CC BY
13Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений 15
Робастные апостериорные оценки погрешности для приближенных решений сингулярно возмущенных уравнений реакции-диффузии с имеющим большие скачки коэффициентом реакции
В. Г. Корнеев
Санкт-Петербургский государственный университет Email: vad.korneev2011@yandex.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10022
В качестве модельной рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии, с постоянным на каждой подобласти (конечном элементе) разбиения области неотрицательном коэффициентом реакции. Как правило ранее в этом случае удавалось получить только апостериорные оценки погрешности приближенных решений, существенно зависящие от величин скачков коэффициента реакции. Часто изначально предполагалось достаточно медленное изменение этого коэффициента по области и ставились соответствующие ограничения на его скачки между конечными элементами. В данном докладе выводятся гарантированные, робастные, вычисляемые апостериорные оценки погрешности в предположении, что коэффициент реакции может хаотически изменяться между конечными элементами в широких пределах. Для методов конечных элементов на квазиоднородных сетках допускаются скачки и значения этого коэффициента обратно пропорциональные квадрату характерного шага сетки. Коэффициенты перед типичными нормами в правых частях наших оценок лишь незначительно хуже полученных ранее в случае постоянных коэффициентов реакции [1-3], они могут быть вычислены без предварительного использования процедур уравновешивания тестовых вектор-функций потоков и являются точными по порядку, например, для схем с линейными симплици-альными конечными элементами. Более того, при постоянных коэффициентов реакции они превращаются в точные согласованные оценки, полученные в [1,2,4] для этого случая.
Техника вывода сходна с использованной в [1, 2] для получения апостериорных оценок погрешности, согласованных по порядку с неулучшаемыми априорными оценками.
Список литературы
1. Корнеев В. Г. О точности апостериорных функциональных мажорант погрешности приближенных решений эллиптических уравнений. Доклады Академии наук, Математика. 2017. Т. 475, № 6. C. 605-608.
2. Корнеев В. Г. О контроле погрешности при численном решении уравнений реакции-диффузии. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019. Т. 59, № 1, C. 3-20.
3. Komeev, V G. On a renewed approach to a posteriori error bounds for approximate solutions of reaction-diffusion equations. Proceedings of 30th Chemnitz FEM Symposium-2017. Springer, 2019. pp. 207-228.
4. Korneev, V. G. A note on a posteriori error bounds for numerical solutions of elliptic equations with piece wise constant reaction coefficient having large jumps. arXiv:submit/2987998 [math.NA] 30 Dec 2019, pp. 1-9
Конечно-разностное решение задачи планирования для выхода на заданное состояние
В. С. Корниенко1,2, В. В. Шайдуров1
1Институт вычислительного моделирования СО РАН
2Сибирский федеральный университет
Email: vika-svetlakova@yandex.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10023
В работе представлен конечно-разностный аналог дифференциальной задачи, сформулированной в терминах теории "игр среднего поля" для решения задачи о приближении к заданному состоянию. Задачи оптимизации такого типа формулируются как связанные системы параболических дифференциальных уравнений в частных производных типа Фоккера - Планка и Гамильтона - Якоби - Беллмана [1, 2]. Предложенный конечно-разностный аналог обладает основными свойствами оптимизационной дифференциальной задачи непосредственно на дискретном уровне. В итоге он может служить как приближение, сходящееся к исходной дифференциальной задаче при стремлении шагов дискретизации к нулю, так и самостоятельная оптимизационная задача с конечным набором исходных данных. Для предложенного аналога построен алгоритм монотонной минимизации функционала стоимости, проиллюстрированный на модельной экономической задаче.
16
Секция 1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00090).
Список литературы
1. Achdou Y., Camilli F., Capuzzo-Dolcetta, I. Mean field games: numerical methods for the planning problem // SIAM J. Control Optim. 2012. V. 50(1). P. 77-109.
2. Porretta A.. On the planning problem for the mean field games system. Dyn. Games Appl. 2014. V. 4(2). P. 231-256.
К решению уравнения теплопроводности с дробной нагрузкой
М. Т. Космакова1, Л. Ж. Касымова1,2
1 Карагандинский государственный университет им. акад. Е. А. Букетова 2Карагандинский государственный технический университет Email: svetlanamir578@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10025
Исследуются проблемы разрешимости неоднородной краевой задачи в первом квадранте для дробно-нагруженного уравнения теплопроводности. Нагруженное слагаемое представлено в форме дробной производной Капуто по временной переменной, порядок производной в нагруженном слагаемом меньше порядка дифференциальной части, и точка нагрузки является движущейся.
Обращением дифференциальной части задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, ядро которого содержит функцию параболического цилиндра. Произведена оценка ядра полученного интегрального уравнения и показано, что ядро уравнения имеет слабую особенность (при определенных ограничениях на нагрузку), что является основанием для утверждения, что нагруженное слагаемое в уравнении является слабым возмущением его дифференциальной части.
Кроме того, исследованы предельные случаи порядка дробной производной. Доказано, что по порядку дробной производной имеет место непрерывность справа. Непрерывность слева нарушается.
Результаты работы согласуются с результатами исследования, приведенными в монографии [1]: в случае, если порядок производной в нагруженном слагаемом равен или выше порядка дифференциальной части уравнения (такие уравнения в [1] названы "существенно" нагруженными), нагруженное слагаемое в уравнении не является слабым возмущением его дифференциальной части. В работе было получен похожий результат.
В работах [2, 3] исследованы нагруженные дифференциальные уравнения, которые содержат дробные производные от следов искомой функции по временной переменной, но порядок производной в нагруженном слагаемом строго меньше соответствующего порядка дифференциальной части уравнения и точка нагрузки фиксирована, т. е. неподвижна.
Список литературы
1. Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И. Нагруженные уравнения - как возмущения дифференциальных уравнений. Алматы: ГЫЛЫМ, 2010. 334с.
2. Геккиева С. Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени: автореф. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Нальчик: НИИ ПМА Каб.-Балк. научн. Центра РАН, 2003. 14 с.
3. Керефов А. А., Шхануков-Лафишев М. Х., Кулиев Р. С. Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с нелокальными условиями типа Стеклова //Неклассические уравнения математической физики: труды семинара, посвященного 60-летию профессора В. Н. Врагова. Новосибирск: Изд-во ИМ, 2005. С. 152-159.
К решению уравнения теплопроводности в вырождающейся двумерной области
М. Т. Космакова1, Ж. М. Тулеутаева1,2
1Карагандинский государственный университет им. акад. Е. А. Букетова 2Карагандинский государственный технический университет Email: svetlanamir578@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10024
Рассмотрены две вспомогательные начально-краевые задачи, которые впоследствии будут использованы для решения краевой задачи теплопроводности с осевой симметрией в вырождающейся области. Одна из задач с однородными граничными условиями поставлена для построения фундаментального
