КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ТЕРМОУПРУГОМ ИЗГИБЕ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ТЕПЛОПРОНИЦАЕМЫМ РАЗРЕЗОМ В СЛУЧАЕ СИММЕТРИЧНОГО ТЕПЛООБМЕНА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№4 (81) / 2022.

УДК 539.3

doi:10.24412/0136-4545-2022-4-53-62 EDN:SKFHUL

©2022. Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев

КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ТЕРМОУПРУГОМ ИЗГИБЕ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ТЕПЛОПРОНИЦАЕМЫМ РАЗРЕЗОМ В СЛУЧАЕ СИММЕТРИЧНОГО ТЕПЛООБМЕНА

В рамках обобщённой теории {1,0}-аппроксимации построены аналитические выражения для максимальных по модулю значений коэффициентов интенсивности напряжений в изотропной пластине с теплопроницаемым разрезом. Численные исследования выявили влияние величины симметричного теплообмена и теплофизических свойств разреза на коэффициенты интенсивности температурных напряжений для поперечного и продольного сдвига при действии градиента температурного момента.

Ключевые слова: {1,0}-аппроксимация, полиномы Лежандра, изотропная пластина, теп-лопроницаемый 'разрез, коэффициент интенсивности напряжений.

Введение. Тонкостенные элементы конструкций широко используются в различных отраслях современной техники и промышленности - в авиационной, ракетно-космической, автомобильной и др. В процессе эксплуатации таких элементов конструкций в них могут появляться повреждения в виде трещин и другие трещиноподобные дефекты. Расчёты элементов с трещинами целесообразно проводить с использованием линейной механики разрушения, в рамках которой определяются коэффициенты интенсивности напряжений (КИН). Об актуальности решения задач механики разрушения свидетельствует ряд публикаций последних лет [1, 2].

Тонкостенные элементы конструкций с целью улучшения их прочностных и жесткостных характеристик часто изготавливаются из новых композиционных материалов, что обуславливает необходимость учёта явлений, связанных с поперечными сдвигами и обжатием. В связи с этим построение обобщённых теорий пластин является весьма актуальным [3, 4].

Необходимость учёта температурных полей вносит дополнительные трудности в расчёт КИН. В ряде современных публикаций [5-8] рассмотрены различные аспекты решений задач термоупругости и теплопроводности.

Целью работы является выявление влияния теплообмена с внешней средой на лицевых поверхностях пластины (при его симметричном характере) и параметра теплопроницаемости разреза на КИН в изотропной пластине с трещиной, подверженной воздействию градиента температурного момента. Настоящая статья продолжает исследования, начатые в публикации [9], в которой аналогичные исследования проводились для изотропной пластины с теплоизолирован-

ным разрезом.

1. Постановка задачи. Рассмотрим изотропную пластину толщины 2Н с теплопроницаемым разрезом Ь в безразмерной системе координат Ох1х2хз с нормирующим параметром в виде полутолщины пластины Н. На лицевых поверхностях пластины осуществляется конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой нулевой температуры. Предполагаем, что теплообмен имеет симметричный характер: Бг+ = Бг- = Бг, где Бг± - параметры теплообмена на лицевых поверхностях (критерии Био).

Исследование термоупругого состояния пластины с разрезом будем осуществлять на базе обобщённой теории пластин в варианте {1,0}-аппроксимации. В рамках данного приближения компоненты термоупругого состояния представляются в виде рядов Фурье по полиномам Лежандра Pk от толщинной координаты х3 таким образом [10, 11]:

• температура

Т (Х1,Х2,Х3) = То(х1,Х2)Ро(Хз) + Т1(Х1,Х2)Р1(Хз),

где Т0(х1,х2) - средняя температура; Т1 (х1,х2) - температурный момент;

• компоненты вектора перемещений

П1 (Х1,Х2,Х3) = и(х1 ,Х2)Ро (хз) + 71 (Х1 ,Х2)Р1 (хз);

П2(х1,Х2,хз) = У(Х1,Х2)Р0 (хз) + 72 (х1 ,Х2р (хз);

из(Х1 ,Х2,Хз) = -Шо(Х1 ,Х2)Ро(хз),

где и(х1 ,х2), у(х1,х2), ,шо(х1,Х2), 7к(х1,х2) - обобщённые перемещения, из которых и(х1,х2), у(х1,х2) являются аналогами перемещений точек срединной поверхности, w0(x1,x2) - аналог прогиба пластины, 71(х1,х2), 72(х1,х2) - аналоги углов поворота нормали;

