CC BY
12
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. C. 31-41. ISSN 2079-6641
DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-31-41
УДК 517.956.6
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Р. Т. Зуннунов1, Ж.,А. Толибжонов2
1 Институт математики имени В.И. Романовского АН РУз, 100041, ул. Мирзо Улугбека 81, г. Ташкент, Республика Узбекистан
2 Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, 100174, ул. Университетская 4, г. Ташкент, Республика Узбекистан
E-mail: [email protected]
В данной работе для уравнения смешанного типа в неограниченной области эллиптическая часть которой является горизонтальной полосой исследуется задача со смещением на характеристиках разных семейств. Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии, а существование решения задачи методом функций Грина и методом интегральных уравнений.
Ключевые слова: задача со смещением, уравнение смешанного типа, неограниченная область, метод функций Грина, метод интегральных уравнений, метод интегралов энергии
(с) Зуннунов Р. Т., Толибжонов Ж. А., 2020
Введение
Краевые задачи со смещением являются одним из быстро развивающихся направлений в теории уравнений смешанного типа [1,2]. Это объясняется прежде всего тем, что нелокальные задачи содержат широкий класс локальных краевых задач и возникают при изучении различных вопросов прикладного характера, например, вопросов математической биологии [3], прогнозирования почвенной влаги [4,5], проблем физики плазмы [6]. Ряд простейших типичных задач околозвуковой аэродинамики приводит к краевой задаче Трикоми, для которой область, лежащая в эллиптической части плоскости, представляет собой полуполосу [7]. В данной работе эллиптическая часть плоскости, представляет собой горизонтальную полосу.
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
s/gny|y|muxx + uyy = 0, m = const > 0
(1)
в области П = П и АВ и П2, где П = {(х,у) : —те < х < 0 < у < 1}, а П2 - область полуплоскости у < 0, ограниченная отрезком АВ = {(х,у) : —1 < х < 1,у = 0} и характеристиками уравнения (1):
АС : х — [2/ (т + 2)] (—у) (т+2)/2 = — 1,
ВС : х + [2/ (т + 2)] (—у)(т+2)/2 = 1,
выходящими из точек А(—1,0) и В(1,0). Введем следующие обозначения:
(
0—1 (x) =
x- 1
V
m + 2 x + 1
2
2
2 \
m + 2
/
, 0i(x) =
1 + x
V
m + 2 1 — x 2 2~
m + 2
/
Очевидно, что 0— 1 (х) и 01 (х) есть точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (х,0) € АВ с характеристиками АС и ВС соответственно. Задача Найти функцию и(х,у), обладающую следующими свойствами:
1) и(х,у) € С(П) ПС1 (П) ПС2(П иП2), причем му (х,0) может обращаться в бесконечность порядка меньше 1 — 2в на концах интервала (—1,1);
2) удовлетворяет уравнению (1) в областях П1 и П2;
3) удовлетворяет условиям
м(х, 1) = ф1(х), — те < х < +те, м(х, 0) = ф2(х), — те < х < — 1,
u(x, 0) = фз (x), 1 < x < те, lim и (x, y) = 0, равномерно по y е [0,1]
С—
a(x)De 1x(x + 1)2в—1и [0—1 (x)] +
(2) (3)
2
2
+£(40^(1 -x)2e-1м [01 (x)] + c (x) и (x, 0) = d (x),-1 < x < 1, (4)
где ^(x), ^2(x), ^(x), a(x), b(x), c(x), d(x) - заданные функции, причем выполняются условия: a2(x) + b2(x) = 0, —1 < x < 1; a (x),b (x),c(x),d(x) e C[-1,1]; 91(x) e C(—те, +<x>), ^2(x) e C(—— 1], ^3(x) e C[1, +те), и для достаточно больших |x| удовлетворяют неравенствам (x)| < M1 |x|—е, (j = 1,3), в = m/(2m + 4), M1 = const > 0, а £ - достаточно малое положительное число.
