АНАЛИЗ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫМ РАЗРЕЗОМ НА БАЗЕ ОБОБЩЁННОЙ ТЕОРИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№2 (70) / 2020.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3

©2020. Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев

АНАЛИЗ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫМ РАЗРЕЗОМ НА БАЗЕ ОБОБЩЁННОЙ ТЕОРИИ

На базе обобщённой теории в варианте {1,0}-аппроксимации решена задача термоупругости для изотропной пластины с теплоизолированным разрезом. Рассмотрен случай произвольного теплообмена с внешней средой и действия комплексной температурной нагрузки, сочетающей однородный тепловой поток и поток температурного момента. Приведены результаты численных исследований влияния характеристик разреза и теплообмена на коэффициенты интенсивности напряжений.

Ключевые слова: обобщённая теория, полиномы Лежандра, изотропная пластина, теплоизолированный разрез, комплексная температурная нагрузка, коэффициенты интенсивности напряжений

Введение. В настоящее время есть насущная необходимость в разработке и построении теорий, учитывающих явления, обусловленные поперечными сдвигами и обжатием. Необходимо, чтобы эти теории можно было использовать для получения аналитического решения задач статики и термоупругости с произвольной, наперёд заданной точностью. Этими качествами обладают обобщённые теории, основанные на представлении компонент напряжённо-деформированного состояния (НДС) в виде бесконечных рядов от поперечной координаты. Эти теории, в отличие от классической теории Кирхгоффа-Лява, лишены физико-геометрических предположений.

В рамках обобщённых теорий искомые функции могут быть разложены в различные ряды, например, в степенной ряд, в ряд по полиномам Лежандра и т. д. Трёхмерные задачи могут быть сведены к двумерным операционным, вариационным и другими способами. Различные обобщённые теории позволяют получать решения задач с разной точностью в зависимости от метода сведения трёхмерных задач к двумерным и способа представления НДС в виде рядов. По мере увеличения количества членов в рядах порядок систем уравнений и сложность их решения возрастает, но и точность решения увеличивается.

Во многих случаях потеря несущей способности конструктивных элементов является следствием наличия в них концентраторов напряжений. При проведении прочностных расчётов тонкостенных элементов конструкций необходим как

учёт дефектов (например, трещин) так и учёт анизотропии упругих и теплофи-зических свойств материала.

В ряде случаев конструктивные элементы изготавливаются из композитных материалов, которые можно рассматривать «в целом» как анизотропные. Так, композитные материалы используются практически во всех областях производства, например, в строительстве, в самолёто-, авто-, судо- и ракетостроении. Часто такие материалы применяются для изготовления элементов приборов и оборудования, эксплуатирующихся в агрессивных средах и при высоких температурах.

Широкое внедрение композитных материалов, обладающих анизотропией упругих свойств, обуславливает актуальность построения обобщённых теорий пластин и оболочек, учитывающих явления, связанные с поперечными сдвигами и обжатием. Исходя из потребностей внутреннего развития термомеханики разрушения, актуальной является разработка эффективных методов расчёта температурных полей в анизотропных телах с трещинами (математическими разрезами) произвольной формы.

В статье [1] построена система дифференциальных уравнений, предназначенная для описания упругих деформаций тонких анизотропных оболочек вращения и решаемая относительно частных производных первого порядка по меридиональной координате. Эти уравнения получены методом {т, п}-приближения.

В статье [2] определены частные решения задач изгиба нетонких транс-версально-изотропных пластин с кососимметричной локальной нагрузкой относительно срединной плоскости. Метод интегрирования систем уравнений равновесия высокого порядка в математической теории толстых плит при непрерывных нагрузках рассмотрен в публикации [3]. В работе [4] изучен метод последовательных приближений в математической теории оболочек произвольной толщины. В работах [2-4] трёхмерные задачи сводятся к двумерным путём разложения всех составляющих НДС в ряды по поперечной координате с использованием полиномов Лежандра и вариационного принципа Рейснера.

В настоящей работе для сведения трёхмерной задачи термоупругости для пластины к двумерной используется обобщённая теория в варианте {1,0}-ап-проксимации. Данный подход является наиболее приемлемым для решения поставленной задачи, поскольку он использует метод И.Н. Векуа разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра [5]. К преимуществам использования обобщённой теории {т,п}-аппроксимации относятся:

• возможность рассматривать не только тонкие пластины, но пластины средней и большой толщины;

• возможность получения решений с произвольной, наперёд заданной точностью, в зависимости от числа удерживаемых слагаемых в разложениях заданных и искомых функций.

