CC BY
11
2017 Математика и механика № 45
УДК 512.545.8
DOI 10.17223/19988621/45/2
А.И. Забарина,
Г.Г. Пестов
, Е.А. Фомина
К ТЕОРИИ 2-УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП
В группе /еа, не являющейся линейно упорядоченной, выделена линейно упорядоченная подгруппа. Доказано, что для каждого натурального п е N количество элементов порядка п в 2-упорядоченной группе О не превосходит п, если группа ({х е О | хп = е}, •, - невырожденная.
Ключевые слова: линейно упорядоченная группа, двумерный порядок, 2-упорядоченная группа, инволюция, прямая.
В [1, 2] приведены различные примеры 2-упорядоченных групп и доказаны некоторые их свойства. В данной статье эта работа продолжена: обобщена теорема о мощности множества элементов порядка n и исследованы свойства порядка на прямой lea, где о(а) = 2. Будем пользоваться терминологией теории 2-порядка, приведённой в [1, 2].
1. О порядке на прямой lea
Пусть {G, •, Q - невырожденная 2-упорядоченная группа, а е G, о(а) = 2. Рассмотрим прямую
le,a = {х е G| Z(a, e, x) = 0}.
В [2, с. 37] доказано, что le a < G. В силу невырожденности группы G имеем
le,a Ф G.
Следовательно,
3ceG (Z(c, a, e) Ф 0).
Так как
Z(c, a, e) = -Z(ca, а, e), то, не нарушая общности, будем считать, что
Z(c,a, e) = 1. (1)
Для любых х, у е lea положим
* < У ^ Zc(x, y) = Z(c, x, y) = 1.
Известно [3, с. 19], что функция Zc задаёт на прямой lea отношение линейного порядка. Заметим, что относительно этого порядка a < е. Однако, так как a е lea, то группу {lea, •) нельзя линейно упорядочить.
Наша задача: выделить в ней подгруппу, которая относительно указанного порядка Zc является линейно упорядоченной.
Пусть
Р = {x е le,a | x > e}, H = P u P-1.
Справедлива следующая
Теорема 1.1. Если |P| Ф 1, то {Н, •, Zc) - линейно упорядоченная группа.
Докажем предварительно ряд утверждений.
Лемма 1.2. Пусть х е Р. Тогда функции Сс, Схс, Ссх, Сх-1с, Ссх-1 задают на прямой 1еа один и тот же порядок, то есть
Сс = Схс = Ссх = С Х-1С = £ет-1. (2)
Доказательство. Согласно [3, с. 19], для того чтобы доказать, что Са = Сь достаточно найти элементы и, V е /еа, для которых выполнено равенство
Са(и, V) = ^¿(и, V).
Так как
С(с, а, е) = С(са, а2, а) = -С(са, а, е), то [3, с. 19] У и, V е 1е,а [Сс(и, V) = - Сса(и, V)],
то есть функции Сс и Сса задают на прямой /еа противоположные порядки. Так как а е 2(0) [1, с. 6], то
Сс Сса Сас . (3)
Пусть х е Р и х > е (для х = е равенства (2) очевидны). Тогда С(с, е, х) = 1. Отсюда, используя (3), получаем
С(са, а, ха) = -С(са, ха, а) = С(с, ха, а) = 1,
то есть ха < а.
Применяя (1), получаем
ха < а < е < х.
Отсюда ха < х, то есть
С(с, ха, х) = 1.
Таким образом,
С(схч, а, е) = С(хчс, а, е) = 1, поэтому -1 (а, е) = С х-1с (а, е) = Сс(а, е).
Следовательно, С = С-1 = Сс.
сх х с
Так как
С(с, е, х) = С(хЧс, е, х) = С (с, х, х2) = 1,
то х < х2. И, наконец, из равенств следует, что
С(с, е, х) = С(сх, х, х2) = С(хс, х, х2) = С(с, х, х2) = 1
Сс Ссх Схс. #
Следствие 1.3. Если х > е, то х 1 < е.
