CC BY
8
2017 Математика и механика № 46
УДК 512.623.23
Б01 10.17223/19988621/46/2
Н.Ю. Галанова
ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ С СИММЕТРИЧНЫМИ СЕЧЕНИЯМИ
Исследуются свойства упорядоченных полей с симметричными сечениями. Рассматриваются вещественно замкнутые упорядоченные поля К, | К |=| О | = е/(О) = р > Х0 , где О есть группа архимедовых классов поля К, такие, что конфинальность каждого симметричного сечения К равна р . Показывается, что такой класс полей совпадает с классом всех полей ограниченных формальных степенных рядов Щ[О,р]], где О есть делимая абеле-ва группа, | О | = е/(О) = р > Х0, при условии ОКГ. По заданному упорядоченному полю с симметричным сечением строится его подполе с симметричным сечением того же типа конфинальности.
Ключевые слова: линейно упорядоченная абелева группа, линейно упорядоченное поле, поле ограниченных формальных степенных рядов, простое трансцендентное расширение упорядоченного поля, вещественное замыкание, симметричное сечение, конфинальность сечения.
Предварительные сведения
Строение сечений в упорядоченном поле несёт существенную информацию о свойствах самого поля. В данной статье будем использовать понятия симметричного и трансцендентного сечений из классификации сечений, разработанной Г.Г. Пестовым [1-4]. Автором статьи были полностью исследованы симметричные сечения для полей ограниченных формальных степенных рядов и некоторых моделей нестандартной вещественной прямой [5-7]. В данной статье исследование симметричных сечений продолжается для более общего случая.
Сечение (А, В) упорядоченного поля К называется симметричным, если для каждого а е А существует такое а1 е А , что (а1 + (а1 - а)) е В, и для каждого Ь е В существует такое е В, что (Ь1 - (Ь -Ьг)) е А [1-4].
Пусть А - упорядоченное множество. Говорят, что подмножество X множества А конфинально А, если для каждого х е А существует у е X , такой, что х < у .
Наименьшая мощность среди мощностей всех множеств, конфинальных А , называется конфинальностью А и обозначается е/(А) [4].
Конфинальностью симметричного сечения (А,В) называется е/(А) [4,8].
Пусть Р - упорядоченное расширение поля К . Будем говорить, что элемент t е Р \ К порождает сечение (А,В) в упорядоченном поле К , если А < t < В .
Говорят, что многочлен /(х) меняет знак на сечении (А, В) упорядоченного поля Р , если существуют такие а е А, Ь е В , что на множестве А п [а, Ь] многочлен строго положителен (отрицателен), а на множестве В п [а, Ь] строго отрицателен (положителен). Если все многочлены из Р[х] не меняют знак на сечении, то
это сечение называется трансцендентным. В противном случае сечение называется алгебраическим [1-4] .
Теорема 1.1. [1] Упорядоченное поле Р вещественно замкнуто тогда и только тогда, когда все сечения Р трансцендентны.
Пусть О - линейно упорядоченная мультипликативная абелева группа, Я -поле вещественных чисел.
Через Щ[О]] обозначается [9] поле формальных степенных рядов вида
х = ^ , гЯ е Я, где носитель ряда Бирр(х) = {я е О | гЯ Ф 0} - вполне анти-
яеО
упорядоченное (каждое непустое подмножество имеет наибольший элемент) подмножество группы О.
Полагаем х > 0 » г > 0, я0 = тах^ирр(х)).
Пусть р - кардинал, К0 < р <| О |. Через Щ[О, Р]] обозначается [8] поле таких формальных степенных рядов х, что | supp(х) | <р . Это поле называется полем ограниченных формальных степенных рядов.
Элементы а, Ь упорядоченного поля К называются архимедовски эквивалентными, если существует такое натуральное число п , что п | а | > | Ь | и п | Ь | > | а |. Если а и Ь архимедовски эквивалентны, то пишем а ~ Ь .
С каждым упорядоченным полем К связано понятие его группы архимедовых классов, она получается как фактор-группа мультипликативной группы К \{0} по отношению к архимедовской эквивалентности [1-4].
Группа архимедовых классов упорядоченного поля Щ[О]] изоморфна О .
Как было доказано Капланским [8, 9], каждое линейно упорядоченное поле вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов, построенное по группе архимедовых классов данного поля.
Мультипликативная группа О называется делимой [8], если для любого я е О
и любого натурального п существует решение уравнения И" = я . Доказано [8], что если группа О - делимая, то поля Щ[О]], Щ[О, Р]] вещественно замкнуты.
Поле Щ[О]] является архимедовски замкнутым, что равносильно отсутствию симметричных сечений [2-4], [10].
