К решению уравнения теплопроводности с дробной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

16

Секция 1

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00090).

Список литературы

1. Achdou Y., Camilli F., Capuzzo-Dolcetta, I. Mean field games: numerical methods for the planning problem // SIAM J. Control Optim. 2012. V. 50(1). P. 77-109.

2. Porretta A.. On the planning problem for the mean field games system. Dyn. Games Appl. 2014. V. 4(2). P. 231-256.

К решению уравнения теплопроводности с дробной нагрузкой

М. Т. Космакова1, Л. Ж. Касымова1,2

1 Карагандинский государственный университет им. акад. Е. А. Букетова 2Карагандинский государственный технический университет Email: svetlanamir578@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10025

Исследуются проблемы разрешимости неоднородной краевой задачи в первом квадранте для дробно-нагруженного уравнения теплопроводности. Нагруженное слагаемое представлено в форме дробной производной Капуто по временной переменной, порядок производной в нагруженном слагаемом меньше порядка дифференциальной части, и точка нагрузки является движущейся.

Обращением дифференциальной части задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, ядро которого содержит функцию параболического цилиндра. Произведена оценка ядра полученного интегрального уравнения и показано, что ядро уравнения имеет слабую особенность (при определенных ограничениях на нагрузку), что является основанием для утверждения, что нагруженное слагаемое в уравнении является слабым возмущением его дифференциальной части.

Кроме того, исследованы предельные случаи порядка дробной производной. Доказано, что по порядку дробной производной имеет место непрерывность справа. Непрерывность слева нарушается.

Результаты работы согласуются с результатами исследования, приведенными в монографии [1]: в случае, если порядок производной в нагруженном слагаемом равен или выше порядка дифференциальной части уравнения (такие уравнения в [1] названы "существенно" нагруженными), нагруженное слагаемое в уравнении не является слабым возмущением его дифференциальной части. В работе было получен похожий результат.

В работах [2, 3] исследованы нагруженные дифференциальные уравнения, которые содержат дробные производные от следов искомой функции по временной переменной, но порядок производной в нагруженном слагаемом строго меньше соответствующего порядка дифференциальной части уравнения и точка нагрузки фиксирована, т. е. неподвижна.

Список литературы

1. Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И. Нагруженные уравнения - как возмущения дифференциальных уравнений. Алматы: ГЫЛЫМ, 2010. 334с.

2. Геккиева С. Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени: автореф. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Нальчик: НИИ ПМА Каб.-Балк. научн. Центра РАН, 2003. 14 с.

3. Керефов А. А., Шхануков-Лафишев М. Х., Кулиев Р. С. Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с нелокальными условиями типа Стеклова //Неклассические уравнения математической физики: труды семинара, посвященного 60-летию профессора В. Н. Врагова. Новосибирск: Изд-во ИМ, 2005. С. 152-159.

К решению уравнения теплопроводности в вырождающейся двумерной области

М. Т. Космакова1, Ж. М. Тулеутаева1,2

1Карагандинский государственный университет им. акад. Е. А. Букетова 2Карагандинский государственный технический университет Email: svetlanamir578@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10024

Рассмотрены две вспомогательные начально-краевые задачи, которые впоследствии будут использованы для решения краевой задачи теплопроводности с осевой симметрией в вырождающейся области. Одна из задач с однородными граничными условиями поставлена для построения фундаментального