CC BY
6КОНТРОЛЬ РЕЗУЛЬТАТ1В НАВЧАННЯ АЛГЕБРИ У ПЕДАГОГ1ЧНОМУ ВИЩОМУ НАВЧАЛЬНОМУ ЗАКЛАД1 В УМОВАХ КРЕДИТНО-МОДУЛЬНО1 СИСТЕМИ НАВЧАННЯ
В.В.Мацюк, старший викладач, Бердянський державний педутверситет,
м. Бердянськ, УКРА1НА
Висвтгчено досвк) органтаци рюневого контролю резулътстпв твчання алгебры у Бердянському державному педагоггчному унюерситепп в умовах кредитно-м^улънт системы навчання.
Актуальшсть. Основним завданням впровадження кредитно-модульно! систе-ми тдготовки фах1вщв у вищих навчаль-них закладах Укра!ни е запровадження передбачено! Болонською декларацию системи академ1чних кредилв, яка сприяе як шдвищенню мобшьносп студенлв що-до переходу з одте! наввчально! програми на шшу так 1 тдвищенню р1вня контролю за навчально-шзнаввальною дояльтстю студенпв [5].
Багато науковщв працюють над роз-в'язуванням питань щодо оргашзацп кредитно-модульного навчання у вищш школ! Так, розроблеш шновацшш технологи навчання (1.М.Богданова, О.С.Зайцев, С.О.Заславська, Т.А.1льша, А.В.Фурман та ш.) [1; 2], розроблена багатобальна шкала оцшювання знань умшь та навичок студенпв (Я.Я.Болюбаш, В.1.Бондар, В.1.£вдок1мов, О.М.Микитюк, В.Д.Шин-карук та ш.) [3; 5]; визначеш теоретичш проблеми контролю як одного з метод1в педагопчного стимулювання навчально-виховного процесу (В.П.Беспалько, 1.£.Бу-лах, Н.М.Буринська, Н.Д.Наумов, Л.О.Оде-рш, Л.М.Романишина, Н.Ф.Тализша та ш.) [1] тощо.
Однак, дос1 гснують питання у викла-дашв-практиюв вищих навчальних закладов щодо оргашзацп контролю резуль-талв навчання студенпв, зокрема з ма-тематичних дисциплш.
Метою дано! статтi е ознайомлення викладач1в з досвщом впровадження
р1внево! системи контролю результапв навчальних досягнень з алгебри студен-т1в Бердянського державного педагопч-ного утверситету.
Основний змкт. У вищих навчальних закладах Ш-1У р1вшв акредитацп викла-дання навчальних дисциплш здшсню-еться спираючись на галузевий стандарт вищо! осв1ти, на баз1 якого формуються навчальш плани спещальностей р1зних освггньо-квал1ф1кацшних р1вшв. Зпдно освггшх стандарпв тдготовки бакалавр1в напряму 0101 «Педагопчна освгга» спещаль-носп 6.010100 «Педагопка 1 методика се-редньо! освгги. Математика» алгебра у педагопчних вищих навчальних закладах представлена навчальними дисциплшами «Лшшна алгебра», «Алгебра 1 теорш чисел». Даш дисциплши мають обсяг 216 годин, що в1дповщае 4 нацюнальним та 6 европейським кредитам [4].
Для розробки системи контролю ре-зульталв навчальних досягнень студенпв у систем1 кредитно-модульно! системи навчання необидно розв'язати дв1 групи задач. Задач1 першо! групи (за змютом): проанал1зувати змют, видщити змютов-ш модул1, основш поняття, властивост об'екив, теореми та основш алгоритми дш, знання яких обов'язкове для цЫс-ного сприйняття предмету, а також р1вт засвоення змюту (для кожного р1вня вказати конкретний змгст 1 стушнь ово-лодшня ним). Задач1 друго! групи (за д1яльшстю): проанал1зувати кожний вид
© Ма1зуик V.
Д1ЯЛЬН0СТ1, подати иого як сукупн1сть послщовносп операцш, встановити три р1вт виконання кожно1 операцп 1 сфор-мулювати критерп ощнки кожного р1в-ня 1 представлення результапв, що вщ-
повщають цим р1вням [7].