Из последних публикаций, в которых используется обобщённая теория в варианте {1,0}-аппроксимации при определении коэффициентов интенсивности

напряжений (КИН), следует отметить статьи [6-8]. В этих работах на базе обобщённой теории решена задача термоупругости для изотропной пластины, содержащей теплоизолированный разрез. Интегральные представления внутренних силовых факторов и разрешающие системы сингулярных интегральных уравнений получены с помощью двумерного интегрального преобразования Фурье и теории обобщённых функций. Численные исследования, проведённые в [6-8], позволили выявить характер изменения КИН для поперечного и продольного сдвига в зависимости от характеристик разреза и теплообмена с внешней средой. При этом температурная нагрузка бралась в виде однородного теплового потока или потока температурного момента.

1. Постановка задачи. Рассмотрим изотропную пластину толщиной 2К, находящуюся в тепловом контакте с внешней средой нулевой температуры по закону Ньютона. Пластина содержит теплоизолированный разрез Ь, удалённый от краёв пластины на расстояние, значительно превышающее его длину.

В рамках обобщённой теории в варианте {1,0}-аппроксимации компоненты термоупругого состояния представляются в виде рядов Фурье по полиномам Лежандра от толщинной координаты Рк = Рк (%/К). Представления компонент вектора перемещений и тензора напряжений приведены в монографии [5]. Температура имеет вид: Т = Т0Р0 + Т1Р1, где Т0,

Т\ - средняя температура и температурный момент соответственно.

Разрешающая система уравнений термоупругости {1,0}-аппроксимации, записанная в безразмерной системе координат х\, Х2, определённой с точностью до полутолщины пластины К, включает в себя:

• уравнения теплопроводности

АТк + АкоТо + АкТ =0 (к = 0,1), (1)

где

д2 д2 6 А = щ + Ло = -^{Вг+ВГ + + 2*")};

А»! = = вгу,

А10=_1Ь 3 Д1

30

Ли = -^{Вг+ВГ + 2 (Вг+ + Вг~) + 3}; А1

А1 = 2 Вг+Вг- + 9(Вг+ + Вг-) + 36;

В1+ и Вг- - критерий Био на верхней и нижней лицевых поверхностях пластины;

уравнения Дюамеля-Неймана в перемещениях

ди ду

N2 = B"{§k + "lik ~ a<1 + ")Го ;

1 — v ri du dv s = —+

rr 1 -v n (дъ , 972 \ .

Qfco = Л0 (7fc + (Л = 1,2), (2)

где u, v, Wo, 7i, 72 - обобщённые перемещения; Wi, W2, 5, Q10, Q20, Mi, M2, ^ - обобщённые усилия и моменты; v - коэффициент Пуассона; а -температурный коэффициент линейного расширения;

Во = ЗД) = --Ло

1 — v2' 0 6(1 + v У

уравнения равновесия

дЫх дБ дБ дЫ2 дМх дН ^

+ д— = 0; —--Ь = 0; —^ + — - ^ю = 0;

дхх дх2 дхх дх2 дхх дх2

дН дМ2 дЯюмдЯ20

Я--г --У20 = и; —--Ь —— = и. {¿)

дхх дх2 дхх дх2

Мембранные усилия и перерезывающие силы в соотношениях (2), (3) определены с точностью до значения ЕН (Е - модуль Юнга), а моменты - с точностью до ЕН2.

Термоупругое состояние в пластине с разрезом представим в виде:

С* = С° + С,

где С° - компоненты термоупругого состояния в сплошной пластине (основное термоупругое состояние); С - компоненты возмущённого термоупругого состояния, вызванного наличием разреза. Основное термоупругое состояние будем считать известным.

Для определения возмущённого термоупругого состояния используем систему уравнений термоупругости (1)-(3) с граничными условиями, сформулированными для случая свободных берегов разреза и отсутствия контакта между ними [9].

для задачи теплопроводности (1):

дТк

дп

дТ0

дп

(к -0,1);

для задачи термоупругости (2), (3):

N„1, = -N0

^'пТ I г - _ S,

ш\ь;

М„ !г - -МО

п\Ь'

Я

пЦт =

Я

Ш\ь;

Qn I г — ^

п\Ь'

(5)

где Snt, Мп, Яп4, Qn - усилия и моменты на элементе длины разреза с нормалью П и касательной Ь.

Предполагаем, что разрез удалён на значительное расстояние от линии внешней границы пластины. Поэтому возмущённое термоупругое состояние носит локальный характер и его компоненты равны нулю на внешнем граничном контуре. Достоверность такого предположения проверяется после решения задачи.

2. Методика решения задачи. Методика решения основана на применении к разрешающей системе уравнений (1)-(3) двумерного интегрального преобразования Фурье, учитывающего разрывный характер искомых функций на линии разреза Ь. В этом случае трансформанты частных производных искомых функций находятся по формуле [10]:

дС

дхк

-Н& )С +

1

2тг

пк[С]ехр<[ г(£х')} (1Ь (к - 1,2),

где { — (^1,^2) - координаты текущей точки в пространстве трансформант; [С] — С+ — С- - скачок функции С при переходе через линию разреза Ь, причём С+ и С- - это граничные значения функции С в соответствии с выбранным направлением нормали П; х1 — (х1,х2) - координаты точки на линии Ь. Направление интегрирования образует прямой угол с нормалью при вращении против часовой стрелки.