Единственность решения задачи TD^
Пусть u (x,y) решение задачи TD^. Введем обозначения u (x,0) = т (x), —1 < x < 1; limuy (x,y) = v(x), —1 < x < 1;v(x) e 2 (— 1,1) и v(x) может обращаться в бесконечность порядка меньше 1 — 2ß на концах интервала (—1,1), а т(x) e C[—1,1] П C2(—1,1). Тогда решение задачи TD^ в области Q.2 имеет вид [2]:
1
u(x, y) = Y1J
т [x + о (2t — 1)] [t (1 — t )]1—ß
dt+
4
m + 2
1—2ß 1 v [x + о (2t — 1)1 ЪУ] Г.. dt,
0
[t (1 — t )]ß
где о =
m + 2
(—y)(m+2)/2, = Г(2ß) , у, = 1
( y) , п Г2 (ß), /2 2
4
m + 2
2ß
Г (1 — 2ß)
г2 (1 — ß).
Пользуясь формулой (5), аналогично как в работе [8] получим
и [0—1 (x)] = Y1r(ß )(x + 1)
1 2ß D—ß
1x
(x + 1)ß—1 т (x)
(5)
—Г2Г(1 — ß )Dß— (x + 1)—ßv (x)
[01 (x)] = nr(ß)(1 — x)1—2ßD—1ß т(x)(1 — x)ß—1
(6)
—72Г(1 — ß )Dß—1 v (x)(1 — x)—ß
(7)
Умножая обе части этих равенств на (х + 1)2в 1 и (1 — х)2в 1, а затем применяя операторы 1х и соответственно с учетом свойства операторов дробного интегро-дифференцирования, получим [2,3]:
Dß 1X(x + 1)2ß—1u [0—1 (x)] =
(8)
(x + 1)ß—1 ir(ß) пт(x) — ГГ((11 _ 2ßß)) ftf v (t)(x — t)—2ßdt
Г (1 — 2ß)
Dß(1 — x)2ß—1u [01 (x)] = (1 — x)ß—1 ^ Г(ß) пт(x) — Y2 J v (t) (t — x)—2ßdt.
(9)
Подставляя (8) и (9) в условие (4) получим основное функциональное соотношение между т (х) и V (х) на АВ из области
p (x) т (x) = [Г (ß) /Г (2ß )][ (1 — x2)]1—ß d (x) +
+7з(1 — x)1—ßa(x) J v(t) (x — t)—2ßdt + rsb(x) (x + 1)1—ß jv(t) (x — t)—2ßdt 1
где p (x) = (1 — x)1—ßa(x) + (x + 1)1—ßb (x) + [r(ß) /Г(2ß)] [(1 — x2)]1 ßc (x)
2
u
x
1
x
Уз = [(2 - 4в)2вГ (в)] / [2Г (1 - в) Г (2в)], -1 < х < 1.
Теорема 1. Если и(х,у) - решение однородной задачи ТО™, а заданные функции удовлетворяют следующим условиям:
а(х) = (х + 1)1-в+£1 ао(х), Ь(х) = (1 - х)1-в+£1 Ьо(х), с(х) = (1 - х2)£1 со(х), (11)
где ao(x), bo(x), co(x) е C1 [0,1].
" (1 + x)£1 ao(x)
Po(x) = 0,
Po(x)
< o,
(1 - x)£1 bo (x) Po(x)
> o,
(12)
тогда задача ТО™ не может иметь более одного решения:
Здесь ро(х) = (х + 1)£1 ао(х) + (1 -х)£1 Ьо(х) + [Г(в)ег(2в)] [(1 -х2)]£1 со(х), а £1 -достаточно малое положительное число.
Прежде чем перейти к доказательству Теоремы 1, сперва докажем следующую лемму.
Лемма. Если и(х, у) - решение однородной задачи ТО™ и выполнены условия (11) и (12), тогда справедливо неравенство
i
А = J т(x)v(x)dx > o.
