CC BY
16
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Ф.З.Рахмонов
ПРИБЛИЖЕННОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФУНКЦИИ
ДИРИХЛЕ L(s, х)
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан СЛ.Исхоковым 06.09.2017 г.)
Теорема о приближенном функциональном уравнении функции Дирихле L(s, х) с равномерными оценками по модулю характера q и мнимой части s доказана с помощью формулы, позволяющей заменять тригонометрические суммы более короткими.
Ключевые слова: характер Дирихле, формула Ван дер Корпута, короткая тригонометрическая сумма.
А.Ф.Лаврик [1] на основе специальных функциональных уравнений функции Дирихле L(s, х) в сочетании с известным методом Харди-Литтлвуда [2,3] доказал приближенное функциональное уравнение для этой функции.
В данной работе приближенное функциональное уравнение L(s, х) с равномерными оценками по модулю характера q и мнимой части s доказано с помощью теоремы о приближении тригонометрической суммы
S = ^ (n)e(f (n))
a<n<b
другой суммой, длина которой меньше, чем длина S (более короткой суммы).
Первые теоремы о приближениях указанного вида для специальных функций р(x) и f (x) были доказаны Г.Харди и Д.Литтлвудом [4], И.М.Виноградовым [5] и Дж.Ван дер Корпутом [6]. В [7,8] доказана теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой при достаточно слабых ограничениях на р( x) и f (x) с достаточно точным и удобным в приложениях остаточным членом.
Теорема. Пусть х - примитивный характер по модулю q, s = а + it, t > 4ж2, положительные числа x и y удовлетворяют условиям x > h >0, y > h >0, 2яху = qt. Тогда при 0 < <т0 < а < 1 справедливо равенство:
L(s,х)=+ехк-вц,х))ff-Г +о(qyа int+q1axa 1tа),
n<y n V2Я J n<x n
где
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Фирдавс Заруллоевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: Фирдавс fira.rahmonov@gmail.com
1 -х(-1) / ч ?(х) ы ч * . !д * 1 - 2а
а =—е(х) = , в(и %) =—1п —-----,
2 2ж 2ж 2ж 8
и постоянные в знаках О зависят только от h и <г0.
д*
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что х =- - нецелое число и
2жу
л 2 *
* > 4 ж . Полагая в следствии 2 [1, стр. 81] и--, найдем
ж
х,)= £ Я+О(д"°<-) = I Я+к+о(Ч-'Г°),
<л П 4 * П 4 '
Х(п )
2жх
где
к = £ ЯМ= £ £ 1 = ¿^К^),
д? д? п д* д* п т=1
д
к (т) = £
с \-а
т
п + —
т
п + —
* т „ „ * т
< п<--- ^ 2жх д ж д
д)
г 1п
V
д)
2ж
(1)
Преобразуем сумму К(т) и будем применять формулу замены тригонометрической суммы более короткой [1, стр. 67, теорема 1]. Чтобы все условия этой леммы выполнялись, разобьём промежуток суммирования на промежутки вида
* т т
---<п<а--.
2ж д л0 д
тт
ал--< п < 2ац--:
д д
а, = 2-л
г
ж
/ = /0,/0 - 1,К ,2,1, /0 - наибольшее целое число, такое что
1 . < 2-л01 = а
2жх
ж
■V
и получим для суммы К (т) формулу:
т=1
1
К (т) = К (т, Мо +1) + X К (т, М),
м=м0
К (т, Мо +1)= X
Г ( * (
т п + —
г т
---<п<а —
2ях я Мо
т V Я )
--1п
2п
т
и л—
Я ))
Я
К (т, м)= X
Г ™Ха ( * (
т
п л —
т^ т V Я)
а— <п<2а,—
——1п 2п
т
и л—
Я ))
Я Я
К суммам К (т, м) применим теорему 1 [1, стр. 67], полагая в ней
(2)
f (и) = ——1п 2ж
^ т^ и л—
Я )
, (р(и) =
( \—а т
и л--
V
Я)
mod—16рг, Н = а^, и = а^, Л = ^
Все условия теоремы 1 [1, стр. 67] выполняются, то есть функции f(4)(и) и ("(и) на отрезках
непрерывны и
т _ т
ам--,2ам--
Я Я
I т т
---, аМ--
2жх я М0 Я
Л а„ Аи а,, А17
М М М
При М = М0 Л1,М0,К ,2,1 находим значения функции I '(и) в концах промежутков суммирования:
f'
{ г т^
2жх я
т
= —х, /' ам—~ = — 2М—1-, /'
М Я)
V
— оМ—1
(
Л
т
2ам--
М Я)
= —2М—2.
