CC BY
20Обратные задачи 99
Identification of a space-wise dependent right-hand side in two dimensional parabolic equation
L. D. Su, V. I. Vasil'ev
1Institute of Mathematics and Information Science, North-Eastern Federal University
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10205
In this paper numerical solution of the inverse problem of determining a spacewise dependent right-hand side in two dimensional parabolic equation is considered. Usually, the source function dependent on spatial variable is obtained from measured data of the solution at the final time point. Many mathematical modeling problems in the field of physics and engineering will encounter the inverse problems to identify the right-hand side. When studying an inverse problem of identifying the spacewise dependent source term, iterative methods are often used, we propose a new conjugate gradient method based on the adjoint problem of the original equation for numerical solution of the source function. Numerical examples illustrate the ability and accuracy of this algorithm.
This work was supported by the mega-grant of Russian Federation Government (14.Y26.31.0013) and RFBR (1701-00689) .
References
1. P. N. Vabishchevich and M. V. Klibanov. Numerical identification of the leading coefficient of a parabolic equation. // Differential Equations. 2016. 52 (7): 855-862.
2. P. N. Vabishchevich. Computational identification of the lowest space-wise dependent coefficient of a parabolic equation. // Applied Mathematical Modelling. 2019. 65: 361-376.
3. P. N. Vabishchevich and V. I. Vasil'ev. Computational algorithms for solving the coefficient inverse problem for parabolic equations. // Inverse Problems in Science and Engineering. 2016. 24 (1): 42-59.
4. T. Johansson and D. Lesnic. Determination of a spacewise dependent heat source. // Journal of computational and applied mathematics. 2007. 209: 76-80.
5. K. Cao and D. Lesnic. Reconstruction of the space-dependent perfusion coefficient from final time or time average temperature measurements. // Journal of computational and applied mathematics. 2018. 337: 150-165.
6. V. L. Kamynin. On the unique solvability of an inverse problem for parabolic equations under a final overdetermination condition. // Mathematical Notes. 2003. 73 (1): 202-211.
7. A. G. Fatullayev and S. Cula. An iterative procedure for determining an unknown spacewise dependent coefficient in a parabolic equation. // Applied mathematics letters. 2009. 22: 1033-1037.
8. A. A. Samarskii and P. N. Vabishchevich. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. De Gruyter, 2007.
О решении обратной задачи для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием
Е. В. Табаринцева
Южно-Уральский государственный университет
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10206
Рассматривается задача восстановления начального условия в смешанной краевой задаче для уравнения тепловодности с интегральным граничным условием по дополнительной информации о решении в момент времени t = T. Получена оценка условной устойчивости данной задачи на одном из классов равномерной регуляризации. Устойчивые приближенные решения задачи строятся с помощью одной из модификаций метода квазиобращения. Рассмотрен выбор параметра регуляризации по схеме М. М. Лаврентьева и по принципу невязки. Получена оценка погрешности метода на рассмотренном классе равномерной регуляризации. Полученные оценки дают возможность исследовать метод приближенного решения на оптимальность.
Работа выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление №211 от 16.03.2013 г.), соглашение № 02.A03.21.0011.
100
Секция 5
Список литературы
1. Иванов В. К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
2. Латтес Р., Лионе Ж-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.
3. Алексеева С. М., Юрчук Н.И. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 4. С. 495-502.
4. Табаринцева Е. В. Об оценке погрешности метода квазиобращения при решении задачи Коши для полулинейного дифференциального уравнения// Сибирский журнал вычислительной математики. 2005. Т. 8, № 3. С. 259-271.
О решении обратной граничной задачи теплопроводности для шара, состоящего из композитных материалов
В. П. Танана1, Б. А. Марков2
'Южно-Уральский государственный университет 2Челябинское высшее военное авиационное училище штурманов Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10207
В работе предлагается постановка обратной граничной задачи теплопроводности композитных материалов для шара. Впервые обратная граничная задача для уравнения теплопроводности была рассмотрена в [1].
Сложность решения задачи состоит в том, что не удается использовать классическое решение, так как, в силу композитности материала, производная решения терпит разрыв на границе раздела сред. Для обратной задачи приведена оценка погрешности [2-4] приближенного решения.
Список литературы
1. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела. 1967 ЖВМиМФ. Т. 7. № 4. С. 267-273.
2. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
3. Танана В.П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач // ДАН СССР. 1975. Т. 220. № 5. C. 1035-1037.
4. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач. // ЖВМиМФ. 1969. Т. 9. № 1. С. 30-41.
О решении обратной граничной задачи теплообмена для цилиндрической области
В. П. Танана, А. И. Сидикова
Южно-Уральский государственный университет
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10208
В работе исследуется и решается обратная задача об определении температуры на внутренней стенке полого цилиндра, состоящего из композитных материалов. Данная задача представляет известный интерес в связи с теорией термопар и приборов для измерения тока. В работе проведено аналитическое исследование прямой задачи, которое позволило дать строгую постановку обратной задачи и определить функциональные пространства, в которых будет решаться обратная задача. Для получения оценки погрешности решения обратной задачи использован метод проекционной регуляризации [1].
Список литературы
1. Танана В. П., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 7. С. 1323-1326.
