CC BY
17
Scientific journal
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Швець В.О. Коли i як мае формуватися поняття алгебраЧного виразу в Kypci алгебри i початш анал'зу. Ф'!зико-математична осв'та. 2020. Випуск 1(23). С. 152-156.
Shvets V. When and how the concept of algebraic expression should be formed in the course of algebra and the beginnings of analysis. Physical and Mathematical Education. 2020. Issue 1(23). Р. 152-156.
DOI 10.31110/2413-1571-2020-023-1-025
В.О. Швець
Нацюнальний педагогiчний унверситет iменi М.П. Драгоманова, Украша
kmmvm@ukr.net ORCID: 0000-0003-2084-1336
КОЛИ I ЯК МАе ФОРМУВАТИСЯ ПОНЯТТЯ АЛГЕБРАТЧНОГО ВИРАЗУ в КУРС1 АЛГЕБРИ I ПОЧАТК1В АНАЛ1ЗУ
АНОТАЦЯ
Формулювання проблеми. Реформування шктьноУocBimu в Укра)'н'!, зокрема шктьноУматематичноÏ, передбачае вирiшення цлого ряду завдань: удосконалити змст шкльного курсу математики; чтко описати вимоги до математично)'пдготовки учн'в; створити новi за змстом державнi навчальн програми з математики; пдготувати i видати навчальн п/'дручники i т. п. Зрозумло, що при цьому будуть використанi попередн напрацювання, якi у св'тл'! вимог реформи мають доопрацьовуватися, оновлюватися, створюватися заново. Все позитивне мае зберегтися, застарле оновитися, нове, актуальне, необхiдне - створитися. Сказане стосуеться i навчальних програм з математики та шкльних п/'дручник/'в з математики. Зокрема, це стосуеться курсу алгебри i початшв анал'зу, що вивчаеться в старшiй профiльнiй школi.
Матер/'али i методи. Для досягнення цлей статт'1 ми використовуемо емтричн': методи: спостереження за навчальним процесом учн'ю пд час ïx навчання i анал'в результат'в ïxmx досягнень. У досл'дженн': також використовувалися методи наукового пiзнання: порiвняльний анал'з для з'ясування рiзниx погляд'в на проблему та визначення напрямку досл'дження; систематизаця та узагальнення для формулювання висновшв та рекомендацй; узагальнення авторського педагог'много досв'ду та спостережень.
Результати. У статт '1 говориться про формування змсту поняття алгебра'1'чного виразу в курсi алгебри i початшв аналiзу для старшо)'профльноï школи. З поняттям алгебра'1'чного виразу школярi знайомляться ще в основнiй школi. Вони мають уявлення про такий вираз, обiзнанi з деякими його видами, властивостями. Вмють використовувати отримаш знання пд час розв'язування рiвнянь, нерiвностей та ïx систем, запис'ю функ^ональнихзалежностей м'ж величинами, розв'язування прикладних задач. Однак, знання учн'ю основно)' школи (пiдлiткiв) сформованi (в силу ïx в'шових можливостей) на наочно-оперативному рiвнi. Бракуе систематичних теоретичних знань. Про це сл'д потурбуватись в старшiй, профiльнiй школi. Адже ÏÏ вихованцями е старшi учн юнацького в/'ку, з бльшими задатками i можливостями.
У статт'1 пропонуеться розпочати вивчення курсу алгебри i початшв аналiзу з розгляду в 10 клаа першо'1' теми "Вирази, функ^я, рiвняння i нерiвностi". В межах ц'е)' теми сл 'д сформувати в учн 'ю (методом доцльних задач) цлком прийнятне означення поняття алгебра'1'чного виразу, яке буде учням зрозумлим, доступним. Заодно появляеться нагода зробити ретроспективний аналiз тих виразiв (числових, буквених, одночлен'ю, многочлен'ю, дробiв i т. п.), якi вивчались в основн'ш школi i представляються в уявi учн'ю як розрiзненi, як такi, що не мають спльних ознак. Таким чином виршуеться два завдання: повторюються i систематизуються знання курсу алгебри за основну школу (частков '1 i з курсу математики 5-6 класв); створюеться нова методолог'чна основа для вивчення в старшiй школi iншиx видв виразiв - iррацiональниx, степеневих, показникових, тригонометричних, логарифм'чних, векторних тощо.