Пропоноват нами змгстовт модул1 алгебра1чних курс1в та !х обсяги представлено у таблиц 1.
Таблиця 1
Зм1стовн1 модул1 алгебраУчних курс1в
№ НаИменування змютовного модуля Лекцш (годин) Практ. занять (годин) Самостшна робота (годин)
Лттна алгебра
1 Матрищ, визначники, 1х застосування при дослщжент та розв'язувант систем лшшних р1внянь 14 14 26
2 Числов1 поля. Поле комплексних чисел 14 14 26
3 Лшшт простори. Уттарт та евклщов1 простори 14 14 26
4 Лшшт оператори. Квадратичт форми 14 14 26
Алгебра 1 теоргя чисел
1 Алгебрашт структури 14 14 26
2 Подшьтсть у алгебра1чних структурах 14 14 26
3 Теор1я конгруенцш 14 14 26
4 Теор1я многочлетв 14 14 26
Для кожного змютовного модуля нами визначет основт поняття, влас-тивост1 об'екив, теореми, алгоритми та р1вт знань, умшь та навичок студенпв вщповщно вимогам осв1тньо-професш-них програм студенпв-математиюв напрямку тдготовки 0101«Педагог1чна осв1та». Наведемо приклад даних мате-р1ашв щодо змютовного модуля «Матриц^ визначники, !х застосування при дослщжент та розв'язувант систем ль ншних р1внянь».
Основш поняття: матриця, розм1р-шсть матрищ, прямокутна матриця, квадратна матриця п-го порядку, одинична матриця п-го порядку, головна та поб1чна доагонаш квадратно! матриц п-го порядку, стутнчаста матриця, елементарш пе-ретворення матриць, операцп над матри-цями, транспонована матриця, перестановка, постановка, транспозищя, швероя, парна 1 непарна перестановки та постановки; детермшант п-го порядку, мшор (п-1)-го порядку, алгебрашне доповнення елемента ау, мшор р-го порядку, взаемо-доповняльш мшори, алгебра1чне допов-
нення (п-р)-го порядку, добуток детер-мшант1в п-го порядку, визначник Ван дер Монда, ранг матрищ, особлива матриця, обернена матриця, лшшне р1внян-ня з т невщомими, однорщне лшшне р1вняння з т невщомими, розв'язок ль ншного р1вняння з т невщомими, система п лшшних р1внянь з т невщомими, система п лшшних однорщних р1внянь з т невщомими, розв'язок системи п ль ншних р1внянь з т невщомими, сумюна система п лшшних р1внянь з т невщо-мими, несумюна система п лшшних р1в-нянь з т невщомими, визначена система п лшшних р1внянь з т невщомими, не-визначена система п лшшних р1внянь з т невщомими, елементарш перетворен-ня систем п лшшних р1внянь з т невь домими, екв1валенттсть систем п лшшних р1внянь з т невщомими, загальниИ та частинниИ розв'язок системи п лшшних р1внянь з т невщомими, матриця системи п лшшних р1внянь з т невщо-мими, розширена матриця системи п лшшних р1внянь з т невщомими.
ВластивостХ об,ектлв: операцш над
матрицями, окремих титв матриць (оди-нична, д1агональна та ш.), перестановок, постановок, детермшанпв п-го порядку, алгебра1чних доповнень, обернено1 мат-рищ, системи лшшних р1внянь.
Теореми:
1. Якщо матрицю В можна дютати з матрищ А скшченим числом елементар-них перетворень рядюв або стовпщв, то матриця В екв1валентна матрищ А.
2. Кожну матрицю скшченим числом елементарних перетворень рядюв або стовпщв можна перетворити на екв1ва-лентну 1И стутнчасту матрицю.
3. Теорема про число р1зних перестановок з п елеменлв.
4. Теорема про розташування перестановок в такому порядку, що кожну на-ступну дютаватимемо з попередньо1 од-шею транспозищею.
5. ВО кожно1 перестановки з п елемен-■пв можна переИти до будь-яко1 шшо'1 перестановки з цих самих елеменпв за допомогою кшькох транспозицш.
6. Кожна транспозищя змшюе пар-тсть перестановки.