• компоненты тензора напряжений

1 3

(Ткк{х 1,ж2,ж3) = -Л^(ж1,ж2)Ро(жз) + ^мк(х1,х2)Р1(х3) (к = 1, 2);

13 <712(ж1,ж2,жз) = -5"(ж1,ж2)Ро(ж3) + -Я(ж1,ж2)Р1(ж3);

^з(ж1,ж2,жз) = ^<Эа;о(ж1,ж2)(Ро(жз) - Р2(х3)) (к = 1, 2); &зз(Х1 ,Х2 ,Хз) = 0,

где N(Х1,Х2), S(Х1,Х2), мк(Х1,Х2), Н(Х1,Х2), Яко(х1,Х2) - обобщённые внутренние силовые факторы, из которых Ы1(х1,х2), М2(х1,х2), S(х1,х2) являются аналогами мембранных усилий, М1(Х1,Х2), М2(х1,х2) - аналоги изгибающих моментов, Н(х1,х2) - аналог крутящего момента, Я10(х1,х2), Я20(х1,х2) - аналоги перерезывающих сил.

Мембранные усилия и перерезывающие силы определены с точностью до множителя ЕН (Е - модуль Юнга), а моменты - с точностью до ЕН2.

Уравнения обобщённой теории пластин в варианте {1,0}-аппроксимации включают в себя [10, 11]:

• первое приближение трёхмерного уравнения теплопроводности, записанное для случая симметричного теплообмена с внешней средой:

Атк - р2тк = о (к = о, 1), (1)

где

2 _ 3Вг 2 _ 15(Вг + 1) _ дР_ д2 Ро~:шТз; 91 ~ Вг + 6 ; Щ + дЩ]

• уравнения Дюамеля-Неймана в перемещениях

ди ду

М1 = В0\ — + V---а(1 + и)Т0

[ дх1 дх2

I ду ди

М2 = В0{ — + 1У—-а(1+1у)Т0 [ дх2 дх1

м2 = ДЛ^ +,|21_а(1 + 1,)тЛ; н = (р.+ £>).,

[дх2 дх1 ) 2 \дх2 дх1)

<ЭгО = Л0 + (¿ = 1,2),

где V - коэффициент Пуассона; а - температурный коэффициент линейного расширения;

Во = ЗД) = --о! ^о =

1 - V2 0 6(1+ V)'

уравнения равновесия

д^1 дБ дБ дН2 п дМ1 , дн

~я--— = и' я--— = и' ~я----Ую = и;

дх1 дх2 дх1 дх2 дх1 дх2

дН дМ2 дЯюмдЯ20

я--г ~я--"20 = и' ~~я--г ~~я- = и- У6)

дх1 дх2 дх1 дх2

Компоненты термоупругого состояния в пластине с разрезом С* представим в виде суммы:

С* = Со + С,

где С° - компоненты термоупругого состояния в сплошной пластине (основного термоупругого состояния), которое считаем известным; С - компоненты возмущённого термоупругого состояния, обусловленные наличием теплопроницаемого разреза.

Граничнные условия на линии разреза Ь с нормалью п = (п1,п2) формулируются для задачи теплопроводности (1) с учётом теплопроницаемости разреза [12], а для задачи термоупругости (2), (3) - соответствующие случаю свободных берегов разреза и отсутствия контакта между ними [13]. Помимо этого, для задачи (2), (3) предполагается, что компоненты основного термоупругого состояния С° на линии разреза равны нулю. Таким образом, с учётом вышесказанного, граничные условия имеют вид:

для компонент температуры [12]:

дТк

дп

дТ °

-Рп[Тк] = - к

дп

(к = 0, 1), (4)

ь

где [С] - скачок функции С при переходе через линию разреза Ь;

Л* Л 5

О _ Л ЛС с-* _ 5

А - у, 6 -у,

Л* - относительная теплопроводность промежуточного слоя; Лс - теплопроводность материала промежуточного слоя, расположенного между берегами трещины; Л - теплопроводность материала пластины; 5* - относительное раскрытие разреза; I - половина длины разреза; 5 - раскрытие трещины;

• для коэффициентов разложений компонент тензора напряжений [13]:

N \ь = 0; Snt\ь = 0;

Мп\ь = 0; = 0; Яп\ь = 0, (5)

где Ып, Snt, Мп, Н^, Яп - обобщённые усилия и моменты на элементе длины разреза с нормалью п и касательной Ь:

Ып = п2^1 + 2nln2S + п22^2; Snt = п^Ъ - N2) + (п22 - n2l)S;

Мп = п2М1 + 2пт2Н + п2М2; Нпг = щтМ - М2) + (п22 - п\)Н;

Яп0 = ЩЯю + п2Я20.

