Априорная оценка для уравнения с производными дробного порядка с различными началами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 41-47. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-41-47

УДК 517.927

АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С РАЗЛИЧНЫМИ НАЧАЛАМИ

Л.М. Энеева

Институт прикладной математики и автоматизации - филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения "Федеральный научный центр "Кабардино-Балкарский научный центр РАН", 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А E-mail: [email protected]

В работе исследуется обыкновенное дифференциальное уравнение дробного порядка, содержащее композицию дробных производных с различными началами, с переменным потенциалом. Рассматриваемое уравнение выступает модельным уравнением движения во фрактальной среде. Для исследуемого уравнения доказана априорная оценка решения смешанной двухточечной краевой задачи.

Ключевые слова: дробная производная Римана-Лиувилля, дробная производная Капуто, краевая задача, априорная оценка.

© Энеева Л.М., 2019

Введение

Рассмотрим уравнение

П^амл) - ф)и(л)= /(х), (1)

где В"х и д^Х — дробные производные порядка а, 0 < а < 1, по переменной х е]0,1[, в смысле Римана-Лиувилля с началом в точке х = 0, и в смысле Капуто с началом в точке х = 1, соответственно, [1]; q(x) и /(х) — заданные на отрезке [0,1] функции.

Как известно, аналитический аппарат дробного интегро-дифференцирования и теория дифференциальных уравнений дробного порядка демонстрируют высокую эффективность при описании и математическом моделировании разнообразных физических и геофизических процессов, протекающих во фрактальных средах [1]. Использование понятия эффективной скорости изменения ряда параметров моделируемых систем, приводит к дифференциальным уравнениям, содержащим композицию операторов дробного дифференцирования с различными началами [2], [3].

Различные аспекты теории дифференциальных уравнений вида (1), включая вопросы разрешимости краевых задач, спектральные вопросы и т.п., а также их приложений, изучались в работах [4] - [13].

В данной работе мы доказываем априорную оценку для решений смешанной двухточечной краевой задачи для уравнения (1).

Краевая задача

Регулярным решением уравнения (1) будем называть функцию и(х) такую, что м(х) е АС[0,1] и ^а—д^^) еАС[0,1], и удовлетворяющую уравнению (1). Как обычно, АС[0,1] обозначает пространство абсолютно непрерывных на [0,1] функций.

Будем рассматривать следующую задачу: найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

аи(0) + Ъ ИХ—ЧХ*)],^ = 0, и(1) = 0, (2)

где а и Ъ заданные постоянные, причем а2 + Ъ2 = 0.

Заметим, что при а = 1 величина ^{^(х) становится равной —м'(х). Поэтому первое из условий (2) представляет собой аналог условия третьего рода. При Ъ = 0 рассматриваемые условия превращаются в условия Дирихле.

Обозначения и вспомогательные утверждения

Далее будем использовать следующие обозначения

11*11 = ^ !о 1 *2(?) Ж, <*, Н) = !о 1 *(?) Н(г) Ж

Приведем в форме леммы одно интегральное неравенство, которое нам понадобится в дальнейшем.

Лемма. Пусть а е]1/2,1[, *(х) е АС[0,1] и *(1) = 0. Справедливо неравенство

11*112 < С" К*!!2, (3)

Са

где

Са = 2а (2а — 1)Г2(а). (4)

Доказательство. Пусть Н(х) = да£*(х). Тогда в силу условий, наложенных на *(х), имеем

Н(х) е Ь[0,1]

и

Я—°а Н(х)= *(х).

Отсюда, применяя неравенство Коши, получаем

\а-1 \ 2

«2«Н/1 ЧоГА(')Л) ^

f1 (t - x)2 а-2 f1 2 (1 - x)2 а-1 i'1 _,(t)

< l^-HäT dt •l h (t) dt =(2 а - 1)Г2( a)Jx h (t) dt" Из этого следует, что

1

1Ы12 = /(х) ¿х < Jo

1 Г1 Г1

< (2а- 1)Г2( а).!(1 -х)2"-1/А2(')=

1 Г1

= ^-^^ ¿2(ги (1 -х)2а-1 ¿хЛ =

(2 а - 1)Г2( а) Л Л 7

= [2 а (2 а - 1)Г2( а)]-1 £ Й2(г) [1 - (1 - г )2а ] ¿г.

Последнее, с учетом принятых обозначений, доказывает (3). □

Неравенство (3) является аналогом неравенства Пуанкаре-Фридрихса для дробных производных. Доказательство более общих неравенств такого типа можно найти в [14] (см. также [15]).

