CC BY
17
КОМПЬЮТЕРНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОДГРУПП И НОРМАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ НЕАБЕЛЕВЫХ ГРУПП ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 201
I А. А. Александров, А. И. Нижников, И. А. Шилин
Аннотация. С помощью созданной компьютерной программы, вычисляющей все подгруппы и нормальные делители произвольной конечной группы, получены соответствующие результаты для неабелевых групп порядка не выше 20.
Ключевые слова: подгруппа, нормальный делитель, программирование, Турбо Паскаль.
Summary. The authors have created a computer program deriving all subgroups and normal divisors of arbitrary finite group and, with the help of this program, have obtained the corresponding results for all non-Abelian groups of order not greater than 20.
Keywords: subgroup, normal divisor, programming, Turbo Pascal.
214
1. Введение
Одной из главных составляющих модернизации высшего образования является применение современной вычислительной техники и современного программного обеспечения в учебном процессе. В частности, при изучении математических и технических дисциплин сегодня успешно применяются программы символьных вычислений, такие как Mathematica, MathCAD, Maple, Derive и др. К сожалению, богатые вычислительные и моделирующие возможности этих пакетов, предоставляемая ими возможность визуализации результатов приводят к тому, что для пользователя пакетами остаются скрытыми важнейшие этапы вычислений, что, в свою очередь, способствует снижению общей аналитической культуры современного студента.
Представляется правильным мнение многих преподавателей математики высшей школы, что применение указанных выше пакетов в образовательном процессе должно сочетаться с высоким уровнем задач, при решении которых используются пакеты. Основной целью их использования мыслится облегчение рутинной вычислительной работы, что позволяет повысить сложность задач.
Основная сфера применения вычислительных пакетов относится к области задач математического анализа, линейной алгебры, математической физики, математического программирования, теории дифференциальных уравнений. Напротив, для решения многих задач более абстрактных общей алгебры [1],
1 Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
топологии, функционального анализа эти пакеты не предназначены. Поэтому чтобы использовать компьютер для решения этих задач, студенту необходимо собственными силами составить компьютерную программу. Для этого требуется, с одной стороны, глубокое понимание поставленной математической задачи, а с другой стороны, умение программировать. В связи с этим появляется уникальная возможность установить более тесные междисциплинарные связи между математическими дисциплинами и дисциплинами, связанными с программированием.
В статье [2] мы привели пример компьютерного построения групп автоморфизмов конечных групп и выделения подгрупп внутренних автоморфизмов, в статье [3] рассказали о построении групп Нот(С, Н) для любой пары произвольной группы и абелевой группы Я, порядок которых не выше 10. В настоящей статье мы рассказываем о применении программирования на языке Турбо Паскаль к вычислению подгрупп и нормальных делителей конечных неа-белевых групп.
2. Программа на Турбо Паскале
Каждую конечную группу можно описать с помощью таблицы Кэли. Присвоив каждому элементу группы порядковый номер, таблицу Кэли можно выразить в виде массива. Например, диэдральная группа
определяется таблицей Кэли
e t t2 s st st2
е e t t2 s st st2
t t t2 e st2 s st
t2 t2 e t st st2 s
st st2 e t. t2
st st st2 s C-K 10 e t
st2 st2 st t f2 e
215
и, следовательно, массивом g: array [1..6,1..6] of integer = ((1,2,3,4,5,6), (2,3,1,6,4,5), (3,1,2,5,6,4),
(4,5,6,1,2,3), (5,6,4,3,1,2), (6,4,5,2,3,1))
в программе, составленной на языке Турбо Паскаль. Все подмножества группы D6 можно как характеристические функции D6 —> {ОД} перечислять в программе с помощью циклов, сопоставляя каждой характеристической функции X одномерный массив ss: array [1..6] of integer, в котором ss[i] равно значению функции X от соответствующего элемента группы D Подмножество группы является подгруппой в том и только том случае, если для любых его элементов a и b элемент ab тоже входит в это подмножество. Поэтому если в результате проверки
216
psg:=1; for s:=1 to 6 do for t:=1 to 6 do
if ss[s]=1 then if ss[t]=1 then if ss[gg[s,inv[t]]]=0 then psg:=0;
счетчик psg станет равным нулю, то подмножество ss не является подгруппой.