Теорема 1.2. [2] Если сечение (А, В) поля К трансцендентно, то порядок из
К единственным образом продолжается на поле К (/), полученном заполнением этого сечения.
Теорема 1.3. [3] Пусть Р есть упорядоченное расширение поля К , такое, что для каждого х е Р существует у е К , такое, что х ~ у. Тогда каждый элемент из
Р \ К индуцирует симметричное сечение в К .
Теорема 1.4. [3] Пусть К есть подполе архимедовски замкнутого поля Р и (А, В) есть симметричное сечение в К. Тогда существует ? е Р такое, что
А < ? < В .
Теорема 1.5. [2] Пусть упорядоченные вещественно замкнутые поля Е1, Р2 таковы, что | | = | ^2 | = а и конфинальность каждого симметричного сечения в обоих полях равна а. Тогда для того чтобы , были упорядоченно изоморф-
ны, необходимо и достаточно, чтобы группы архимедовых классов этих полей были изоморфны.
Теорема 1.6. [10] Пусть О - линейно упорядоченная делимая абелева группа. Пусть р - кардинал, К0 < Р < | О |. Тогда конфинальность каждого симметричного сечения поля Щ[О, Р]] равна е/(Р). В частности, если р - регулярный кардинал, то конфинальность каждого симметричного сечения Щ[О, Р]] равна р .
Следствие 1.7. (ОКГ) Пусть О - линейно упорядоченная делимая абелева группа, р - регулярный кардинал, К0 < Р = е/(О) = | О |. Тогда каждое вещественно замкнутое поле К мощности р с группой архимедовых классов О, в котором каждое симметричное сечение имеет конфинальность р , упорядоченно изоморфно полю Щ[О, Р]].
Доказательство. Так как р = е/(О), группа О имеет вполне антиупорядо-ченные подмножества мощности р . Поэтому Щ[О]]\ Щ[О, Р]] . При ОКГ мощность поля Щ[О, р]] равна | О | (см. [8]). Пусть поле К удовлетворяет условиям следствия, тогда | К | = | Щ[О, Р]] | =р. Группы архимедовых классов обоих полей равны О . Симметричные сечения обоих полей имеют конфинальность р . По теореме 1.5 К изоморфно Щ[О, Р]].
Свойства упорядоченных полей с симметричными сечениями
Рассмотрим некоторые следствия теории сечений, изложенной в [1-4], [10].
Лемма 2.1. Пусть Р - упорядоченное расширение поля К , (А,В) - сечение
поля К и между берегами сечения (А, В) нет элементов из Р . Тогда пара множеств (А,В), заданная следующим образом: А = {х е Р | За е А х < а}, В = {х е Р | ЗЬ е В Ь < х}, является сечением поля Р и е/(А, В) = е/(А, В). При этом если (А, В) симметричное сечение, то (А,В) также симметричное сечение.
Доказательство. По условию А с А, В с В. Так как между берегами (А, В) нет элементов из Р , то (А, В) - сечение Р . Множество наименьшей мощности, конфинальное А , будет также и множеством наименьшей мощности, конфиналь-ным А , поскольку А конфинально А . Отсюда получаем е/(А,В) = е/(А, В). Пусть теперь (А,В) - симметричное сечение; докажем, что (А, В) также симметрично. Пусть а е А . Найдётся а е А такое, что а < а . Далее, по определению симметричного сечения существует такое а1 е А , что (а1 + (а1 - а)) е В . Из того, что (а1 + (а1 - а)) < (а1 + (а1 - а)) и (а1 + (а1 - 3)) е Р , следует, что (а1 + (а1 - а)) е В . Аналогично, для каждого Ь е В существует такое Ь1 е В, что (Ь - (Ь - ¿1)) е А .
Утверждение 2.2. Пусть упорядоченное поле К имеет группу архимедовых классов О. Сечение (А, В) поля К симметрично тогда и только тогда, когда существует элемент t е Я[[О]] \ К такой, что А < t < В .
Доказательство. Если ? е Щ[О]] \ К таково, что А < ? < В, то по теореме 1.3 (А, В) симметрично. Это следует также и из теоремы 1.4, так как поле Щ[О]] архимедовски замкнуто [10].
С другой стороны, если между (А, В) нет элементов из Щ[О]], то (А, В) индуцирует (по лемме 2.1) симметричное же сечение (А, В) в Щ[О]], но в Щ[О]] нет симметричных сечений [10].
Докажем следующий факт, используя теорию сечений.
Лемма 2.3. Пусть Г - вполне упорядоченное множество, {Еу }уеГ - семейство вещественно замкнутых упорядоченных полей, таких, что Уу1, у2 е Г у1 < у2 ^ Е с Еу2. Тогда Е = и Еу - упорядоченное вещественно замкнутое
уеГ
поле.
