Решётки подгрупп и кодов на диэдральной группе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3

УДК 517.9 DOI 10.23683/0321-3005-2018-3-18-23

РЕШЁТКИ ПОДГРУПП И КОДОВ НА ДИЭДРАЛЬНОЙ ГРУППЕ © 2018 г. K.B. Веденев1, В.М. Деундяк12

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2ФГНУ НИИ «Спецвузавтоматика», Ростов-на-Дону, Россия

THE LATTICES OF SUBGROUPS AND CODES FOR DIHEDRAL GROUP

K.V. Vedenev1, V.M. Deundyak12

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Spetsvuzavtomatika, Rostov-on-Don, Russia

Веденев Кирилл Владимирович - студент, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: vedenevk@gmail.com

Деундяк Владимир Михайлович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия; старший научный сотрудник, ФГНУ НИИ «Спецвузавтоматика», пер. Газетный, 51, г. Ростов н/Д, 344002, Россия, e-mail: vl.deundyak@gmail.com

Kirill V. Vedeneev - Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: vedenevk@gmail.com

Vladimir M. Deundyak - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Senior Researcher, Spetsvuzavtomatika, Gazetnyi Lane, 51, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: vl.deundyak@gmail.com

В 1978 г. Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом до сих пор неизвестны эффективные атаки на неё. К настоящему времени стойкость других кодовых уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса. В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым криптосистемам, таким как RSA, Эль-Гамаля и т.д. Поэтому актуальной представляется задача поиска перспективных классов кодов для построения новых стойких кодовых криптосистем. Для этого можно использовать некоммутативные коды, т.е. идеалы в групповых алгебрах над конечными некоммутативными группами G. Ранее авторами с помощью разложения Веддерберна была описана структура всех кодов в диэдральной групповой алгебре F,jDnn и изучена структура кодов, индуцированных кодами на циклической подгруппе. В настоящей работе продолжается изучение этих кодов, а именно исследуются решётка подгрупп диэдральной группы, решётка всех кодов в групповой алгебре Г, Dn„ и подрешётка кодов, индуцированных кодами на циклических подгруппах. Полученные результаты могут быть использованы в криптографических приложениях при построении новых классов кодовых криптосистем.

Ключевые слова: некоммутативные группы, групповые алгебры, некоммутативные коды, кодовые криптосистемы, решётки, решётки подгрупп, криптография, помехоустойчивые коды.

In 1978 Robert McEliece created the first asymmetric cryptosystem based on the use of Goppa error-correctind codes and there is no effective attacks described yet. Variants of other code cryptosystems were proven less secure. Because of development of quantum computation, code cryptosystems are an option to replace number-theoretical ones. So, the new classes of error-correcting codes are required for building new resistant code cryptosystems. We can consider non-commutative codes also known as left ideals of finite non-commutative group algebras. In the previous paper authors has described the structure of all codes in dihebras group algebras in terms of Wedderburn decomposition. The structure of dihebral codes induced by cyclic codes was also described. The purpose of this paper is to study a subgroup lattice of a dihedral group and a lattice of dihebral codes including codes induced by cyclic codes. The results could be useful to apply in a cryptography.

Keywords: non-commutative groups, group algebras, non-commutative codes, code cryptosystem, lattices, subgroup lattices, cryptography, error-correcting codes.

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 3

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3

Введение

В связи с развитием в последние годы постквантовой криптографии увеличился интерес к исследованию кодовых криптосистем. Первой криптосистемой такого типа является построенная Мак-Элисом в 1978 г. криптосистема на кодах Гоппы [1], не взломанная до сих пор. К настоящему времени известно много подходов к построению и анализу кодовых криптосистем. Небольшой обзор работ по этой тематике содержится в [2]. В связи с этим актуальной является задача поиска новых классов кодов, пригодных для использования в криптографии. Одним из методов построения таких классов является использование некоммутативных групповых кодов, которые определяются как идеалы в групповых алгебрах над конечными некоммутативными группами. В работе [3] вычислены все подгруппы диэдральной группы О-,, и исследованы коды в соотвествующей групповой алгебре в случае, когда мощность группы 2п

взаимно проста с мощностью ц поля Галуа Г^. В настоящей статье, продолжающей работу [3], вычислены решётки подгрупп и кодов на группе . Эти результаты имеют возможную перспективу в криптографических приложениях для зашумления секретного ключа в кодовых криптосистемах.