Висновки. Такий п'дх'д нацлюе учив на подальшi розвiдкu в математиц на заняттях факультативу, у вищих навчальних закладах, де математика вивчаеться одночасно на розширеному та поглибленому рвнях. Стаття мстить конкретт методичн рекомендацп i адресована вчителям, студентам-математикам вuшiв, розробникам шшльних навчальних програм з математики, пiдручнuкiв з курсу алгебри i початшв анал'ву, астрантам, науковцям в галуз'1 теор 'йта методики навчання математики.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: навчальна програма з математики, алгебра i початки анал/'зу, алгебра)'чний вираз, дйз алгебра'1'чними виразами, старша профiльна школа.
ВСТУП
Старша школа - наступна сходинка тсля основной у здобуванн середньо!' освти школярами. Тепер навчання математики в нш вщбуваеться за двома державними програмами: рiвень стандарту та профтьний рiвень (Навчальн програми 2020). Яким же мае бути початок вивчення курсу алгебри i початшв аналiзу за програмою профтьного рiвня?
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
C/i
scientific journal
Хочу подтитися своУми пропози^ями, яю, на мое переконання, мають бути врахован в роботi з удосконалення програм (Навчальнi програми 2020), а також альтернативних шктьних пiдручникiв, за якими ц програми реалiзуються.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Для досягнення цiлей статтi ми використовуемо емпiричнi методи: спостереження за навчальним процесом учнiв пщ час Ух навчання i аналiз результатiв íхнiх досягнень. У дослщжены також використовувалися методи наукового тзнання: порiвняльний аналiз для з'ясування рiзних поглядiв на проблему та визначення напрямку дослщження; систематизацiя та узагальнення для формулювання висновкiв та рекомендацш; узагальнення авторського педагогiчного досвiду та спостережень.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ I ОБГОВОРЕННЯ
Вважаю, що найпершою темою 10 класу з алгебри i почат^в аналiзу мае бути тема "Вирази, функцп, рiвняння i нерiвностiм. На вивчення якоУ програмою вiдведено 34 години. Вщомо, що змiст курсу алгебри основноУ школи зосереджений переважно на розглядi трьох важливих змктових лiнiй: вирази /' ¡х перетворення, функцп та ¡х графiки, рiвняння i нерiвностi.
Знайомство учыв (тдлгшв) з теоретичним матерiалом вiдбулося, в основному, на наочно-оперативному рiвнi, а мае продовжуватись зi старшокласниками (юнацький в^к) пiд час вивчення курсу алгебри i початкiв аналiзу в 10-11 класах, на вищому - теоретико-практичному рiвнi. Саме тому важливо посилити теоретичн аспекти, зокрема визначитися не ттьки з поняттям функщя, рiвняння (нерiвнiсть), а й з поняттям алгебраУчного виразу. Тим бтьше, що логiко-математичний досвiд випускникiв основноУ школи цьому сприяе. Адже вони мають поняття про одночлен, многочлен, дробово-рацiональний та iррацiональний вирази, вм^ть з ними виконувати вщповщн перетворення. Надалi Ух чекае вивчення степеневих виразiв (з рацiональним показником), тригонометричних, показникових, логарифмiчних та Ыших виразiв. Тому доречним е зупинитися на визначенн таких понять як алгебрачний вираз, тотожно р'юш алгебра¡чнi вирази, перетворення виразу, обчислення його значення, доведення тотожно¡' рiвностi двох алгебрачних виразiв i т. п. На сьогоды, в середнш школ^ це лишилося поза увагою, бiльше робляться акценти на визначенн таких понять як функцiя, рiвняння, нерiвнiсть, та iнших, пов'язаних з ними.
Поняття алгебрачний вираз (та шил, пов'язаш з ним) - фундаментальне в науц математика, воно чгтко визначаеться. Студенти-математики вишiв, ям вивчають, наприклад, вищу алгебру, загальну алгебру та шшл математичнi дисциплЫи, можуть вiдповiсти на запитання "Що таке алгебрачний вираз?" 1х вщповщь буде лаконiчна i зрозумiла лише для окремих фахiвцiв.