Доказательство. Истинность импликации вытекает из равенств
С(с, е, х) = С(схч, х"1, е) = С(с, х"1, е) = 1. # Заметим, что обратное утверждение ложно, например, для х = а.
Предложение 1.4. Пусть Р = {х е 1е а, х > е}, Н = Р и Рч. Тогда (Н, •) - группа. Доказательство. Так как Н с 1е а, то достаточно проверить замкнутость операции умножения на Н.
а) Пусть х, у е Р \ {е} и х <у. Согласно следствию 1.3,
х- < е < х < у. Отсюда х-1 < у,
то есть С(с, х-1, у) = 1 = С(хс, е, ху).
Воспользовавшись леммой 1.2, получаем
С (с, е, ху) = 1,
то есть ху е Р, ху е Н.
б) Пусть х, у е Р-1 \ {е}. Тогда х-1, у-1 е Р \ {е}. Согласно пункту а),
у-1х-1 = (ху)-1 е Р. Следовательно, ху е Р-1, ху е Н.
в) Пусть х е Р, у е Р-1. Так как порядок на /е,а - линейный, то
ху > е или ху < е. Если ху > е, то ху е Н. Пусть ху < е. Покажем, что (ху)1 е Р.
Так как у е Р1, то у-1 е Р, у-1 > е. Применяя лемму 1.2 для элемента у1, имеем С(с, ху, е) = С(суЧ, х, у-1) = С(с, х, у-1) = 1. Следовательно, С(сх \ е, у-1х-1) = <^(с, е, у-1х-1) = 1,
то есть е < (ху)-1,
отсюда (ху)1 е Р и ху е Н.
г) Аналогичные рассуждения можно провести для случая х е Р1, у е Р. # Предложение 1.5. Множество
Р = {х е 4,а | С(с, е, х) = 1} и {е} является положительным конусом группы (Н, •).
Доказательство. Согласно критерию положительного конуса линейного порядка в группе [4, с. 26], множество Р должно удовлетворять условиям Р и Р-1 = Н; Р п Р-1 = {е}; Р • Р с Р; УА е Н (А-1РА с Р). Из определения множества Н и доказательства пункта а) предложения 1.4 следует истинность первых трёх условий. Докажем свойство инвариантности множества Р.
Пусть х е Р, х > е и А е Р, А > е. Так как
С(с, е, х) = <^(сА, А, хА) = 1 и А > е, то ^(с, А, хА) = 1.
Отсюда С(А е, АчхА) = ^(с, е, АчхА) = 1,
то есть А-1хА е Р.
Пусть х е Р, А е Р1. Следовательно, х > е, А-1 > е. Так как
С(с, е, х) = С(А-1с, А"1, Ачх) = С( с, А"1, Ачх) = 1, то С(сА, е, А-1хА) = ^(с, е, А-1хА) = 1,
то есть А-1хА е Р. #
Истинность теоремы 1.1 непосредственно следует из предложений 1.4 и 1.5.
В заключение приведём примеры прямых /еа и соответствующих им подгрупп Н в некоторых 2-упорядоченных группах.
1) Пусть (С*, •, п) - 2-упорядоченная группа ненулевых комплексных чисел, где функция 2-порядка есть естественная ориентация п. Имеем
а = -1, /1,-1 = Я*, Н = Я+.
2) В циклической группе (С2п, •, О [4, с. 98]
/1,-1 = {-1, 1}, Н = {1}.