Статья состоит из 4 разделов. В первом приведены необходимые сведения о группе Опп и о её подгруппах; а второй содержит результаты о решётке подгрупп. В третьем приведены необходимые сведения о кодах на группе Последний раздел посвящён решёткам кодов на диэдральной группе.

Диэдральная группа

Диэдральной группой /?2п, где п > 2.

называется группа симметрий правильного

плоского и-угольника с центром в точке О,

состоящая из поворотов вокруг точки О на углы, "л-

кратные —, и отражении относительно прямых,

проходящих через О и одну из вершин или середину одной из сторон. Группа 0.-.п порождается поворотом а на угол ^ и произвольным

отражением Ъ, при этом выполняются следующие соотношения [4, с. 171]:

Таким образом, группа В2п допускает копредставление

при этом формально можно считать, что п — произвольное натуральное число. Из (1) вытекает, что для произвольного ¡'

поэтому

Далее для подножества М произвольной группы С через (А?) будем обозначать подгруппу группы С, порождённую элементами множества М. Через А (п.) обозначается количество натуральных делителей числа п. Следующая теорема, возможно, известна специалистам, однако найти её в доступных источниках не удалось, поэтому приведём её полное доказательство.

Теорема 1. В группе 02т1 (л > 2) имеются следующие собственные подгруппы:

а) п различных подгрупп вида {е, акЬ}, где О < к < 71, каждая из которых изоморфна 2п;

б) с? (л) подгрупп вида (а*), каждая из которых

изоморфна Ъ±; к - любой натуральный делитель п: к

в) для каждого собственного делителя к числа п существует к — 1 различных подгрупп вида {а1Ь, ак), каждая из которых изоморфна 0„ц,

!

Других собственных подгрупп нет. Подгруппы вида б) нормальны, подгруппы вида а) нормальны только при п — 2. а подгруппы вида в) нормальны только при к = 2.

Для доказательства теоремы потребуется следующая техническая лемма.

Лемма 1. Пусть Н - такая подгруппа диэдральной группы ОпП, что Н & (а}, я11" -порождающий элемент подгруппы ЙП(я). Тогда для любого Л = арЬ Е Н\(а} справедливо равенство Н = (ак, И}.

Доказательство леммы. Очевидно, что . Докажем обратное вложение. Предположим противное. Тогда найдётся элемент : = ■:'■ .' £ ■':. Справедливо следующее

равенство:

откуда I = £ Полученное

противоречие доказывает необходимое вложение (а*.к) э Н.А

Доказательство теоремы 1. Легко видеть, что множества вида а) действительно являются подгруппами, так как = вида б) -

подгруппами циклической группы {а} порядка п. В свою очередь, известно, что в циклической группе порядка 71 для любого д. делителя п. существует ровно одна подгруппа порядка q, порождённая, например, элементом я[4, с. 172].

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

В силу леммы 1 подгруппы, не являющиеся циклическими, могут иметь только вид (я1 £>, д^'у Но подгруппы вида {а1Ь, а*) содержат циклическую подгруппу (я*)-, поэтому аналогично предыдущему можно считать, что к делит п. Случай же I > к сводится к случаю I < к. так как (я!Ь, я^) = {а}~кЪ, ак). Таким образом, все собственные подгруппы группы имеют вид а), б) или в).

Проверим, при каких условиях описанные выше подгруппы являются нормальными. Напомним, что подгруппа Н нормальна тогда и только тогда, когда выполняется условие

vh EH.vg е D2n ghg-1 Е Н.