Априорная оценка

Пусть и(х) — регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2). Домножив обе части уравнения (1) на и(х) и проинтегрировав от 0 до 1, получим

/ и(х)—хд1хи(х)¿х- / q(x)u2(x)¿х = /(х)и(х)¿х = (и,/). (5)

и0 Jo Jo

Для первого слагаемого в левой части (5) имеем

г1 1 г 1

Уо и(х) -»(х) ¿х = и(х) О0х-1д1ахи(х) 0 и'(х) -ТЧХх) ¿х.

Принимая во внимание второе из краевых условий (2), а также формулу дробного интегрирования по частям и определение производной Капуто, получим

£ и(х) -^(х) ¿х = -и(0) [О«-1д1«и(х)]х=0 + 1о 1 [д1«и(х)]2¿х. С учетом этого, равенство (5) можем переписать в виде

£ [д£и(х)]2¿х- ^1 q(x)u2(x) ¿х = (и,/) + и(0) [-«-ЧХх)^. В силу (3) отсюда следует, что

1

/о

[Ca - q(x)] u2(x) dx < <u,/) + u(0) [Dax-1d1«u(x)]x=0, (6)

где постоянная Са определена формулой (4).

Теорема. Пусть а е] 1, 1[, q(x), /(х) е £2[0,1], и(х) — регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), и выполнены неравенства

а • Ь > 0 (7)

и

-2

esssup q(x) = Q < Ca = 2 а (2 а - 1) Г2( а). (8)

[0,1]

Тогда имеет место оценка

И2 < Ка || f ||2, (9)

где

1

К а =

Са — Q

Доказательство. Примем обозначения

с = и(0), й = [я0Х—1д1«и(х)]х=0. (10)

Из (2) следует, что

0 = (ас + Ъй)2 = (ас)2 + 2аЪсй + (Ъй)2,

или

2аЪсй = —(ас)2 — (Ъй)2 < 0. Поэтому, с учетом (7) и (10), имеем

и(0) 1д1«и(х)]х=0 < 0. Кроме того, в силу (8), можем написать

/ [Са — д(х)] и2(х)йх > (Са — б) ||м||2. 0

Из (6), принимая во внимание последние два неравенства, получаем

21

||и||2 <--- (и, /) = Ка (и, /). (11)

С а — б

В силу неравенства Юнга, для любого е > 0 имеем

е 1

(и,/)< 2 ||и|2 + - ||/1|2. (12)

Из (11) и (12), при условии, что еКа < 2, следует неравенство

21

и2 <

е (2 — е Ка)

Последнее, с учетом равенства

inf [е(2 - еКа)]-1 = К0 о< "

доказывает (9). □

0<е < ка

Список литературы/References

[1] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, Москва, 2003, 272 с. [Nakhushev A. M., Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye, Fizmatlit, Moskva, 2003, 272 pp., (in Russian)].

[2] Рехвиашвили С. Ш., "Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики", Письма в ЖТФ, 30:2 (2004), 33-37. [Rekhviashvili S. SH., "Formalizm Lagranzha s drobnoy proizvodnoy v zadachakh mekhaniki", Pis'ma v ZHTF, 30:2 (2004), 33-37, (in Russian)].

[3] Рехвиашвили С. Ш., "К определению физического смысла дробного интегро-дифференцирования", Нелинейный мир, 5:4 (2007), 194-197. [Rekhviashvili S. SH., "K opredeleniyu fizicheskogo smysla drobnogo integro-differentsirovaniya", Nelineynyy mir, 5:4 (2007), 194-197, (in Russian)].

[4] StankoviC B., "An equation with left and right fractional derivatives", Publications de I'institut mathemmatique. Nouvelle serie,, 80(94) (2006), 259-272.

[5] Atanackovic T. M., Stankovic B., "On a differential equation with left and right fractional derivatives", Fractional Calculus and Applied Analysis, 10:2 (2007), 139-150.

[6] Torres C., "Existence of a solution for the fractional forced pendulum", Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics, 13:1 (2014), 125-142.

[7] Энеева Л. М., "Краевая задача для дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 3:2(11) (2015), 39-44. [Eneyeva L. M., "Krayevaya zadacha dlya differentsial'nogo uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami", Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 3:2(11) (2015), 39-44, (in Russian)].

[8] Tokmagambetov N., Torebek B. T., "Fractional Analogue of Sturm-Liouville Operator", Documenta Mathematica, 21 (2016), 1503-1514.

