CC BY
1524
Секция l
Список литературы
1. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.
2. Shishkin G. I., Shishkina L. P. Difference Methods for Singular Perturbation Problems. Chapman & Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, V. 140. Boca Raton: CRC Press, 2009.
3. Шишкин Г. И., Целищева И. В. Параллельные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач для эллиптических уравнений // Математическое моделирование. 1996. Т. 8, № 3. С. 111-127.
4. Целищева И. В., Шишкин Г. И. Разработка надежного численного метода решения краевой задачи Дирихле для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения реакции-диффузии в двусвязной области // Труды Международной конференции "Марчуковские научные чтения - 2017" [Электрон. ресурс]. Новосибирск: Ин-т вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 2017. С. 961-967.
Повышение точности разностных решений уравнения конвекции-диффузии методом экстраполяции Ричардсона
В. В. Шайдуров1,2, Л. В. Гилева1,2
1Институт вычислительного моделирования СО РАН 2Сибирский федеральный университет Email: shaidurov04@mail.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10037
Экстраполяция Ричардсона - это прием, который позволяет достичь более высокую точность численного решения путем комбинации решений стандартных разностных схем с более низкой точностью [1, 2]. В докладе мы рассмотрим экстраполяцию Ричардсона на пространственно-временшй сетке для уравнения конвекции-диффузии. В ранее применяемых монотонных разностных схемах использовалось переключение шаблона при изменении направления конвекции для обеспечения устойчивости. Это вызывало скачок в погрешности аппроксимации, что мешало применению экстраполяции Ричардсона. Нами построены монотонные разностные схемы без скачка в погрешности аппроксимации, обладающие первым порядком точности по времени и вторым порядком точности по пространству. При наличии достаточной гладкости данных задачи и искомого решения обосновано повышение точности комбинации численных решений этих разностных схем на несколько порядков. Увеличение порядка точности иллюстрируется численными экспериментами.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00090).
Список литературы
1. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.
2. Marchuk G. I., Shaidurov V. V Difference methods and their extrapolations. Springer: New York, 1983.
Полулагранжева аппроксимация и метод конечных элементов для решения уравнений Навье -Стокса вязкого теплопроводного газа
В. В. Шайдуров, М. В. Якубович
Институт вычислительного моделирования СО РАН Email: yakubovich@icm.krasn.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10038
В работе предлагается алгоритм численного решения уравнений Навье - Стокса вязкого теплопроводного газа, записанных для выполнения законов сохранения массы и полной энергии. Для аппроксимации конвективной части уравнений используется полулагранжев подход. Дискретизация по пространству остальных слагаемых уравнений на каждом слое по времени осуществляется методом конечных элементов с кусочно-билинейными базисными функциями и применением простых квадратурных формул [1]. Построенная разностная схема имеет первый порядок точности по времени и пространству. Численный эксперимент подтверждает устойчивость схемы и первый порядок сходимости численного решения [2].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00090).
Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
25
Список литературы
1. Shaydurov V. V, Shchepanovskaya G. I., Yakubovich M. V. Semi-Lagrangian Approximation of Conservation Laws in the Flow around a Wedge // Lobachevskii J. of Mathematics. 2018. V. 39. P. 936-948.
2. Shaydurov V. V., Yakubovich M. V. Semi-lagrangian approximation of conservation laws of gas flow in a channel with backward step // Smart Modeling for Engineering Systems. GCM50 2018. Smart Innovation, Systems and Technologies. 2019. V 133. P. 246-265.
Разностная схема улучшенного порядка точности для сингулярно возмущенной начально-краевой задачи конвекции-диффузии
Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН
Email: shishkin@imm.uran.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10039
Рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии с достаточно гладкими данными; старшая пространственная производная в уравнении умножена на возмущающий параметр e, e из (0, 1]. Когда параметр e стремится к нулю, в решении такой задачи, как правило, появляется пограничный слой, что создает трудности при использовании классических методов дискретизации. Применение специальной разностной схемы с использованием "сетки Шишкина", сгущающейся в окрестности пограничного слоя, позволяет найти решение, сходящееся в равномерной норме независимо от значений параметра e, т. е. e-равномерно, с порядком скорости сходимости не выше первого. Метод дефект-коррекции (коррекции невязки) позволяет строить разностные схемы с улучшенным порядком скорости сходимости: по пространственной переменной до второго с точностью до логарифмического сомножителя и по временной переменной до второго и третьего [1].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00650).
Список литературы
i. Shishkin G. I., Shishkina L. P. Difference Methods for Singular Perturbation Problems. Chapman & Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, V. 140. Boca Raton: CRC Press, 2009.
Численное исследование разностных схем улучшенного порядка точности для сингулярно возмущенных начально-краевых задач
Л. П. Шишкина, Г. И. Шишкин
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН
Email: Lida@convex.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10040
Рассматриваются результаты численных экспериментов для модельной начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии с достаточно гладкими данными; старшая пространственная производная в уравнении умножена на возмущающий параметр e, e из (0, 1]. При малых значениях параметра e, в решении такой задачи появляется пограничный слой, что создает трудности при использовании стандартных численных методов. Показано, что применение специальной разностной схемы с использованием "сетки Шишкина", сгущающейся в окрестности пограничного слоя, позволяет найти решение, сходящееся в равномерной норме независимо от значений параметра e, то есть e-равномерно, с порядком скорости сходимости не выше первого. Также показано, что разностные схемы, построенные на основе метода дефект-коррекции, позволяют получить сеточное решение с улучшенным порядком скорости сходимости: по пространственной переменной до второго с точностью до логарифмического сомножителя и по временной переменной до второго и третьего. Результаты численных экспериментов согласуются с теоретическими результатами [1].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00650).
Список литературы
i. Shishkin G. I., Shishkina L. P. Difference Methods for Singular Perturbation Problems. Chapman & Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, V. 140. Boca Raton: CRC Press, 2009.
