О свойствах подгрупп группы Гейзенберга над простым полем Галуа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4

УДК 512.54 DOI 10.23683/0321-3005-2018-4-12-17

О СВОЙСТВАХ ПОДГРУПП ГРУППЫ ГЕЙЗЕНБЕРГА НАД ПРОСТЫМ ПОЛЕМ ГАЛУА

© 2018 г. В.М. Деундяк12, Д.И. Кокшаров1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2НИИ «Спецвузавтоматика», Ростов-на-Дону, Россия

ON PROPERTIES OF SUBGROUPS OF THE HEISENBERG GROUP OVER A PRIME GALOIS FIELD

V.M. Deundyak12, D.I. Koksharov1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Spetsvuzavtomatika, Rostov-on-Don, Russia

Деундяк Владимир Михайлович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; старший научный сотрудник, НИИ «Спецвузавтоматика», пер. Газетный, 51, г. Ростов-на-Дону, 344002, Россия, e-mail: vl.deundyak@gmail.com

Vladimir M. Deundyak - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Senior Researcher, Spetsvuzavtomatika, Gazetnyi Lane, 51, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: vl.deundyak@gmail.com

Кокшаров Дмитрий Ильич - студент, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: koksharovd06@yandex.ru

Dmitry I. Koksharov - Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Mil-chakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: koksharovd06@yandex.ru

Стойкость большинства асимметричных криптосистем основана на сложности задач дискретного логарифмирования или факторизации целых чисел. Но с развитием квантовых компьютеров становятся актуальными кодовые криптосистемы, в основе которых лежит применение помехоустойчивых кодов. Некоторые существующие кодовые криптосистемы были взломаны. Их стойкость может улучшить использование кодов, индуцированных групповыми кодами на некоммутативных группах. Для реализации такого подхода и построения групповых кодов возникает задача классификации подгрупп некоммутативных групп. В работе исследуется конечная группа Гейзенберга над простым полем Галуа. Для этой неабелевой группы получена полная классификация всех ее собственных подгрупп, выделены нормальные подгруппы, построены соответствующие факторгруппы. Полученные результаты позволяют ставить вопрос о конструировании кодовых криптосистем на группе Гейзенберга.

Ключевые слова: группа Гейзенберга, простое поле Галуа, собственная подгруппа, нормальная подгруппа, факторгруппа, индуцированный код.

The strength of most asymmetric cryptosystems is based on the complexity of the problem of discrete logarithm or factorization of integers. But with the development of quantum computers code cryptosystems become relevant, which is based on the use of noise-resistant codes. Some of the existing code cryptosystem has been compromised. Their strength can be improved by using codes induced by group codes on noncommutative groups. To implement this approach and construct group codes, the problem of classifying subgroups of noncommutative groups arises. In this paper we investigate a finite Heisenberg group over a prime Galois field. For this non-Abelian group, a complete classification of all its own subgroups is obtained, normal subgroups are distinguished, and the corresponding factor groups are constructed. The results obtained allow us to raise the question of the construction of code cryptosystems on the Heisenberg group.

Keywords: Heisenberg group, prime Galois field, proper subgroup, normal subgroup, quotient group, induced code.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

Введение

В настоящее время стойкость применяемых на практике асимметричных криптосистем, как правило, основана на сложности задач факторизации целых чисел или дискретного логарифмирования в конечной группе [1]. Однако в [2] показано, что эти задачи решаются на квантовом компьютере за полиномиальное время, поэтому в качестве альтернативы для таких криптосистем в настоящее время предлагаются системы, в основе которых лежит применение помехоустойчивых кодов, - кодовые криптосистемы. Недостатком кодовых криптосистем является большой размер ключа, например, для предложенной в [3] Мак-Элисом кодовой криптосистемы, базирующейся на кодах Гоппы, размер ключа составляет около 65 Кбайт.