[9] Энеева Л. М., "Оценка первого собственного значения задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами", Известия КБНЦ РАН, 2017, №1(75), 34-40. [Eneyeva L. M., "Otsenka pervogo sobstvennogo znacheniya zadachi Dirikhle dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami", Izvestiya KBNTS RAN, 2017, №1(75), 34-40, (in Russian)].

[10] Энеева Л. М., "О задаче Неймана для уравнения с дробными производными с различными началами", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки., 2018, №4(24), 61-65. [Eneyeva L. M., "O zadache Neymana dlya uravneniya s drobnymi proizvodnymi s razlichnymi nachalami", Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 2018, №4(24), 61-65, (in Russian)].

[11] Энеева Л. М., "Нерваенство Ляпунова для уравнения с производными дробного порядка с различными началами", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки., 2019, №3(28), 3249. [Eneyeva L. M., "Nervayenstvo Lyapunova dlya uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami", Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki., 2019, №3(28), 32-49, (in Russian)].

[12] Eneeva L.M., Pskhu A.V., Potapov A.A., Feng T., Rekhviashvili S.Sh., "Lyapunov inequality for a fractional differential equation modeling damped vibrations of thin film MEMS", Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19100), 2019.

[13] Rekhviashvili S.Sh., Pskhu A.V., Potapov A.A., Feng T., Eneeva L.M., "Modeling damped vibrations of thin film MEMS", Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19101), 2019.

[14] George A. Anastassiou, "Fractional representation formulae and right fractional inequalities", Mathematical and Computer Modelling, 2011, №54, 3098-3115.

[15] George A. Anastassiou, Fractional Differentiation Inequalities, Springer-Verlag, New York, 2009, 675 pp.

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

[2] Рехвиашвили С. Ш. Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. №2. С. 33-37.

[3] Рехвиашвили С. Ш. К определению физического смысла дробного интегро-дифференцирования // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. №4. С. 194-197

[4] StankoviC B. An equation with left and right fractional derivatives // Publications de l'institut mathematique. Nouvelle serie. 2006. vol. 80(94). pp. 259-272.

[5] Atanackovic T. M., Stankovic B. On a differential equation with left and right fractional derivatives // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2007. vol. 10. issue 2. pp. 139-150.

[6] Torres C. Existence of a solution for the fractional forced pendulum // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics. 2014. vol. 13. issue 1. pp. 125-142.

[7] Энеева Л. М. Краевая задача для дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. vol. 2(11). C. 39-44

[8] Tokmagambetov N., Torebek B. T. Fractional Analogue of Sturm-Liouville Operator // Documenta Mathematica. 2016. vol. 21. pp. 1503-1514

[9] Энеева Л. М. Оценка первого собственного значения задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Известия КБНЦ РАН. 2017. №1(75). С. 34-40

[10] Энеева Л. М. О задаче Неймана для уравнения с дробными производными с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №4(24). С. 61-65.

[11] Энеева Л.М. Неравенство Ляпунова для уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. 3(28). C. 32-49.

[12] Eneeva L.M., Pskhu A.V., Potapov A.A., Feng T., Rekhviashvili S.Sh. Lyapunov inequality for a fractional differential equation modeling damped vibrations of thin film MEMS. Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19100).

[13] Rekhviashvili S.Sh., Pskhu A.V., Potapov A.A., Feng T., Eneeva L.M. Modeling damped vibrations of thin film MEMS // Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19101)

[14] George A. Anastassiou. Fractional representation formulae and right fractional inequalities // Mathematical and Computer Modelling. 2011. vol. 54. p. 3098-3115.

[15] George A. Anastassiou. Fractional Differentiation Inequalities. New York: Springer-Verlag, 2009. 675 c.

Для цитирования: Энеева Л. М. Априорная оценка для уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29.

№ 4. C. 41-47. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-41-47

For citation: Eneeva L. M. A priori estimate for an equation with fractional derivatives with

different origins, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 29: 4, 41-47. DOI: 10.26117/20796641-2019-29-4-41-47

Поступила в редакцию / Original article submitted: 20.11.2019

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2019. vol. 29. no.4. pp. 41-47.

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-41-47

MSC 26A33

A PRIORI ESTIMATE FOR AN EQUATION WITH FRACTIONAL DERIVATIVES WITH DIFFERENT

ORIGINS

L.M. Eneeva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia E-mail: [email protected]

We consider an ordinary differential equation of fractional order with the composition of left-and right-sided fractional derivatives, and with variable potential. The considered equation is a model equation of motion in fractal media. We prove an a priori estimate for solutions of a mixed two-point boundary value problem for the equation under study.

Key words: Riemann-Liouville fractional derivative, Caputo fractional derivative, boundary value problem, a priori estimate

© Eneeva L.M., 2019