Наприклад, вони можуть вщповщати так:
"Нехай (А; О) - деяка алгебра, а Х - множина, яка не перетинаеться з А i О. Елементи множини Х назвемо зм'шними. Алгебрачним виразом (термом) в алгебр'1 (А; О) називають:
1) ва елементи /'з А / ва елементи '¡з Х;
2) якщо операц/'я *к Е О /' мае ранг пк, а В2, ... Вп - терми (алгебра¡чнi вирази), то *к (В1, В2, ... ВП)с) теж алгебрачний вираз;
3) iнших алгебрачних виразiв не /'снуе (Виленкин 1980)."
Зрозумто, що в шктьному кура математики використати дане означення неможливо, його учн не зрозум^ть. Тому, потрiбно йти шшим шляхом: вщ простого до складного, поступово розкриваючи iстотнi властивостi даного поняття. У зв'язку з цим пропоную, використавши метод доцiльних задач, розв'язати спочатку з учнями, наприклад, таку нескладну задачу.
Задача 1. Вщомо, що тарифи за комунальн послуги для населення становлять: свпто (до 100 кВт) - 0,9 грн/кВт; природний газ - 1,3 грн/м3; квартплата (фтсована) - 456,96 грн. Скласти вираз, за яким можна буде розрахувати платежi за комунальн послуги щомкяця.
Для десятикласни^в вимога записати вираз особливих труднош^в не викличе. Обговоривши з учнями Ухн пропозицп приходимо до запису:
5 = 0,9 • х + 1,3 •у + 456,96, де 5 - сума платежу, х - ктьккть кiловат енергп, витраченоУ за мiсяць, у - кшьшсть кубiчних метрiв спаленого за мкяць газу. Нагадуемо учням, що такий запис називають алгебрачним виразом (а точыше - многочленом з двома змЫними). Звертаемо увагу учыв на те, як в математик будуеться такий запис: вибираеться множина чисел а, множина латинських лтер X = {а,Ь,с, ...х,у,г} - якими позначаються змшы величини та множина арифметичних операцм О = {+, -,х,:}. Отож, що ж таке алгебраУчний вираз?
Вщповщь напрошуеться сама собою.
Алгебрачний вираз - це запис, складений з'1 скнченного числа лiтер /' чисел, поеднаних знаками арифметичних дй (додавання, в'дшмання, множення, длення).
Далi звертаемо увагу учыв на те, що множина А - може бути множинною натуральних ы, цтих 1, дшсних я, комплексних С чисел, а множина о, ^м вказаних вище дш може мiстити одну дю всi чотири, дiю пщнесення до степеня (з натуральним, цтим, рацiональним, дiйсним показником, добування кореня i iн.). Оскiльки елементна база множин а, х, О може змшюватися, то, очевидно, в математик кнують рiзнi види алгебраУчних виразiв. Саме з цих позицiй доцтьно з учнями зробити ретроспективний аналiз тих знань, якi вони отримали про вирази в основый школ^ пiднявши Ух на вищий рiвень сприйняття математичних знань, заклавши нову методолопчну основу сприйняття, не ттьки нових тем курсу алгебри i почат^в аналiзу, а й геометрп та теорп ймовiрностей.
Доречними будуть також наступнi "вiдкриття" для десятикласни^в:
1) Нехай множина А = Ы (множина натуральних чисел), Х = 0 (порожня множина) 0={+,-,х,:}. Тодi алгебрачними виразами будуть:
53 + 48 : 9; 243 • (218 - 131) + 621; (2203 - 513) • 231 - 1923.
1х вони вивчали в 5 клаа, називали числовими виразами, вчилися читати, обчислювати i використовувати пщ час розв'язування текстових задач арифметичними способами.
2) Нехай А = Z (множина цтих чисел), X = 0 (порожня множина)
О = {+, -,х, :}. Тодi алгебрачними виразами будуть:
(-2)- 7 + 249; 243 • (131 - 218) - 621; (513 - 2203) • (-221) + 1923.
1х вони вивчали в 6 клаа, називали числовими виразами, вчилися читати, обчислювати значення та використовувати (як модел^ пщ час розв'язування текстових задач.
3) Нехай А = Q (множина рацюнальних чисел), X = {а, Ь, с, ...x,y,z} - множина латинських лтер, якими позначають змшы величини, О = {х} - множина, яка мктить лише одну операщю - множення.