3) Пусть (Г, •, СО - произвольная линейно упорядоченная группа с функцией линейного порядка Сь Т0 - тороидальная группа. Согласно Сверчковскому [4, с. 97],
О = (То х Г, •, С:)
- циклически упорядоченная группа, инволюцией которой является элемент а = (-1, е). Так как значение (^(ёь ё2, ёз) равно 0 тогда и только тогда, когда, по крайней мере, две координаты точки совпадают, то
1(1,е),(-1,е) = {(1, е), (-1, е)} и Н = {(1, е)}. На группе (Т0 х Г, •, С) удалось задать отличный от 2-порядок [5, с. 25]. Пусть
ё = (ёЪ g2, ёзХ ёк = (4, У/О, ¿к е То, Чк е Г, к е {1, 2, 3},
Ч = (¿ъ t2, tз), у = (У1, У2, У3). Обозначим функцию двумерного циклического порядка на Т0 через ю и положим
ю(Ч), если ^ (¿)| = 3;
С2(ё) =
С1 (У1, У2 )ю(Чз Ч, е, '¿3), если ^ = ¿2;
С2 (У2 , У3 )ю(Ч1 '¿2 , e, ¿2 Ч ), если ¿2 = к
Са(Уз, Уl)ю(t-1tз, e, 0, если |жЧ(Ч)| = 1.
С1 (У 3, У1 )ю(Ч2 1Ч3 , е, ¿3 1Ч2 ), если ¿1 = ¿3;
Тогда
1(1,е),(-1,е) = {(-1, У), (1, У) | У е Г} и Н = {(1, у) | у е Г}. 4) Пусть (Щ, Щ") - двумерно упорядоченное поле с базой Щ0, где Щ" = {х е Щ | ^(0, 1, х) > 0} - верхний конус поля Щ [3]; Щ, = {х е Щ С(0, 1, х) = 0} [3]. Элемент а е Щ называется бесконечно близким к базе Щ0, если
У" У г е Щ0 (г < а) ^ (а - г)" е Щи или У" Уг е Щ0 (г < а) ^ (а - г)" е -Щи.
Множество В бесконечно близких к базе Щ0 элементов поля Щ относительно операций сложения и умножения образует бесконечно узкое поле (В, +, •) [6].
Бесконечно узкие поля допускают как линейное, так и двумерное упорядочивание [7, 8].
В частности, О(п) - бесконечно узкое поле. Произвольный элемент Ь этого поля представим в виде
ь = /М, ё (п)
где/(х), ё(х) е О[х]. *
Мультипликативную группу (О (п), •) этого поля можно двумерно упорядочить следующим образом [7]:
'
УЬ е О*(п) (С(0, 1, Ь) = 1 о [|х=Ь > 0). Тогда а = -1, /1,-1 = О*, Н = О+.
В общем случае бесконечно узкого поля В имеем
а = -е, /е,-е = Ра, Н =
2. О мощности множества элементов порядка п в 2-упорядоченной группе
Теорема о том, что в произвольной невырожденной 2-упорядоченной группе (О, •, О существует не более одной инволюции, доказана в [2, с. 34].
Пусть п е N и Н = {х е О | хп = е}. Так как Т(О) с Х{О) [1, с. 6], то Н < О и Н -абелева. Следовательно, (Н, •, - локально конечная 2-упорядоченная группа. Рассмотрим случай, когда 0 на Н.
Нашей целью является доказательство следующего утверждения.
Теорема 2.1. Пусть (О, •, - невырожденная 2-упорядоченная группа, п е N и Н = {х е О | хп = е}. Если 0 на Н, то |Н| < п.
Известно, что периодическая часть циклически упорядоченной группы вкладывается с сохранением порядка в группу (С, •) комплексных корней из 1 [4, с. 98].
Так как Т(Н) = Н, то для доказательства теоремы достаточно убедиться, что (Н, •, - циклически упорядоченная группа.
Истинность этого утверждения доказана методом математической индукции в [9, с. 32] для произвольных невырожденных п-упорядоченных групп. (Каждая локально конечная п-упорядоченная группа с невырожденным порядком является п-циклически упорядоченной.)
Для п = 2 это доказательство более наглядно и конструктивно. Приведём его.
Напомним, что известное определение циклически упорядоченной группы [4, с. 97] равносильно следующему.
Определение 2.1. Невырожденная 2-упорядоченная группа (О, •, называется циклически упорядоченной, если в каждом невырожденном её подмножестве (Х4, О каждый элемент из множества Х4 является в нём внешней точкой [9, с. 24].
