CC BY
2416
Секция 1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00090).
Список литературы
1. Achdou Y., Camilli F., Capuzzo-Dolcetta, I. Mean field games: numerical methods for the planning problem // SIAM J. Control Optim. 2012. V. 50(1). P. 77-109.
2. Porretta A.. On the planning problem for the mean field games system. Dyn. Games Appl. 2014. V. 4(2). P. 231-256.
К решению уравнения теплопроводности с дробной нагрузкой
М. Т. Космакова1, Л. Ж. Касымова1,2
1 Карагандинский государственный университет им. акад. Е. А. Букетова 2Карагандинский государственный технический университет Email: svetlanamir578@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10025
Исследуются проблемы разрешимости неоднородной краевой задачи в первом квадранте для дробно-нагруженного уравнения теплопроводности. Нагруженное слагаемое представлено в форме дробной производной Капуто по временной переменной, порядок производной в нагруженном слагаемом меньше порядка дифференциальной части, и точка нагрузки является движущейся.
Обращением дифференциальной части задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, ядро которого содержит функцию параболического цилиндра. Произведена оценка ядра полученного интегрального уравнения и показано, что ядро уравнения имеет слабую особенность (при определенных ограничениях на нагрузку), что является основанием для утверждения, что нагруженное слагаемое в уравнении является слабым возмущением его дифференциальной части.
Кроме того, исследованы предельные случаи порядка дробной производной. Доказано, что по порядку дробной производной имеет место непрерывность справа. Непрерывность слева нарушается.
Результаты работы согласуются с результатами исследования, приведенными в монографии [1]: в случае, если порядок производной в нагруженном слагаемом равен или выше порядка дифференциальной части уравнения (такие уравнения в [1] названы "существенно" нагруженными), нагруженное слагаемое в уравнении не является слабым возмущением его дифференциальной части. В работе было получен похожий результат.
В работах [2, 3] исследованы нагруженные дифференциальные уравнения, которые содержат дробные производные от следов искомой функции по временной переменной, но порядок производной в нагруженном слагаемом строго меньше соответствующего порядка дифференциальной части уравнения и точка нагрузки фиксирована, т. е. неподвижна.
Список литературы
1. Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И. Нагруженные уравнения - как возмущения дифференциальных уравнений. Алматы: ГЫЛЫМ, 2010. 334с.
2. Геккиева С. Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени: автореф. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Нальчик: НИИ ПМА Каб.-Балк. научн. Центра РАН, 2003. 14 с.
3. Керефов А. А., Шхануков-Лафишев М. Х., Кулиев Р. С. Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с нелокальными условиями типа Стеклова //Неклассические уравнения математической физики: труды семинара, посвященного 60-летию профессора В. Н. Врагова. Новосибирск: Изд-во ИМ, 2005. С. 152-159.
К решению уравнения теплопроводности в вырождающейся двумерной области
М. Т. Космакова1, Ж. М. Тулеутаева1,2
1Карагандинский государственный университет им. акад. Е. А. Букетова 2Карагандинский государственный технический университет Email: svetlanamir578@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10024
Рассмотрены две вспомогательные начально-краевые задачи, которые впоследствии будут использованы для решения краевой задачи теплопроводности с осевой симметрией в вырождающейся области. Одна из задач с однородными граничными условиями поставлена для построения фундаментального
Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
17
решения, которое используется для определения тепловых потенциалов в представлении решения поставленной задачи. Начальное условие содержит функцию Дирака. Решение задач найдено в явном виде с помощью интегрального преобразования Лапласа. Также рассматривается краевая задача при отсутствии осевой симметрии. Показано, что эта задача разбивается на два семейства краевых задач, аналогичных рассмотренным выше. Приводится постановка краевой задачи теплопроводности с осевой симметрией в вырождающейся области. Ее фундаментальное решение, построенное ранее, выписывается в явном виде.
В работах [1]-[4] исследовались краевые задачи теплопроводности в вырождающихся областях в одномерном случае. В этой работе, предполагая, что выполняется свойство изотропности по угловой координате (осевая симметрия), мы исследуем задачу для уравнения теплопроводности в полярных координатах, к которой сводится поставленная двумерная задача по пространственным переменным.
Список литературы
1. Amangaliyeva, M. M., Jenaliyev, M. T., Kosmakova, M. T., Ramazanov, M. I. On one homogeneous problem for the heat equation in an infinite angular domain. Siberian Mathematical Journal. - 2015, 56, No. 6, 982-995. [doi: 10.1134/ s0037446615060038].
2. Amangaliyeva, M. M., Jenaliyev, M. T., Kosmakova, M. T., Ramazanov, M. I., Uniqueness and non-uniqueness of solutions of the boundary value problems of the heat equation. AIP Conference Proceedings. - 2015, 1676, 020028; [doi: 10.1063/1.4930454].
3. Amangaliyeva, M. M., Jenaliyev, M. T., Kosmakova, M. T., Ramazanov, M. I. About Dirichlet boundary value problem for the heat equation in the infinite angular domain. Boundary Value Problems. 2014, 213, 1-21. DOI: 10.1186/ s13661-014-0213-4.
4. Kosmakova, M. T. On an integral equation of the Dirichlet problem for the heat equation in the degenerating domain. Bulletin of the Karaganda University-Mathematics. - 2016, 1(81), 62-67.
Априорные оценки для локально одномерных сеточных аппроксимаций квазилинейных параболических уравнений с дробными производными по времени
А. В. Лапин
Институт вычислительной математики и информационных технологий Казанского федерального
университета
Email: avlapine@mail.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10341
Рассмотрены начально-краевые задачи для двумерного субдиффузионного уравнения с квазилинейным монотонным эллиптическим оператором и дробной производной по времени в различных определениях (производные Капуто, Капуто - Фабрицио, Грюнвальда - Летникова). Эллиптический оператор представим в виде суммы локально одномерных операторов. Сформулированные задачи аппроксимированы локально одномерными сеточными схемами [1-5]. Для построенных схем доказаны априорные оценки в сеточных нормах L2 и C. Они использованы для вывода оценок точности в предположении достаточной гладкости решений и входных данных задач. Теоретические выводы подтверждены результатами вычислительных экспериментов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 19-01-00431).
Список литературы
1. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967.
2. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.
3. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. Вып.2. Нестационарные задачи. М.: Изд-во МГУ, 1972.
4. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988
5. Гордезиани Д.Г., Меладзе Г.В. О моделировании третьей краевой задачи для многомерных параболических уравнений в произвольной области одномерными уравнениями // ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14. С. 246-250.
