikhova

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia E-mail: [email protected]

In this paper, we construct the solution to the Goursat problem for a generalized telegraph equation of fractional order with variable coefficients.

Key words: Goursat problem, fractional derivative.

© Pshibikhova R. A., 2016

*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00462)

Введение

Рассмотрим уравнение

DaxDeyu(x, y) + a(x, y)D®xu(x, y) + b(x, y)Deyu(x, y) + c(x, y)u(x, y) = f (x, y), (1)

где 0 < a,в < 1, D0s — оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувиля порядка у с началом в точке 0 по переменной s > 0, определенный следующим образом [1, c. 9]:

Y j Г-) 0 f+iY <

Dosf (s)= | f(s), Y = °,

I inDl-f (s), n - 1 < y< n, n e N.

Коэффициенты a(x,y) и b(x,y) непрерывно дифференцируемы, а c(x,y) — непрерывная функция.

В данной работе строится решение аналога задачи Гурса для уравнения (1). Ранее, в работе [2] и [3] доказана теорема существования и единственности решения аналога задачи Гурса для уравнения вида (1) при

a(x, y) = b(x, y) = 0, c(x, y) = const.

А в работе [4] для уравнения (1) в случае a(x,y) = b(x,y) = c(x,y) = 0, рассмотрены аналоги задач Коши и Гурса. В работе [5] для уравнения (1) в случае a = в = 1 рассмотрена задача Коши. Более полный обзор работ, посвященных исследованию уравнений в частных производных дробного порядка можно найти в [6] и [7].

Постановка задачи и формулировка результатов

Примем обозначения: D = (0,a) х (0,b), a < <х>,b < <х>,I = {(x,y):x e (0,a),y = 0}, J = {(x,y):x = 0,y e (0,b)}.

Регулярным решением уравнения (1) в области D назовем функцию u = u(x,y) из класса x1-^y1-8u(x,y) e C(D), для некоторых д > 0,8 > 0, D^T1 Dq"1 u(x,y) имеет

непрерывные частные производные в области D по x,y, D0x-1u(x,y) e C(DU J), Dey 1u(x,y) e C(DUI), удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках (x,y) e D.

Задача. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

limDq-1u(x,y) = у(x), 0 < x < a, (2)

y^0 y

limDax-1u(x,y) = ф(y), 0 < y < b, (3)

где ф, у-заданные непрерывные функции.

Теорема. Пусть x1-My1-8 f (x,y) e C(D), limx1-ду(x) < limу1-8ф(y) < <x>, д > 0,

8 > 0, D$y-1q>(y) e C[0,b] nC1(0,b), Dß-1y(x) e C[0,a] nC1(0,a), и выполнено условие согласования

lim0 Dß-1v (y) = lim D«-1y (x). 51

Тогда существует единственное регулярное решение уравнения (1) в области Д удовлетворяющее краевым условиям (2), (3). Решение имеет вид

x y x

w(x,y) = J J f(s,t)v(x,y,s,t)dtds+ y ^(s) (dO;v(x,y,s,0) + v(x,y,s,0)b(s,0))ds 0 0 0

y

+ J Ф(t) (dyev(x,y, 0,t) + v(x,y, 0, t)a(0,t)) dt - ^v(x,y, 0,0). (4)

0

Здесь ф0 = limDy (y), v(x,y,s,t)= wxy(x,y,s,t), w(x,y,s,t) - есть решение интеграль-

y^0 y

ного уравнения Вольтерра второго рода

w(x,y,s, t) + D-e [a(s, t)w(x,y, s, t)] + D-Sa [b(s, t)w(x,y, s, t)] +

+D/D-tв [c(s, t)w(x,y, s, t)] =

(x - s)a (y -1 )e Г(а + 1)Г(в + 1),

- производная Капуто порядка у по переменной я, определяемая с помощью равенства [1, с. 11]:

^(я) = (я), п - 1 < Г < п, п е N.