Нам понадобится также понятие отделимой точки в 2-упорядоченном множестве (Х, введённое в [10].
Определение 2.2. Пусть (Х, С) - 2-упорядоченное множество. Элемент а е Х называется точкой, отделимой в (Х, £), если существует грань Р с Х, такая, что
С(Р, а) = 1 и Ух е Х \ {а} (С(Р, х) < 0) или С(Р, а) = -1 и Ух е Х\ {а} (С(Р, х) > 0).
Здесь же [10, с. 238] доказано
Предложение 2.2. Если точка а отделима в (Х, С), а е Х4, Х4 сХ, множество (Х4, - невырожденное, то точка а отделима в (Х4,
Приведём план доказательства теоремы 2.1.
1) Пусть Х4 с Х, а е Х4. Докажем, что если точка а отделима в (Х4, то а -внешняя точка в (Х4,
2) Покажем, что в каждом конечном невырожденном 2-упорядоченном множестве (Х, существует отделимая точка.
3) Убедимся, что в каждой конечной невырожденной 2-упорядоченной группе все её элементы являются в ней отделимыми точками.
Из пунктов 1)—3) непосредственно следует, что невырожденная локально конечная группа (Н, •, является циклически упорядоченной.
Действительно, пусть Х4 с Н и (Х4, С) - невырожденное множество. Рассмотрим группу = ((Х4), •, С). Очевидно, - конечная невырожденная 2-упорядоченная группа. Согласно пункту 3) все её элементы являются отделимыми в (5, С) точками.
Из предложения 2.2 следует, что все они отделимы в (Х4, С). Осталось применить пункт 1). Таким образом, из истинности пунктов 1)-3) истинность теоремы 2.1 будет доказана.
При доказательстве пунктов 1)-3) будем пользоваться следующей аксиоматикой 2-упорядоченного множества [11].
Пусть С : Х 3 ^ {-1, 0, 1}, функция С - антисимметрична (то есть меняет значение на противоположное при каждой перестановке двух аргументов). Пара (Х, С) называется 2-упорядоченным множеством, если С удовлетворяет следующим условиям:
С1. Если Х4 с Х, множество (Х4, С) - невырожденное, то в (Х4, С) существует, по крайней мере, две внешние грани.
С2. ЕслиХ2 сХ, а, Ь, с е X и
С(Х2, а) = С(Х2, Ь) = С(Х2, с) = 1, С(Х1, а, Ь) = С(Х1, Ь, с) = 1, то С(Х1, а, с) = 1.
С3. Пусть 5 сХ, |5| < 6; О', О" - грани в (5, С), причём
Ух е О" (С(0', х) = 0). Тогда существует е = ±1, такое, что
Ух е 5 (С(0', х) = еС(0", х)).
Это одна из систем аксиом 2-порядка, предложенных в работах Г. Г. Пестова [3, 11]. Там же рассмотрен вопрос об их равносильности.
Предложение 2.3. Пусть (Х, С) - 2-упорядоченное множество; Х4 сХ, а е Х4. Если точка а отделима в (Х4, С), то а - внешняя точка в (Х4, С).
Доказательство. Пусть Х4 = {а, х1, х2, х3} и точка а - отделима в (Х4, С). Не нарушая общности, можно считать, что
С(х1, х2, а) = 1 и С(х1, х2, х3) < 0.
Следовательно, (Х4, С) - невырожденное множество. Согласно аксиоме С1, в (Х4, С) существует внешняя грань Р.
Если а е Р, то а - внешняя в (Х4, С). Пусть а г Р. Так как Р Ф {х1, х2}, то Р = {х1, х3} или Р = {х2, х3}.
Рассмотрим оба случая.
С(хь хз, х2) = С(хь хз, а) Ф 0, отсюда С(х1, х3, а) = 1.