Тодi алгебра)'чними будуть вирази:
0,5-х; 2,1abc; ^avz; 0,3аЬ • 12 • ас; —.
3 j '2
Це вiдомi учням одночлени, ям вони вивчали в 7 клаа в кура алгебри. Вони вм^ть зводити Ух до стандартного виду, обчислювати числове значення для вщомих числових значень змшних.
4) Нехай А = Q (множина рацюнальних чисел), X = {а, Ь, с, ...x,y,z} - множина латинських лтер, якими позначають змшы величини, О = {+, -,х}. Тодi алгебрачними будуть вирази:
2х2 + 3y + 2; 6ху-0,2y + z2; 1,2ax2 + ax - a2.
Це многочлени, ям учн вивчали в 7 клаа, при цьому вчились зводити до стандартного виду, вивчали формули скороченого множення, розкладали на множники, обчислювали числове значення для вщомих числових значень змшних, доводили тотожност i т. п. Доречно буде повщомити, що якщо множина А = Z, то матимемо многочлени з цшими коефцентами, ям мають чимало цтавих властивостей.
5) Нехай А = Q (множина рацюнальних чисел), X = {a, Ь, с, ...x,y,z}, а
О = {+, -,х, :} (додали дю дтення). Тодi алгебрачними будуть вирази:
х , у , _ 4х2-49 1 2х+7 а-5 - +---+2;---- ■ -
у х ' 2х+5 4х2+14х 4Х2-10Х ' а2-25'
Це дробовi рацiональнi вирази, ям учн вивчали у 8 класi, при цьому вчились Ух спрощувати, доводити тотожносп, обчислювати числовi значення, використовувати як математичн моделi пiд час розв'язування прикладних задач тощо.
6) Нехай А = R (множина дшсних чисел), X = {а, Ь, с, ...x,y,z}, а
О = {+,-,х, :,V} (додали ще одну дю - добування арифметичного квадратного кореня). Тодi алгебра'1'чними будуть вирази:
3х _ aVä -1 xVx+у^у _ х-у
7Vx' а+Vä +1 ' ^ху+у ' х-у Vx+^
Це iррацiональнi вирази (мютять змiнну пщ знаком кореня), якi учнi вивчали у 9 клаа, при цьому вчились встановлювати Ух область допустимих значень змшних, перетворювати, доводити тотожносп, обчислювати числовi значення, використовувати пщ час розв'язування рiвнянь i нерiвностей, як математичнi моделi пiд час розв'язування прикладних задач тощо.
Впевнений, що цтавими для учыв виявляться i такi "вщкриття". Не з курсу алгебри основноУ школи.
7) Нехай А = r, X = {а, Ь, с,... x,z} - (множина векторiв на площиы),
О = {+, -, •} - де "-" i "+" операцiï вiднiмання i додавання векторiв, " • " опера^я множення вектора на число. Тодi алгебра)'чними будуть вирази:
2а; а + 2Ь ; 2 • (а - й) + с ; 2а - 3Ь .
Це векторн вирази, ям учн вивчали у кура геометрп основноУ школи.
8) Нехай А = 0 (порожня множина), X = {ß,C,D,... У} - множина, елементами якоУ е пщмножини деякоУ унiверсальноï множини U. О = {и,П,/} - множина операцш над множинами: об'еднання, перетин, рiзниця. Тодi, алгебра)'чними будуть вирази:
ßUC; Bu(cnö) ; В П С U CD.
З ними учн знайомi з основноУ школи, вчились використовувати пщ час розв'язування рiвнянь, нерiвностей i Ух систем, пщ час вiдшукання областi визначення функ^У i т. п.
Цей список прикладiв, при потребi, можна продовжити, але вистачить i цих, щоб десятикласники усвiдомили iстотне i зробили узагальнен висновки:
- алгебра'чний вираз це скнченний запис (певна символьна модель);
- вiн зроблений за допомогою елементiв множин А (множина чисел),
X = {а, Ь,...} - множина букв латинського алфавту, О - множина опера^й (д'ш) над елементами вказаних множин;
- залежно вiд елементно)' бази вах трьох множин А, Х, О - алгебраïчнi вирази бувають р'вш, iстотно в'др'!зняються один вiд одного.
