CC BY
9УДК 511
КОРОТКИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ С НЕЦЕЛОЙ СТЕПЕНЬЮ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА
П. З. Рахмонов1
Для коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа при у ^ xi lnA х, xl~cy~l\wA х ^ |а| ^ 0, 5, с > 2 и ||с|| ^ S получена нетривиальная оценка
Sc(a; x, y) = ^^ e(a[nc]) ^ y lnA x,
x—y<n^x
где A — фиксированное положительное число и S = S(x,c,A) = (2И+1 — l) (A+2, 5) • '"д" ж ■
Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма, метод ван дер Корпута, тригонометрический интеграл, нетривиальная оценка.
An estimate for short exponential sums
Sc(a; x,y)= e(a[nc])
x—y<n^x
is obtained for у ^ xi lnA x, xl~cy~l lnA x ^ |a| ^ 0, 5, с > 2 and ||c|| ^ S where A is a fixed positive number and (5 = 6(x, c, A) = - l) (A + 2, 5) •
Key words: short exponential sum, Van der Corput's method, exponential integral, nontrivial estimate.
Теорема. Пусть x ^ Xo > 0, у ^ x? In"4x, A — фиксированное положительное число, с — нецелое фиксированное число с условиями с > 2, ||с|| ^ 5, 5 = (2М+1 — l) {А + 2,5) • ж • Далее, пусть а — вещественное число с условием x1-cy-1 lnA x ^ |а| ^ 0, 5. Тогда справедлива оценка
Sc(a; x,y) = ^ e(a[nc]) ^ y ln-A x.
x-y<n^x
тг ,-T fc\ c(c - 1) ... (c - r + 1)
Лемма. Пусть =-;-7 тогда при нецелом с > 1 u, г <Е N справедливы оценки
\ r r!
1 <
(ci
< 2е при г < с, -V- <
k
< 1 при r = k, k = [c] + 1. Доказательство аналогично доказательству леммы 2 из работы [1, с. 35].
1-М
ет—
Схема доказательства теоремы. Всюду ниже будем считать, что у ^ 10 gx, M = x2lc)+1-i ; Mq = n(M + 0, 5) и k = [c] + 1. Пользуясь леммой 1 из работы [2], находим
Sc{a-x,y) = 1-^^- ^ e((a + h)nc)+ e(anc)Qм(пс),
\h\^M x-y<n^x x-y<n^x
где
Qu{nc) ^ 4\/2| sm7ra\RMo(nc), Ru0{nc) =
л/l + Mo sin2 ттс Переходя к оценкам, получим
|Sc(a;x,y)| < |Wi| + |Wi(0)| + | W2I, (1)
1 Рахмонов Парвиз Заруллоевич — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
chubarik! @mech.math. msu. su.
где
т= Е е((а + К)пс), И^2= ПмМ)-
х-у<и^х х-у<и^х
Оценка Ш2- Воспользовавшись для функции Ям0 (пС) леммой 1 из работы [3, с. 601], найдем
где
^э = енШз(Н), Шз(Н)= ^ е(НпС)> ^ = Е Е с^(НпС )•
Н^Мо 1пх х-у<и^х х-у<и^х |Ь,|>М0 1пх
Оценим |Ж*|:
М0 М0 I ^ " V М0 х
х-у<и^х |h|>M01пх 0 4 0 7 ^=0 4 0/
Переходим к оценке Wз. Имеем
0 1<й<Мо 1п х 0
Производная к-го порядка /(к)(£) = ^^^ к на отрезке [х — у, х] удовлетворяет неравенствам
Оценим сумму ^э(Н), воспользовавшись теоремой 5 из работы [4, с. 27]. Имеем
Суммируя по всем Н, 1 ^ Н ^ Мо 1п х, найдем
^ IV, ^ ^ '
К^Мо 1п х
Следовательно
И^З < у ^М0хс~к) + (кМ0хс~к) + Мо"1) (1пж)2+^ ,
ИЪ < И^з + ЩС^хМ/-^ (хМж'-^'^+М"1! (1пж)2,5 . (2)
Оценка ^1. При |Н| ^ М, оценивая сумму (Н) аналогично ^э(Н), найдем
1^1^)1 <2/ ((жж0-*)^ + (хх^У^ + . (3)
Отсюда, воспользовавшись соотношениями
^ (/г-^ ^ (/г- < 2клД,
1<Н<М 1<Н<М
получим
Оценка ^(0). Полуинтервал £ = (х1-Су-11пА х, 0, 5] разобьем на множества £г, г = 1,..., [с] + 1:
£1 = (х1-Су-11пАх, (2с)-1х1-С]; £2 = ((2с)-1 х1-С, х2-С(1пх)-2А];
£г = (хг-1-С(1пх)-(2Г-1-2)А, хг-С(1пх)-(2Г-2)а], г = 3,4,..., [с]; £[С]+1 = (х[С]-С(1пх)-(2[с]-2)А, 0, 5].
