К теории двумерно упорядоченных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 2(14)

УДК 512.623.5

Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина

К ТЕОРИИ ДВУМЕРНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛЕЙ

На основе заданного линейно упорядоченного поля построено семейство двумерно упорядоченных бесконечно узких полей.

Ключевые слова: двумерно упорядоченное поле, верхний конус, базис трансцендентности.

1. Двумерно упорядоченные поля

Эта работа является продолжением исследований, начатых в [1-3]. Другой (не эквивалентный) подход к теории двумерно упорядоченных полей представлен в работах №уоа Ь.в. [4]. Определение линейно упорядоченного множества в данной статье сформулировано, исходя из свойств расположения трёх точек на ориентированной прямой. Подобно этому, определение двумерно упорядоченного множества, используемое в данной статье, построено, исходя из свойств расположения пяти точек на ориентированной плоскости. Более подробное изложение приведено в [1]. Что касается подхода №уоа Ь.в. [4], то определение двумерно упорядоченного множества даётся через свойства множеств из 7 точек, что существенно затрудняет работу с этим определением. Далее мы всюду пользуемся определением двумерно упорядоченного множества, изложенным в [1].

Для удобства читателя приведём краткую сводку сведений о двумерно упорядоченных полях. Пусть в поле Р задан двумерный порядок ^(х,у,.г). Говорят, что двумерный порядок ^(х,у,.г) согласован с алгебраическими операциями в поле Р, если для всех а,х,у,2 еР, аф0, выполнено С(а+х,а+у,а+2) = С,(сх,ау,а?) = ^(х,у,.г). Обозначим через Ри множество всех таких хеР, что ^(0,1,х) > 0. Множество Ри назовём верхним конусом двумерного порядка ^(х,у,^). Аналогично тому, как положительный конус в поле определяет линейный порядок в поле, верхний конус Ри определяет двумерный порядок в поле Р . Обозначим через Р0 множество всех таких хеР, что ^(0,1,х) = 0. Можно сказать, что Р0 есть прямая, проходящая через точки 0 и 1. Множество Р0 назовём базой двумерного порядка ^(х,у,^). Двумерный порядок С,(х,у,г) индуцирует линейный порядок > на базе Р0 следующим образом. Фиксируем Ь <£ Р0. Примем, для определённости, что ^(Ь,0,1)>0. Пусть х,у е Р0. Если ^(Ь,х,у) > 0, то полагаем у > х. Бинарное отношение у > х является линейным порядком на Р0. Относительно линейного порядка база Р0 является линейно упорядоченным полем (Подробности и доказательства см. в [1].) Введём ещё множе-

о

ство (открытый верхний конус) Ри = Ри \ Р0.

Пусть аеР - трансцендентный элемент над Р0 . Так как Р0(а) с Р, то Р0(а) как подполе двумерно упорядоченного поля также двумерно упорядочено. Сужение двумерного порядка ^(х,у,^) на поле Р0(а) будем по-прежнему обозначать через (^(х,уХ), если это не вызовет недоразумения. Таким образом, в поле Р0(а) задан двумерный порядок ^(х,у,2), согласованный с алгебраическими операциями поля и

о

такой, что а е Ри

Введём функции ф,уа в поле Р0(а):

Функция Ц!а.

Пусть хеР0 [а]. Положим

У а (х) = { геР(! га <и х}, Уа+ (х)={ геР0 | га >и х}.

Если (уа~ (х), у/ (х) ) есть фундаментальное сечение в Р0, то элемент из Р0,

который производит это сечение, обозначим через уа(х).

Заметим, что если хеР0, то уа(х) = 0.

Кроме того, ц!а есть линейная функция, т.е.

Уа(Х\-0^/Л) = Х\_0^кУа(Ск) , где ХеР0, СкеР0 [а]

Функция ф.

Пусть хеР0[а] . Положим

ф- (х) = {геР0| г < х } , ф+(х) = {геР0 | г > х }.

Если (ф-(х) , ф+(х)) есть фундаментальное сечение в Р0, то элемент из Р0, который производит это сечение, обозначим через ф(х).

Имеет место следующая

Теорема [1]. Пусть Р есть 2-упорядоченное поле без бесконечно малых относительно базы Р0. Если ае Р есть предел последовательности элементов базы, а трансцендентно над Р0, /(х)е Р0[х] , то имеет место равенство

у/а)) = _Р(ф(а))= ф(^(а)). (1)

Равенство (1) позволяет задать верхний конус в кольце Р0[а]. В самом деле, если х е Р0[а], то х = /(а) для некоторого /(х)еР0[х]. Поэтому уа(х) = \уа/(а)) =

о

= ^ '(ф(а)) = ф(^ '(а)). Отсюда заключаем: х е Ри, если и только если, ^ '(а) > 0.

о

Так же: х е (-Ри), если и только если -Р'(а) < 0. Случай -Р'(а) = 0 невозможен, так

как а трансцендентно над Р0 по условию.