7. При п > 2 число парних перестановок з п елеменпв дор1внюе числу не-
парних, тобто дор1внюе 1 п!.
2
8. Число постановок п-го степеня дор1внюе п!.
9. Якщо в детермшанта п-го порядку помшяти мюцями два рядки, то детер-м1нант змшить знак, а Иого абсолютна величина не змшиться.
10. Якщо детермшант А мае два од-накових рядки, то А = 0.
11. Якщо в детермшанп А п-го порядку вс1 елементи одного з рядюв пом-ножити на число т, то величина детер-м1нанта також помножиться на т.
12. Детермшант, в якого вщповщт елементи двох рядюв пропорцшш, дор1в-нюе нулю.
13. Якщо елементи р-го рядка детер-м1нанта А п-го порядку е сумами двох доданюв, то цеИ детерм1нант можна подати як суму двох детермшанпв п-го порядку: А = А1 + А 2, де А1 1 А2 - детер-
м1нанти, утворен1 з А замшою елемент1в ^-го рядка вщповщно першими або другими доданками цих елеменпв.
14. Якщо до елеменпв якогось рядка детермшанта п-го порядку додати в1д-повщт елементи 1ншого рядка, помно-жет на одне И те саме число, то величина детермшанта не змшиться.
15. Детермшант п-го порядку при тра-нспонуванш не змшюе свое1 величини.
16. Детермшант, у якого вс1 елементи /-го рядка (у'-го стовпця), кр1м елемента ау, дор1внюють нулю, дор1внюе добутку цього елемента а/' на Иого алгебра1чне доповнення Ау, тобто величин1 ауАу.
17. Детерм1нант А п-го порядку до-р1внюе сум1 вс1х добутюв елемент1в до-в1льного рядка або стовпця на 1х алгеб-ра1чт доповнення, тобто
А = а-:Д-1 + а2А2 +...+а,пАп aбо
А = а, у + а2 А у + ... + ап]Ап] .
18. Сума добутюв елемент1в будь-якого стовпця (рядка) детермшанта п-го порядку на алгебрашт доповнення вщ-повщних елемент1в 1ншого стовпця (рядка) цього детермшанта дор1внюе нулю.
19. Теорема Лапласа.
20. Детермшант добутку двох квадрат-них матриць однакового порядку дор1в-нюе добутку детермшанпв цих матриць.
21. Для кожно1 квадратно1 неособли-во1 матриц1 А юнуе едина обернена мат-риця А -1, тобто така, що А А-1 = Е.
22. Матриця, обернена до добутку даних матриць, дор1внюе добутку обер-нених матриць до даних, взятих у зво-ротному порядку, тобто (АВ)-1 = В-1 А-1.
23. Для того щоб ранг матрищ дор1в-нював г, необхщно 1 достатньо, щоб серед мшор1в матрищ юнував хоч один мшор г-го порядку, якиИ не дор1внюе нулю, а вс1 м1нори (г + 1)-го порядку дор1внювали б нулю.
24. Кожне елементарне перетворен-ня будь-яко1 системи л1н1Иних р1внянь переводить 11 в екв1валентну систему.
25. Система лшшних р1внянь сум1сна тод1 1 т1льки тод1, коли вона перетво-рюеться на ступ1нчасту систему, в якш немае р1внянь вигляду 0=в при в в1д-
© Matsyuk V.
мшному вщ нуля.
26. Сумюна система лiнiйних piB-нянь е визначеною тодi i тiльки тодо, коли в ступшчастш системi, в яку вона перетворюеться, число piвнянь r доpiв-нюе числу невiдомих п.
27. Система п лшшних piвнянь з п невщомими е визначеною тодi i тiльки тодi, коли вона перетворюеться на сту-пiнчасту систему, в якш
а11 * 0, а22 * 0, ..., апп * 0.
28. Сумiсна система m лшшних piв-нянь з п невщомими при m < п е невизна-ченою.
29. Система лшшних однорщних piв-нянь, в якш число piвнянь менше, шж число невiдомих, мае ненульовi розв'язки.
30. Якщо в системi лiнiйних piвнянь число невiдомих доpiвнюе числу piв-нянь i детермшант системи вiдмiнний вiд нуля, то система мае единий розв'я-зок, який можна знайти за формулами Крамера.
