CC BY
13Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
23
управление потоком тепла. Управление при этом должно быть таким, что непосредственно измеряемая на разделе сред температура не превысила бы критического значения.
Для задачи приведена оценка погрешности [2-4] приближенного решения.
Список литературы
1. Тихонов А. Н., Гласко В. Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела. 1967 ЖВМиМФ. Т. 7. № 4. С. 267-273.
2. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
3. Танана В. П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач // ДАН СССР. 1975. Т. 220. № 5. C. 1035-1037.
4. Иванов В. К., Королюк Т. И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач // ЖВМиМФ. 1969. Т. 9. № 1. С. 30-41.
Reliable a posteriori error estimation for Cosserat elasticity for 2D and 3D problems
M. E. Frolov
Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University
Email: frolov_me@spbstu.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10035
Functional approach [1-2] is implemented to construction of a posteriori error estimates for problems in Cosserat elasticity for plane and spatial domains. This rigorous mathematical approach guarantees the reliability property of error bounds. For 2D problems, recent results of mesh adaptations with MATLAB [3] are considered. A new error estimate for 3D problems is proposed.
References
1. Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations. Berlin: de Gruyter, 2008.
2. Mali O., Neittaanmaki P., Repin S. Accuracy Verification Methods. Theory and algorithms. Springer, 2014, Vol. 32.
3. Frolov M. Reliable a posteriori error control with mesh adaptations for Cosserat elasticity theory. ENUMATH 2019. [Electronic resource]. URL: https://www.enumath2019.eu/program/show_slot/83.
Разностная схема метода Шварца для сингулярно возмущенного параболического уравнения в двусвязной области
И. В. Целищева, Г. И. Шишкин
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН
Email: tsi@imm.uran.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10036
Объектом исследования является начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с возмущающим параметром s, принимающим произвольные значения из полуинтервала (0,1]. Задача Дирихле рассматривается в пространственно-временной области G = D х (0,T], где D - двусвязная область, представляющая собой прямоугольник с вырезанным кругом. При стремлении параметра s к нулю в окрестностях гладких частей боковой границы и боковых ребер возникают пограничные слои различного типа. Погранслои экспоненциально убывают с удалением от внешней и внутренней боковых границ. C использованием техники работ [1-4] строится s-равномерно сходящаяся итерационная схема метода Шварца на перекрывающихся областях, содержащих или границу параллелепипеда, или границу цилиндра. Используются сетки типа сеток Шишкина, сгущающихся в окрестности пограничных слоев, кусочно-равномерные по нормали к гладким частям границ подобластей. При построении сеток вблизи внешней и внутренней границ предлагается использовать, соответственно, прямоугольную и цилиндрическую системы координат.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00650).
24
Секция l
Список литературы
1. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.
2. Shishkin G. I., Shishkina L. P. Difference Methods for Singular Perturbation Problems. Chapman & Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, V. 140. Boca Raton: CRC Press, 2009.
3. Шишкин Г. И., Целищева И. В. Параллельные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач для эллиптических уравнений // Математическое моделирование. 1996. Т. 8, № 3. С. 111-127.
4. Целищева И. В., Шишкин Г. И. Разработка надежного численного метода решения краевой задачи Дирихле для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения реакции-диффузии в двусвязной области // Труды Международной конференции "Марчуковские научные чтения - 2017" [Электрон. ресурс]. Новосибирск: Ин-т вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 2017. С. 961-967.
Повышение точности разностных решений уравнения конвекции-диффузии методом экстраполяции Ричардсона
В. В. Шайдуров1,2, Л. В. Гилева1,2
1Институт вычислительного моделирования СО РАН 2Сибирский федеральный университет Email: shaidurov04@mail.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10037
Экстраполяция Ричардсона - это прием, который позволяет достичь более высокую точность численного решения путем комбинации решений стандартных разностных схем с более низкой точностью [1, 2]. В докладе мы рассмотрим экстраполяцию Ричардсона на пространственно-временшй сетке для уравнения конвекции-диффузии. В ранее применяемых монотонных разностных схемах использовалось переключение шаблона при изменении направления конвекции для обеспечения устойчивости. Это вызывало скачок в погрешности аппроксимации, что мешало применению экстраполяции Ричардсона. Нами построены монотонные разностные схемы без скачка в погрешности аппроксимации, обладающие первым порядком точности по времени и вторым порядком точности по пространству. При наличии достаточной гладкости данных задачи и искомого решения обосновано повышение точности комбинации численных решений этих разностных схем на несколько порядков. Увеличение порядка точности иллюстрируется численными экспериментами.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00090).
Список литературы
1. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.
2. Marchuk G. I., Shaidurov V. V Difference methods and their extrapolations. Springer: New York, 1983.
Полулагранжева аппроксимация и метод конечных элементов для решения уравнений Навье -Стокса вязкого теплопроводного газа
В. В. Шайдуров, М. В. Якубович
Институт вычислительного моделирования СО РАН Email: yakubovich@icm.krasn.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10038
В работе предлагается алгоритм численного решения уравнений Навье - Стокса вязкого теплопроводного газа, записанных для выполнения законов сохранения массы и полной энергии. Для аппроксимации конвективной части уравнений используется полулагранжев подход. Дискретизация по пространству остальных слагаемых уравнений на каждом слое по времени осуществляется методом конечных элементов с кусочно-билинейными базисными функциями и применением простых квадратурных формул [1]. Построенная разностная схема имеет первый порядок точности по времени и пространству. Численный эксперимент подтверждает устойчивость схемы и первый порядок сходимости численного решения [2].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00090).