Стойкость кодовых криптосистем в настоящее время интенсивно изучается. Например, взломаны такие криптосистемы, как криптосистема Нидеррай-тера [4], Сидельникова [5]. Существует предположение, что усилить стойкость кодовых криптосистем может использование помехоустойчивых кодов, которые не обладают ярко выраженной алгебраической структурой. Такой подход применен в [6], где предлагается в криптосистеме типа Мак-Элиса использовать коды, индуцированные групповыми кодами на некоммутативных группах. Для реализации этого подхода возникают задачи описания структуры подгрупп на некоммутативных группах и построения соответствующих групповых кодов. С этой точки зрения коды на конечной диэдральной группе изучены в [7, 8]. Настоящая работа посвящена исследованию подгрупп группы Гейзенберга Н(Гр) над простым полем Галуа , что позволит строить новые криптосистемы на группе Н(Гр).

Конечная группа Гейзенберга

Рассмотрим Гр - поле Галуа мощности р, где р -произвольное простое число, р > 2. Группа Гейзенберга ЩГр) определяется как множество (3 х3) -П х

матриц вида (0 1 у ), х,у,С е , [9, с. 293]. \0 0 V

Для удобства элементы группы будем обозначать тройками (х, у,€). В качестве групповой операции используется обычное умножение матриц:

(х, у, ^ ■ (х,у,£) = (х + х,у + у^ + £ + ху). Нейтральным элементом является е = (0,0,0), а обратный элемент вычисляется по формуле (х,у, = (—х, —у, ху — ^.

Легко заметить, что группа Гейзенберга не является абелевой. Быстрое преобразование Фурье и решение сверточных уравнений на группе Н(Гр) изучены в [10].

Основная теорема о структуре подгрупп

Теорема 1. В группе Гейзенберга Н(Гр) содержатся следующие собственные подгруппы:

1) подгруппа К1 = {(0,0, С) | t е , изоморфная группе И-р и являющаяся центром группы

2) серия подгрупп "Н{2]Х,уД = {(Х,У, О), где х Ф

0 или у Ф 0, каждая из которых изоморфна группе И-р, при этом

Щ2-,х,у,г} = Ж[2;х$,г} ^Зк е {1,2, ...,р}-

( (к — 1)к \ (х, у, I) = I кх, ку, Ы +----ху).

Различных подгрупп этой серии имеется р2 + р;

3) подгруппа К3 = {(х, 0,С) | х,£ е Гр}, которая разлагается в прямую сумму ^1Ф^{2,1,0,0} и изоморфна группе ЖрфЖр;

4) серия подгрупп Щ4;ц = {(1у,у, О | у,Ь е Гр},

1 е Гр, каждая из которых разлагается в прямую сумму и изоморфна группе ЖрфЖр, при этом все подгруппы этой серии различны.

Других собственных подгрупп группы Гейзен-берга нет.

Доказательство. 1. Рассмотрим подмножество К1 группы Н(Гр). Нетрудно

показать, что является подгруппой группы Гейзенберга Н(Гр) и отображение , заданное формулой

ф((0,0,1)) = С, является изоморфизмом.

Подгруппа является центром группы Гейзенберга - множеством элементов группы, которые коммутируют со всеми ее элементами, т.е.

К1 = {ге И(ГР) | Уд е И(ГР) гд = дг}.

Действительно, найдем все такие г = (х, у, £) , чтобы для любых д = (х, у, £) выполнялось равенство гд = дг. Преобразуем последнее равенство:

д-1гд = г,

(—х, —у, ху — Ъ) ■ (х, у, ^ ■ (х, у, £) =

= (х, у,Ь + ху — ху) = (х, у, ^ .

