Двухсеточный метод для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с двумя параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДВУХСЕТОЧНЫЙ МЕТОД ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ

С, В, Тиховская

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 630090, Новосибирск

УДК 519.624.2

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10080

Рассмотрена краевая задача для нелинейного сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами. Для линеаризации используются итерации Ньютона и Пикара. Для решения задачи на каждой итерации применяется разностная схема второго порядка на сетке Шишкина, которая сходится равномерно по обоим малым параметрам. Для уменьшения требуемого количества арифметических операций для решения разностной схемы предлагается каскадный двухсеточный метод. Для повышения точности разностной схемы, применяется экстраполяция Ричардсона. Получена оценка первой производной решения дифференциальной задачи в случае различных малых параметров. Обсуждаются результаты некоторых численных экспериментов.

Ключевые слова: сингулярно возмущенная задача, два малых параметра, сетка Шишкина, двухсеточный метод.

Введение

Известно, что применение классических разностных схем для сингулярно возмущенных задач приводит к большим погрешностям при малых значениях параметров возмущения. Равномерная сходимость разностной схемы для таких задач может быть достигнута подгонкой схемы к погранслойной составляющей [1,2] или сгущением сетки в пограничных слоях [3,4]. Рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами, влияющих на конвекционный и диффузионный члены, на кусочно-равномерной сетке. Разностные схемы высокого порядка точности для сингулярно возмущенных краевых задач очень важны, например [5-8].

Двухсеточный метод исследован в [8—14] и других работах, в том числе для решения нелинейных сингулярно возмущенных краевых задач в [8—12]. Для повышения е-равномерной точности разностной схемы на сетке Шишкина в двухсеточном методе практически без дополнительных вычислений применяется экстраполяция Ричардсона [6,15,16].

В [17] построена монотонная разностная схема второго порядка точности для линейного сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами, влияющими на конвекционный и диффузионный члены. Показано, что эта схема на сетке Шишкина сходится равномерно по обоим малым параметрам.

В [18] рассмотрено нелинейное сингулярно возмущенное обыкновенное дифференциальное уравнения второго порядка с малыми параметрами при второй производной е2 и первой производной е.

В [19] предложен двухсеточный метода с эксраполяцией Ричардсона для нелинейного сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами, основанного на разностной схеме второго порядка точности на сетке Шишкина.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-31-00487).

!ЯВ.\ 978-5-901548-42-4

Обозначения: Пусть ||/1| = тах |/(ж) | - норма непрерывной функции, а ||/№ = тах |/г№ норма для

хеп

сеточной функции. Пусть [и]п - проекция функции и(х) на тетку П. Здесь С, иногда с индексом, обозначает положительную константу, которая не зависит от малых параметров е, ц и размера шага сетки.

1 Постановка задачи

Рассмотрим краевую задачу:

Ьи(х) = ей"(х) + (ла(х)и'(х) = /(х, и(х)), х € П = (0,1), и(0) = А, и(1) = В,

(1)

где функции а и $ достаточно гладкие и

0 <£ < 1, 0 < р < 1, а(х) > а > 0, Ц(х,и) > ¡3 > 0, (х,и) € П х К. (2)

Решение и(х) в общем случае имеет два пограничных слоя вблизи х = 0 и х = 1. Если условия (2) выполнены, то решение задачи (1) равномерно ограничено по е и ц:

н < Со = Г1!!(X, 0)|| + тах{Ц|, |В|}.

Предположим, что в дополнение к (2) выполнены следующие условия:

Р* > &(х,и) > Р> 0, (х,и) € П х К, 7 = тт {¡^(х,и)/а(х)} . (3)

хеп

Запишем задачу (1) в следующем виде:

Ьи(х) = ей''(х) + (ла(х)и'(х) — Ь(х)и(х) = /(х, 0), х € П = (0, 1), и(0) = А, и(1) = В,

где Ь(х) = ¡^(х,ви), 0 <в < 1.

Тогда верна следующая теорема.

Теорема 1. Пусть и(х) - решение задачи (1) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью. Тогда для некоторой константы С1, не зависящей от е и /л, выполнено:

|м'(х) | < С1 (1 + (р/е + 1/^1) (е-1 ох/е + е-11(1-х)/£)) , 0 < ж < 1,

1 1 (4)

1о = лДё^+^/З^е + ^а)), 11 = — ца*^) .