Для того чтобы подгруппа была нормальным делителем необходимо и достаточно, чтобы она включала в себя свой образ при любом внутреннем автоморфизме. Таким образом, если по окончании проверки if psg=1 then begin
pnsg:=1; for s:=2 to 6 do for t:=2 to 6 do
if ss[t]=1 then if ss[gg[gg[inv[s],t],s]]=0 then pnsg:=0 end
счетчик pnsg станет равным нулю, то подгруппа ss не является нормальным делителем.
Пусть нейтральному элементу группы всегда присваивается порядковый номер 1. Чтобы сократить вычисления, будем рассматривать только такие массивы ss, в которых ss[1]:=1, поскольку нейтральный элемент принадлежит любой подгруппе. Другим необходимым условием, сокращающим вычисления, является теорема Лагранжа; оно проверяется следующим образом: lagr:=1;
for i:=2 to 6 do lagr:=lagr+ss[i]; la:=6 mod lagr; if la=0 then ....
В итоге все подгруппы и нормальные делители группы D б могут быть вычислены с помощью следующей программы: var a,b,c,d,e,s,t,z,csg,lagr,la,psg,pnsg: integer; ss: array[1..6] of integer; const
gg: array[1..6,1..6] of integer =
((1,2,3,4,5,6), (2,3,1,6,4,5),
(3,1,2,5,6,4), (4,5,6,1,2,3),
(5,6,4,3,1,2), (6,4,5,2,3,1));
inv: array[1..6] of integer =
(1,3,2,4,5,6);
BEGIN
csg:=0;
ss[1]:=1;
for a:=0 to 1 do
for b:=0 to 1 do
for c:=0 to 1 do
for d:=0 to 1 do
for e:=0 to 1 do
begin
lagr:=1+a+b+c+d+e; la:=6 mod lagr; if la=0 then begin
ss[2]:=a; ss[3]:=b; ss[4]:=c; ss[5]:=d; ss[6]:=e; psg:=1;
for s:=1 to 6 do for t:=1 to 6 do
if ss[s]=1 then if ss[t]=1 then if ss[gg[s,inv[t]]]=0 then psg:=0;
if psg=1 then
begin
csg:=csg+1;
pnsg:=1;
for s:=2 to 6 do
for t:=2 to 6 do
if ss[t]=1 then if ss[gg[gg[inv[s],t],s]]=0 then pnsg:=0; if pnsg=0 then writeln('subgroup ',csg,': ',1,a,b,c,d,e) else writeln('subgroup ',csg,': ',1,a,b,c,d,e,' - normal') end end end;
readln(z) END.
3. Полученные результаты
На протяжении этого пункта мы будем пользоваться двумя реализациями циклической группы порядка и: в виде аддитивной группы = {0, 1, . . . , п — 1} вычетов по модулю пив виде мультипликативной группы ип комплексных решений уравнения г11 = 1. Диэдральную группу
реализуем как группу преобразований плоскости, переводящий правильный А;-угольник А\Ач . . . А^ в себя, обозначив га поворот плоскости относительно центра девятиугольника на угол <Х Если к нечетно, обозначим 1 ^ п ^ к, симметрию плоскости относительно прямой, проходящей через вершину Ап и середину противоположной стороны. В случае четного к при 1 ^ п ^ § обозначим симметрию плоскости относительно прямой АпАп+к и 5* симметрию относительно прямой, проходящей через середины сторон АпАп+\ и Ап+кАп+к+1 . Подгруппу поворотов в обозначим И,2Ь
Везде ниже под словом подгруппа будет подразумеваться несобственная подгруппа и, таким образом, число подгрупп будет означать число несобственных подгрупп.
