Об одном классе двумерно упорядоченных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 3(4)

УДК 512.623

Е.А. Фомина ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДВУМЕРНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛЕЙ

В статье представлен метод построения бесконечно узких двумерно упорядоченных полей на базе линейно упорядоченного поля.

Ключевые слова: линейно упорядоченные поля, базис трансцендентности, двумерно упорядоченные поля.

Основные определения теории двумерно упорядоченных полей

Основные определения, относящиеся к теории двумерно упорядоченных полей, изложены в [1]. Приведем те из них, которые часто встречаются в тексте статьи.

1. Функция двумерного порядка £ М{0, 1, -1}. Говорят, что двумерный порядок на множестве М реализуем на плоскости R2, если существует инъекция ф: М ^ R2, такая что

Ух, у г є М £ (х, у, г) = П2(ф(х), ф(у), ф(г)), где п2 - функция стандартной ориентации плоскости.

2. Поле К, на котором задан двумерный порядок, совместимый с алгебраической структурой поля, называется двумерно упорядоченным полем <К, £ >, или 2-упорядоченным полем.

3. Базой К0 двумерно упорядоченного поля К называется множество

Ко = {х є К| £(0, 1, х) = 0}.

База К0 является линейно упорядоченным полем.

4. Верхним конусом К поля К называется множество

К = {х є К| £(0, 1, х) > 0}.

Задание верхнего конуса К однозначно определяет двумерный порядок в поле К. Поэтому далее 2-упорядоченное поле будем обозначать <К, К >.

5. Элемент аєК\ К0 называется бесконечно близким к базе К0 элементом, если Уп, Уг є К0, г < а,

(а - г)п є К \К0 .

Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля

Определение. Двумерно упорядоченное поле называется бесконечно узким, если все его элементы либо бесконечно близки к базе, либо являются элементами базы.

Пусть всюду далее <К0, <> - линейно упорядоченное поле; а - трансцендентный над К0 элемент. Имеет место следующая

Теорема 1 [3]. Рассмотрим поле К! = К0(а). Множество К/ = {/ (а) є К(а)| / '(а) > 0} задаёт в поле Кі двумерный порядок, при котором поле Кі является бесконечно узким.

Об одном классе двумерно упорядоченных полей

33

Обобщённая конструкция построения бесконечно узких двумерно упорядоченных полей

Расширение линейно упорядоченного поля К0 будем проводить следующим образом. Пусть В - базис трансцендентности топологического замыкания К0 над К0. На КК0 единственным образом продолжается линейный порядок с К0. Рассмотрим поле К = К0(В). Элементами поля К являются дробно-рациональные функцииДаь ..., а„) с коэффициентами из поля К0.

Теорема 2. Множество

К = {/■ (аь ..., а„) е К | ^(аь ..., а„) > 0},

где (о1!,...,ап) = ^д—сЫ1 +... + -^ 4хп; х, = а,; ^х, = 1,

дх1 дхп

задаёт в поле К структуру бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля.

Доказательство. Для того чтобы К было верхним конусом 2-порядка на поле К, необходимо и достаточно выполнение следующих 4 условий [1]:

^) К + К = К;

(Ь) К и -К = К;

(^ (К“\{0})-1 = - К“\{0};

^) если х, г е К, у е К“\К0; гу-1, ух-1 е К, то гх-1 е К.

Убедимся, что К есть верхний конус 2-порядка в поле К.

Проверим выполнение условий (а) - (ё).

^) Проверим замкнутость множества К относительно сложения.

Пусть f (аь ..., а„), я (аь ..., а„) е К . Тогда

/ д/ дg дg

— +... + ^—> 0 и — +...+ ^_> 0

дх1 дхп дх1 дхп

при х, = а,, гдеf (аь ..., а„), я (аь ..., а„) е К.

Но тогда имеем

д/ д/ ^ ^

----------+... +-\---+... +-^ 0 при х, — а, ,

дхх дхп дхх дхп

д( / + 8) д( / + g) „ или —-—— +...+ ———> 0

дх1 дхп

Значит, (/■ + я) е К.

Условие (Ь) выполнено. В самом деле, пусть f (а1, ..., а„) е К . Тогда либо 4/(х1, ..., х„) > 0 при х, = а,, либо ^/(х1, ..., х„) < 0 при х, = а,. В первом случае получаем, что f (а1, ..., а„) е К , а во втором - f (а1, ..., а„) е -К . Значит, К е -К = К.

(^ Пусть f (а1, ..., а„) е (К“\{0})-1, значит, ^(аь ..., а„) е К\{0} ^

^(аъ ..., а„) > 0 ^

/-1 (а,..... а,) г 0

/ Ц,-, )

^ ^ (а1, ..., а„) < 0 ^ /(а1, ..., я„) е - К\{0}.

Докажем, что условие ^) для К также выполнено.

34

Е.А. Фомина

Пусть f (а1, ..., а„), я(а1, ..., а„) е К, А(а1, ..., а„) е К\К0, А/-1, яА-1 е К. Пока-

жем, что я/-1 е К.

Имеем ^(й/'-1) > 0, ^(яА -1) > 0,

т е № - М > 0. м£ - > 0 .

.. /2 " ’ й2 " ;

- А/ > 0; Ыя - > 0. (*)

Так как / (а1, ..., а„), я(а1, ..., а„) е К, А(а1, ..., а„) е К\К0, т.е. /> 0, > 0,

> 0, то умножим первое неравенство из (*) на 4§", а второе неравенство на d/ Имеем

- hd/dg > 0; Мя/- gdhd/> 0, или > А/я > gdhd/ > 0,

или - gdhd/ > 0.

Умножая последнее неравенство на ^А)-1, dh > 0, имеем

^ - я# > 0,

значит, и ^ > 0, т.е. d(g/'-1) > 0 ,

/

следовательно, я/-1 е К, что и требовалось доказать.

Таким образом, в поле К = К0(В) эффективно задан нетривиальный двумерный порядок.

Покажем, что К - бесконечно узкое двумерно упорядоченное поле.

Пусть / (а1, ..., а„) е К\К0. Докажем, что, для любого натурального п, для любого г е К0, такого, что г </ (а1, ..., а„)

(/- г)" е К\К0.

Чтобы элемент (/ - г)" принадлежал открытому верхнему конусу, необходимо и достаточно, чтобы

щ - г)") > 0.

Действительно, имеем для любого натурального п [п(/- г)"-1/ > 0, так как /> 0 (по определению принадлежности к верхнему конусу), (/- г) > 0 (в силу того, что К = К0(В) является также и линейно упорядоченным полем), и, значит, согласно определению, / (а1, ..., ап) - бесконечно близкий к К0 элемент. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск, 2003.

2. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. О сечениях в базе 2-упорядоченного поля // Вестник ТГУ. 2007. № 301. С. 94 - 96.

3. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2007. № 1. С. 50 - 53.

Статья принята в печать 24.10.2008 г.