Представление решения

Пусть и(х,у) - регулярное решение уравнения (1), а функция ^(х,у,я,г) для любых фиксированных (х,у) е Л удовлетворяет уравнению

дХЯ дУв^(х, у, я, г) + дХЯ [а(я, г )^(х, у, я, г)] + дв [Ь(я, г )^(х, у, я, г)] + с (я, г )^(х, у, я, г) = 1, (5)

как функция переменных я и г в области {(я,г) : я е (0;х),г е (0;у)}. Пусть также выполнены условия

^(х,у,я,у) = 0,я е [0;х],™(х,у,х,г) = 0,г е [0;у]. (6)

Поэтому, с учетом формулы дробного интегрирования по частям [6, с. 15] и в силу равенств (2), (3), (6) имеем

х у у

J ! ™(х, у, я, г)£о^оги(я, = J ™(х, у, я, г)^-1^^, г )|0Л -0 0 0

х у у

Г^(х, у, я, г)^-1^^, = ^ ™(х, у, х, г)^-1^^, г)^г -

0 0 0 y x y

^ rr»a-1,

-J w(x, y, 0, t )D^t [D0ax 1u(x, t )]x=0dt + ^ J dx0;w(x, y, s, t )D^tM(s, t )dtds =

00

У w(x, y, 0, t)Dß0t ф (t)dt + j daw(x, y, s, t )d0 1u(s, t^ds-00

x y

j J d"wt (x, y, s, t)Dßt-1u(s, t)dtds = -w(x, y, 0, t)Dß;1 ф (t)|0+ 00

y x

+ J Wt (x, y, 0, t )d0-1 ф (t)dt + J d£w(x, y, s, y)Dßy-1u(s, y)ds 00

x y

(d

- d"w(x, y, s, 0)[Dß0-1u(s, y)] y=0ds + J J u(s, t )dxs дytw(x, y, s, t )dtds 0 0 0

= -w(x, y, 0, y)D0y-1p (y) + w(x, y, 0,0)ф0 -

y x

- Jdßw(x,y,0,t)p(t)dt - J daw(x,y,s, 0)y(s)ds+

00

x y x y

+

0 0 0 0

x y

x у x у

J J u(s, t)d®dßw(x,y,s, t)dtds = J Ju(s, t)dasdßw(x,y,s, t)dtds-

- J y(s)dasw(x,y,s, 0)ds - j ф(t)dßw(x,y, 0, t)dt + w(x,y, 0,0)ф0. 00 Аналогично получаем:

x y

Uw(x,y,s,,)a(s,, WA", >)dtds =

00

x y д

J \w(x,y,s,t)a(s, t)]Dß-1u(s,t)Hdt - J J ^ \w(x,y,s,t)a(s,t)]Dß-1u(s,t)dtds

00

x y

J J u(s, t) да [a(s, t )w(x, y, s, t )]dtds+

00

+ J w(x,y, x, t)a(x, t)D%X u(x, t)dt — j w(x, y, 0,t )a(0, t 00 x y y

= J Ju(s,t)dxa![a(s,t)w(x,y,s,t)]dtds - jw(x,y,0,t)a(0,t)ф(t)dt, 0 0 0

y

x

x

y

y

y

x y x y

J У w(x, y, s, t)b(s, t)Detw(s, t)dtds = J У u(s, t)dy [b(s, t)w(x, y, s, t)]dtds+

0 0 0 0

x x

+ У w(x, y, s, y)b(s, y)Dey 1 u(s, y)ds — J b(s, 0)w(x, y, s, 0)y(s)ds = 00

x y x

У У u(s, t)dy [b(s, t)w(x, y, s, t)]dtds — J b(s, 0)w(x, y, s, 0)у(s)ds. 0 0 0 Складывая последние равенства, учитывая (1), (5) имеем

x y x y x

У y^(s, t)dtds ^У У f (s, t)w(x,y,s, t)dtds + J у(s)dxsw(x,y,s, 0)ds+ 0 0 0 0 0

y x

+ У Ф (t )d^w(x, y, 0, t )dt + J w(x, y, s, 0)b(s, 0)у (s)ds+

00

y

+ J w(x, y, 0, t)a(0, t)p (t )dt — (p0w(x, y, 0,0).