Первые два граничных условия (5) задаются для компонент безмоментного термоупругого состояния, а последние три - для компонент состояния термоупругого изгиба пластины.

ь

Будем рассматривать только такие пластины, в которых разрез Ь удалён от линии внешней границы на расстояние, значительно превышающее длину разреза. В этом случае компоненты возмущённого термоупругого состояния С пренебрежимо малы у линии внешнего граничного контура и определяются лишь условиями (4), (5), заданными на линии разреза.

2. Методика решения задачи. В статье [14] было построено решение приближения порядка N трёхмерного уравнения теплопроводности для изотропной пластины с теплопроницаемым разрезом для случая произвольного теплообмена. Полагая в полученных в [14] соотношениях

N = 1; Бг+ = Бг- = Бг,

получим решение задачи теплопроводности (1), (4).

Рассмотрим прямолинейный теплопроницаемый разрез длины 21, расположенный вдоль оси абсцисс симметрично относительно начала координат:

Ь = {(Х1 ,Х2) е М2 : Ы<1,Х2 = 0} . (6)

Применим к соотношениям термоупругости (2), (3), (5) двумерное интегральное преобразование Фурье, учитывающее разрывный характер искомых функций на линии разреза Ь. Используя методику обращения, основанную на применении специальной О-функции [13], запишем интегральные представления компонент возмущённого термоупругого состояния для разреза (6) (в - координата точки на линии разреза):

к 1

Р]{х 1, ж2) = -—£ / К%{Х1 - 1з, х2)Ф1Шз, (7)

к=111

где Р^ - обобщённые внутренние силовые факторы:

P0 = Ni; P0 = N2; P0 = S; P1 = Mi; P2, = M2; P^ = H; Plk = Qk-3,0;

'4 для P0-P0; 5 для Pi, P1; 7 для PI-P31;

Фк = Фк(s) - искомые функции:

/ О _ . ,0 _ d\v\. ,1 _ Ф1]. ,i _ ф2]. , 1 _ d[w0] _

У3-—'

Ф\ = [7ij; Ф1 = [72]; ФО = Ф1 = [То ]; Ф0 = Ф1 = [Ti].

Ядра в формулах (7) представляют собой линейные комбинации специальных С-функций, например:

СХГ

К°ы{х 1 -1з,х2) = — -зтЗ^21(0} ,

где г, ф - координаты точки в полярной системе координат:

Х\ — 1з . Х2

г = ^ (х 1 — 1з)2 + Ж2; сов(^ = —--; вшу?

г

-(г) = Со— (рог) + (р1г);

Со, С1 - коэффициенты, зависящие от критерия Био; Сп,у(г) - специальная С-функция, выражающаяся через функцию Макдональда Ки (г) [15].

В результате подстановки интегральных представлений (7) в граничные условия (5) задача термоупругости сведена к двум системам сингулярных интегральных уравнений (СИУ), описывающих при | ^ 1

• безмоментное термоупругое состояние:

1 1 Ф0(в) о

- = С) И = 1,2); (8)

^ в - с -1

• состояние термоупругого изгиба:

1 \ 3 1

± Г +± £ гЕ}к(( - 8)ф\{8)й8 = е}(о и = м), (э)

где разностные ядра зависят от специальной С-функции и её первообразной (г) , например:

Дп(С - в) = -1,5Л0/2(С - *)С2>0 [л/%Ъ1\С - +

+0,3 л081ёп (С - 5) {/С2>2 - 5|) - 1С0,0 (У^К - в|) } •

Правые части систем СИУ (8), (9) содержат интегралы от скачков компонент температуры [Тк] с разностными ядрами, представляющими собой линейные комбинации специальных С-функций.

В результате решения систем СИУ (8), (9) находятся все искомые функции Фк, за исключением функций ф0, ф4, Фб, Ф7, являющихся решением задачи теплопроводности (1), (4). После определения искомых функций фк значения компонент возмущённого термоупругого состояния в любой точке пластины могут быть найдены с использованием интегральных представлений (7).