Значит, для любых х,у,£ е должно выполняться равенство С = С + ху — ху, т.е. ху = ху. При х = 0, у = 1 получим, что х = 0, а при х = 1, у = 0 получим, что у = 0. Следовательно, х = у = 0, С е Рр, и подгруппа является центром группы Гейзенберга.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

2. Рассмотрим элемент группы a = (x,y,t)E H(Fp), где х Ф 0 или у Ф 0, и подгруппу К{2)X,y,t}, порожденную этим элементом. Индукцией доказывается, что

ак = (кх, ку, kt + t^—^xy). (1)

Минимальное к, для которого ак является еди-

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

ничным элементом группы Гейзенберга, равно р. Действительно, так как х Ф 0 или у Ф 0, то минимальное к, для которого кх и ку будут равны нулю, равно р . Следовательно, порядок подгруппы ff[2;x,y,t} равен р. Так как эта подгруппа является циклической группой, она изоморфна Пр. Докажем импликацию

Щ2;х,уД = Ж{2;x,y,'t] ^ Ik Е {1,2, ,^,р}\

Л (к-1)к (х,у, t) = (кх, ку, kt +---—ху).

Если Я{2;x,y,t} = Ж{2;x,y,t}, то (X,9,t) Е m{2;x,y,t}. Из (1) следует, что существует к Е {1,2, ...,р} такое,

что (х, у, t) = (кх, ку, kt +

(k-l)k

ху). Таким обра-

зом, импликация доказана.

Выясним, сколько всего различных подгрупп такого типа. Все подгруппы этой серии равномощны -в каждой р элементов, причем все различные подгруппы пересекаются только по единичному элементу. Действительно, предположим, что найдутся две подгруппы, у которых есть общий элемент, отличный от единичного. Но так как Ж{2;х,у^} - это циклическая группа порядка р и р - простое число, то у нее есть р — 1 порождающих элементов - все, кроме единичного. Тогда любые две подгруппы, у которых есть общий элемент, отличный от единичного, будут совпадать.

Теперь докажем импликацию

Ж{2-,х,у,1} = Ж{2;х,у,г} ^Зк 6 {1,2, ..,р}'.

(к-1)к

(х, у, î) = (кх, ку, kt + ■

-ху).

3. Рассмотрим подмножество Ж3 группы Н(Гр). Нетрудно показать, что Ж3 является подгруппой группы Гейзенберга Н(Гр) и отображение ф. Ж3 ^ ^ ЖрфЖр, заданное формулой (р((х,0^У) = (х,£), является изоморфизмом.

Подгруппа Ж3 разлагается в прямую сумму 'К1@'К{2] 1,0,0}. Действительно, любой элемент подгруппы можно представить в виде (0,0, €) X х (х, 0,0) = (х, 0, С) 6 Ж3, где (0,0, ^ 6 Нъ (х,0,0)ЕК{2; 1т.

4. Рассмотрим подмножество Ж{4;ц группы Н(Гр). Нетрудно показать, что Н{4. ^ является подгруппой группы Гейзенберга Н(Гр). Покажем, что отображение ф : ц ^

заданное формулой ф((1у, у, = (уЛ — IУ(У- ^, является изоморфизмом. Сначала проверим, что <р является биективным отображением. Зададим отображение ^ ■ ЖрфЖр ^ Н{4.^ формулой

Н(У.О) = +

Отображение ф является обратным к <р. Действительно,

(гр о <р)(ау, у, с)) = гр ((у, t — I= (1У, у, С);

(<Р о ф)((у, 0) = ср ((1у,у, t + 1^)) = (у, Ъ

Покажем, что <р является гомоморфизмом: <Р((1У,У,1)) + Ф((1У,УЛ)) =

= (iy,y,

iy, y,t + i

■ y(y-i)

) + (1У,У,

t + i

■ 9(y-iy

) =

• ty+yïty+y-'O

) =

Рассмотрим два элемента группы Гейзенберга: а = (х, у, t), b = (х, у, t) = (kx, ky, kt +

+ (k ху). Из формулы (1) следует, что b Е К{2;x,y,t}, а так как в группе ^{2]X,y,t} все элементы, кроме единичного, являются порождающими, то подгруппа "К{2-x,y,t}, порожденная элементом Ь, совпадет с Ж{2;х,у,г}. Импликация доказана.

