CC BY
8Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений 15
Робастные апостериорные оценки погрешности для приближенных решений сингулярно возмущенных уравнений реакции-диффузии с имеющим большие скачки коэффициентом реакции
В. Г. Корнеев
Санкт-Петербургский государственный университет Email: vad.korneev2011@yandex.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10022
В качестве модельной рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии, с постоянным на каждой подобласти (конечном элементе) разбиения области неотрицательном коэффициентом реакции. Как правило ранее в этом случае удавалось получить только апостериорные оценки погрешности приближенных решений, существенно зависящие от величин скачков коэффициента реакции. Часто изначально предполагалось достаточно медленное изменение этого коэффициента по области и ставились соответствующие ограничения на его скачки между конечными элементами. В данном докладе выводятся гарантированные, робастные, вычисляемые апостериорные оценки погрешности в предположении, что коэффициент реакции может хаотически изменяться между конечными элементами в широких пределах. Для методов конечных элементов на квазиоднородных сетках допускаются скачки и значения этого коэффициента обратно пропорциональные квадрату характерного шага сетки. Коэффициенты перед типичными нормами в правых частях наших оценок лишь незначительно хуже полученных ранее в случае постоянных коэффициентов реакции [1-3], они могут быть вычислены без предварительного использования процедур уравновешивания тестовых вектор-функций потоков и являются точными по порядку, например, для схем с линейными симплици-альными конечными элементами. Более того, при постоянных коэффициентов реакции они превращаются в точные согласованные оценки, полученные в [1,2,4] для этого случая.
Техника вывода сходна с использованной в [1, 2] для получения апостериорных оценок погрешности, согласованных по порядку с неулучшаемыми априорными оценками.
Список литературы
1. Корнеев В. Г. О точности апостериорных функциональных мажорант погрешности приближенных решений эллиптических уравнений. Доклады Академии наук, Математика. 2017. Т. 475, № 6. C. 605-608.
2. Корнеев В. Г. О контроле погрешности при численном решении уравнений реакции-диффузии. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019. Т. 59, № 1, C. 3-20.
3. Komeev, V G. On a renewed approach to a posteriori error bounds for approximate solutions of reaction-diffusion equations. Proceedings of 30th Chemnitz FEM Symposium-2017. Springer, 2019. pp. 207-228.
4. Korneev, V. G. A note on a posteriori error bounds for numerical solutions of elliptic equations with piece wise constant reaction coefficient having large jumps. arXiv:submit/2987998 [math.NA] 30 Dec 2019, pp. 1-9
Конечно-разностное решение задачи планирования для выхода на заданное состояние
В. С. Корниенко1,2, В. В. Шайдуров1
1Институт вычислительного моделирования СО РАН
2Сибирский федеральный университет
Email: vika-svetlakova@yandex.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10023
В работе представлен конечно-разностный аналог дифференциальной задачи, сформулированной в терминах теории "игр среднего поля" для решения задачи о приближении к заданному состоянию. Задачи оптимизации такого типа формулируются как связанные системы параболических дифференциальных уравнений в частных производных типа Фоккера - Планка и Гамильтона - Якоби - Беллмана [1, 2]. Предложенный конечно-разностный аналог обладает основными свойствами оптимизационной дифференциальной задачи непосредственно на дискретном уровне. В итоге он может служить как приближение, сходящееся к исходной дифференциальной задаче при стремлении шагов дискретизации к нулю, так и самостоятельная оптимизационная задача с конечным набором исходных данных. Для предложенного аналога построен алгоритм монотонной минимизации функционала стоимости, проиллюстрированный на модельной экономической задаче.
