Об оптимальном управлении потоком тепла Текст научной статьи по специальности «Математика»

22 Секция 1

О численном решении многомерных дифференциально-алгебраических систем уравнений первого порядка

С. В. Свинина

Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН

Email: svinina@icc.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10032

Доклад посвящен численному решению линейных многомерных неклассических уравнений первого порядка с тождественно вырожденными матричными коэффициентами при производных искомой вектор-функции. Такие системы в современной литературе называют дифференциально-алгебраическими системами уравнений в частных производных. Они возникают при описании процессов гидродинамики, газовой динамики, теории малых колебаний жидкости и многих других. Важной характеристикой дифференциально-алгебраических уравнений является индекс. Под индексом понимается числовой параметр, указывающий на максимальный порядок производных от исходных данных поставленной задачи, входящих в структуру ее общего решения.

Представленные в докладе результаты являются продолжением работ автора [1-3], выполненных в рамках проекта СО РАН "Качественная теория и численный анализ дифференциально-алгебраических уравнений" № 0348-216-0009.

Список литературы

1. Svinina S. V Stability of Spline Collocation Difference Scheme for a Quasi-Linear Differential Algebraic System of First-Order Partial Differential Equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2018. Vol. 58, №11. pp. 1775-1791.

2. Svinina S. V., Svinin A. K. Stability of a Difference Scheme for a Quasi-Linear Partial Differential Algebraic System of Equations of Index (k, 0) // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2019. Vol. 59, №4. pp. 513528.

Optimization in scatterers cross-polarization masking problems

M. S. Soppa

Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering

Email: Soppa@ngs.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10033

Methods of computational diagnostics in location problems of electromagnetic waves diffraction theory are actively used in the construction of means for material bodies masking. In this paper, we propose a solution to cross-polarization masking of impedance scatterers taking into account the change of incident wave E-polarization by the transverse H-polarization. A transition has been made to the system of integral equations, followed by the application of the boundary element method. Dual coatings are found, characterized by the fact that the scattering diagram does not change with simultaneous change of coating and polarization of the incident wave. Approaches to optimizing and controlling the structure of the synthesized impedance in order to ensure its physical and technological feasibility are considered.

Об оптимальном управлении потоком тепла

В. П. Танана1, Б. А. Марков2

1Южно-уральский государственный университет 2Челябинское высшее военное авиационное училище штурманов Email: tvpa@susu.ac.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10034

В работе предлагается постановка задачи управления потоком тепла. Задача имеет практическую направленность и призвана заменить решение обратной граничной задачи теплопроводности композитных материалов для полупрямой. Впервые обратная граничная задача для уравнения теплопроводности была рассмотрена в [1].

Новизна подхода состоит в том, что можно отказаться от непосредственного нахождения температуры на границе раздела сред. Возможно построить шаблон, в соответствии с которым проводить

Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений

23

управление потоком тепла. Управление при этом должно быть таким, что непосредственно измеряемая на разделе сред температура не превысила бы критического значения.

Для задачи приведена оценка погрешности [2-4] приближенного решения.

Список литературы

1. Тихонов А. Н., Гласко В. Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела. 1967 ЖВМиМФ. Т. 7. № 4. С. 267-273.

2. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

3. Танана В. П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач // ДАН СССР. 1975. Т. 220. № 5. C. 1035-1037.

4. Иванов В. К., Королюк Т. И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач // ЖВМиМФ. 1969. Т. 9. № 1. С. 30-41.

Reliable a posteriori error estimation for Cosserat elasticity for 2D and 3D problems

M. E. Frolov

Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University

Email: frolov_me@spbstu.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10035

Functional approach [1-2] is implemented to construction of a posteriori error estimates for problems in Cosserat elasticity for plane and spatial domains. This rigorous mathematical approach guarantees the reliability property of error bounds. For 2D problems, recent results of mesh adaptations with MATLAB [3] are considered. A new error estimate for 3D problems is proposed.

References

1. Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations. Berlin: de Gruyter, 2008.

2. Mali O., Neittaanmaki P., Repin S. Accuracy Verification Methods. Theory and algorithms. Springer, 2014, Vol. 32.

3. Frolov M. Reliable a posteriori error control with mesh adaptations for Cosserat elasticity theory. ENUMATH 2019. [Electronic resource]. URL: https://www.enumath2019.eu/program/show_slot/83.

Разностная схема метода Шварца для сингулярно возмущенного параболического уравнения в двусвязной области

И. В. Целищева, Г. И. Шишкин

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН

Email: tsi@imm.uran.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10036

Объектом исследования является начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с возмущающим параметром s, принимающим произвольные значения из полуинтервала (0,1]. Задача Дирихле рассматривается в пространственно-временной области G = D х (0,T], где D - двусвязная область, представляющая собой прямоугольник с вырезанным кругом. При стремлении параметра s к нулю в окрестностях гладких частей боковой границы и боковых ребер возникают пограничные слои различного типа. Погранслои экспоненциально убывают с удалением от внешней и внутренней боковых границ. C использованием техники работ [1-4] строится s-равномерно сходящаяся итерационная схема метода Шварца на перекрывающихся областях, содержащих или границу параллелепипеда, или границу цилиндра. Используются сетки типа сеток Шишкина, сгущающихся в окрестности пограничных слоев, кусочно-равномерные по нормали к гладким частям границ подобластей. При построении сеток вблизи внешней и внутренней границ предлагается использовать, соответственно, прямоугольную и цилиндрическую системы координат.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00650).