Максимальные по модулю значения КИН для поперечного и продольного сдвига найдены путём сравнения коэффициентов при особенности r-1/2 в ненулевых компонентах тензора напряжений с известными асимптотическими представлениями напряжений [16]. На основании свойств полиномов Лежандра определено, что КИН Kii достигает максимального по модулю значения на одной из лицевых поверхностей пластины (хз = ±1), а Kiii - в срединной плоскости пластины (хз = 0), причём:

Кi?ax = 0,25\/тг^Я lim 1 \ipf(s)\ Vi ~ s2

= 0,375 lim { Щ(s) | л/l ~ s2}. (10)

3. Анализ результатов численных исследований. Численные исследования посвящены оценке влияния величины теплообмена Bi при его симметричном характере (Bi+ = Bi- = Bi) и теплофизических свойств теплопро-ницаемого разреза ßn на КИН температурных напряжений для поперечного и продольного сдвига (10). Расчёты проведены для разреза средней длины (l = 3) при значении коэффициента Пуассона v = 0,3. Предполагалось, что основное температурное поле в пластине изменяется по линейному закону. Тогда внутренние силовые факторы основного термоупругого состояния не возникают [17]. Поэтому оценивалась только составляющая КИН, обусловленная возмущённым температурным полем, вызванным наличием разреза.

На линии разреза (|xi| < l) предполагалось наличие лишь градиента температурного момента:

дТ?

дХ2

= 0;

Х2=0

дТ?

дХ2

= q1 = const = 0.

Х2 =o

Результаты численных исследований представлены на рисунке 1 и рисунке 2 в виде графиков зависимостей максимальных относительных значений КИН от уровня теплообмена, представленного в логарифмической шкале (^ Бг), при различных значениях параметра теплопроницаемости разреза /Зп.

На рисунке 1 представлены графики максимальных относительных значений КИН для поперечного сдвига КТах, а на рисунке 2 - для продольного сдвига Кщах. Значения КИН даны с точностью до величины К* = сщ\Ел/Ш/4, которая соответствует значению КИН в пластине без теплообмена при действии однородного потока тепла интенсивности перпендикулярно линии разреза [16]. Кривые 1 - 5 на рисунке 1 и рисунке 2 отвечают следующим значениям параметра теплопроницаемости разреза вп: 0 (теплоизолированный разрез); 0,01; 0,1; 1; 10 соответственно.

Из графиков на рисунке 1, 2 следует, что с увеличением теплообмена максимальные относительные значения КИН как поперечного, так и продольного

т,- шах ки

0,8

0,4

<>«............ШШИК!!]!!):,,.^ 1,2

ч

3 4 Л. Л

/1

1

1-р, = 0; 2-р„ = 0,01; 3 — р„ = 0,1;

4-р„=1;

5-р„=10

сплошные -1=3 пунктирные —/=1

-2 -1 О 1&В1

Рис. 1. КИН для поперечного сдвига

-3 -2 -1 0 1

Рис. 2. КИН для продольного сдвига

сдвига уменьшаются. Такой характер зависимости этих КИН подобен их поведению в случае теплоизолированного разреза при комплексной нагрузке, т. е. при наличии градиента средней температуры и температурного момента на линии разреза [18].

Из графиков следует также, что с увеличением параметра теплопроницаемости разреза /Зп происходит уменьшение максимальных относительных значений КИН. Такой характер зависимости вполне объясним и соответствует общим представлениям механики разрушения. Поскольку параметр теплопроницаемости разреза /Зп обратно пропорционален раскрытию разреза 5, то увеличение /Зп соответствует уменьшению раскрытия моделируемой трещины и в пределе приведёт к её отсутствию. Соответственно, температурные КИН при этом уменьшаются.

Необходимо также отметить, что температурные КИН продольного сдвига на порядок меньше температурных КИН поперечного сдвига. Поэтому основным параметром с позиции механики разрушения будет КИН поперечного сдвига

¡zmax AII .

Выводы. При обосновании надёжности работы тонкостенных элементов конструкций при температурных нагрузках, приводящих к изгибу, определяющим является КИН для поперечного сдвига. При этом достаточно использовать модель теплоизолированного разреза, поскольку учёт теплофизических свойств трещин не приводит к увеличению температурных КИН.

1. Саврук М.П. Концентрация напряжений вблизи криволинейных отверстий и вырезов с негладкими контурами / М.П. Саврук // Материаловедение. - 2021. - Т. 57, № 3. - С. 331343.

2. Kuliyev S.A. Solution for bending of a polygonal plate with cracks by then linear conjugate method / S.A. Kuliyev, A.F. Gasimov // Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv). -2019. - Vol. 89, No. 10. - P. 2005-2018.