0

Дифференцируя по x и по y последнее равенство, получаем, что решение уравнения (1) имеет вид (4).

Из соотношения (4), в частности, следует единственность решения u(x,y). Что и требовалось доказать.

Функция Римана

Применяя к обеим частям уравнения (5) операторы Д^Га,D^ в, получим

wt + Dlt—e (aw) + D1—а (bw) + D1—а Д—3 (cw) = (x — ^—1. (7)

Применяя далее операторы D"1,D— 1, к уравнению (7), получаем, что задача (5), (6) эквивалентна интегральному уравнению Вольтерра второго рода

w(x, y) + D—/ (aw) + D—sа (bw) + D^D—? (cw) = (x — ^ ^ ^ 1, решение которого существует и единственно.

Список литературы/References

[1] Нахушев А.М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с., [Nahushev A.M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, Moskva, 2003, 272 p. (in Russian)].

[2] Пшибихова Р.А., "Задача Гурса для обобщенного телеграфного уравнения дробного порядка", Дифференциальные уравнения, 50:6 (2014), 839-843, [Pshibihova R. A. Zadacha Gursa dlja obobshhennogo telegrafnogo uravnenija drobnogo porjadka, Differencial'nye uravnenija, 50:6 (2014), 839-843 (in Russian)].

[3] Пшибихова Р.А., "Задача Гурса для дробного телеграфного уравнения с производными Капуто", Математические заметки, 99:4 (2016), 562-566, [Pshibihova R. A., Zadacha Gursa dlja drobnogo telegrafnogo uravnenija s proizvodnymi Kaputo, Matematicheskie zametki, 99:4 (2016), 562-566 (in Russian)].

[4] Еремин А.С., "Три задачи для одного уравнения в частных дробных производных", Математическое моделирование и краевые задачи, 3 (2004), 94—98, [Eremin A. S. Tri zadachi dlja odnogo uravnenija v chastnyh drobnyh proizvodnyh, Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi, 3 (2004), 94—98 (in Russian)].

[5] Смирнов В.И., Курс высшей математики, Наука, М., 1981, 550 с., [Smirnov V. I. Kurs vysshej matematiki, Nauka, Moskva, 1981. 550 p.].

[6] Псху А.В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с., [Pshu A. V., Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo porjadka, Nauka, Moskva, 2005, 199 p. (in Russian)].

[7] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J., Theory and applications of fractional differential equations, North-Holland Math. Stud., Elsevier, Amsterdam, 2006, 204 с.

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

[2] Пшибихова Р. А. Задача Гурса для обобщенного телеграфного уравнения дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50. №6. С. 839-843

[3] Пшибихова Р. А. Задача Гурса для дробного телеграфного уравнения с производными Капуто // Математические заметки. 2016. Т. 99. №4. С. 562-566

[4] Еремин А. С. Три задачи для одного уравнения в частных дробных производных // Математическое моделирование и краевые задачи. 2004. № 3. С. 94—98

[5] Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1981. 550 с.

[6] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[7] Kilbas A. A., Srivastava H.M., Trujillo J. J., Theory and applications of fractional differential equations. North-Holland Math. Stud. Elsevier. Amsterdam. 2006, 204 p.

Для цитирования: Пшибихова Р. А. Краевая задача для обобщенного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 50-55. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-50-55

For citation: Pshibikhova R. A. Boundary value problem for a generalized telegraph equation of fractional order with variable coefficients, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 41, 50-55. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-50-55

Поступила в редакцию / Original article submitted: 23.11.2016