(13)
Доказательство. Пусть и (х,у) - решение однородной задачи ТО™. Тогда, согласно (10), справедливо равенство
х
р (х) т (х) = 7з(1 - х)1-ва (х) IV (?) (х - ?)-2в
1
1
+7з(х + 1)1-eb (x) J v (t) (t -x)-2edt,-1 < x < 1.
Отсюда в силу условий (11) и ро(х) = о, имеем
(14)
(x) = у3a1 (x) J v (t) (x -1) 2edt + y3b1 (x) J v (t) (x -1) 2edt
(15)
где а1(х) = (х + 1)£1 ао(х)/ро(х), ¿1(х) = (1 -х)£1 Ьо(х)/ро(х). Подставляя т (х) в (13), используя формулу [9]:
|x -1 |-2в =
Г (2в) ео8(пв)
о
а затем, рассуждая аналогично получим [10]:
—-г- z2e-1cos[z (x -1 )]dz, cos(nß) J
А = Y4 z2e2
J v (t) cos ztdt I + I у v (t) sinztdt
1
x
2
DO
1 if \ if
- d\ (f) I / v (t) cos ztdt I + I / v (t) sinztdt
+ ^ b'i (f) I у v (t) cosztdt I + I J v (t) sinztdt
df+
df,
где Y4 =
"(2 - 4в)2вГ (в)] / [8Г (1/2 - в) Г2 (в) cos пв]. Отсюда, в силу условий (12) следует, что А > 0. Лемма доказана. □ Теперь можно перейти к доказательству Теоремы 1.
Доказательство. Пусть u (x,y) - решение однородной задачи TD^. Тогда в области Q справедливо тождество.
(ymuuf)f + (uuy)y -ym(Uf)2 - (uy)2 = 0,
(16)
а на АВ, имеет место равенство (15).
Пусть = {(х,у); — Я < х < Я,0 < у < 1}. Интегрируя тождество (16) по области с учётом условия (3) и <(х) = 0(] = 1,3), находим
ym (Uf)2 + (uy)2 dfdy+ / t(f)v(f)df = 0.
(17)
ß1
В силу утверждения леммы, из (17) получим u(x,y) = const в Qi. Учитывая условие (3) и ф(x) = 0 (j = 1,3), имеем u(x,y) = 0 в Q1. Поэтому т(x) = 0, x е [-1,1], v(x) = 0, xе [—1,1]. Тогда, согласно формуле (5), u(x,y) = 0 в Q2. Следовательно, u(x,y) = 0, (x,y) е Q. Отсюда следует утверждение Теоремы 1. □
2
2
2
i
Существование решения задачи
Переходим к доказательству существования решения задачи ГО^. При этом предположим, что выполнены условия теоремы 1. Пусть и (х,у) решение задачи ГО^ и и(х,0) = т(х) е С[—1,1] ПС2(—1,1), иу (х,0) = V(х) е С2(—1,1) и может обращаться в бесконечность порядка меньше 1 — 2/3 на концах интервала (—1,1). Тогда на АВ справедливо равенство (10).
Решая задачу Дирихле в области методом функций Грина получим:
и (f,y) = J t0 (t) Gn (t,0;f,y) dt + J (t)Gn (t, 1;f,y) dt,
(18)
где
Gn (t, 0;f,y) = - ky (t -f)2 + 4u2y
\2 . л.,2,,m+2
ß-1
+
yy f 0M-iKmMpJIT
(m + 2)иГ (и)У P Тм [2Д |p |] u
2д |p| y
(m+2)/2
(t-f)dp,
ч о , < 16м 2 y(m+2)/2
Gn (t, 1;x, y) = 4ß0k (y (m+4)/2 + y ) (r2)0 F [ 1 - 0, 1 - 0, 2 - 20; -
-ß k
y y + y
-m/2
ß r2
r2)0F Л - 0, 1 - 0, 1 - 202y'r2,/2'
+
+ MVy f Kß [2ß |p|] T
+ n J Tß [2ß |p|] ß
2ß |p |y(m+2)/2l Tß-1 [2ß |p|] eip(t-x)dp,
k=
=
2-20 p2
r2 (1 - 0)
, r2 = (x -1)2 + 4ß2ym+2, ß =
1
Здесь Tß [z] и
4п \т + 2) Г(2-2в)' '1 ' 'г'" ' " т + 2'
Кд [г] соответственно называются модифицированными функциями Бесселя и Мак-дональда, а ^(а,Ь,с;г) гипергеометрическая функция Гаусса [11].