Количество элементов, которые порождают группы вида Н{2.x,y,t}, равно р3- р (из всех элементов группы Гейзенберга вычитаем те, у которых х = 0 и у = 0). Чтобы найти количество различных подгрупп, нужно разделить количество всех возможных порождающих элементов на количество порождающих элементов в одной подгруппе. Тогда количество различных подгрупп будет равно (р3-р)/(р-1) = р2+р.

= (КУ + У),У + у,£ + £ + >-УУ — I

= ф((Ку + у),у + ул + £ + ¿уу)) = = ^((1У,У,^) ■ (1У,У, Ъ).

Следовательно, ф - изоморфизм. Подгруппа разлагается в прямую сумму

Действительно, пусть

а,1,0У = (1у,у,1^)бНШл,0},

(0,0,

0,0, t - i

Em

где у принадлежит множеству {0,1, ...,р — 1}. Как элемент этого множества, он формально совпадает с у 6 ¥р. Следовательно,

1У,У,

= (1У,У,^) 6 нт.

Все подгруппы из серии различны для различных ¿. Действительно, предположим, что существуют I, ] 6 ¥р такие, что = . Тогда найдется такой элемент а = (х,у,€) , а 6 , а 6 , у которого у Ф 0 , причем х = Iу, х = ]у, значит, I = ].

2

2

2

2

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

5. Докажем теперь, что других подгрупп, кроме описанных выше, у группы Гейзенберга нет. Рассмотрим произвольную собственную подгруппу Ж группы Гейзенберга. Так как порядок подгруппы всегда делит порядок группы, а порядок группы Гейзенберга равен р3, то порядок собственной подгруппы группы Гейзенберга равен р или р2.

Рассмотрим случай, когда порядок подгруппы Ж равен р. Так как порядок любого элемента делит порядок группы, а р - простое число, найдется такое а е Ж, порядок которого равен р. Это значит, что для любого к е {1,2, ...,р} ак е Ж, причем все ак различны и а? равен единичному элементу. А так как порядок подгруппы равен р, то других элементов в подгруппе нет. Тогда если для элемента а = = (х, у, ^ верно, что х = 0 и у = 0, то Ж = Ж1, а если х Ф 0 или у Ф 0, то Ж = Ж{2;ху¿}.

Теперь рассмотрим случай, когда порядок подгруппы Ж равен р2 . Возьмем некоторый элемент а = (х, у, ¿) е Ж, не равный единичному элементу. Его порядок не может быть равен р2, так как для любого элемента а е Ж справедливо равенство

V = ~ . (Р-1)Р.

а

х, py,pt + ■

■ху) = (0,0,0) = е . Значит,

(k-i)k

кх + тх, ку + ту, kt + mt +--ху +

+

(m-l)m

ху + ктху).

1)х + (т — 1)х = 0, 1)у + (т- 1)у = 0,

Таким образом, имеет место следующая система уравнений: (к (к

(к — 1)1+(т — 1)£ — ху + (-^1±ху+ (3)

(т-1)т — ,

^ +---—ху + ктху = 0.

Предположим, что т — 1 = 0. В силу того, что к е {1,2, ...,р}, из первого уравнения получаем, что либо к — 1 = 0, либо х = 0. Из второго уравнения -либо к — 1 = 0, либо у = 0. Если предположим, что к — 1 Ф 0, тогда х = 0, у = 0, и третье уравнение примет вид (к — 1^ = 0.

В силу того, что элемент а = (х, у, ^ не равен единичному элементу, получаем, что к — 1 = 0. Таким образом, к = 1, т = 1 и, следовательно, Ьа = аЬ.