Не менш важливим буде наголосити учням на важливост вивчення алгебраУчних виразiв, осмльки вони мають широке застосування як у побуп, так i при вивченн шших роздЫв математики та сумiжних дисциплш, i у математичному моделюванн реальних процеав i явищ.
Такий пщхщ (конкретно-iндуктивний) до формування поняття алгебраУчного виразу, як важлива методологiчна основа, дае можливють надалi вивчати в кура алгебри i початмв аналiзу:
- степенев'1 вирази з рацюнальним показником (Л = й; X = {аг1,аг2, ...},
О = {+, -,Х, :});
- тригонометричнi вирази (Л = й; X = {sin а, cos а, tga, ctga}, де a £fi,
0 = {+,-,Х,:};
- показников'1 вирази (Л = й; X = {а*,Ь* ...}, де a, b - додатнi числа, х, у - дшсы числа, О = {+, -,х, :};
- логарифмiчнiвирази (А = й; X = [lna,\oga b,1дс ...}, О = {+, -,х,:}. Учыв n0Tpi6H0 познайомити з такою перспективою.
Важливо також наголосити, що пщ час вивчення рiзного виду алгебраУчних виразiв y4Hi мають оволодiти такими компетентностями:
- читати алгебраУчний вираз, встановлювати його область допустимих значень змЫних;
- виконувати тотожн перетворювання алгебраУчного виразу, спираючись на вщповщн тотожнi рiвностi;
- доводити тотожну рiвнiсть двох алгебраУчних виразiв;
- обчислювати значення алгебраУчного виразу для вщомих числових значень змЫних;
- застосовувати знання i вмшня про алгебраУ,чнi вирази п^д час розв'язування рiвнянь, нерiвностей, прикладних задач, де ц вирази являються математичними моделями реальних процеав i явищ.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШИХ ДОСЛЩЖЕНЬ
Подальше поглиблене i розширене вивчення алгебраУчних виразiв мае вiдбуватись на факультативних заняттях, у вишах. Адже залишаеться ще багато не з'ясованого:
- чому запис називаеться алгебрачним iяк це пов'язано з терм'шом алгебра; -якою ще може бути елементна база множини Х, кр'м латинськихл'тер;
- що таке математична опера^я, якою вона бувае, якими властивостями волод'!е i т. п.
Такий поступальний рух i приведе школярiв до поняття алгебраУчного виразу i його визначення, як це подано на початку статп, та у поабнику (Виленкин 1980). Шлях цтавий, вс формулювання коректы, наочы, доступы школярам, ям обрали вивчення математики на профтьному чи поглибленому рiвнi.
Список використаних джерел
1. Бугай А. С. Короткий тлумачний математичний словник / За ред. С. М. Юро, Ю. М. Шмандша. К.: Рад. школа, 1964. 428 с.
2. Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973. 448 с.
3. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973. 400 с.
4. Навчальн програми для 10-11 клаав загальноосвт-лх навч. закладiв. URL: https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-dlya-10-11-klasiv.
5. Нелш £. П. Алгебра i початки аналiзу (профiльний рiвень): пiдручник для 10 кл. закладiв середньоУ освiти / £. П. Нелiн. Харюв: Ранок, 2018. 272 с.
6. Нелш £. П. Алгебра i початки аналiзу (профiльний рiвень): пщручник для 11 кл. закладiв середньоУ освiти / £. П. Нелш. Харкiв: Ранок, 2019. 240 с.
7. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1988. 887 с.
8. Современные основы школьного курса математики / Н. Я. Виленкин, К. Н. Дуничев, Л. А. Калужнин, А. А. Столяр. М.: Просвещение, 1980. 289 с.
References
1. Buhai A.S. (1964) Korotkyi tlumachnyi slovnyk [Short dictionary]. Kyiv: Rad. Shkola. [in Ukrainian]
2. Kaluzhnin L.A. (1973) Vvedeniye v obshchuyu algebra [Introduction to general algebra]. Moscow: Nauka. [in Russian]
3. Kurosh A.L. (1973) Lekcii po obshchey algebra [Lectures on general algebra]. Moscow: Nauka. [in Russian]
4. Navchalni programy dlia 10-11 klasiv zagalnoosvitnih navch. zakladiv. (2020) [Curricula for 10-11 grades of secondary schools]. Retrieved from https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-dlya-10-11-klasiv 04 of May 2020.