Рассмотрим подгруппы И = {е,акЬ} из пункта

а). Тогда

Vi El (V) (я = nt+:;i£?,

vi El (я;Ь)(я^Ь)(Ья;) = ankb Но ak+"1b,an~~kb Е U. только если п = 2. Поэтому эти подгруппы нормальны только при п — 2.

Подгруппы Н = (а*), рассмотренные в пункте

б), содержат только элементы вида ajk. Тогда для любыхЕ 1.

= a~jk Е И.

Это значит, что подгруппы этого вида нормальны.

Подгруппы вида Н = (я1 Ь, ак}, рассмотренные в пункте в), содержат только элементы вида aj,k и а*к+1Ь. Условие нормальности для элементов вида а]к рассмотрено ранее, поэтому остаётся только проверить условие доя ajfc+Jb. Для любых i,j ЕЪ

Элементы д-1+'"-Ч-1 принадлежат Н, только если числа 2i+jk делятся на к. Положив i = 1, получаем отсюда, что 2 должно делиться на к. Если к = 1, то подгруппа совпадает со всей группой DSn, поэтому рассмотрим к = 2. Тогда

откуда видно, что подгруппы из пункта в) нормальны только при к = 2. А.

Решётка подгрупп диэдральной группы

Решёткой [5] называется множество L, в котором любые два элемента имеют точную нижнюю грань, или пересечение, обозначаемое х Л у (или х П у), и точную верхнюю грань, или объединение, обозначаемое х V у.

Далее через L(G) будем обозначать решётку подгрупп группы G относительно операций

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3

пересечения п и порождения V [5, с. 20]; через gcd(iclJ fc-,) - наибольший делитель чисел it^fen, а через кш^,^) - наименьшее общее кратное чисел klrkz. Рассмотрим решётку ЦС^). В теореме 1 описана структура подгрупп группы DZTi. Выясним теперь, как в ЫС^) действуют операции П и V.

Теорема 2. Пусть DZn - диэдральная группа; itj и кп — делители числа п: 0 <t±< fc1; 0 < tz < fc2; < n, jt, < п. Тогда для операции порождения в решётке L(DZnJ справедливы следующие равенства:

2) (a^V'^V = а^Ьу,

3)

(а*\ atl b>v {аЧ b) = дгзЬу.

4) [е, я"1 Ь} V {е, а** Ь} = Ъ);

5) (а^1) v {е, aPlb} = (atl, aPlb);

Доказательство. Пусть gcdiA.'^., kz~)= pk±-\- qk2-линейное представление наибольшего общего делителя чисел к± и к2. Тогда так как (о*1) V {а^2 У = (дЧаНто

(n^i+i^) = (a^^L^y, (a*1,a*2}.

Таким образом, справедливость пункта 1) доказана. Аналогично доказываются пункты 2)—6). Действительно,

{ak*,atib,ak*)= (а&^^Ка^Ь}.

— ^QgcdCkiJ^-ti

{а^Ь,а^Ь) = {а^Ьа^Ь, арЩ =

Теорема 3. Пусть DZn - диэдральная группа; к1 и кп - делители числа п: 0 < < Ас^; 0 < tz < kz', ■p1 < п; р2 < п. Тогда для операции пересечения в решётке ь( С*.-,,,) справедливы следующие равенства:

2) l, а®1 b) п } = (а

3)(аЬ,а?'Ъ}п(ак*,аЬЬ} =

4) [е, аРЬ}П<а^>={е};

5) [е,=

= ({e,a^bl ttlCia-Pi) \{е}, JtiJCta-Pi)'

6) {е, aPib}r\{e, ap-b} = _i{e, aPib], y1= y2

.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

Доказательство. Справедливость пунктов 1) и 2) очевидна. Докажем 3). Пусть И = (а1"1, £?}П {а^1,а^ Ь). Видно, что подгруппа Яп{я} порождается элементом я1™1^"'. Так как

Н = (а1ст(-кatí Ь}п а}2 щ.