ф2 (х), -™ < х <-1,
то (х) = ^ т (х), -1 < х < 1,
ф3 (х), 1 < х < +™.
Учитывая (19) перепишем (18) в виде
(19)
и (x,y) = -ky / т (t) (t - x)2 + 4ß2y
2 2 m+2
0-1
dt+
1
+ J т (t)g (t; x, y) dt + Ф (x, y).
(20)
g (t; x, y) =
yy f pß-1Kß [2ß |p|] T
(m + 2)ßГ (ß)J P Tß [2ß |p|] ß
2ß |P| y
(m+2)/2
eip (t -x)dp
— 1 +tx->
Ф (x,y) = J Ф2 (t) Gn (t, o;x,y) dt + J фз (t)G4 (t, o;x,y) dt+
—^ 1
+ У (t)Gn (t, 1;x,y) dt.
Учитывая, что
д
д y{3
1
1 - 20 дt
2 2 m+2
(x -1 )2 + 4ß 2y'
0-1
2 2 m+2
(x -1) (x -1)2 + 4ß2y'
0-1
считая у = о и дифференцируя (20) по у, и переходя к пределу при у ^ о получим
v (x) =
k I d f т (t) dt d f т (t) dt
1 - 20 | dxi (x -1)1-20 dx x (t - x)1
-20
+
2
r
1
1
+ J т (t(t;x, 0) dt + Fi (x), -1 < x < 1, (21)
где (х) = ИшФу (х,у).
Равенство (21) является основным функциональным соотношением между т (х) и V (х) на АВ из области П1.
Следовательно, задача ГО™ в смысле разрешимости (в классе искомых функций) эквивалентна системе уравнений {(10), (21)}. Если из этой системы однозначно найдем функции т (х) и V (х), то решение задачи ГО™ в областях и определяются формулами (5) и (18) соответственно.
Теорема 2. Пусть выполнены все условия Теоремы 1, а также а0(х), Ь0(х), с0(х) е С2[-1,1], «0(1) х Ь(-1)= 0, ф2(-1) = Фз(1) = 0, й(х) е С[-1,1] пС2 (-1,1), тогда существует решение задачи ГО™.
Доказательство. Исключая V (х) из (10) и (21), получим
1 1
А (х) т(х) + [ ^©-йг + [ (х,г) т (г) йг = ^2 (х), (22)
п г ,) г — х У 1
где
A (x) = po (x) - [(1 + x)eiao (x) + (1 - x)eib (x)] sinвn, (23)
B(x)= [(1 + x)£1 ao (x) + (1 -x)£1 b (x)] icosjßn, (24)
ß1 (x, t )= Q (x,t) - Q (x,x) + Q (x, t) ,
tx
02 (x, t) =
x + A1-2^ П- Л 1-2в
I \ ' - ' 1 x
(1 + x)fc1 ao (x) ( — ) + (1 - x)fc1 bo (x) 1 _ t
008 вп
П
бз (х, г) = |х - г|2в—(х, г), б4 (х, г) е С (-1 < х, г < 1) п С2 (-1 < х, г < 1),
*2 (х) = [Г(в) /г (2в)] й (х) +
х 1
+73(1 + х)£1 «0 (х) у (г) (х-г)-2вйг + уз(1 -х)£1 Ь0 (х) уГ! (г) (г-х)-2вйг.
