Критерий бесконечно узкого поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 1(5)

УДК 512.623

Е.А. Фомина

КРИТЕРИЙ БЕСКОНЕЧНО УЗКОГО ПОЛЯ

В статье рассмотрен пример поля, допускающего как линейное, так и двумерное упорядочивание, но не являющегося бесконечно узким полем. Сформулирован и доказан критерий бесконечно узкого поля.

Ключевые слова: линейно упорядоченные поля, положительный конус, двумерно упорядоченные поля.

Основные определения теории двумерно упорядоченных полей

Основные определения, относящиеся к теории двумерно упорядоченных полей, изложены в [1]. Приведем те из них, которые часто встречаются в тексте статьи.

1. Пусть М - произвольное непустое множество. Зададим функцию £: М{0, 1, -1}. Функция £ называется функцией двумерного порядка, если

УАсМ, А1 < 5

существует инъекция ф: А ^ К2, такая, что

Ух, у, I £ А £(х, у, 2) = П2(ф(х), ф(у), фОО),

где п2 - функция стандартной ориентации плоскости.

2. Поле К, на котором задан двумерный порядок, совместимый с алгебраической структурой поля, называется двумерно упорядоченным полем <К, £ >, или 2-упорядоченным полем.

3. Базой К0 двумерно упорядоченного поля К называется множество

К0 = {х £ К| С(0, 1, х) = 0}.

База К0 является линейно упорядоченным полем.

4. Верхним конусом К поля К называется множество

К“ = {х £ К С(0, 1, х) > 0}.

Задание верхнего конуса К однозначно определяет двумерный порядок в поле К. Поэтому далее 2-упорядоченное поле будем обозначать <К, К“>.

5. Нижним конусом -К поля К называется множество

-К“ = {х £ К| С(0, 1, х) < 0}.

6. Правым конусом Кг двумерно упорядоченного поля <К, К“> называется множество

К = {х £ К| (х £ К“, х2 £ К“\ К0) V (х £ -К“, х2 £ -К“\ К0) V х £ К0+}.

7. В поле <К, К“> зададим предпорядок < следующим образом:

Ух, у £ К, х < у, тогда и только тогда, когда (у - х) £ Кг.

8. Элемент а £ К\ К0 называется бесконечно близким к базе К0 элементом, если Уп, У г £ К0, г < а,

(а - г)п £ К“ \К0 .

Аналогично, а £ -К“\ К0 называется бесконечно близким к базе К0 элементом, если Уп, Уг £ К0, г < а,

(а - г)п £ -К“ \К0 .

9. Поле <К, К“> называется бесконечно узким, если каждый его элемент либо бесконечно близок к базе К0, либо является элементом базы.

Конструкции бесконечно узких двумерно упорядоченных полей

В [2] описана конструкция бесконечно узкого поля. Пусть К0 - линейно упорядоченное поле, элемент а - трансцендентен над К0. Тогда в линейно упорядоченном поле К1 = К0(а) множество

К“ = {/ (а) £ К(а)| / '(а) > 0} является верхним конусом двумерного порядка, относительно которого поле К1 является бесконечно узким полем.

Далее, эта конструкция была обобщена. Пусть В - базис трансцендентности топологического замыкания К0 над К0. На К0 единственным образом продолжается линейный порядок с К0. Рассмотрим поле К =К0(В). Элементами поля К являются дробно-рациональные функции Л(а1, ..., ап) с коэффициентами из поля К0.

Теорема. Множество

К“ = {/(а!, ..., ап) £ К | /(аь ..., ап) > 0},

где /(а!,...,ап) = +... + -^—йхп ; х{ = а; ёх. = 1,

дх1 дхп

задаёт в линейно упорядоченном поле К структуру бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля.

Пример поля, не являющегося бесконечно узким

Исследование этих конструкций бесконечно узких полей приводит к следующему вопросу. Пусть поле К допускает и линейное, и двумерное упорядочивание. Всегда ли в этом случае оно будет бесконечно узким?

В [1] дана классификация полей характеристики нуль. В частности, выделен класс полей, допускающих как линейное, так и двумерное упорядочивание. Это формально вещественные поля, не изоморфные никакому подполю нормального расширения поля О.

Рассмотрим поле К = 0(^2). С одной стороны, поле К линейно упорядочено,

2п. 2п.

как подполе Я. С другой - 0(^2) = 0(^2е 3 ). Поле 0(^26 3 ) допускает двумерное упорядочивание, как подполе поля С. Следовательно, и поле К допускает двумерное упорядочивание.