31. Якщо система п лшшних однорщ-них piвнянь з п невщомими мае нетришаль-m розв'язки, то i"i детеpмiнант доpiвнюе нулю.
32. Для того щоб система п лiнiйних одноpiдних piвнянь з п невiдомими мала нетpивiальнi розв'язки, необхiдно i дос-татньо, щоб детермшант ще! системи доpiвнював нулю.
33. Теорема Кpонекеpа-Капеллi.
34. Будь-який розв'язок неоднорщ-но! системи доpiвнюе сумi частинного розв'язку ще! системи i розв'язку зведе-но! системи.
35. Система лiнiйних однорщних piв-нянь завжди сумiсна; вона мае або единий нульовий (тpивiальний) розв'язок, або безлiч.
Основш алгоритми: додавання та вь дшмання матриць, множення матpицi на число, множення матрищ на матрицю, е^валентт перетворення матриць, транспонування матpицi; обчислення детермшанпв п-го порядку (спосiб мiноpiв, спосiб нулiв, спосiб зведення матрищ ви-значника до трикутного вигляду, метод
математично'1 iндукцГí, метод рекурент-них стввдаошень, метод видiлення ль нiйних множникiв); обчислення визнач-ника добутку матриць, знаходження обернено'1 матрищ, обчислення рангу матрищ (метод елементарних перетво-рень, метод мiнорiв), дослщження систем лiнiйних рiвнянь на сумютсть та визначенiсть, розв'язування систем ль нiйних рiвнянь (метод Гауса, метод Крамера, матричний метод).
PÏBm знань, умшь та навичок студенпв зi змютовного модуля «Матрищ, ви-значники, 1х застосування при дослщженш та розв'язуваннi систем лшшних рiв-нянь» представлено у таблиц 2.
З метою полшшення оргашзацп та уп-равлiння навчально-пiзнавальною та само-стшною навчальною i науково-дослщною роботою студентiв, забезпечення системного i змагального навчання нами було розроблено систему накопичення балiв та критерп 1х переводу в нацiональну та ев-ропейську ощнку (таблиц 3 та 4). При цьому ми придшяли увагу як навчальнш роботi студентiв у перюд вивчення про-грамного матерiалу на аудиторних занят-тях так i самостшнш навчальн1й та науко-во-дослщницькш роботi. Студент, який устшно працював на заняттях, виконував розрахунковi та контрольнi роботи, але не займався науково-до^дницькою роботою згщно розроблених нами критерпв мiг отримати максимальну ощнку «добре» (В), що слугувало стимулом для майбутшх вчителiв щодо учасл у науково-дослщ-ницько'1 ддяльносп. Розроблен1 методи ощнювання та критерп переводу балiв в ощнку були представлеш студентам та поясненi ш до початку вивчення алгебри.
Наступний етап в оргашзацп контролю результаив навчальних досягнень студенпв в умовах кредитно-модульного навчання - розробка рiвневих завдань щодо проведення контролюючих заходiв при проведеннi практичних занять та аудиторних контрольних робгт, а також для оргашзацп рiвневого контролю самос-тiйноï навчально-пiзнавальноï дiяльностi студентiв. У процесi створення системи
©
р1вневих завдань ми використовували методи анал1зу складносй та трудносй задач, що спираються на емшричш дат. Тобто група задач була запропонована р1зним групам студенпв, знаходилась надштсть та валщшсть р1вня кожного завдання. Цю методику визначання р1вня
Рiвнi знань, умшь та навичок студентв з1 '1х застосування при дослщженш та р
складносл завдань ми пропонували та-кож студентам для створення особистих банюв р1знор1вневих вправ з1 шкшьного курсу алгебри для маИбутнього викорис-тання у процес1 контролю результапв навчальних досягнень учтв.