3. Васильев В.В. Новое решение задачи о трещине в растягиваемой ортотропной пластине /

B.В. Васильев, С.А. Лурье, В. А. Салов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2021. - № 6. - С. 23-32.

4. Трещев А.А. Деформирование ортотропных пластин с учетом поперечных сдвигов и нелинейной зависимости механических свойств композитного материала от вида напряженного состояния / А.А. Трещев, Н.С. Ющенко, И.А. Захарова, И.А. Судакова // Строительная механика и конструкции. - 2022. - № 3 (34). - С. 49-70.

5. Мацевитый Ю.М. К решению обратных задач теплопроводности и термоупругости / Ю.М. Мацевитый, Е.А. Стрельникова, В.О. Повгородний, Н.А. Сафонов, В.В. Ганчин // Инженерно-физический журнал. - 2022. - Т. 95, № 2. - С. 381-386.

6. Matsevityi Y.M. Methodology of solving inverse heat conduction and thermoelectricity problems for identification of thermal processes / Y.M. Matsevityi, E.A. Strel'nikova, N.A. Safonov, V.V. Ganchin, V.O. Povgorodnii // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. -2021. - Vol. 94, No. 5. - P. 1110-1116.

7. Matsevityi Y.M. Toward the solution of inverse thermal conductivity and thermal elasticity problems / Y.M. Matsevityi, E.A. Strel'nikova, N.A. Safonov, V.V. Ganchin, V.O. Povgorodnii // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2022. - Vol. 95, No. 2. - P. 374-379.

8. Solyar T.Ya. Nonstationary temperature fields in piecewise homogeneous strips with regard for the frictional heat generation / T.Ya. Solyar, O.M. Vovk // Journal of Mathematical Sciences. - 2022. - Vol. 265, No. 3. - P. 539-550.

9. Бондаренко Н.С. Коэффициенты интенсивности напряжений при термоупругом изгибе изотропных пластин с теплоизолированным разрезом в случае симметричного теплообмена / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Вестн. Донец. ун-та. Сер. А. - 2013. - Вип. 2. -

C. 20-26.

10. Пелех Б.Л. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек / Б.Л. Пелех,

М.А. Сухорольский. - Киев: Наукова думка, 1980. - 216 с.

11. Пелех Б.Л. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений / Б.Л. Пелех, В.А. Лазько. - Киев: Наукова думка, 1982. - 296 с.

12. Кит Г. С. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами / Г.С. Кит, М.Г. Кривцун.

- Киев: Наукова думка, 1984. - 280 с.

13. Шевченко В.П. Задачи термоупругости тонких оболочек с разрезами: учебное пособие / В.П. Шевченко, А.С. Гольцев. - Киев: УМК ВО, 1988. - 84 с.

14. Бондаренко Н. С. Исследование температурного поля в изотропной пластине с теплопро-ницаемым разрезом на базе обобщённой теории / Н.С. Бондаренко // Вестн. Донец. ун-та. Сер. А. - 2014. - № 2. - С. 41-48.

15. Хижняк В.К. Смешанные задачи теории пластин и оболочек: учебное пособие / В.К. Хиж-няк, В.П. Шевченко. - Донецк: ДонГУ, 1980. - 128 с.

16. Панасюк В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В.В. Па-насюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. - Киев: Наукова думка, 1976. - 444 с.

17. Коваленко А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко. - Киев: Наукова думка, 1970.

- 308 с.

18. Бондаренко Н.С. Анализ термоупругого состояния изотропных пластин с теплоизолированным разрезом на базе обобщённой теории / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2020. - № 2 (71). - С. 15-25.

N.S. Bondarenko, A.S. Goltsev

Stress intensity factors for thermoelastic bending of isotropic plates with a heat-permeable cut in the case of symmetric heat exchange.

In the framework of the generalized theory of {1,0}-approximation analytical expressions for the maximum modulo values of stress intensity factors in an isotropic plate with a heat-permeable cut are constructed. Numerical studies have revealed the influence of the value of symmetrical heat exchange and the thermophysical properties of the cut on the intensity factors of thermal stresses for transverse and longitudinal shear under the action of a temperature moment gradient. Keywords: {1,0}-approximation, Legendre polynomials, isotropic plate, heat-permeable cut, stress intensity factor.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 06.12.2022

Donetsk National University, Donetsk

n.bondarenko@donnu.ru