-1 х
Очевидно, что (х,г) - ядро со слабой особенностью, а на основании условий, наложенных на заданные функции следует, что Г2 (х) е С [-1,1] ПС2 (-1,1). Запишем уравнение (22) в следующем виде
1
А(х)т (х) + йг = Г3(х), (25)
1-
1
где F3(x) = Fz(x) - / Ö1 (x,))т(t)dt. 1
Уравнение (25) является уравнением нормального типа, так как A2(x) + B2(x) = 0, Vx G [— 1,1]. Индекс интегрального уравнения (25) равен нулю в классе функций, ограниченныхпри x ^ —1 и x ^ 1. Каноническая функция имеет вид
X (z) = [(1 — z2)](1/2)—(z),
где ю(z) = 0 - функция, удовлетворяющая условию Гельдера. Поэтому сингулярное интегральное уравнение (25) имеет единственное решение в классе функций ограниченных при x ^ —1 и x ^ 1. Решение уравнения (25) в этом классе выписывается в виде
1
_ A (x) F3 (x) B (x) X (x) r F3 (t) dt _ 1
(x) A2 (x)+ B2 (x) n [A2 (x)+ B2 (x)]i X (t)(t — x), " x " '
Подставляя выражение F3 (x), получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода
1
т (x) + J K (x, t )т (t) dt = F4(x)' (26)
-1
Здесь
1
k(x,t) = -ii^+w — ВДВД f J^dz,
v 7 A2(x) + B2(x) n J X(z)(z — x)
1
_ A(x)Q (x) _ B(x)X(x) r F2 (t)
F (x) A2(x) + B2(x) n JX (t)(t — x)dt'
Однозначная и безусловная разрешимость интегрального уравнения (26) в силу эквивалентности, следует из единственности решения задачи TD™. □
Заключение
Из этой задачи при a (x) = b (x) = 0, следует задача Дирихле для уравнения (1) в области , а при b (x) = c (x) = 0 и a (x) = c (x) = 0 следует задача Трикоми в области с заданными значениями искомой функции на AC и BC соответственно, которая представляет самостоятельный интерес.
Список литературы/References
[1] Нахушев А.М., Задачи со смещением для уравнений в частных производных, Наука,, М., 2006, 287 с. [Nakhushev A.M., Zadachi so smeshcheniyem dlya uravneniy v chastnykh proizvodnykh, Nauka,, M., 2006, 287 pp.]
[2] Смирнов М. М., Уравнения смешанного типа, Высшая школа, М., 1985, 304 с. [Smirnov M.M., Uravneniya smeshannogo tipa, Vysshaya shkola, M., 1985, 304 pp.]
[3] Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995, 301 с. [Nakhushev A.M., Uravneniya matematicheskoy biologii, Vysshaya shkola, M., 1995, 301 pp.]
[4] Нахушев А.М., "Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод", Дифференциальные уравнения, 17:1 (1982), 72-81. [Nakhushev A.M., "Ob odnom priblizhennom metode resheniya krayevykh zadach dlya differentsial'nykh uravneniy i yego prilozheniya k dinamike pochvennoy vlagi i gruntovykh vod", Differentsial'nyye uravneniya, 17:1 (1982), 72-81].
[5] Нахушев А.М., "Нагруженные уравнения и их приложения", Дифференциальные уравнения, 19:1 (1983), 86-94. [Nakhushev A.M., "Nagruzhennyye uravneniya i ikh prilozheniya", Differentsial'nyye uravneniya, 19:1 (1983), 86-94].
[6] Нахушев А.М., "О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями", Дифференциальные уравнения, 21:1 (1985), 92-101. [Nakhushev A. M., "O nelokal'nykh krayevykh zadachakh so smeshcheniyem i ikh svyazi s nagruzhennymi uravneniyami", Differentsial'nyye uravneniya, 21:1 (1985), 92-101].