Покажем, что поле К не допускает структуры двумерного порядка, относительно которого оно является бесконечно узким полем. Элемент ^2 как элемент двумерно упорядоченного поля <К, К“> может принадлежать либо открытому верхнему конусу К \ О, либо открытому нижнему конусу -К \ О. В обоих случаях он не является бесконечно близким к базе О поля К. Действительно (см. определение 7), при п = 3, г = 0, (^2 - 0)3 = 2 ; 2 £ О.

Критерий бесконечно узкого поля

29

Критерий бесконечно узкого поля

Теорема. Пусть К - нетривиальное 2-упорядоченное поле, т.е. КфК0.

К является бесконечно узким тогда и только тогда, когда правый конус К поля К является также и положительным конусом поля К, т.е. К = К+.

Доказательство. Необходимость. Пусть К - бесконечно узкое поле. Покажем, что в этом случае Кг = К+. Другими словами, для Кг справедливы следующие условия:

(1) Кг + Кг = К";

(2) К К = Кг;

(3) Кг П -Кг = 0;

(4) Кг и -Кг = К\{0}.

Условия (1) и (3) справедливы для правого конуса К любого двумерно упорядоченного поля <К, К“> [1]. Докажем (2) и (4).

(2) Пусть а, Ь £ К. Докажем, что аЬ £ Кг.

Если хотя бы один из элементов а, Ь принадлежит К0+, то утверждение доказано (см. лемму 4.1.1. [1]). С учётом оговоренного, возможны следующие случаи расположения элементов:

2а) а, Ь £ К“\К0;

2Ь) а, Ь £ - К“К0;

2с) а £ К“\К0, Ь£-К“\К0;

2ф а £ - К“К0, Ь £ К“\К0.

Ситуации 2с и 2d рассмотрены в [1] и доказано (теорема 4.2.2), что в этих случаях аЬ £ К.

Рассмотрим случай 2а. Положим для определённости, что аЬ4 £ К“\К0. Так как а, Ь £ К , то а2, Ь2£ К“\К0.

Справедлива следующая

Лемма (лемма 3.3.6 [1]). Пусть х, у £ К“, ху~1£ К“\К0, хг^1£ К“, гу^1£ К“. Тогда 2£ К“.

Положим в условиях леммы х = а2, у = а , г = аЬ. Тогда, действительно, ху - = а £ К“\К0, хг- = аЬ~1 £ К“\К0, гу - = Ь £К“. Значит, г = аЬ £ К“\К0.

Так как поле К - бесконечно узкое, то элемент (аЬ)2 также принадлежит К“'\К0. Значит, согласно определению правого конуса, аЬ £ Кг.

Случай 2Ь рассматривается аналогично случаю 2а, только множество К“\К0 нужно заменить на -К“\К0.

Итак, (2) доказано.

(4) Пусть а £ К, аФ 0.

В общем случае двумерно упорядоченного поля множество элементов {х £ К\{0}| (х £ К“\ К0, х2 £ К0) V (х £ -К“\ К0, х2 £ К0)} не принадлежит множеству (Кг и -Кг).

В бесконечно узком поле таких элементов нет. Действительно, если х £ К“\ К0, то в случае х > 0 элемент х2£К“\К0; в случае х < 0 элемент х2£-К“\ К0. Ситуация аналогична, если х £ -К“\ К0.

Следовательно, Кг и -Кг = К\{0}.

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть для правого конуса Кг поля К выполнены условия (1) - (4).

Покажем, что поле К в этом случае является бесконечно узким.

Пусть x е K. Если x е K0, то утверждение доказано. Рассмотрим случай, когда x е K“\ K0. Докажем, что

Уп, Уг е K0, г < a, (a - r)n e K“ \K0.

Имеем Уг e K0, г < a, элемент (a - r) e (K“H Kr) \K0.

Так как имеет место условие (2), то для каждого натурального к элемент (a - г)к е Kr. По определению правого конуса для п = 2к элемент (a - г)п е K“ \K0.

Пусть п = 2к + 1. Тогда применим лемму 3.3.6. [1] (см. выше). Положим в условиях леммы x = (a - г)2к+2, y = (a - г)2к, z = (a - г)2к+1. Тогда, действительно, xy- = (a - г)2 е K“\K0, xz- = (a - г)е KU\K0, zy— = (a - Значит, z = (a - г)2к+1

е K“'\K0. Таким образом, доказано, что Уп, Уг е K0, г < a, (a - r)n е K“ \K0.

Случай, когда x е -K“\ K0, рассматривается аналогично. Значит, K - бесконечно узкое поле. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск, 2003.

2. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2007. № 1. С. 50 - 53.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

ФОМИНА Елена Анатольевна - аспирантка кафедры математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: ef@sibmail. com

Статья принята в печать 03.11.2008 г.