Оценка ^(0) при а € £1. Производная функции /(¿) = а£С, í € [х — у,х], монотонна, и
, А
с (1 — 10~9)с_1 • И-Л < ^ о, 5. У
Применяя к сумме ^(0) лемму ван дер Корпута [5, с. 26], найдем
х-у<и^х х у 4 ^
Оценка ^(0) при а € £г, 2 ^ г ^ [с]. Производная г-го порядка /(г)(¿) = ^с^г!МС-г на отрезке [х — у, х] удовлетворяет неравенствам
\г = яа{х-у)с~г, г}= {хХ^у)с_г < (1-Ю-9)2"с = С1.
Оценивая сумму ^(0) аналогично сумме ^э(Н), пользуясь теоремой 5 [4, с. 27], затем утверждением леммы при 2 ^ г ^ [с] и неравенством с-1хС-г ^ (х — у)С-г < хС-г, находим
12 9. .1
И^(0) <^У\?К-2Г]К +У1~к\г 2К-2 \(жа(х - уу-г)^ с? +у~к (жа(х - ) <
Далее с учетом условия а € £г имеем
/
ж4-23~г(1пж) 4-23-Г
Л о2-г 1 (2' + -2)А \ у
^1(0) < У ( (1пх)~л + у~2 ж2г-2(1пж) 2^-2 ) =
/ / 1 (3.2'-1-4)А \ 22 Г\
1пА х
1 +
V " /у
у
<
1пА х"
Последняя оценка при у ^ х 2 1П"4 ж справедлива, поскольку числитель последней дроби со знаменателем у принимает максимальное значение при г = 2, т.е.
/ 1 (3.2'-1-4)А\ 1
тах ж4-23~г (1пж) 4-гз-г = ж2 1п ж.
2<г<С у у у )
Оценка (0) при а € £[С]+1- Воспользовавшись оценкой (3) при Н = 0, затем условием а € £[С]+1, имеем 1 1
1^1(0)| < у ((хж^а:)^ +у~* (их^ау1*^^ <
Таким образом, для всех о; € £ при у ^ х 2 1П"4 х справедлива оценка
1^1 (0)| < У (рр- + + у~* (жх^-^у^2 (Ых)^2^2^^ . (5)
Оценка Бс(а;ж,у). Подставляя оценки для ^2, и (0) из (2), (4), (5) в (1), найдем \Зс(а;х,у)\ +у~тс (кх^У^ (1пж)2'5 + ^-.
Используя оценку (к — 1)! ■ {с} < к = к! ^ к! леммы и формулу Стирлинга, получаем
1 / кШ \ __5_ ( 1 ____
я^к-2 <; ехр ( у—< 1, X < ( (А._1)! ) М 2К-2<{с}
Поэтому |5с(а;ж,у)| (жМ-^с})"^ + М"1^ (1пж)2'5 + ^.
к —с
Подставим М = х2К-1 и к = [с] + 1 в правую часть последнего неравенства. Тогда
\Бс(а-,х,у)\ у (+ у~21~1с] Ис}"1)^1^ (1пж)2'5 + ^-.