где а* > а(х) > а > 0 !и(х,и) — Ма'(х) ^ Р* > 0 |fX(x,u)l ^ С. Доказательство. Дифференцируя (1), получим

£и''(х) + (ла(х)и' (х) — В(х)и(х) = ]'х(х,и), х € П = (0, 1), V (0) = и' (0), V (0) = и' (1),

где V(х) = и'(х), В(х) = /и(х, и) — ¡л а'(х). В соответствие с Принципом сравнения

|^(ж) | ^ ■ (х),

где

£тИ(х) + ^а(х)т'(х) — 0*т(х) = —^Х(х, и)^ х € П = (0, 1), ■ (0) = |и' (0)|, ад(0) = |и' (1)1

Рассмотрим декомпозицию на регулярную и погранслойные составляющие

■ (х) = К(х) + р(х) + ц(х),

где

ер''(х) + ра(х)р'(х) — ¡*р (х) = 0, р(0) = |и'(0)|, р(0) = 0.

х € П = (0,1),

£q"(х) + ^а(х)q'(х) — ¡*</(х) = 0, х € П = (0, 1), <7(0) =0, q(0) = |u' (1)|.

£Д''(х) + у,а(х)В/(х) — ¡*Д(х) = —|/¿(х,и)|, х € П = (0,1), w(0) = 0, Д(0) = 0.

Учитывая, что аналогично [17] выполнено

К(х)| < С1 (/ + max{||u||, /(х, 0)},

0 < х < 1,

и, выбирая подходящие барьерные функции, в соответствие с Принципом максимума, можно показать, что

bHK^f + -1) е-+ _£) е-

1ВД| < 1 уй(х, и)

где ж € О = [0,1].

Объединяя полученные оценки, получим требуемое.

В соответствие с [4,17] зададим сетку:

О^ = {жг : жг = жг-1 + ж о = 0, зд = 1, г = 1, 2,..., Ж},

□

(5)

где

h = Ц1, 1 < * < N/4, h = 2(1 ^ g2), N/4 < i < 3N/4, hi = ^, 3N/4 <г < Ж,

01 =

lnN

min<! 1, lnNl ,

4 ' - a I '

}, / < ¥

2 < 7£ a '

2 > 1L

02 =

min<! 4, ^ lnNj ,

ln n}, m2 < it , / > ^.

Рассмотрим конечно-разностную схему, использующую схемы центральных разностей, направленных разностей и средней точки на сетке Шишкина (5):

где

LN =

LN =

Ln =

LN =

Ln =

tn

Lcd, tN Lmp,

tn

Lup,

tn

Lcd, tN

mp > tN u p

tn

Lcd, tN

mp i tN

mp i

tN

^

L cd,

L.

N

m p,

LN uN = r- uN-i + rc uQQ + r+ uN+i = QN (f^, uQQ)), 0 < j < N,

Uq == A., Un —

N

если 1 < —,

4

01 = 0.25,

a1 < 0.25 and ¡3* (1 — o1 — a2)/N < / a, otherwise.

/ 11 a у (1 —o-i —a2)/N < e,

/ ||a||(1 — o1 — o2)/N > e and ¡*(1 — o1 — o2)/N < /a, / 11 a У (1 — o1 — o2)/N > £ and ¡*(1 — o1 — o2)/N > /a.

02 =0.25, and 2/||a||o2 </a, 02 = 0.25 and 2/||a||o2 ^ / a, o2 < 0.25 and 2 ¡*o2/N < / a, otherwise.

2/||a||o2/N < £, 2 / M02/N > £.

=

N

4,

N 3 N

если — <■) < ——, 4 4

3 N

(6)

3 N

если —— < i < N — 1. 4

mm < j

mm < 4

Здесь используем обозначения из [17]:

L^juq =е 52 uN a3 D0uN = f(Xj, uN1),

L.

NUN = e S2 иN + ^aj D+uN = f(xj,uN),

1 (xj,uN),

lz,vUn = e д2 и/ + ^a,j D+'

N N

где aj = a(xj), Zj = (Zj + Zj+1)/2

52uN = 1

"3

(uNN+i -UN - UN -и/Л V h j+i h j J '

UN _UN

0„,N _ Uj + 1 Uj-1

D и

h j + h j+i

uN_uN D+UN = j+1 З

h

3+1

B соответствие с [17] предполагаем, что

N (lnN)-1 > 8 max [\\a\\/a, 3*/ (а7)} .

Решение разностной схемы (6) может быть получено на основе итераций. Рассмотрим линеаризацию Пикара:

L"'Nu"+1'N = г- u"+1'N + (г* - 3*) u"+1'N + r+ u™+1N = Qn(f(xj,u"'N) - 3* и"1'1), 0 < j < N,

и

m+1'N _

0

= A,

и

" +1' N =

N =

В,

m > 0.

