Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Математика и механика № 1

УДК 519.48

Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина КОНСТРУКЦИЯ БЕСКОНЕЧНО УЗКОГО ДВУМЕРНО УПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛЯ

Исходя из заданного линейно упорядоченного поля строится двумерно упорядоченное бесконечно узкое поле.

1. Постановка задачи

Пусть (Р0, <) есть линейно упорядоченное поле. Построим такое двумерно упорядоченное расширение К поля Р0, которое состоит из элементов, бесконечно близких к Р0, и элементов самого поля Р0.

о

Пусть (А,В) есть трансцендентное фундаментальное сечение в поле Ри . В топологическом замыкании Р0 поля Р0 сечение (А,В) порождает некоторый элемент. Обозначим его через а. Итак, А < а < В.

О

В поле Р0(а) требуется задать двумерный порядок, такой, что а е Ри .

2. Эвристические соображения

Пусть задача выполнена, в поле Р0(а) задан двумерный порядок ^(х, у, г), со-

О

гласованный с алгебраическими операциями поля и такой, что а е Ри .

Дадим краткую сводку сведении о функциях ф, ф в двумерно упорядоченном

поле. Пусть хеР0[а]. Положим

(х) = {г е ро |га <и х), (х) = {г е ро Iх <и га}.

Если (у - (х), (х)) есть фундаментальное сечение в Р0, то элемент из Р0, ко-

торый производит это сечение, обозначим через Уа(х).

Заметим, что если ре Р0, то уа(р) = 0.

Кроме этого, - линейная функция, т.е.

( П Л П

Vа I Е ХкСк 1 = Е Хк Vа (Ск ) .

V к=0 ) к=0

Отображение ф.

Пусть хеР0[а]. Положим

ф- (х) = {г е Р0 \г < х}, ф+ (х) = {г е Р0 |х < г}.

Если (ф- (х), ф+ (х)) есть фундаментальное сечение в Р, то элемент из Р0, который производит это сечение, обозначим через ф(х).

Имеет место следующая

Теорема [2]. Пусть Р есть 2-упорядоченное поле без бесконечно малых относительно базы Р0. Если аеР есть предел последовательности элементов базы, а трансцендентно над Р0, _Р(х)еР0[х], то имеет место равенство

у а (а)) = ^ '(ф(а)) = ф(^ '(а)). (1)

Равенство (1) позволяет задать верхний конус в кольце Р0[а]. В самом деле, если хєР0[а], то х = Да) для некоторого Р(х)єР0[х].

О

Поэтому фи (х) = уа (Р(а)) = Р'(ф(а)) = ф(Р'(а)). Отсюда заключаем: х є Ри,

О

если и только если Р '(а) > 0. Так же х є (-Ри), если и только если Р '(а) < 0. Случай Р '(а) = 0 невозможен, так как а трансцендентно над Р0 по условию.

К сожалению, описанный метод позволяет построить верхний конус двумерного порядка только в кольце Р0[а], но не во всём поле Р0(а).

3. Конструкция двумерного порядка в поле Р0(а)

1) Тем не менее, удаётся задать двумерный порядок и на поле Р0(а). Обозначим, краткости ради, К = Р0(а) Пусть хєК. Тогда х = ^ (а)Д-1 (а), где Д(х)єР0[х].

Обозначим через К множество тех и только тех хєК, для которых имеет место неравенство

ё ( Я (х) 1 „

—I---------I > 0 при х = а.

ёх У (х))

Обозначим через - К множество тех и только тех хєК, для которых имеет место неравенство

ё ( Я (х) 1 „

—I---------I > 0 при х = а.

ёх I Я2 (х) )

Иначе, К есть множество тех и только тех хєК, для которых выполнено неравенство

*1'(д) > ^2 (д) (3)

*1 (д) F2 (д)-

О О

Обозначим, как ранее, К“ = К“ \ (-К“). Легко видеть, что х є К“ , если и только если

^1(д) > р2 (д)

*1 (д) Д (д)-

О

Так же х є (-Ки), если и только если

^1(д) < р2 (д)

^ (д) Д (д) -

2) В [1] доказан следующий критерий верхнего конуса двумерного порядка в поле.

Теорема. Пусть Р есть поле характеристики нуль, Ри - его подмножество. Обо-

О

значим Р0 = Рип(-Ри), Р“ = Р“ \ (-Р“). Для того чтобы Ри было верхним конусом

2-порядка на поле Р, необходимо и достаточно выполнение следующих 4 условий.

(a) Ри + Ри = Ри;

(b) Ри и - Ри = Р;

(c) (Ри\{0})-1 = -Ри\{0};

О

(d) если а, сє Ри, Ь є Р“ , Ьа -1, сЬ -1єРи, то са -1єРи.

52

Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина

Задание верхнего конуса единственным образом определяет 2-порядок в поле

Р [1].

Убедимся, что К есть верхний конус 2-порядка в поле К.

3) Проверим замкнутость множества К относительно сложения. Пусть х, уєК. Тогда

F^(a) <і Р (х)

х ,-------1-^-> 0 при х = а.

Р2 (а) ЛР2 (х)

Точно так же

а! (а) ^ ^ (х)^п

у = —1-----------,-1---> 0 при х = а,

02 (а) dx 02 (х)

где р(х), аг<х)єР0[х]. Но тогда имеем

а {р (х) о1 (х)

^ р, (х) (х)

Значит, (х + у) є К.

> 0 при х = а.

Условие (Ь) выполнено. В самом деле, пусть

х є К, х =

Рі (а)

Р2 (а)

„ Р (а) Р2 (а) ^ „ Р (а) Р2 (а) .

Если —1---->—-------, то хеК. Если же —1-----< —-----, то хе (—К).

Р (а) Р2 (а) Р (а) Р2 (а)

Точно так же проверяется и условие (с).

О

Докажем, что условие ^) для К также выполнено. Пусть х, геК, у е К“ , ух -1, гу -1е К. Тогда

Р (а) а, (а) Я, (а)

х — , у — , % — .

Р2 (а) ' а2 (а) Я2 (а)

Так как х, гєК, у є К“ , то

Рі '(а)Р2 (а) - Рі (а)Р '2 (а) > 0 Р22 (а) .

Отсюда

Р '(а) > Р2 '(а) д '(а) > '(а) Н, '(а) ^ Н2'(а)

Р (а) Р2 (а) , а! (а) а2 (а) , Н (а) Н2 (а) . ( )

Не уменьшая общности, будем считать, что выполнены неравенства

р(а) > 0, ^{а) > 0, Я;(а) > 0. (5)

Далее, из условий ух -1, гу -1еК, следует

(Н102)' ^ (Я.а!)' (О^)' ^ (02 р)'

и1о2 я2о1 , о^ о2р , ()

где производные вычисляются при х = а.

^ и р

Из неравенств (4) — (6) следует неравенство------1—2 > 0 при х = а (мы опуска-

с!х Я2 р

ем здесь технически сложный вывод). Но последнее неравенство означает, что хг -1еР“. Итак, свойство (в) выполнено. Таким образом, в поле Р0(а) эффективно задан нетривиальный двумерный порядок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск, 2003.

2. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. Отображения у и ф // Вестник ТГУ. 2007. № 301. С. 94 - 96.

Принята в печать 04.12.07.