\ ) 1пА ж
Воспользовавшись условием ||с|| ^ 5, 5 = ¿(ж, с, А), в виде 5 ^ {с} ^ 1 — 5, будем иметь |5с(а;ж,у)| (ж"^1^ (жГ1)^1^ (1пж)2'5 + ^- =
А+2,5 \ 2!-И
У ( (жй"1) 4-22-1с1 (1ПЖ)2!-И ^ 2у
1пА ж \ у I 1пА ж
Учитывая явный вид величины 5, получим
-, 1 А+2,Б / / ч ч--гт 1 / 1П т \ и ,2-[с] А+2,Б
(жг1) 4-22-и (1пж)?^г = ((2[с1 + 1-1)(а + 2,5)) 4-22-1=] ж4_22-[с] / <
1
1пж \ 4—22— [с] ^ ^ А+2,6 1 ^ А+2.Б | 1 1 А+3
<Ж4-22-И --(1ПЖ)21-И < Ж4-22-И (1ПЖ)21-И^2 < Ж4-22-Н (1ПЖ)21-Н
1п 1п ж
/ ! 1 А+3 \ х
Отсюда при у ^ тах I жг 1п ж, ж4-22-И I = Х2 1п ж приходим к оценке
21-И
А+З
, .. V I Ж4-22-И (1ПЖ)21-И \ у у
5са;ж,у ------+ — "С —^—■
1пА ж \ у / 1пА ж 1пА ж
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Буриев К. Аддитивные задачи с простыми числами: Канд. дис. М., 1989.
2. Попов О.В. Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени: Канд. дис. М., 1995.
3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2003.
4. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983.
5. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1980.
Поступила в редакцию 28.05.2012
УДК 519.7
О ГЛУБИНЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ СХЕМАМИ НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ БЕСКОНЕЧНЫМ БАЗИСОМ
О. М. Касим-Заде1
Для всех бесконечных базисов найдены оценки схемной глубины всех булевых функций с точностью до небольшой аддитивной постоянной.
Ключевые слова: булева функция, схема из функциональных элементов, глубина схемы.
Bounds for the circuit depth of all Boolean functions tight up to a small additive constant are obtained for all infinite bases.
Key words: Boolean function, circuit of functional elements, circuit depth.
1. Будем называть базисом любое функционально полное множество булевых функций, т.е. такое, что суперпозициями функций этого множества можно реализовать любую булеву функцию.
Базис называется конечным, если число существенных переменных входящих в него функций ограничено сверху, т.е. найдется такое число m, что любая функция этого базиса существенно зависит не более чем от m переменных; в противном случае базис называется бесконечным.
Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из функциональных элементов над произвольным фиксированным базисом B. Под глубиной схемы понимается наибольшее число функциональных элементов, составляющих ориентированную цепь, ведущую от входов схемы к ее выходу.
Наименьшая глубина схемы над базисом B, достаточная для реализации булевой функции f, называется глубиной функции f над базисом B и обозначается через Dß (f).
Базису B ставится в соответствие функция Шеннона глубины Dß(n), определяемая при всяком натуральном n соотношением
Dß(n) = max Dß (f),
где максимум берется по всем булевым функциям f от n переменных. Подробные определения этих и других используемых в работе понятий можно найти в [1, 2].
Известно [1], что для всякого конечного базиса B асимптотика функции Шеннона глубины при n ^то имеет вид Dß(n) = an + o(n), где a = (log2 m)-1, m — наибольшее число существенных переменных у функций базиса B.
В работе [3] показано, что для всякого бесконечного базиса B порядок роста функции Шеннона глубины Dß(n) при n ^ то равен либо 1, либо log n. Этот результат уточнен в [4], где установлено, что для всякого бесконечного базиса B либо существует постоянная ß, такая, что Dß (n) = ß при всех достаточно больших n, либо существуют постоянные y ^ 2 и ö, такие, что
logY n ^ Dß (n) ^ logY n + ö
при всех n. В настоящей работе результаты [3, 4] существенно усилены: оценки работы [4] приобрели конкретный вид. Предпошлем формулировке основных результатов настоящей работы ряд необходимых сведений.
1 Касим-Заде Октай Мурад оглы — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kasimz@mech.math.msu.su.