Следовательно, С(х1, а, х3) = С(х1, а, х2) = -1,
то есть точка а - внешняя точка в (Х4, С).
Аналогично,
С(х2, хз, х1) = С(х2, хз, а) = -1. Значит, С(х2, а, х3) = С(х2, а, х1) = 1,
отсюда - точка а является внешней точкой в (Х4, С). #
Истинность пункта 1) доказана.
Предложение 2.4. В каждом конечном невырожденном 2-упорядоченном множестве (Х, С) существуют отделимые точки.
Доказательство. Пусть (Х, - конечное невырожденное 2-упорядоченное множество. Согласно [12, с. 31], во множестве Х существует нестрогая внешняя грань Р = {хь х2}, такая, что
Ух е Х (С(хь х2, х) > 0).
Так как 0 на Х, то
За е Х (С(хь х2, а) = 1).
Рассмотрим прямую
/х1,х2 = {х е Х | ^(х:, х2, х) = 0}. Линейно упорядоченное множество (/х\х2; <^а) является конечным. Следовательно, в нём существуют наибольший и непосредственно предшествующий ему элементы Ь и k соответственно. Таким образом,
[с a (к, Ь) = С^, k, Ь) = 1, (4)
[Ух е /х1,х2 \{Ь} (Сa (к, х) < 0).
Покажем, что элемент Ь - отделимая точка во множестве (Х, Пусть Y = X\ /х1,х2. Так как а е Y, то Y Ф 0. Для любых u, v е Y положим
u < v » С(к, и, v) < 0. Убедимся, что < - отношение линейного предпорядка на множестве Y. Очевидно, что < является рефлексивным и связным отношением. Покажем, что оно транзитивно.
Лемма 2.5. Пусть (Х, - конечное невырожденное 2-упорядоченное множество, тогда
Ух е Х (С(хь х2, х) = С(к, Ь, х)). Доказательство. Пусть х0 е Х. Рассмотрим множество
= {х1, х2, k, Ь, a, х0}.
Очевидно, |5 < 6. Так как
х! Ф х2, к Ф Ь, ^(х1, х2, а) Ф 0, С(к, Ь, а) Ф 0 то О1 = {хь х2}; О2 = {к, Ь} -
грани в (5, О.
Так как к, Ь - элементы прямой /х1х2, то
С(ОЬ к) = С(ОЬ Ь) = 0. Согласно свойству элемента а и (4),
С(О1, а) = С(О2, а). Применив аксиому С3, имеем
С(ОЬ х0) = С(О2, х0),
то есть лемма доказана.
Пусть х, у, 2 е Y, х < у, у < г. Следовательно,
С(к, х, у) < 0; С(к, у, 2) < 0.
Убедимся, что
С(к, х, 2) < 0. (5)
Так как х, у, 2 г /х\х2, то согласно лемме
С(к, Ь, х) = 1; С(к, Ь, у) = 1; С (к, Ь, 2) = 1 (6)
Рассмотрим все возможные случаи:
а) С(к, х, у) = С(к, у, 2) = -1.
Так как С(к, у, х) = С (к, 2, у) = 1, то применяя (6) и аксиому С2, получаем
С(к, х, 2) = -1,
неравенство (5) - истинно.
б) С(к, х, у) = -1; С(к, у, 2) = 0. Пусть 5 = {к, у, 2, х, Ь}. Очевидно,
01 = {к, у}; 02 = {к, 2} -
грани в (5, С), причём
С(0Ь к) = С(0Ь 2) = 0. Так как согласно (6), С(к, у, Ь) = С(к, 2, Ь),
то согласно С3, С(к, у, х) = С(к, 2, х) = 1,
отсюда С(к, х, 2) = -1, то есть неравенство (5) - истинно.
в) Случай С(к, х, у) = 0; С(к, у, 2) = 1 рассматривается аналогично случаю б).
г) С(к, х, у) = С(к, у, 2) = 0.