Доказательство. Очевидно, что Е - упорядоченное поле. Проверим вещественную замкнутость Е. Согласно теореме 1.1, достаточно доказать, что все сечения поля Е трансцендентны. Допустим противное, т.е. пусть существует алгебраическое сечение (А, В) поля Е. Тогда существует многочлен /(х) е Е[х] и такие а е А, Ь е В , что на множестве А п [а, Ь] многочлен /(х) строго положителен (отрицателен), а на множестве В п [а,Ь] строго отрицателен (положителен). Найдётся Еу0, такое, что /(х) е Еу0 [х] и а, Ь е Еу0. Тогда /(х) строго положителен (отрицателен) на А п [а,Ь] п Еу, а на множестве В п [а,Ь] п Еу строго отрицателен (положителен). Это означает, что сечение (А п Еу, В п Еу) поля Еу -алгебраическое, что противоречит вещественной замкнутости Еу.
Конструкция упорядоченного поля с симметричными сечениями
Пусть вещественно замкнутые упорядоченные поля Р и К имеют одинаковую группу архимедовых классов О, К с Р .
Пусть (А,В) - симметричное сечение поля Р , р - кардинал, К0 <Р<| О |, с/(А, В) = р . Обозначим через {ху }уер множество наименьшей мощности, конфи-
нальное А .
Далее, пусть ху е Р \ К для всех уе р.
Построим по трансфинитной рекурсии последовательность вещественно замкнутых полей {Ку}уер. Полагаем К1 = К(х1) - вещественное замыкание простого трансцендентного расширения поля К .
Если у - не предельный ординал, то К. = Ку-1 (ху). Заметим, что если
ху е Ку_1, то Ку = Ку_1.
Если у - предельный ординал, то Ку =
и Ка
\а<у
(ху).
Полагаем Н = и Ку .
уеР
Теорема 3.1. Множество Н является вещественно замкнутым упорядоченным полем, имеющим симметричное сечение конфинальности р .
Доказательство. Очевидно, что К с Н . По построению У] < у2 ^ Ку с Ку2
и каждое Ку - вещественно замкнуто. Поэтому Н = ^ Ку - вещественно замк-
уеР
нутое упорядоченное поле (лемма 2.3).
Так как поле Р - вещественно замкнутое, то Н с Р.
Сечение (А, В) поля Р - симметричное, поэтому (утверждение 2.2) найдётся t е Щ[О]]\ Р , такой, что А < t < В . Элемент t будет порождать симметричное сечение поля Н . Обозначим его (А, В), по построению А с А . Так как {ху}уер - множество наименьшей мощности, конфинальное А, и ху е А, то
е/(А, В) = е/(А, В) = Р .
Пример. Пусть О - линейно упорядоченная делимая абелева группа, р - регулярный кардинал, К0 < р < р+ <| О |. Обозначим К = Щ[О, Р]], Р = Щ[О, р+ ]]. Пусть Г = } + - подмножество группы О, такое, что отображение
у ^ gy задаёт инверсное подобие кардинала р+ и множества Г . Зададим ряд: t = ^ , t е Щ[О]] \ Р . Ряд t порождает в поле Р = Я[[О, р+ ]] сечение конфи-
яеГ
нальности р+, обозначим его (А, В).
Для каждого у , р< у <р+, обозначим через ху срезку ряда t с носителем Бирр(ху) = {£ е Г | g > g1} . Так как мощность Бирр(ху) равна р , каждый ряд ху
принадлежит полю Р = Я[[О, р+ ]].
Возрастающая последовательность {ху конфинальна А .
Поле Н из теоремы 3.1 имеет симметричное сечение конфинальности р+. При этом Щ[О, Р]] с Н с К[[О, р+ ]].
Остаются открытыми вопросы: будет ли Н равно (изоморфно) Я[[О, р+ ]]; существует ли линейно упорядоченное поле с симметричными сечениями разной конфинальности?
Сечение (А, В) упорядоченного поля К называется фундаментальным, если Уее К + \{0} За е А ЗЬ е В | Ь - а |<е .
Замечание. Пусть принимается обобщённая континуум-гипотеза. Если р -регулярный кардинал, К0 < р < р+ = е/(О) = | О |, то по следствию 1.7 из теоремы 1.5 об изоморфизме каждое вещественно замкнутое поле с группой архимедовых классов О, в котором каждое симметричное сечение имеет конфинальность р+,
упорядоченно изоморфно полю Я[[О, р+ ]]. Поле Н в этом случае будет изоморфно ЩО, р+ ]] тогда и только тогда, когда все симметричные сечения в Н
будут иметь конфинальность р+. При этом симметричные фундаментальные сечения всегда имеют конфинальность равную cf (G) [10]. Поэтому для установления изоморфизма полей H и R[[G, р+ ]] достаточно исследовать конфинальность только нефундаментальных симметричных сечений поля H.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пестов Г.Г. Строение упорядоченных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1980.
2. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 6. С. 1350-1360.
3. Пестов Г.Г. К теории упорядоченных полей и групп: дис. ... докт. физ.-мат. наук. Томск, 2003.
4. Пестов Г.Г. Исследования по упорядоченным группам и полям в Томском государственном университете // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 3(15).
5. Галанова Н.Ю. Симметрия сечений в полях формальных степенных рядов и нестандартной вещественной прямой // Алгебра и логика. 2003. Т. 42. № 1. С. 26-36.
6. Galanova N.Yu. Symmetric and asymmetric gaps in some fields of formal power series // Serdica Math. 2004. V. 30. P. 495-504.
7. Galanova N.Y. An investigation of the fields of bounded formal power series by means of theory of cuts // Acta Appl. Math. 2005. V. 85. P. 121-126.
8. Dales H.J., Woodin H. Super real fields. Oxford: Clarenden Press, 1996.
9. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965.
10. Галанова Н.Ю., Пестов Г.Г. Симметрия сечений в полях формальных степенных рядов // Алгебра и логика. Т. 47. № 2. 2008. С. 174-185.
Статья поступила 30.08.2016 г.
Galanova N.Yu. (2017) TOTALLY ORDERED FIELDS WITH SYMMETRIC GAPS. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 46. pp. 14-20
DOI 10.17223/19988621/46/2
The paper investigates properties of totally ordered fields with symmetric gaps. Let (A,B) be a gap of an ordered field K . The set A is called long-shore if for all a e A there exists a1 e A such that (a1 + (a1 - a)) e B . If both of the shores A and B are long-shore, then the gap (A,B) is called symmetric. We consider under (GCH) a real closed field K , | K | = | G | = cf (G) = p > X0 , where G is the group of Archimedean classes of K and cofinality of each symmetric gap of K is p. We show that K is order-isomorphic to the field of bounded formal power series ^[[G,p]]. We prove that a gap (A,B) of an ordered field K is symmetric iff 3t e ^[[G]] \ K , A < t < B , where G is the group of Archimedean classes of K . For any ordered field, with a symmetric gap of cofinality p we construct a subfield, with a symmetric gap of the same cofinality. We consider an example of real closed field H, tf[[G,P]] с H с tf[[G,p+ ]], with a symmetric gap of cofinality p+ .
Keywords: totally ordered Abelian group, totally ordered field, field of bounded formal power series, simple transcendental extension of ordered field, real closure, symmetric gap, cofinality of a gap.
GALANOVA Nataliya Yur'evna (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail:galanova@math.tsu.ru
REFERENCES
1. Pestov G.G.(1980) Stroenie uporyadochennykh poley [The structure of ordered fields]. ^msk: ТSU publ.
2. Pestov G.G. (2001) On the Theory of Cuts in Ordered Fields. Sib. Math. J. 42(6) 1123-1131. DOI: 10.1023/A:1012800828633.
3. Pestov G.G. (2003). K teorii uporyadochennykh poley i grupp [To the theory of ordered fields and groups]. Dis. doct. fiz.-mat. nauk: 01.01.06. Tomsk. 273 p.
4. Pestov G.G. (2011) Issledovaniya po uporyadochennym gruppam i polyam v Tomskom gosudarstvennom universitete [Investigations on ordered groups and fields in Tomsk State University]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 3(15).
5. Galanova N.Yu. (2003) Symmetry of sections in fields of formal power series and nonstandard real line. Algebra and Logic. 42. pp. 14-19. D0I:10.1023/A:1022672606591.
6. Galanova N.Yu. (2004) Symmetric and asymmetric gaps in some fields of formal power series. SerdicaMath. 30. pp. 495-504.
7. Galanova N.Y. (2005) An investigation of the fields of bounded formal power series by means of theory of cuts. Acta Appl. Math. 85. pp. 121-126. DOI: 10.1007/s10440-004-5593-5.
8. Dales H.J., Woodin H. (1996) Super real fields. Oxford: Clarenden Press.
9. Fuchs L.(1963) Partially ordered algebraic systems. Oxford: Pergamon Press.
10. Galanova N.Y., Pestov G.G. (2008) Symmetry of cuts in fields of formal power series. Algebra and Logic. 47. 2. pp. 100-106. DOI: 10.1007/s10469-008-9001-5.