Подгруппы в T>Q исчерпываются множествами -{М, при любом п и Иб, причем последняя является нормальным делителем.
217
218
Подгруппы в Б8 суть множества 5П} и 5*} при любом п, Ях = {1с1, г^}, Н2 = {1(1, 51, 52}, Яз = {¿а, гП1 5^} И я4 = 118. Подгруппы Яь ..., Я4 суть нормальные делители.
Группа реализуется в качестве мультипликативной группы кватернионов =Ь1, =Ы, ±к. Она содержит 4 подгруппы: и2, и4, {±1, и {±1, =Ьк}, из которых лишь Т] \ является нормальным делителем.
Подгруппами в Бю являются подмножества {¿с!, вп} при любом п и Ню. Последняя подгруппа является нормальным делителем.
Группа содержит 14 подгрупп: |1с1, 5П} и {1с1, 5*} при любом п, Щ = гж}, {1(1,^,53,5*}, {¿(1,^,52,5^}, {¿(1, ^,51,5^}, Я2 = (гъг), Я3 = {1(1,Г^,Г^,51,52,5з}, Я4 = {1(1, Г2тт, Г4тт, 5^, 5г), 5^} и Я5 = Ы12. Подгруппы Я1,..., Я5 являются нормальными делителями.
Знакопеременная группа Л4 реализуется как группа четных подстановок множества {1,2,3,4}. Она содержит подгруппы {1с1, (1 2)(3 4)}, {¿(1, (1 3)(2 4)}, {1(1,(14)(2 3)}, {1(1, (12 3), (13 2)}, {1(1, (2 4 3), (2 3 4)}, {1(1, (1 24), (1 42)} и подгруппу Клейна, которая является единственным нормальным делителем.
В группе
.6 _ ^ .2 _ .3 , _
содержится б подгрупп: Ях = {е, 53}, Я2 = {е, 52, 54}, {е, 53, 53£}, {е, 5£, 53, 54£}, {е, 53, 52^, 5°£}, Яз = (5). Подгруппы Ях, Я2 и Я3 являются нормальными делителями.
Подгруппами в Т>и являются подмножества {1(1, 5те} при любом п и И,^. Последняя подгруппа является нормальным делителем.
В группе Юхб следующие 16 подмножеств являются подгруппами: {е, 5П} и {е, 5* } при любом п, {1(1, Г^}, К16, {1(1, Г|, Г^, Г^}, {1(1, Г|, Г^, Гм, 5^, 5^, 5^, 5^}, {1(1, /V, 51, 53}, {1(1, г^, 5Ь 53}, {1(1, г^, 5^, 5д}, {1(1, г^, 5^, 5д}. Нормальными делителями ЯВЛЯЮТСЯ К16 и {1(1, гж}.
Обобщенная кватернионная группа
имеет 9 подгрупп: Ях = {е,54}, {е, 54, 53£, 5^}, {е, 54, 52£, 56^}, {е, 54, 5^, 55£},
Я4 = (5). Подгруппы Я1,..., Я4 являются нормальными делителями.
Группа Б8 х Z2 содержит 22 подгруппы: {е, (5П,0)}, {е, (5*,0)}, {е, (5П, 1)}, {е, (5*, 1)} и {е, (1(1, 0), (5П,0), (5П, 1)} при любом п, {е, (1(1,0)}, Ях = {е, (1(1,1)},
{е, (г,, 0)^,0), (5*, 0)}, {е, (г,,0){(г|, 1), (г1,1)}, Я3 = Г>8, Я4 = В^х^, я! = £ Подгруппы Я1,..., Я5 являются нормальными делителями.
Группа <Э8 х содержит 17 подгрупп: {е, (1,1)}, {е, (—1,1)}, 112, и4,
!ЕК
Все подгруппы являются нормальными делителями. Модулярная группа
содержит 9 подгрупп: {е, sH}, {e, t}, {е, s4}, {е, s4, s2t, s6^}, {е, s4, t, s4t}, {е, s2, s4, s6}, (5), {e,s2,s\s\ , чением первой делителями.