Теперь предположим, что т — 1 Ф 0. Тогда систему уравнений (3) можно переписать в виде (к-1) X = — 7-- X,

порядок элемента а, не равного единичному элементу, равен р . Отметим, что для любого к е {1,2, ...,р} имеет место ак е Ж, причем все ак различны. Возьмем еще один элемент Ъ = (х,у,£) е Ж, не совпадающий ни с каким ак для любого к е {1,2,... ,р}. Значит, элемент Ь также не равен единичному, и для любого к е {1,2, ...,р — 1} верно: х Ф кх, у Ф ку, I Ф Ы + , (к-1)к ,

+---—ху. Такой элемент о найдется, так как порядок подгруппы равен р2, а порядок элемента а равен р. Нетрудно показать, что порядок элемента Ь равен р, и для любого т е {1,2, ...,р} имеет место Ьт е Ж, причем все Ьт различны и не совпадают ни с какими ак для к е {1,2, ...,р — 1}. Рассмотрим множество X = {ак ■ Ьт I к,т е {1,2, ...,р}} <^Ж . Все элементы множества X различны. Действительно, пусть ак ■ Ьт = ак ■ Ьт. Умножим справа на Ь-т, слева - на а-к. Получим Ьт-т = ак-к. Так как все Ьт не совпадают ни с какими ак, кроме ар, то т — т = к — к = 0^ т = т,к = к . Значит, во множестве X ровно р2 элементов и X = Ж, т.е. Ж = {акЬт I к,те {1,2,...,р}}. (2)

Так как Ьа е Ж, то Ьа = акЬт для некоторых к,т е {1,2, ...,р}. Тогда

Ьа = (х,у, I) ■ (х,у^) = (х + х,у + у^ + I + ху), акЬт = (кх, ку, кг + (к-^к Ху) х

, „ ~ , (т-1)т___

х (тх,ту,тг +--ху) =

(m-l)' (к-1) (m-l)

У,

к-1 1 (~ (к-1)к =--1 +--( XV--XV

т-1 т-1\ 2

(4)

(т-1)т

■ху

— ктху).

В этом случае к — 1 не может равняться нулю, так как тогда из системы (4) получим, что х = 0, у = 0,1=0, а это противоречит тому, что элемент Ь не равен единичному элементу. Рассмотрим третье уравнение системы (4), из которого следует

( к-1\Г к-1 Л

t = —^t + (

т-1

т-1/\ т-1

-ху.

Если I =

(к-1)

, то система (4) примет вид

(т-1)'

X = 1х у = 1у

¿ = и + Ш-11ху

Это противоречит тому, что по условию элемент Ь не совпадает ни с каким а] для любого ] е {1,2, ...,р} . Следовательно, предположение о том, что т — 1 Ф 0, неверно. Таким образом, т = = к = 1 и, как показано выше, Ьа = аЬ. Из этого следует, что подгруппа Ж абелева.

Остается показать, что подгруппа Ж совпадает либо с Ж3, либо с Ж{4.ц. Из третьего уравнения системы (3) при к = 1, т = 1 получается, что

ху = ху. (5)

Рассмотрим несколько случаев.

2

2

V

2

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

i. У = 0 , у = 0 . Тогда а = (х, 0, t) Е H3 , b = (х, 0, t) Е H3. В силу (2) подгруппа H вложена в подгруппу H3. Так как их мощности совпадают, то H = H3.

ii. у = 0, у Ф 0 . Тогда из (5) х = ту = 0 . Из

условия у Ф 0 вытекает, что х = iy для некоторого i Е Fp. Тогда элементы а и b представимы в виде а = (0,0, t) Е H{4i}, b = (iy,y,t) Е Щ4.ц, и подгруппа H вложена в подгруппу Н{4.ц. Аналогично случаю 1 получаем, что H = Н{4.ц.

iii. у Ф 0, у = 0 . Тогда из (5) х = ^у = 0 . Из

условия у Ф 0 вытекает, что х = iy для некоторого i Е Fp. Тогда элементы а и b представимы в виде а = (iy,y,t) Е H{4i}, b = (0,0, t) Е H{4i}, и подгруппа H вложена в подгруппу Н{4.ц. Аналогично случаю 1 получаем, что H = H{4.i}.

iv. у Ф 0, у Ф 0. Тогда из (5) х = ^у. Обозначим i = ^. Тогда соотношение (5) примет вид iyy =

ху. Так как у Ф 0, можно разделить левую и правую части на у : х = iy. Тогда элементы а и b представимы в виде а = (iy,y,t) Е H{4.[}, b = (iy,y,t) Е H{4.i}, и подгруппа H вложена в подгруппу H{4.i}. Аналогично случаю 1 получаем, что H = H{4.i}.