Предположим, что найдётся й ь Если

такой Л существует, то он имеет вид

То есть существуют такие тп^ и что

выполняется сравнение

^ + ш11сш(Лс1,Лсг) = + т2\ап(к1,к2~) (тос1 тг).

Но сравнения вида ах = Ь {1:10а тп) возможны только при Ь, кратном = §сс](а, т) [6, с. 57]. Так как в нашем случае ^ = §сс1{1ст(&1,&:;),п) = 1сш(Лс1,Лсг) и по модулю меньше кш^А'^/Г;,), то

решение относительно т 2 — т п возможно только при £2 = Таким образом, при = по лемме 1 получаем Н = (а*™**^}, Дг1 ^ а при ^ ф Н = ^д1™11^'!.^':}^ хак как ^ е Н\(а} не существует.

Пункты 4)-6) непосредственно следуют из определений.

Коды в диэдральной групповой алгебре

Пусть С - конечная группа; Гч - поле Галуа мощности ц. Групповой алгеброй Рч£г называется множество формальных линейных комбинаций вида

с покомпонентно определёнными операциями сложения, умножения на скаляр и операцией

умножения по следующему правилу:

£ Ьдд~)= 2 аъЪь^д

[7, с. 139]. Всякий левый идеал / с Р^С называется групповым й-кодом над полем [8].

Рассмотрим групповую алгебру Любой

элемент и. ¡Е Т^и.-.^ может быть представлен следующим образом:

где Р и р - многочлены степени, не превосходящей п.

Для каждого многочлена д £ [г], такого что ¿г(0) Ф 0, возвратным многочленом называется многочлен д*(_%) = * й е & £ (~). Говорят, что многочлен д самовозвратный, если д и д* отличаются на постоянный ненулевой множитель. Ниже будем полагать, что наибольший общий делитель йсс1(2п, q') чисел 2п и ц равен единице.

2018. No. 3 1 -1 Е

Известно, что многочлен А'1-1 — 1 Е разлагается на неприводимые над множители; следуя [9], запишем это разложение следующим образом:

_ 1 = {/1/1 ■■■ где = х — 1. при 1 < ] < г выполнено равенство — и = д: + 1 в случае чётного п. Здесь г -количество самовозвратных множителей в этом разложении, а 2з - несамовозвратных.

Пусть Л - неприводимый над полем Г^ многочлен степени т а его корень в некотором расширении этого поля, через Г4[а] обозначим расширение поля элементом а [4, с. 409].

Будем считать, что £Г- - корень многочлена Определим функцию

■"1. и —нечётное. <■2, и —чётное. В работе [9] доказана теорема о виде разложения Веддерберна для алгебры Г^О-^.

Теорема 4. Пусть дсА($, 2п) = 1. Тогда имеет место изоморфизм

(3)

где

' -ч о © -4 а'

-1

S(ri) = (]

А; = \ M2(¥q[aj +агЧ). rq[aj + or1] ^ Fq*nHfj}/2,

} <

5(п) + 1 <; <г, г+1<; 5(п) + 1 < ; < г,

Пусть Г - произвольное поле. Будем далее называть ненулевой вектор (л;, у ) еР нормированным, если х = 1 или х = 0, у = 1. Рассмотрим разложение (3) и обозначим

Определим

В работе [3] с помощью теоремы 4 доказана следующая теорема о структуре кодов в алгебре

Теорема 5. Пусть дсй(ц, 2тг) = 1. Рассмотрим разложение (3) групповой алгебры Для

любого кода / с найдутся такие

непересекающиеся множества /2,/-. с ('1,... ,г 4- б} и набор нормированных векторов ., у^)}; е. где Ху.Уу е что

Р(Л =§ Щ.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

С другой стороны, для любых /л,/- с {1, ...,г + 5}, таких что = 0, и для

любого набора векторов {С^У;)};е;.. над соответствующими полями (4) множество

Р-ЧФЯ;)-

где В- определены равенством, является кодом в

Решётка кодов

Теперь изучим решётку кодов в относительно операций пересечения П и порождения V, однако прежде отметим особенности операции V для алгебр. Пусть А -конечная алгебра с единицей над полем Г ;М с А -её подмножество; через {А/У обозначается пересечение всех подалгебр, содержащих М, при этом [5, с. 178]

Пусть и, V - левые идеалы алгебры А. По определению и V V = (V и V). В силу того, что

каждое слагаемое .....— тл* в этом случае

лежит в 1} или V, получаем

Далее потребуется легко проверяемая техническая лемма.