(3)
Отсюда следует f' а--е % при м = 1,2,К , м0 , I'
М Я)
2ам —
т
Я )
е % при м = 2,К , м0 , а также
f'
2а1 —
т
Я )
= 2 1 . Поэтому из определения Т„ в теореме 1 [1, стр. 67] и из условия г >
получим
Т т =0, М = 1,2,К ,Мо; Т т =0, М = 2,К ,М0,
аМ 2ам
Я Я
Т = тт т
2а^--
Я
= min
2жх я
—2—1
-1 2—/ ^
= min
Г г0.5 >
I __
V "
= 2,
I'
( г т^
2жх я
1
а
М0
а
<
М0
¿0,5 '
(4)
0,5
г
Теперь, воспользовавшись соотношениями (3) и (4), с учетом неравенств
— < а<аи = — <—, 2 < 2л< 2/0 < 2х, 2жх /0 л 2л ж 2ж
а и < л0
жх
находим остаточные члены Л , которые появляются при применении теоремы 1 [1, стр. 67] к суммам К(т, /) при / = 1,К , /0, а также отдельно при / = /0 +1. Имеем
К < ос1-°Г1 + а" 1п I, Д м < ^5-аха-1 + а~а 1п I.
/'о 0
Складывая все Л, / = 1,2,К , /0 +1, найдем
/0 +1
л=1
Теперь, находя значение ип из Р(ип) = п , вычислим 2(п) :
(5)
\0,5-ст
2 (п) =
-М' е (-в(*))
^ пт^
д)
2ж
(-п)
1-а-й
в(*) = — 1п----- - -
2ж 2ж 2ж 8
Таким образом, для сумм К(т, /0 +1) и К(т, /), / = /0, /0 - 1,К ,2,1 имеем
с(-п)е
К (т, / +1) = е (-в(0 )1 —
^ пт^
д)
\0,5-ст
2/0-1 <п< х п
с(-п)е
+ Л/0
+1
пт
К (т, /) = е (-в(0 )|
2ж
£ -
2л-2 <п<2л-1 п
_Л
V
Подставляя правые части полученных формул для К(т, /), / = 1,2,К, /и0 +1 в (2), вспомнив
( \ д*
определенные числа с(-п) , и имея в виду, что х---нецелое число, получим
2жу
С л
пт
С * л0,5- д
К(т) = е (-в(0) £^ГТ~1 + О 1п *
2 1<и<х
п
етхет 1п * + * 05-аха-1).
Далее, подставляя полученную формулу для К(т) в правую часть (1) и пользуясь формулой, которая устанавливает связь между значениями примитивных характеров и значениями сумм Гаусса, имеем
I
е
0,5-ст
_х(-1Мх)
f \0.5-ст
K = х e(-<9(t))f^j X ^nS + O(qy~a int + q^axa-1t.
q
2-1 <n<x n
Теперь преобразуем коэффициент перед суммой в зависимости от четности характера % воспользовавшись обозначением 2а = 1 — %(—1) и явным выражением д(%) . Имеем
х(-1)^(х) qs
' t Л
e (-e(t)) — I = s(z)e(re(t, х)) V 2 Я J
3L |
2 я J .
Теорема доказана.
Поступило 20.09.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврик А.Ф. О приближенном функциональном уравнении L -функций Дирихле. - Труды ММО, 1968, т. 18, с. 91-104.
2. Hardy G.N., Littlewood I. The approximate functional equations for £(s) and ^2(s). - Proc. London. Math. Soc., 1929, v. 29, no. 2, pp. 81-97.
3. Tatuzawa S. The approximate functional equations for Dirichlet L -series. - Japanese Journ. Math. 1952, no. 22, pp. 19-25.
4. Hardy G.H., Littlewood J. E. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes. - Acta Math., 1917, v. 41, no 1, pp. 119-196.
5. Виноградов И.М. О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя. - Сообщения Харьк. матем. об-ва, 1918, 16, с. 10-8.
6. Van der Corput J.G. Verscharfung der Abschatzung beim Teilerproblem. - Math. Ann., 1922, v. 87, no. 1-2, pp. 39-65.
7. Karatsuba A.A. Approximation of exponential sums by shorter ones. - Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., 1987, v. 97, no. 1-3, pp. 167-178.
8. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. - М.: Физматлит, 1994, 376 с.
Ф.З.Рахмонов
МУОДИЛАИ ФУНКСИОНАЛИИ ТАЦРИБИИ ФУНКСИЯИ ДИРИХЛЕ
L(s, х)
Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон
Теорема оиди муодилаи функсионалии такрибии функсияи Дирихле L(s, х) ба бахохои мунтазам аз руи модули характер q ва кисми мавхуми s бо ёрии формулае, ки суммаи тригонометриро бо суммаи кутох иваз мекунад, исбот карда шудааст
Калима^ои калиди: характери Дирихле, формулаи Ван дер Корпут, суммаи тригонометрии кутоу.
F.Z.Rahmonov
THE APPROXIMATE FUNCTIONAL EQUATION FOR DIRICHLET
L-FUNCTION
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
Theorem about the approximate functional equation for Dirichlet L -function with uniform estimates modulo q and imaginary part s has been proved via formulas allowing to approximate exponential sums by a shorter ones
Key words: Dirichlet character, formula of Van der Corput, short trigonometric sum.