[7] Овсянников Л. В., "О движении клиновидного профиля со скоростью звука", Труды ЛКВВИА, 1950, №33, 25-51. [Ovsyannikov L.V., "O dvizhenii klinovidnogo profilya so skorost'yu zvuka", Trudy LKVVIA, 1950, №33, 25-51].
[8] Салахитдинов М.С., Хасанов А., "Краевые задачи со смещением для уравнения", Дифференциальные уравнения и их приложения, ФАН, Ташкент, 1979, 1425. [Salakhitdinov M.S., Khasanov A., "Krayevyye zadachi so smeshcheniyem dlya uravneniya", Differentsial'nyye uravneniya i ikh prilozheniya, FAN, Tashkent, 1979, 1425].
[9] Трикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, М., 1957, 440 с. [Trikomi F., Lektsii po uravneniyam v chastnykh proizvodnykh, M., 1957, 440 pp.]
[10] Салахитдинов М.С., Уринов А. К., Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром, ФАН, Ташкент, 1997, 168 с. [Salakhitdinov M. S., Urinov A. K., Krayevyye zadachi dlya uravneniy smeshannogo tipa so spektral'nym parametrom, FAN, Tashkent, 1997, 168 pp.]
[11] Кузнецов М.С., Специальные функции, Высшая школа, М., 1965, 424 с. [Kuznetsov M.S., Spetsial'nyye funktsii, Vysshaya shkola, M., 1965, 424 pp.]
Список литературы (ГОСТ)
[1] Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
[2] Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.
[3] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
[4] Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференциальные уравнения. 1982. Т.17. №1. С. 72-81
[5] Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. №1. С. 86-94.
[6] Нахушев А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференциальные уравнения. 1985. Т.21. №1. С. 92-101.
[7] Овсянников Л. В. О движении клиновидного профиля со скоростью звука // Труды ЛКВВИА. 1950. вып. 33. С. 25-51.
[8] Салахитдинов М.С., Хасанов А. Краевые задачи со смещением для уравнения. Дифференциальные уравнения и их приложения. Ташкент: ФАН, 1979. С. 14-25.
[9] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957, 440 с.
[10] Салахитдинов М.С., Уринов А. К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: ФАН, 1997. 168 с.
[11] Кузнецов М. С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. 424 с.
Для цитирования: Зуннунов Р. Т., Толибжонов Ж. А. Краевая задача со смещением
для модельного уравнения смешанного типа в неограниченной области // Вестник КРА-
УНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. С. 31-41. ЭО!: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-31-41
For citation: Zunnunov R. T., Tolibjonov J. A. A boundary value problem with an offset for a model equation of mixed type in an unbounded domain, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020, 30: 1, 31-41. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-31-41
Поступила в редакцию / Original article submitted: 27.03.2020
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2020. vol. 30. no.1. pp. 31-41.
DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-31-41
MSC 35M12
A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH AN OFFSET FOR A MODEL EQUATION OF MIXED TYPE IN AN
UNBOUNDED DOMAIN
R. T. Zunnunov1, J. A. Tolibjonov2
1 Institute of Mathematics named after V. I. Romanovskiy, Academy of Sciences of Uzbekistan, Academy of Sciences of Uzbekistan, 100170, Mirzo Ulugbek str., 85, Tashkent, Uzbekistan
2 National University of Uzbekistan after named Mirzo Ulugbek, 100174. Universitetskaya St., 4. Tashkent. Republic of Uzbekistan
E-mail: [email protected]
In this paper, for a mixed type equation in an unbounded region, the elliptical part of which is a horizontal strip, we study the problem with a shift on the characteristics of different families. The uniqueness of the solution of the problem is proved by the method of energy integrals, and the existence of a solution of the problem by the method of Green functions and the method of integral equations.
Key words: bias problem, mixed type equation, unlimited domain, Green's function method, integral equation method, energy integral method
(c) Zunnunov R. T., Tolibjonov J. A., 2020