Лемма 2. Пусть <А±,А 2 - алгебры. Рассмотрим левые идеалы С и С в прямой сумме

Л = Тогда С = С1ВС2, С = С1ВС2,

где - левые идеалы в и справедливы равенства:

с п с = (с; п с;) ф (с, п с2>.

С V с = V СО © (Са V С2).

Далее, как и в теоремах 4 и 5, будем считать, что §сс1([}., 2'П) = 1. Рассмотрим произвольные коды . По теореме 5 для каждого из этих кодов найдутся такие непересекающиеся множества ,]г с {1.....г + 5}, Д./-, с {1, ...,т +

и наборы нормированных векторов чт0

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3

Теорема 6. При заданных условиях:

1) где Ft = At при i Ejí F¿ = при

i e {j e jn n/n | Xj = xjAyj= y,}u (J±n/a);

F. = ПР11 É E/i п/3 и F¡ = 0 в противном

случае;

2) p(CvC) =®[+f F„ где FÉ = áÉ при i e}1\j}1\j{j е/пП/п I Xj^XjVyj

Ft = /¿(JC¿,y¿)npH

при i e/3\{j e/j n /, | Xj XjVу, ф У;} и F¿ = О в противном случае.

Доказательство. В силу леммы 2 достаточно рассмотреть действие операций п и V для В. и В.:

(i) равенства A-¿ n A¿ — Аь Al п ^(т^у,). Л;п0=0, О П = 0 и ^¿v/¿(JC¿,y¿)=^¿, V 0 = A¡, 0 vli(xi,yi)=li(xilyi-) очевидны;

(ii) если е F4[ffj] и Е Fq[ff/| -нормированные векторы и je^ =£ или y¿ ^ y¡, то

Действительно, так как векторы x¿ х ¿ или y¡ ít y¡ нормированы и не равны, то они линейно независимы. Тогда справедливость этого утверждения следует непосредственно из (5).

Таким образом, рассмотрены все возможные случаи для разных видов fl¿ и B¡, что позволяет указать вид А

Пусть G - конечная группа; Н - её подгруппа; Т -правая трансверсаль G по Н; I - код в Индуцированным кодом [10] называется код / =

При этом если В(Г) = (n^íin,, ..п^} - 7ч-базис кода /, то F4-базисом кода / будет B(f): = T3(I).

Теорема 7. Пусть G - конечная группа; Н - её подгруппа; X - правая трансверсаль G по Н; . -коды на подгруппе Н. Тогда

Доказательство. Заметим, что левый идеал (F^G^C^V (Fq(7)C2 содержит C1vC2, но (Fij íjHCjl V ) - наименьший левый идеал алгебры FqG, содержащий V поэтому

(F4G)(CiVCa) с (F4G)CjV (FqG)C2. Обратное вложение вытекает из того, что (F^ GjCj и (F4 -подалгебры алгебры (FÍG)(C1 V С2~).

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

для операции того, что

Докажем утверждение пересечения. В силу C^GXCVп С3) с CF^Q и " (F1JG)(CI П С-) с (F^G)С-, получаем ^(ТХ^псЬсСГ^^пСР^Сз. (8)

Для подпространств U, W линейного пространства известно, что

dim(U + V) = dimi/ + dimW - di]n(U n W) [4, c. 194]. В нашем случае, используя результат для операции V и (7), получаем, что

+dim ((F q G) Сп)) — dim ((F4 Q CL v (F?G)Cn) = =|J|dim(C1 nC:) = dim((7, GXCjn C-)).