Описанный метод позволяет построить верхний конус двумерного порядка в кольце Р0[а].

2. Конструкция двумерного порядка в поле Р0(а)

1) Зададим теперь двумерный порядок на поле Р0(а). Обозначим К = Р0(а). Пусть хе К. Тогда х =/(а), где /(х)е Р0(х) .

Обозначим через Ки множество тех и только тех хе К, для которых имеет место неравенство ^ '(а)>0.

о

Обозначим, как ранее, Ки = Ки \ (-Ки).

2) В [1] доказан следующий критерий верхнего конуса двумерного порядка в поле.

Теорема. Пусть Р есть поле характеристики нуль, Ри - его подмножество. Обозначим

Р0 = Рмп(-Рм) , Ри = Ри \ (-Ри). Для того чтобы Ри было верхним конусом 2-порядка на поле Р, необходимо и достаточно выполнение следующих четырёх условий:

(a) Ри +Ри = Ри,

(b) Ри и(-Рм) = Р,

18

Г. Г. Пестов, Е.А. Фомина

(с) (Рм\{0})-1 = -Рм\{0},

(ф если а ,сеРи, Ь е Ри , Ьа - ,сЬ- е Ри, то са1 еРи

Задание верхнего конуса единственным образом определяет 2-порядок в поле Р [1].

Убедимся, что К есть верхний конус 2-порядка в поле К.

Проверим замкнутость множества К относительно сложения. Пусть х,уе К“. Тогда х = /(а),

Е'(а) > 0, у = О(а), О'(а) > 0, где /(х), О(х) е Р0(х). Но тогда имеем (/(х) + О(х))' > 0 при х = а. Значит, (х+у)е К“.

Условия (Ь) и (с) выполняются очевидным образом.

Проверим выполнение условия (ф для К“. Пусть х = /(а), у = О(а), г =Н(а). Так

о

как х,ге К“, у е Ки, то выполнены неравенства 0 < Е'(а), 0 < О'(а), 0 < Н(а). Поскольку элемент а трансцендентен над К, то имеют место строгие неравенства 0 < Е'(а), 0<0'(а), 0< Н(а). Точно так же, из ух-, гу- е Ки заключаем Н(а)О(а) > Н (а)О ' (а), О'(а)/(а) > О (а)Е ' (а), откуда ((Н(Х)/(х))-1) ' при х = а.

Это означает, что гх-1 е К“, что и требовалось.

Итак, свойство (в) выполнено. Таким образом, в поле К=Р0(а) эффективно задан нетривиальный двумерный порядок.

Определение. Двумерно упорядоченное поле < К,К“ >называется бесконечно узким, если все элементы поля бесконечно близки к его базе.

Иными словами, двумерно упорядоченное поле < К,К“ > с базой К0 называется бесконечно узким, если для всех х,Ь, где хеК“,ЬеК0, из Ь < х следует, что для всех натуральных п выполнено (х-Ь)пеКи.

Легко, видеть, что поле < К,К“ > есть бесконечно узкое поле.

3. Построение семейства бесконечно узких полей на линейно упорядоченном поле

Пусть Р0 есть линейно упорядоченное поле. Обозначим через Р0 топологическое замыкание поля Р0. Как известно, линейный порядок с поля Р0 единственным образом переносится на поле Р0. Пусть В есть базис трансцендентности поля Р0 над полем Р0. Поле К= Р0(В) как подполе поля Р0 линейно упорядочено. Пусть,

наконец, задано произвольное отображение ё: В^К. Таким образом, для каждого хеВ задано значение ёх из К.

Каждому хеК сопоставим значение ёхеК следующим образом. Если х е К, то х = /(аь..., ап), где /(хь..., хп)еК(хь..., хп). Теперь полагаем йх = ё/(аь..., ап), где

д

й/ (а1,‘--ап ) = Х д—/(а1,-ап )йа, .

1 дхг

Наконец, задаём верхний конус: К = {/(аь...,ап) | й/(а\,...,ап) > 0}.

Проверка условий (а) - (ф для этого множества выполняется аналогично проверке в предыдущем параграфе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: ТГУ, 2003.

2. Фомина Е.А. Об одном классе двумерно упорядоченных полей // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. № 3(4). С. 32-34.

3. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. Подполе B бесконечно близких к базе элементов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. № 2(6).

4. Novoa L.G. Order characterization of the complex field // Can. Math. Bull. 1978. V. 2l. No. 3. P. 313-318.

Статья поступила 24.06.2010 г.

Pestov G.G., Fomina E.A. TO THE THEORY OF TWO-DIMENSIONALLY ORDERED FIELDS. A family of two-dimensionally ordered infinitely narrow fields is constructed starting from a given linearly ordered field.

Keywords: 2-dimensionally ordered field, upper cone, transcendence basis

PESTOV German Gavrilovich (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]

FOMINA Elena Anatolyevna (Tomsk State Pedagogic University)

E-mail: [email protected]