Таким образом, подгруппа H совпадает либо с подгруппой H3, либо с подгруппой H{4.i}, т.е. несобственных подгрупп группы Гейзенберга, отличных от Hb H{2.Xy t}, H3, H{4.[}, нет. ■

Замечание. Отметим, что хотя сама группа Гейзенберга H(Fp) абелевой не является, все ее собственные подгруппы абелевы.

Структура факторгрупп

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

Доказательство.

1. Рассмотрим факторгруппу M(Wp)/K1. Пусть а = (х,у, t)eM(Fp). Тогда

аК1 = {(х, у, t) ■ (0,0, t) I t G Fp} = = {(x,y,î) I teFp}.

Покажем, что факторгруппа изо-

морфна Zp®Zp . Отображение ^:M(Wp)/K1^ ^ ЖрфЖр корректно определяется следующим образом: ^(аЖт) = p({x,y,t) I t G Fp}) = (x,y).

Ясно, что <p - биективное отображение.

p-1((x,y)) = {(x,y,t),ÎGÏÏp}.

Покажем, что <р является гомоморфизмом. Пусть а = (х,у, t), b = (х,у, t) G H(Fp). Тогда ^(aHj + ^(ЬЩ) = = (x, У) + (%, У) = (x + x,y + y) = = ф({(х + x,y + y,t) I tG Fp}) = ç(ab'K1).

Итак, (p - изоморфизм, а факторгруппа изоморфна ZpQZp.

2. Рассмотрим факторгруппу Ш(¥р)/Н{4.ц, где i G Fp. Пусть а = (х,у, t) G H(Fp). Тогда aK{4-,i} = {(х,у, t) ■ (iy,y, t) I y,t G Fp} =

= {(x + iy,y + y,î)Iy,ÎG¥p}.

Заменим в последней формуле у + у на у. Тогда аЩ4.[} = {(х — iy + iy,y, t) I y,t G Fp}. Получаем, что порядок факторгруппы равен р, так как различных значений х — iy + iy всего р. Факторгруппа является абелевой, так как аН{4.ц ■ ЬН{4.ц = = аЬН{4.ц = ЬаН{4.ц = ЬН{4.ц ■ аН{4.ц в силу свойств поля Fp. Но произвольная абелева группа порядка р изоморфна . Следовательно, факторгруппа M(Fp)/H{4. i} изоморфна Zp.

Аналогично рассматривается факторгруппа M(Wp)/K3. ■

Следующая теорема проверяется прямыми выкладками.

Теор ем а 2. Подгруппы H^, H3 и H{4.¡} являются нормальными подгруппами, подгруппы вида H{2.x,y,t} не являются нормальными.

Рассмотрим факторгруппы группы H(Fp).

Теорема 3. Рассмотрим в группе Гейзенберга H(Fp) нормальные подгруппы H±, H3, H{4.¡}, где i Е Fp. Тогда:

1. Факторгруппа M(Wp)/H1 изоморфна Zp®Zp.

2. Факторгруппа M(Wp)/H{4.¡}, где i Е¥р, изоморфна Ър.

3. Факторгруппа M(Fp)/H3 изоморфна Ър.

Заключение

В работе для конечной группы Гейзенберга над простым полем Галуа найдены все собственные подгруппы. Определено, какие из них нормальные. Вычислены соответствующие факторгруппы. Развитием этих результатов может быть решение задачи исследования подгрупп многомерных групп Гейзенберга над произвольным полем Галуа. На циклических подгруппах группы Гейзенберга можно моделировать циклические коды, в частности коды Рида - Соломона. Использование индуцированных кодов позволяет переносить эти коды на группу Гейзенберга, что дает возможность строить новые кодовые криптосистемы, стойкость которых обсуждается в [6].