В группе
s2t, s4£, s6î} И |e5 52? 54? s65 s3, sH, s7*}. Все подгруппы, за исклю-и второй из перечисленных, являются нормальными
<^4,4 = (s, t
= t4 = (5t)2 = e, ¿s3 = si3)
имеется 21 подгруппа: {e,s3£3}, {e,st3}, Я1 = {е,52^2}, Я2 = {е,£2}, {е, s3t},
группы Я1,..., Яд являются нормальными делителями. Все подгруппы группы
исчерпываются множествами {e,s2}, {e,t2}, {e,s2t2}, {e, s2, t2, s2t2}, Нг = (s), (t),
#з = {e, s2, i, ¿2, t3, s2i, s2i2, s2i3}, {e, 5, s2, s3, ¿2, st2, s2i2, s3£2}, среди которых Яь Я2 и Я3 являются нормальными делителями.
В диэдральной группе Dig подгруппами являются множества {id, sn} при любом п, {id, R18, {id, Г^г, r^L, 5i, S4, 57}, {id, r^,r^r,S2,55,58} и {id, rç, Г47Г, 54,55, sg}, из которых лишь (rç) и Ris являются нормальными делителями.
В группе D6 х Z3 12 подгрупп: {e, (sn, 0)} и {e, (id, 1) (id, 2), (sn, 0), (sn, 1), (sn, 2)}
Я3 = {e, (г^т, 0), (гФр, 0), (id, 1), (rç, 1), (r^, 1), (id, 2), (r^, 2), (r^, 2)}. Нормальными делителями являются подгруппы Яь Я2 и Я3. Группа
, .2
содержит 26 подгрупп: {е,х|/ г}, {е, ал/z}, {e,xyz}, H\ = {e,yz , у z}
{e, г2, xy2, жт/2^2}, {e, z2, жг/, rrj/jsr, iq/2:2}, Я4 = {e, y, y2}, {e, y, a^z2, ал/V}
219
{е, х, у, у2, ху, ху2}. Подгруппы Ях,..., Я5 являются нормальными делителями.
Подгруппами в О20 являются следующие 19 множеств: {е,5п} и {е,5*} при любом п, {1(1, Г*}, К5, Кю, {1(1,7^,51,5*},
{1с1, г,,, 52, 5^}, {1(1, 53, 5^}, {1(1, г*, 54, 5*}и {И, г*, 55" 5*}. Ню является нормальным делителем. В группе
8 подгрупп: щ = {е, I, I2, ¿3, ¿4}, Я2 = {е, 52}, {е, 52, {е, 52, 5*3, 53^3},
{е, 52, 5^2, 53£2}, {е, 52, 5^, 53^}, Я3 = {е, 52, ¿2, ¿3, ¿4, 52£, 52£2, 52^3, 52£4}, {е, 5, 52, 53}. Подгруппы Ях, Я2 и Я3 являются нормальными делителями. Группа Фробениуса
содержит 12 подгрупп: {е, 52^4}, {е,52£3}, {е,52^2}, {е, 52£2, 5;£4, 53£3}, {е, 5^3, 52£4, вЧ}, {е, 5^2, 52*, зН4}, {е, 5^, 52^3}, Ях = {е, ¿2, £3, 1% {е, 52},
Я2 = {е, 52, ¿2, ¿3, ¿4, 52^, 52^2, 52^3, 52^4}, {е, 5, 52, 53}. Нормальными делителями ЯВЛЯЮТСЯ Ях и Я2.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нижников А. И., Шилин И. А. Элементы алгебры. - М.: РИЦ, 2005.
2. Шилин И. А. Применение компьютера к решению задач общей алгебры // Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики: Межд. научн. конф., Тамбов, 11-14 сентября 2006 г. - Тамбов: Изд-во Першина, 2006. - С. 243-245.
3. Шилин И. А., Китюков В. В. Методические особенности применения компьютерного моделирования при решении задач общей алгебры // Педагогическая информатика. - 2010. - № 1. |
220