Аналогично рассмотрим линеаризацию Ньютона.

Г- ujff 'N + (rj - fi(xj ,u"'N)) u"+1,N + r+ u"++i1N = Qn (f(xj ,u"'N) - K(xj, u"'N )u"'N I 0 < j < N,

m+1'N 0

A, un

m+1'N

В, m > 0.

В случае, когда задача (1) линейна: /(х, и) = Ь(х)и + д(х), Ь(х) ^ @ > 0, в соответствие с [17] верна следующая теорема.

Теорема 2. Пусть и(х) - решение линейной задачи (1) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью, и пусть им - решение разностной схемы (6). Тогда на сетке Шишкина (5) для некоторой константы С выполнено:

\\ [uw -un \\n <с an

С ln3N/N2, 1£<а^2 С ln2 N/N2, -je ^а^2.

(7)

2 Двухсеточный метод с экстраполяцией Ричардсона

Для уменьшения необходимого количества арифметических действий для решения разностной схемы предложен двухсеточный метод. В соответствие с идеей двухсеточного алгоритма [9] сначала задача (1) решается на грубой сетке. Затем, найденное сеточное решение интерполируется в узлы исходной сетки и используется как начальное приближение для следующих итераций. Это приводит к сокращению числа итераций на исходной сетке, а, следовательно, и к уменьшению количества арифметических действий. Отметим, что интерполяционная формула должна быть равномерна точная по малому параметру, иначе точность найденного сеточного решения может быть потеряна.

Таким образом, пусть Пп - сетка Шишкина, соответствующая (5) и содержащая п сеточных интервалов, где п С N. Сначала задача (1) предварительно решается на сетке Пп. Итерации Пикара или Ньютона на сетке Пп выполняются пока условие

\\и"

-ип\\п < An.

не будет выполнено. Тогда сеточное решение итп ,п, найденное на сетке Пп, интерполируется в узлы исходной сетки П^ с помощью подходящей интерполяции, которая равномерно точна по е и и для некоторой константы С

Ц1пЪ ([м]п„ ,х) —и(х)Ц ^С Ап.

и

Следовательно, для некоторой константы С

11Мп„ -ит"'пЦп <сд„.

Теперь определим начальное приближение для итераций па исходной сетке и тогда для некоторой С

^ - «||N < СДп, и0= [Ш(ит"п, х)]п„.

Таким образом, используя итерации на грубой сетке и подходящую интерполяцию, построено начальное приближение и0^ для итераций та исходной сетке с точностью 0(Дп). Далее итерации выполняются на сетке П,^ пока не будет достигнута точность 0(ДN).

Для повышения точности разностной схемы в двухсеточном методе можно применить экстраполяцию Ричардсона [6,10-12,15,16]. Поэтому сетка Пп должна быть с теми же значениями параметров а1 и а2 как и сетка П^. Таким образом эти тетки вложены, так что Пп = [Х,} С ПN = {х^}. Пусть N = кп, где к -некоторое целое число. Тогда очевидно, что исходная сетка П^ ^^^^^ ^^^^^ ^^^^^на из грубой сетки Пп

к

Пусть ип - решение разностной схемы на сетке Пп. В соответствие с методом Ричардсона определим uNп на сетке П^. Сначала зададим uNп та сетке Пп как

^п (Хэ) = кпип Х) + кNuN (Хэ), Хэ е Пп,

где кп = -п2/^2 - п2) = —1/(к2 - 1), кN = ^/(№ - п2) = к2/(к2 - 1).

к2Ч* ~Ч- _

В узлах исходной сетки, не совпадающих с узлами грубой сетки, определим uNn(хi) для любого х^ е ПN, используя подходящую интерполяцию. Заметим, что интерполяционная формула должна быть равномерно точна по параметрам еи^, иначе точность найденного сеточного решения может быть потеряна [10-12,20].

Таким образом, построено сеточное решение uNn та сет ке ПN с использованием экстраполяции Ричардсона.

3 Результаты численных экспериментов

Рассмотрим следующую краевую задачу:

' + 2 ^п' = 4u - 1+ ueu + д(х), 0 <х< 1, ^0) = 0, u(1) = 1,

(х)

1+3 Р-А1/е , 3 + р-Ао/е

u(х) = 0.25 - , 1 + 3^Л е-Х° + е-Л1 (1-х)/е,

v 7 4(1 - е-(л» +л1)/^ 4(1 - е-(л°+л1)/е)

где Ао = \/ М2 + 4 £ + М, = \/ М2 + 4 е - р.