Воспользуемся вложением (8) и получим искомое равенство. А

Таким образом, для каждой подгруппы Н конечной группы G решётка кодов в F^G содержит подрешётку, изоморфную решётке кодов в Т^Н.

В частности, в решётке кодов в F^D^ содержится важная подрешётка кодов, состоящая из индуцированных с подгруппы (а) кодов. Из теоремы 7 следует, что эта подрешётка изоморфна решётке кодов в групповой алгебре Гч(д}, т.е. решётке циклических кодов.

Литература

1. McEliece R.J. Public-Key Cryptosystem Based on Algebraic Coding Theory // PL Deep Space Network Progress Report. 1978. Vol. 42. P. 114-116.

2. Деундяк В.М., Косолапов Ю.В. Криптосистема на индуцированных групповых кодах // Моделирование и анализ информ. систем. 2016. № 23 (2). С. 137-152.

3. Веденев К.В., Деундяк В.М. Коды в диэдральной групповой алгебре // Моделирование и анализ информ. систем. 2018. № 25 (2). С. 232-245.

4. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2013. 592 c.

5. Биркгоф Г. Теория решёток. М.: Наука, 1984. 568 c.

6. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 180 с.

7. Milies C.P., Sehgal S.K. An Inroduction to Group Rings. Boston: Kluwer Academic Publishers, 2002.

8. Циммерман К.-Х. Методы теории модулярных представлений в алгебраической теории кодирования. М.: МЦНМО, 2011. 246 c.

9. Brochero Martinez F.E. Structure of nite dihedral group algebra // Finite Fields and Their Applications. 2015. Vol. 35. Р. 204-214.

10. Деундяк В.М., Косолапов Ю.В. Алгоритмы для мажоритарного декодирования групповых кодов // Моделирование и анализ информ. систем. 2015. № 22 (4). С. 464-482.

References

1. McEliece R.J. Public-Key Cryptosystem Based on Algebraic Coding Theory. PL Deep Space Network Progress Report. 1978, vol. 42, pp. 114-116.

2. Deundyak V.M., Kosolapov Yu.V. Kriptosistema na indutsirovannykh gruppovykh kodakh [Cryptosystem based on induced group codes]. Modelirovanie i analiz inform. sistem. 2016, No. 23 (2), pp. 137-152.

3. Vedenev K.V., Deundyak V.M. Kody v diedral'noi gruppovoi algebre [Codes in dihedral group algebra]. Modelirovanie i analiz inform. sistem. 2018, No. 25 (2), pp. 232-245.

4. Vinberg E.B. Kurs algebry [Course in Algebra]. Moscow: MTsNMO, 2013, 592 p.

5. Birkgof G. Teoriya reshetok [Lattice theory]. Moscow: Nauka, 1984. 568 p.

6. Vinogradov I.M. Osnovy teorii chisel [Fundamentals of number theory]. Moscow; Leningrad: Gostekhizdat, 1952, 180 р.

7. Milies C.P., Sehgal S.K. An Inroduction to Group Rings. Boston: Kluwer Academic Publishers, 2002.

8. Tsimmerman K.-Kh. Metody teorii modulyarnykh predstavlenii v algebraicheskoi teorii kodirovaniya [Methods of the theory of modular representations in algebraic coding theory]. Moscow: MTsNMO, 2011, 246 p.

9. Brochero Martinez F.E. Structure of finite dihedral group algebra. Finite Fields and Their Applications. 2015, vol. 35, pp. 204-214.

10. Deundyak V.M., Kosolapov Yu.V. Algoritmy dlya mazhoritarnogo dekodirovaniya gruppovykh kodov [Algorithms for majority decoding of group codes]. Modelirovanie i analiz inform. sistem. 2015, No. 22 (4), pp. 464-482.

Поступила в редакцию /Received

23 апреля 2018 г. /April 23, 2018