5. Nelin Ye. P. (2018) Algebra i pochatky analizu (profilnyi riven). Pidruchnyk dlia 10 klasu zakladiv serednioyi osvity [Algebra and beginnings af analysis (profiled level). Textbook for 10 grade of secondary schools]. Kharkiv: Ranok. [in Ukrainian]
6. Nelin Ye. P. (2019) Algebra i pochatky analizu (profilnyi riven). Pidruchnyk dlia 11 klasu zakladiv serednioyi osvity [Algebra and beginnings af analysis (profiled level). Textbook for 11 grade of secondary schools]. Kharkiv: Ranok. [in Ukrainian]
7. Prokhorov Yu. V. (editor) (1988) Matematicheskiy enciklopedicheskiy slovar [Math encyclopedic dictionary]. Moscow: Sov. Enciklopedia. [in Russian]
8. Vilenkin N. Ya. et al. (1980) Sovremennye osnovy shkolnogo kursa matematiki [Modern basis of the school course of mathematics]. Moscow: Prosveshcheniye. [in Russian]
WHEN AND HOW THE CONCEPT OF ALGEBRAIC EXPRESSION SHOULD BE FORMED IN THE COURSE OF ALGEBRA AND THE BEGINNINGS OF ANALYSIS Vasyl Shvets
National Dragomanov Pedagogical University, Ukraine
Abstract.
Formulation of the problem. The reform of school education in Ukraine, particularly in school mathematics, involves the solution of a number of tasks: improving of the school mathematics course content; clear description of the requirements for mathematical preparation of students; creation of new content for the state curriculum in mathematics; preparation and publishing textbooks, etc. It is clear that this will use the previous developments, which under requirements of the reform should be refined, updated, and re-created. Everything positive must be preserved and outdated, but everything new, relevant and necessary should be created. The above can be applied to mathematics training programs and school mathematics textbooks. In particular, it is applied to the course of algebra and the beginnings of analysis, which is studied in the senior profiled school. Materials and methods. To achieve our goals, we use some empirical methods: observing the learning process of students and analyzing the results of their achievements. In the article we also use methods of scientific cognotion: benchmarking to find out different views on
the problem and determine the direction of the study; systematization and generalization to formulate conclusions and recommendations; generalization of the author's pedagogical experience.
Results. In the article we deal with the formation of the content of the concept of algebraic expression in the course of algebra and the beginnings of analysis for the senior profiled school. Students get acquainted with the notion of algebraic expression in basic school. They have an idea of such an expression, familiar with some of its types, properties. They are able to use the acquired knowledge in solving equations, inequalities and their systems, records of functional dependencies between quantities, solving applied problems. However, the knowledge of basic school students is formed at a visual and operational level. There is a lack of systematic theoretical knowledge. This should be taken care of in the senior, specialized school. In this type of school we deal with older students with greater inclinations and opportunities.
In the article we propose to begin the study of the course of algebra and the beginnings of analysis on consideration in the 10th grade of the first topic "Expressions, Function, Equations and Inequalities". Within this topic, it is necessary to formulate a well-defined definition of algebraic expression for students (appropriate method) that will be accessible to students. At the same time, there is an opportunity to make a retrospective analysis of those expressions (numerical, alphabetic, polynomials, polynomials, fractions, etc.) that were studied in basic school and presented to the imagination of students as disparate as those without common features. Thus, two problems are solved: knowledge of the course of algebra for basic school is repeated and systematized and new methodological basis is created for studying in the high school other types of expressions - irrational, degree, exponential, trigonometric, logarithmic, vector, etc.
Conclusions. This approach encourages students to further study in mathematics in elective classes, in higher education institutions where mathematics is studied at both advanced and in-depth levels. The article contains specific methodological recommendations and is addressed to teachers, students-mathematicians, developers of school curriculum in mathematics, textbooks on the course of algebra and the beginnings of analysis, graduate students, scholars in the field of theory and methodology of teaching mathematics.
Keywords: mathematics training program, algebra and the beginnings of analysis, algebraic expression, actions with algebraic expressions, senior profiled school.