Здесь а = а* = ||а|| =2,$ = в* = 4, 7 = 2,10 = А0, к = Аь в* =4 + 2е. Тогда

^(х) = ^ 1 + 3 е-Х1/£ е-Ао х/е + А1 3 + ^Х0/£ е-Х1 (1-х)/е =

(х) £ 4(1 - е-(Ао+Л1)/^ е + £ 4(1 - е-(Ао + А1 )/еу

М ( А , (1 - е-(А0+А1)(1--)/е) А (1 )7 (1 - .-Йо+адвУ

= р е-Ао х/е \_!_ + 3 е-А1 (1-х)/е

+ 3 Р -А1 (1-х)/е V1 °_¿ +

4е Г (1 - е-(Ао + А1)/е) (1 - е-(Ао + А1)/е)

+ 1 ^ (А0 + А1)/£ Ге-Аох/е Л+3 Аф\ + е-А1 (1-х)/е Л + е-Ао/е\\ ,

8(1 - е-(Ао+А1)/е) V V ) V ))'

заметим, что ^(х) > 0, 0 ^ х ^ 1, следовательно, получаем 0 ^ н(х) ^ 1. Учитывая, что

(1 - е-(Ао+А1)(1-х)/е\ (1 — е-(Ао+А1)х/е\

< 1 +х, х > 0 -' < 1 0 < ^-< 1 0 <х < 1

1 - е-х ^ 1 ' ' (1 - е-(Ао + А1)/^^ ^ ' (1 - е-(Ао + А1)/е)

х

получаем, что

^ + 3 е--Х! (1-х)/^ +1 ^ + (е-*0X/е + ^ (1-х)/^ ^

< (е-Л0 х/е + (1-х)/^ ^ ^ + ^ ^ 2(1+^^ + (е-Л0 х/е + (1-х)/е^ ,

что соответствует полученной оценке (4).

Принимая во внимание погрешность схемы (7) останавливаем итерации на сетке П" когда выполнено следующее условие:

— ^||„ ,

где @ соответствует (2). Тогда

— им^ /З^Ц^и™'" — ||№ < А".

В табл. 1 в верхней строке приведено число итераций двухсеточного метода в случае линеаризации Пикара (слева) и линеаризации Ньютона (справа) при ^ = 2-5 на сетке П" в случае п = N/2 для различных значений N и е. Число итераций на сетке Пп дано в скобках. Число итераций односеточного метода в зависимости от N дано в нижней строке таблицы.

Таблица 1: Число итераций односеточного и двухсеточного методов при ^ = 2 5 в случае линеаризации Пикара (слева) и линеаризации Ньютона (справа).

£ N £ N

64 256 1024 8192 64 256 1024 8192

1 1(4) 1(5) 1(6) 1(8) 1 1(2) 1(3) 1(3) 1(3)

4 5 7 8 3 3 3 3

2—4 2(4) 1(6) 2(7) 1(10) 2—4 1(3) 1(3) 1(3) 1(4)

5 7 8 10 3 3 3 4

2—9 4(4) 3(6) 3(8) 3(10) 2—9 2(3) 1(3) 1(3) 1(4)

5 7 9 11 3 3 3 4

2-14 3(3) 4(6) 5(8) 5(10) 2-14 2(2) 2(3) 1(3) 1(4)

5 7 9 11 3 3 4 4

Таким образом, основная часть итераций в двухсеточном методе выполняется на грубой сетке. Это приводит к существенному уменьшению числа арифметических действий.

В табл. 2 приведена норма погрешности для односеточного метода (слева) и двухсеточного метода с экстраполяцией Ричардсона (справа) в случае п = N/2 для различных значений при ^ = 1.

Таблица 2: Норма погрешности для односеточного (слева) и для двухсеточного (справа) методов при ^ = 1

N £ N

64 256 1024 8192 64 256 1024 8192

2-4 2.59е-3 1.64е-4 1.01е-5 1.58е-7

2-7 1.31е-2 1.30е-3 1.26е-4 3.31е-6

2-9 1.32е-2 1.31е-3 1.26е-4 3.33е-6

2-14 1.32е-2 1.31е-3 1.26е-4 3.34е-6

2-4 3.71е-4 2.01е-6 3.57е-7 6.89е-9

2-7 5.08е-3 6.92е-5 5.63е-7 2.64е-9

2-9 5.16е-3 7.25е-5 5.68е-7 2.10е-9

2—14 5.19е—3 7.23е—5 5.99е—7 1.44е—9

В табл. 3 приведена норма погрешности для односеточного метода (слева) и двухсеточного метода с экстраполяцией Ричардсона (справа) в случае п = N/2 для различных значений при ^ = 2-5.