Таблиця 2
стовного модуля «Матрищ, визначники, 'язуванш систем лiнiйних р1вшшь»
Р1вень 1 Р1вень 2 Р1вень 3
Студенты повинш знати
Означения основних понять, формулювання властивостей об'екпв та теорем, осиовш алгоритми дш. Доведения теорем за номерами 1, 10-14, 17, 22, 30 (дая п=3). (в доповнення до вимог 1 р1в-ня): доведения теорем за номерами 2-5, 7, 8, 18, 19, 21, 23-29, 31, 32, 34, 35. ( 11 р!вшв): доведения теорем за номерами 6, 9, 15, 16, 20, 33.
Студенты повинш вмтт
Наводити приклади до означень , елементарш перетворення мат, - цю до стушнчастого виду, ви- коиувати операцп над матри- , , виконувати транспозицио еле- менпв у довшьнш перестановщ , юлькють ¡нверсш у довшьних перестановках та подстановках , операцп над постановками, обчпслювати детермшанти 2-го та 3-го порядюв, складати та обчпслювати мшори та алгебрами п доповнення до елемента а-у, обчпслювати ранг матриц! прииаймш одним з1 способ!в, обчпслювати обернену матрицю до неособливоТ матриц! 3 порядку, знаходити розв'язки 2-3- довшьною кшькютю невщомих, розв'язувати задач! даного змю-товного модуля за допомогою використання математичних комп'^терних профам ( ): обчпслювати кшьюсть ¡нверсш у перестановках та подстановках довшьного порядку, обчис-п- - рядку окремих вид1в, обчислю- вати мшор р-го порядку, взае-, - Тчне доповнення (п-р)-го поряд- , п, , ( ), - нену матрицю до неособливо'1, дослщжувати та розв'язувати системи п лшшних р1внянь з т . ( ): розв'язувати матричш р1вняння , п- , - водити тверджеиня з викорис-таиням матриць та визиачниюв, пор1внювати р!зн! пщходи що-до розв'ятия задач, обирати иайкращий з них; дослщжувати та розв'язувати практичш зада-ч1 використовуючи матриц!, визначники та системи лшшних , - в'язувати задач! даного змютов-иого модуля за допомогою використання математичних ком-п'^териих програм,
© Ма1зуик V.
Таблиця 3
Схема ощнювання навчальних досягнень студентiв
Лекцп Практичш Аудиторний контроль Самостшна робота
« С св X навчальна науково-дослщна
Пропуск Виступ Пропуск Теорш Робота у дошщ 1нд. завд. Контрольна . робота СО св о. с со к ав ав ев СО "(В О — Тестування Розрахункова робота, колокв1ум Пщб1р прикладних задач Наук. доповщь або робота, участь в ол1м-гпадах Реферат з юторН' пи-тань
Штраф -1 -1 -2 за несвое-часний звгг
Кредит1 5*0,2 =1 5*0,4 =2 2 6 10 4 3
Кредит2 5*0,2 =1 5*0,4 =2 2 6 10 4 3
Кредит3 5*0,2 =1 5*0,4 =2 2 6 10 4 3
Кредит4 5*0,2 =1 5*0,4 =2 2 6 10
2 4 8 8 12 6 6 40 12 14 9
22
46
Найбшьша кшьккть бал1в 86
Найбшьша кшьккть бал1в 100
Таблиця 4
Критери переводу отриманих студентами балiв в нацiональну та европейську оцiнку
Нащональна оцiнка Оцiнка ЕСТБ Кшьюсть набраних балiв
Вiдмiнно А 90-100
Добре В 82-89
С 75-81
Задовшьно Б 67-74
Е 60-66
Незадовiльно Б <60
Слiд вiдмiтити, що для студенпв завжди мав мiсце вибiр: або контрольна робота бажаного рiвня складностi (щоб сильнi студенти працювали з iнтересом, а слабкi не витрачали сили та не розча-ровувалися у сво!х можливостях щодо розв'язування задач та доведення тверд-жень) або контрольна робота, в якш кож-не завдання мае вказаний бал. Таю ж умови були й для розв' язування вправ
за допомогою обраною студентом ком-п' ютерною програмою та для тестуван-ня. З розробленими завданнями можна ознайомитися у збiрнику ршневих контроль-них робiт [6].
Науково-дослiдна робота студенйв-математикiв педагогiчних навчальних закладiв з алгебри контролюеться за 11 результатами за напрямами: тдготовка рефератiв щодо юторичних аспектiв пи