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 4

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4

Литература

1. Шнайер Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке си. М.: Триумф, 2002. 815 с.

2. Shor P.W. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring // Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. Los Alamitos, CA: IEEE Computer Society Press, 1994. P. 124-134.

3. McEliece R.J. A Public-Key Cryptosystem Based on Algebraic Coding Theory // JPL Deep Space Network Progress Report. 1978. Vol. 42. P. 114-116.

4. Niederreiter H. Knapsack-Type Cryptosystem and Algebraic Coding Theory // Problems of Control and Information Theory. 1986. Vol. 15. P. 159-166.

5. Сидельников В.М. Открытое шифрование на основе двоичных кодов Рида - Маллера // Дискретная математика. 1994. Т. 6, вып. 2. С. 3-20.

6. Деундяк В.М., Косолапое Ю.В. Криптосистема на индуцированных групповых кодах // Моделирование и анализ информ. систем. 2016. Т. 23, вып. 2. С. 137-152.

7. Веденее К.В., Деундяк В.М. Коды в диэдральной групповой алгебре // Моделирование и анализ информ. систем. 2018. Т. 25, вып. 2. С. 232-245.

8. Веденее К.В., Деундяк В.М. Решётки подгрупп и кодов на диэдральной группе // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2018. № 3. С. 18-24.

9. Terras A. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 442 p.

10. ДеундякВ.М., ЛеоновД.А. Быстрое преобразование Фурье и решение сверточных уравнений на группе Гейзенберга над простым полем Галуа // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2016. № 2. С. 46-53.

References

1. Shnaier B. Prikladnaya kriptografiya. Protokoly, algoritmy, iskhodnye teksty na yazyke si [Applied crypt-

ography. Protocols, algorithms and source code in C]. Moscow: Triumf, 2002, 815 p.

2. Shor P.W. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring. Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. Los Alamitos, CA: IEEE Computer Society Press, 1994, pp. 124-134.

3. McEliece R.J. A Public-Key Cryptosystem Based on Algebraic Coding Theory. JPL Deep Space Network Progress Report. 1978, vol. 42, pp. 114-116.

4. Niederreiter H. Knapsack-Type Cryptosystem and Algebraic Coding Theory. Problems of Control and Information Theory. 1986, vol. 15, pp. 159-166.

5. Sidel'nikov V.M. Otkrytoe shifrovanie na osnove dvoichnykh kodov Rida - Mallera [Open coding based on Reed-Muller binary codes]. Diskretnaya matematika. 1994, vol. 6, Iss. 2, pp. 3-20.

6. Deundyak V.M., Kosolapov Yu.V. Kriptosistema na indutsirovannykh gruppovykh kodakh [Cryptosystem Based on Induced Group Codes]. Modelirovanie i analiz inform. sistem. 2016, vol. 23, Iss. 2, pp. 137-152.

7. Vedenev K.V., Deundyak V.M. Kody v die-dral'noi gruppovoi algebre [Codes in dihedral group algebra]. Modelirovanie i analiz inform. sistem. 2018, vol. 25, Iss. 2, pp. 232-245.

8. Vedenev K.V., Deundyak V.M. Reshetki pod-grupp i kodov na diedral'noi gruppe [The lattices of subgroups and codes over dihedral group]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2018, No. 3, pp. 18-24.

9. Terras A. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2001,442 p.

10. Deundyak V.M., Leonov D.A. Bystroe preobra-zovanie Fur'e i reshenie svertochnykh uravnenii na gruppe Geizenberga nad prostym polem Galua [Fast Fourier transform and solution of convolution equations on the Heisenberg group over the simple Galois field]. Ekol. vestn. nauch. tsentrov ChES. 2016, No. 2, pp. 4653.

Поступила в редакцию /Received_26 сентября 2018 г. / September 26, 2018