Из табл. 2-3 следует, что применение экстраполяции Ричардсона в двухсеточном методе повышает точность разностной схемы до порядка 0(1п3 N/N3) равномерно по обоим малым параметрам.

Список литературы

[1] Ильин А. М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Математические заметки. 1969. Т. 6, № 2. С. 237-248.

Таблица 3: Норма погрешности для односеточного (слева) и для двухсеточного (справа) методов при ^ = 2

N £ N

64 256 1024 8192 64 256 1024 8192

2-4 1.85е-4 1.01е-5 3.62е-7 3.37е-9 2-4 9.30е-5 2.04е-6 3.11е-7 2.57е-9

2-7 1.20е-3 7.38е-5 4.14е-6 7.24е-8 2-7 1.30е-4 2.44е-6 2.23е-8 2.55е-9

2-9 4.12е-3 2.66е-4 1.66е-5 2.62е-7 2-9 6.75е-4 2.47е-6 2.63е-7 1.56е-9

2—14 1.62е-2 2.03е-3 1.04е-4 2.18е-6 2-14 5.43е-3 7.22е-4 4.08е-4 7.15е-9

5

£

[2] Емельянов К. В. Разностная схема для трехмерного эллиптического уравнения с малым параметром при старшей производной // Краевые задачи для уравнений математической физики. Екатеринбург: УрО РАН, 1973. С. 30-42.

[3] Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9, № 4. С. 841-859.

[4] Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

[5] Roos H.-G., Stynes М., Tobiska L. Robust Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations. Volume 24 of Springer series in Computational Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2008.

[6] Shishkin G. I., Shishkina L. P. Difference Methods for Singular Perturbation Problems. Volume 140 of Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2009.

[7] Kopteva N., Linss T. Uniform second-order pointwise convergence of a central difference approximation for a quasilinear convection-diffusion problem // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2001. V. 137, № 2. P. 257-267.

[8] Angelova I. Т., Vulkov L. G. Comparison of the Two-grid Method on Different Meshes for Singularly Perturbed Semilinear Problems. // AIP Conference Proceedings. 2008. V. 1067. P. 305-312.

[9] Vulkov L. G., Zadorin A. I. Two-grid algorithms for an ordinary second order equation with exponential boundary layer in the solution // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. 2010. V. 7, № 3. P. 580-592.

[10] Задорин A. II.. Тиховская С. В. Решение нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка на основе схемы Самарского // Сиб. журн. вычисл. матем. 2013. Т. 16, № 1. С. 11-25.

[11] Задорин А. И., Тиховская С. В. Двухсеточный метод для нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи на сетке Шишкина // Сиб. журн. индустр. матем. 2013. Т. 16, № 1(53). С. 42-55.

[12] Tikhovskaya S. V., Zadorin A. I. A two-grid method with Richardson extrapolation for a semilinear convection-diffusion problem // AIP Conference Proceedings. 2015. V. 1684. P. 090007-1-090007-8.

[13] Axelsson O., Layton W. A two-level discretization of nonlinear boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal. 1996. V. 33. P. 2359-2374.

[14] Xu J. A novel two-grid method for semilinear elliptic equation // SIAM J. Sci. Comput. 1994. V. 15. P. 231237.

[15] Natividad M. C., Stynes M. Richardson extrapolation for a convection-diffusion problem using a Shishkin mesh // Applied Numerical Mathematics. 2003. V. 45, № 2-3. P. 315-329.

[16] Шишкин Г. И., Шишкина Л. П. Метод Ричардсона высокого порядка точности для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения реакции-диффузии // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 7. С. 980-989.

[17] Gratia J. L., O'Riordan E., Pickett M. L. A parameter robust second order numerical method for a singularly-perturbed two-parameter problem // Applied Numerical Mathematics. 2006. V. 56, № 7. P. 962-980.

[18] Qakir М., Amiraliev G. М. Numerical solution of a singularly perturbed three-point boundary value problem // International Journal of Computer Mathematics. 2007. V. 84, № 10. P. 1465—1481.

[19] Tikhovskaya S. V., Korbut M. F. Two-grid algorithm for the solution of singularly perturbed two-parameter problem on Shishkin mesh // Journal of Physics: Conference Series. 2019. V. 1210. P. 012142-1-012142-8.

[20] Задорин A. II. Метод интерполяции на сгущающейся сетке для функции с погранслойной составляющей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 9. С. 1673-1684.

Тиховская Светлана Валерьевна — к.ф.-м.н., ст. науч.сотр. Института

математики им. С. Л. Соболева СО РАН;

e-mail: s.tihovskaya@yandex.ru Дата поступления — 31 мая 2019 г.