CC BY
20
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013
Математика и механика
№ 1(21)
УДК 512.623.5
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина
КОНСТРУКЦИЯ СЕМЕЙСТВА БЕСКОНЕЧНО УЗКИХ ПОЛЕЙ
В статье изложена новая конструкция семейства бесконечно узких полей.
Ключевые слова: базис трансцендентности, двумерное упорядочивание, верхний конус, бесконечно узкое поле.
Исследования по теории линейно упорядоченных полей начались с пионерских работ Артина и Шрайера [1]. Бесконечно узкие поля относятся к тому классу полей, которые одновременно допускают и линейное, и двумерное упорядочивание. В работе [5] показано, что поле О(п) можно снабдить двумерным порядком, при котором оно является бесконечно узким полем. В настоящей статье описан новый способ построения семейств бесконечно узких полей. Эти семейства существенно шире семейств, описанных в [6].
Пусть Р0 - линейно упорядоченное поле. Обозначим через Р0 топологическое замыкание поля Р0. В топологическом замыкании линейно упорядоченного поля нет собственных фундаментальных сечений [4]. Как известно, линейный порядок с поля Р0 единственным образом продолжается на поле Р0 [4]. Пусть В есть базис трансцендентности [2] поля Р0 над полем Р0, т.е. максимальная алгебраически независимая система элементов Р0 над Р0. Поле К= Р0(В) как подполе Р0 линейно упорядочено.
Зададим произвольное отображение й: В ^ К. Таким образом, для каждого х е В задано значение йх е К. Далее, каждому х е К сопоставим значение йх е К следующим образом. Если х е К, то х = /(а1,..., ап). Убедимся, что представление х = /(а1,..., ап) единственно. В самом деле, пусть ещё х = g (Ьь..., Ьт), где Ьь..., Ьт е В и/ Ф g. Тогда
связаны нетривиальным алгебраическим соотношением, что противоречит определению базиса трансцендентности. Итак, доказано, что представление х = g(b1,..., Ьт) единственно.
Теперь полагаем
1. Основная конструкция
Значит,
Следовательно, элементы
/(аь..., ап) = Ьт).
/(аі,..., ап) - g(bl,..., Ьт) = 0.
(аі,.., ап, Ьі,..., Ьт) из В
где
ёх = ё/ (а1,..., ап),
ч д/ л / л
ё/ (а1,..., ап) =----------ёа1 +... +---------------ёап .
дх1 дхп
14
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина
Поскольку представление х = g(b1,..., Ьт) единственно, то йх для каждого х также определено единственным образом. Заметим, что ранее [6] авторы в конструкции верхнего конуса бесконечно узкого поля полагали всюду йх^ = 1. Таким образом, описываемая здесь конструкция является существенным обобщением конструкции из [6].
2. Двумерный порядок в поле К
Зададим двумерный порядок в поле К. Известно, что двумерный порядок однозначно задаётся верхним конусом К“ [3]. Построим верхний конус следующим образом. Пусть / (х1,..., хп) пробегает поле Р0(х1,..., хп); кортеж (а1,..., ап) пробегает множество кортежей элементов из В. Имеет место следующая Теорема. Множество
К“ = {/(аь..., ап) /(х1,..., хп) е Р0(хь..., хп), й/(а1,..., а„) > 0} есть верхний конус некоторого двумерного порядка в поле К, при котором К является бесконечно узким полем.
Доказательство. Убедимся, что К“ есть верхний конус 2-порядка в поле К. Проверим выполнение условий (а) - (ф критерия верхнего конуса [3]:
(a) К“ +К“ = К“;
(b) К“ и -К“ = К;
(c) (К“\{0})-1 = -К“\{0};
О
(ф если х, г е К“, уе К“ ; гуТ1, ух- еК“, то гх- еК“.
(a) Убедимся, что множество К“ замкнуто относительно сложения.
Пусть/(а1, ..., ап), g (а1, ..., ап) е К“ . Тогда
д/ д/ дg дg
-^—йа, +... + йап > 0 и -2-йа, +... +—— йап > 0 ,
Л 1 п 1 п ’
дх1 дхп дх1 дхп
где/(аь ..., ап), g (а1, ..., а„) е К.
Но тогда имеем
д/ д/ дg дg
---йа, +... +----йап +-----йа, +... +-йап > 0
¿"4 1 ГI 1 /I
дх1 дхп дх1 дхп
или /1>й,1+... + /1>й,1,, > 0
дх1 дхп
Значит, (/ + g) е К“.
(b) Условие: К“ и (- К“) = К выполнено.
Действительно, пусть/(а1, ..., ап) еК . Возможны два случая.
Либо
й/ (а1,...,ап) > 0,
и тогда /(а1, ..., ап) е К“.
Либо
й/ (а1,...,ап) < 0, и тогда /(а1, ..., ап) е -К“ .
Доказательство пунктов (с) и (ф формально аналогично доказательству, приведённому в [6].
Конструкция семейства бесконечно узких полей
15
Таким образом, в поле K = P0(B) эффективно задан нетривиальный двумерный порядок.
Покажем, что K - бесконечно узкое поле [5].
o o
Пусть х = f (ab..., an) e Ku . Так как х e Ku , то, по определению верхнего ко-
o
нуса Ku, имеем dx > 0. Докажем, что
o
Уп Уг e K0 (r < x ^ (x - r)n e Ku ).
Заметим, что для того чтобы элемент (х - r)n принадлежал открытому верхнему конусу, необходимо и достаточно, чтобы
d((x - r)n) > 0.
Пусть r e K0, x e K, и r < x. Так как (x - r) > 0, то (x - r)n-1 > 0 в силу того, что K = P0(B) является линейно упорядоченным полем. Имеем
Уп e N d((x - r)n) = n(x - r)n-1dx > 0.
o
Значит, (x - r)n e Ku , следовательно, x = f (a1, ..., an) - бесконечно близкий к базе K элемент, и поле K является бесконечно узким.
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Artin E. Algebraische Konstruction Reeller Korper / E. Artin, O. Schreier // Abh. Math. Sem. Hamb. Univ. 5. 1925. S. 85-99.
2. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. М.: Наука, 1965. 300 с.
3. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: Томский госуниверситет, 2003. 127 с.
4. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // Сиб. матем. ж. 2001. Т. 42. № 6. С. 1350-1360.
5. Пестов Г.Г. Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2007. № 1. С. 50-53.
6. Фомина Е.А. Об одном классе двумерно упорядоченных полей // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. №3(4). С. 32-34.
Статья поступила 22.11.2012 г.
Pestov G.G., Fomina E.A. A CONSTRUCTION OF A FAMILY OF INFINITELY NARROW FIELDS. A new construction of a family of infinitely narrow fields is presented.
Keywords: transcendence basis, 2-ordering, upper cone, infinitely narrow field.
PESTOV German Gavrilovich (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
FOMINA Elena Anatolyevna (Tomsk State Pedagogic University)
E-mail: [email protected]
