Конструкция семейства бесконечно узких полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013

Математика и механика

№ 1(21)

УДК 512.623.5

Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина

КОНСТРУКЦИЯ СЕМЕЙСТВА БЕСКОНЕЧНО УЗКИХ ПОЛЕЙ

В статье изложена новая конструкция семейства бесконечно узких полей.

Ключевые слова: базис трансцендентности, двумерное упорядочивание, верхний конус, бесконечно узкое поле.

Исследования по теории линейно упорядоченных полей начались с пионерских работ Артина и Шрайера [1]. Бесконечно узкие поля относятся к тому классу полей, которые одновременно допускают и линейное, и двумерное упорядочивание. В работе [5] показано, что поле О(п) можно снабдить двумерным порядком, при котором оно является бесконечно узким полем. В настоящей статье описан новый способ построения семейств бесконечно узких полей. Эти семейства существенно шире семейств, описанных в [6].

Пусть Р0 - линейно упорядоченное поле. Обозначим через Р0 топологическое замыкание поля Р0. В топологическом замыкании линейно упорядоченного поля нет собственных фундаментальных сечений [4]. Как известно, линейный порядок с поля Р0 единственным образом продолжается на поле Р0 [4]. Пусть В есть базис трансцендентности [2] поля Р0 над полем Р0, т.е. максимальная алгебраически независимая система элементов Р0 над Р0. Поле К= Р0(В) как подполе Р0 линейно упорядочено.

Зададим произвольное отображение й: В ^ К. Таким образом, для каждого х е В задано значение йх е К. Далее, каждому х е К сопоставим значение йх е К следующим образом. Если х е К, то х = /(а1,..., ап). Убедимся, что представление х = /(а1,..., ап) единственно. В самом деле, пусть ещё х = g (Ьь..., Ьт), где Ьь..., Ьт е В и/ Ф g. Тогда

связаны нетривиальным алгебраическим соотношением, что противоречит определению базиса трансцендентности. Итак, доказано, что представление х = g(b1,..., Ьт) единственно.

Теперь полагаем

1. Основная конструкция

Значит,

Следовательно, элементы

/(аь..., ап) = Ьт).

/(аі,..., ап) - g(bl,..., Ьт) = 0.

(аі,.., ап, Ьі,..., Ьт) из В

где

ёх = ё/ (а1,..., ап),

ч д/ л / л

ё/ (а1,..., ап) =----------ёа1 +... +---------------ёап .

дх1 дхп

14

Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина

Поскольку представление х = g(b1,..., Ьт) единственно, то йх для каждого х также определено единственным образом. Заметим, что ранее [6] авторы в конструкции верхнего конуса бесконечно узкого поля полагали всюду йх^ = 1. Таким образом, описываемая здесь конструкция является существенным обобщением конструкции из [6].

2. Двумерный порядок в поле К

Зададим двумерный порядок в поле К. Известно, что двумерный порядок однозначно задаётся верхним конусом К“ [3]. Построим верхний конус следующим образом. Пусть / (х1,..., хп) пробегает поле Р0(х1,..., хп); кортеж (а1,..., ап) пробегает множество кортежей элементов из В. Имеет место следующая Теорема. Множество

К“ = {/(аь..., ап) /(х1,..., хп) е Р0(хь..., хп), й/(а1,..., а„) > 0} есть верхний конус некоторого двумерного порядка в поле К, при котором К является бесконечно узким полем.

Доказательство. Убедимся, что К“ есть верхний конус 2-порядка в поле К. Проверим выполнение условий (а) - (ф критерия верхнего конуса [3]:

(a) К“ +К“ = К“;

(b) К“ и -К“ = К;

(c) (К“\{0})-1 = -К“\{0};

О

(ф если х, г е К“, уе К“ ; гуТ1, ух- еК“, то гх- еК“.

(a) Убедимся, что множество К“ замкнуто относительно сложения.

Пусть/(а1, ..., ап), g (а1, ..., ап) е К“ . Тогда

д/ д/ дg дg

-^—йа, +... + йап > 0 и -2-йа, +... +—— йап > 0 ,

Л 1 п 1 п ’

дх1 дхп дх1 дхп

где/(аь ..., ап), g (а1, ..., а„) е К.

Но тогда имеем

д/ д/ дg дg

---йа, +... +----йап +-----йа, +... +-йап > 0

¿"4 1 ГI 1 /I

дх1 дхп дх1 дхп

или /1>й,1+... + /1>й,1,, > 0

дх1 дхп

Значит, (/ + g) е К“.

(b) Условие: К“ и (- К“) = К выполнено.

Действительно, пусть/(а1, ..., ап) еК . Возможны два случая.

Либо

й/ (а1,...,ап) > 0,

и тогда /(а1, ..., ап) е К“.

Либо

й/ (а1,...,ап) < 0, и тогда /(а1, ..., ап) е -К“ .

Доказательство пунктов (с) и (ф формально аналогично доказательству, приведённому в [6].

Конструкция семейства бесконечно узких полей

15

Таким образом, в поле K = P0(B) эффективно задан нетривиальный двумерный порядок.

Покажем, что K - бесконечно узкое поле [5].

o o

Пусть х = f (ab..., an) e Ku . Так как х e Ku , то, по определению верхнего ко-

o

нуса Ku, имеем dx > 0. Докажем, что

o

Уп Уг e K0 (r < x ^ (x - r)n e Ku ).

Заметим, что для того чтобы элемент (х - r)n принадлежал открытому верхнему конусу, необходимо и достаточно, чтобы

d((x - r)n) > 0.

Пусть r e K0, x e K, и r < x. Так как (x - r) > 0, то (x - r)n-1 > 0 в силу того, что K = P0(B) является линейно упорядоченным полем. Имеем

Уп e N d((x - r)n) = n(x - r)n-1dx > 0.

o

Значит, (x - r)n e Ku , следовательно, x = f (a1, ..., an) - бесконечно близкий к базе K элемент, и поле K является бесконечно узким.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Artin E. Algebraische Konstruction Reeller Korper / E. Artin, O. Schreier // Abh. Math. Sem. Hamb. Univ. 5. 1925. S. 85-99.

2. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. М.: Наука, 1965. 300 с.

3. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: Томский госуниверситет, 2003. 127 с.

4. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // Сиб. матем. ж. 2001. Т. 42. № 6. С. 1350-1360.

5. Пестов Г.Г. Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2007. № 1. С. 50-53.

6. Фомина Е.А. Об одном классе двумерно упорядоченных полей // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. №3(4). С. 32-34.

Статья поступила 22.11.2012 г.

Pestov G.G., Fomina E.A. A CONSTRUCTION OF A FAMILY OF INFINITELY NARROW FIELDS. A new construction of a family of infinitely narrow fields is presented.

Keywords: transcendence basis, 2-ordering, upper cone, infinitely narrow field.

PESTOV German Gavrilovich (Tomsk State University)

E-mail: gpestov@mail.ru

FOMINA Elena Anatolyevna (Tomsk State Pedagogic University)

E-mail: ef254@mail.ru