Пусть 5 = {к, х, у, 2, Ь}. Предположим, что <^(к, х, 2) = 1. Тогда
01 = {к, у}; 02 = {х, 2} -
грани в (5, С), такие, что
С(0Ь х) = С(0Ь 2) = 0.
Согласно С3,
Зе = ±1 У 5 е 5 (С(к, у, 5) = е^(х, 2, 5)), но С(к, у, к) Ф е^(х, 2, к).
Получили противоречие. Таким образом, С (к, х, 2) < 0 и отношение < на У транзи-тивно.
Так как У является конечным множеством, то
Зс е У Ух е У (х < с), то есть Ух е У (С(к, х, с) < 0). (7)
Покажем, что грань Р = {к, с} отделяет элемент Ь во множестве (Х, С). Согласно (7),
Ух е У (С(к, с, х) > 0). (8)
Так как с г /х1х2, то
С(х1, х2, а) = С(х1, х2, с), значит, функции порядка и Са на прямой /х1х2 равны: = Са. Из (4) получаем
С (к, с, Ь) = С(к, а, Ь) = -1; (9)
Ух е /х1,х2 (х Ф Ь ^ С(к, с, х) = С(к, а, х) > 0). (9)
Из (8) и (9) следует, что элемент Ь является точкой, отделимой в (Х, С). # Пункт 2) доказан.
Следствие 2.6. В каждой конечной невырожденной 2-упорядоченной группе (О, •, С) все элементы являются отделимыми во множестве (О, С) точками.
Доказательство. Пусть с - отделимая в (О, С) точка и Р = {х1, х2} - грань, такая, что
С(х1, х2, с) = 1 и Ух е О \{с} (С(х1, х2, х) < 0).
Пусть g е G. Тогда
Z(gc~lxu gc~'x2, g) = 1. Пусть х0 Ф g. Значит, cg-1x0 Ф с, отсюда
Z(Xi, Х2, cg-1Xo) < 0. Тогда C(gc_1xi, gc-1X2, хо) < 0.
Таким образом, произвольный элемент g е G является отделимой в (G, Q точкой. #
Пункт 3) доказан. Таким образом, теорема 2.1 доказана полностью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Забарина А.И., Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 1(13). С. 5-8.
2. Пестов Г.Г., Забарина А.И., Тоболкин А.А., Фомина Е.А. О 2-упорядоченных группах // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 2(34). С. 30-40.
3. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. 128 с.
4. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965. 342 с.
5. Тоболкин А.А. К теории и-упорядоченных групп: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06. Томск, 2009. 71 c. URL: http://vital.lib.tsu.ru/vital/access/manager/Repository/vtls: 000370652
6. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. Подполе В бесконечно близких к базе элементов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 41-47.
7. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2007. № 1(1). С. 50-53.
8. Фомина Е.А. Критерий бесконечно узкого поля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. № 1(5). С. 27-30.
9. Забарина А.И. О циклически упорядоченных группах: дис. ... канд. физ-мат. наук: 01.01.06. Томск, 1984. 84 с.
10. Терре А.И. Элементы геометрии и-мерного порядка. Томск, 1982. 36 с. [Деп. в ВИНИТИ 27-10-82, № 5941 82].
11. Пестов Г.Г. К теории упорядоченных алгебраических систем: дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.06. Томск, 2003. 273 с.
12. Пестов Г.Г. Исследования по теории и-мерной функции порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Томск, 1966. 131 c.
Статья поступила 04.10.2016 г.
Zabarina A.I., pestov G.G.|, Fomina E.A. (2017) ON THE THEORY OF 2-ORDERED GROUPS. Tomsk State Umversity Journal of Mathematics amdMechamics. 45. pp. 25-34
DOI 10.17223/19988621/45/2
1. On the order on a straight line lea.
Let (G, •, Q is a non-degenerate 2-ordered group, а е G, o(a) = 2, le a = {x е G| Z(a, e, x) = 0}.
It is known that le,a < G. As le,a Ф G, then 3ce G (Z(c, a, e) Ф 0). Let Z(c, a, e) = 1. Let: х < y < Zc(x, y) = Z(c, x, y) = 1.
It is known that the function Zc sets linear order on the line le,a . Let us note that a < е regarding this order. As а е le,a then the group (le,a, •) cannot be linearly ordered. Let us find a subgroup which is linearly ordered regarding to the specified order Zx.
Theorem 1.1. Let Р = {x е le,a | x > e}, H = P и If |P| Ф 1, then (Н, •, Q is a linearly ordered group.
34
A.M. 3a6apHHa, r.r. necTOB, E.A. OoMHHa
2. On the cardinality of the set of elements of order n in 2-ordered group
Let n e N and H = {x e G | X = e}. As T(G) c Z(G), then H < G and H is an Abelian group. Consequently, (H, •, Z) is a locally finite 2-ordered group. Let Z # 0 on the set H.
Theorem 2.1. Let (G, •, Z) be a non-degenerate 2-ordered group, n e N and H = {x e G | xn = e}. If Zt^0 on the set H, then |H| < n.
Keywords: linearly ordered group, two-dimensional order, 2-ordered group, involution, straight line.
ZABARINA Anna Ivanovna (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State Pedagogical University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: aizabarina@gmail.com
PESTOV G erman Gavrilovich (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University Tomsk, Russian Federation)
FOMINA Elena Anatolievna (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State Pedagogical University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: ef254@mail.ru
REFERENCES
1. Zabarina A.I., Pestov G.G. (2011). Dvumerno uporyadochennye gruppy [Two-dimensionally ordered groups]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 1 (13). pp. 5-8.
2. Pestov G.G., Zabarina A.I., Tobolkin A.A., Fomina E.A. (2015). O 2-uporyadochennykh gruppakh [On 2-ordered groups]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2(34). pp. 30-40. DOI: 10.17223/19988621/34/3.
3. Pestov G.G. (2003). Dvumerno uporyadochennye polya [Two-dimensionally ordered fields]. Tomsk: Tomsk St. Univ. Publ.
4. Fuchs L. (1963). Partially ordered algebraic systems. Oxford: Pergamon Press.
5. Tobolkin A.A. (2009). K teorii n-uporyadochennykh grupp [On the theory of n-ordered groups]. Dis. kand. fiz.-mat. nauk: 01.01.06. Tomsk. 71 p. URL: http://vital.lib.tsu.ru/vital/ access/manager/Repository/vtls:000370652 (in Russian)
6. Pestov G.G., Fomina E.A. (2009). Podpole B beskonechno blizkikh k baze elementov [A subfield B of elements which are infinitely close to the base of elements]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2(6). pp. 41 -47.
7. Pestov G.G., Fomina E.A. (2007). Konstruktsiya beskonechno uzkogo dvumerno uporyadochennogo polya [Construction of an infinitely narrow 2-dimensionally ordered field]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 1(1). pp. 50-53.
8. Fomina E.A. (2009). Kriteriy beskonechno uzkogo polya [A criterion of an infinitely narrow field]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 1(5). pp. 27-30.
9. Zabarina A.I. (1984). O tsiklicheski uporyadochennykh gruppakh [On cyclically ordered groups]. Dis. kand. fiz-mat. nauk: 01.01.06. Tomsk. 84 p.
10. Terre A.I. (1982). Elementy geometrii n-mernogo poryadka [Elements of geometry of the n-dimensional order]. Tomsk [Dep. VINITI27-10-82, № 5941 82]. 36 p.
11. Pestov G.G. (2003). K teorii uporyadochennykh algebraicheskykh system [On the theory of ordered algebraic systems]. Dis. doct. fiz.-mat. nauk: 01.01.06. Tomsk. 273 p.
12. Pestov G.G. (1966). Issledivanya po teorii n-mernoy funktsii poryadka [Research on the theory of the n-dimensional order function]. Dis. kand. fiz.-mat. nauk: 01.01.06. Tomsk. 131 p.