В качестве примера рассмотрим прямолинейный теплоизолированный разрез длиной 21, расположенный вдоль оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Интегральные представления внутренних силовых факторов в этом случае примут вид

I

к

3 2тг ' к=1

К

- Х2)^\й8 (д = 0,1; ] = 1, 5).

1

э0 4 ,

Р о

Р5 .

(6)

где Р° - N, Р} - М3, Р°+з - Q3о (э - 1, 2); Р° - S, Р31 - Я; к - 4 для Р°-Р°-к - 7 для Р^-Рз1; к - 5 для Р4

г

г

1

В интегральных представлениях (6) неизвестные функции фк = фк(в), где в координата точки на линии разреза Ь, определяются так:

О _ <1[и] о _ ф] , _ £¿[71] _ 2 _ (¿[72] _ ! _ ¿К]

^-чг' ^-чг' ^-чг' —

Ф1 = [71]; Ф1 = [72 ]; фО = Ф1 = ТО ]; фО = Ф1 = [Тх].

Ядра интегральных представлений (6) представляют собой линейные комбинации специальных С-функций, например,

к£5(Х1 -и,х2) = [с0>0(\/2>) -С08 4^2,2(7^50

+

+

П2вт2(р Г ,--,- 1 ,-

Сх,1 (у2,5г) - еов2рС2,2(

+ ^хСо,о

где

Г = ^(х\ — и)2 + х\\ сое (р

л х 1 1в х2

г ->- т ■ пг,аш — -• §щ (р = -:

Сп,„(г) - специальная С-функция, определяемая выражением [11]

те

п I \ I Л\п (Г У~п [ Р"~П+1^+п(гр) ,

Оп,и(гг) = (-1Г [-) у --<1р-

о

г> 0; Яег > 0; -1 < Rev < п + 1,5,

где (г) - функция Бесселя первого рода порядка V;

Системы сингулярных интегральных уравнений (СИУ) для определения неизвестных функций фк получены с использованием интегральных представлений (6) и граничных условий для задачи термоупругости (5). Функции ф°, ф4°, ф^, ф11 находятся при решении задачи теплопроводности (1), (4). Имеют место две независимых системы СИУ, описывающие:

безмоментное термоупругое состояние: 1

о

лО

1 Г <фУ(8)<18 _

7Г У 8 - ( 3

= ^(С) а = 1,2; 1СК1); в - ^ '

1

состояние термоупругого изгиба:

1 3 1

1 [ ф)(в)^в -1 ^ - ^=1-1

^ / ^^ + ^ Е /ЦМ ~ = рН0 и = М; 1С1 < 1).

2

Выражения разностных ядер системы (7) Е1к(( — в) содержат специальные G-функции и их первообразные, например,

Еа« — в) = 3Ло1С1А

— в).

КИН для поперечного (Кц) и продольного (Кш) сдвига имеют вид:

= тО,25л/ттШЕ { Р0 Ит 1^1 («V1 ~ 11 [ «^±1 [

+ Рх Иш ^ ± 1

4>\{8)л/1-в2

К

= =рО,25\/ЖяЛ0 (Ро - Р2) Иш \ф^(в)\/1 — в2

±1 [

(8

Выражения (8) получены путём сравнения коэффициентов при особенности г-1/2 в ненулевых компонентах тензора напряжений с известными асимптотическими представлениями напряжений. При этом использовались интегральные представления для обобщённых усилий и моментов (6).

Максимальные по модулю значения КИН (8) есть:

111

0,25\/ЖЕ Ит + VI ~82У,

х = 0,375\/я7йЯЛо Ит л/Х-в2}.

(9)

3. Анализ результатов численных исследований. Целью численных исследований было выявление эффектов комплексной температурной нагрузки, включающей поток средней температуры (до) и поток температурного момента (^х), по сравнению с однородной температурной нагрузкой, состоящей только из одного температурного потока. Расчёты проведены для разреза длиной 21, расположенного на оси Охх с центром в начале координат, в широком диапазоне величины теплообмена с окружающей средой: Бг = 0,01 - слабый теплообмен; Бг = 0,1 - теплообмен среднего уровня; Бг = 1 - сильный теплообмен. Рассматривались случаи симметричного теплообмена, когда его величина одинакова на лицевых поверхностях пластины (Бг+ = Бг- = Бг), и верхнего одностороннего теплообмена, когда теплообмен осуществляется лишь на верхней лицевой поверхности пластины (Бг+ = Бг; Бг- = 0). Значение коэффициента Пуассона принималось равным V = 0,3.

Основное температурное поле предполагалось таким, что на линии разреза одновременно действуют потоки средней температуры и температурного момента одинаковой интенсивности:

ОТ?

дХ2

дТ?

до;

Х2=0

дХ2

дх;

д0 = дх = ео^1 = 0.

Х2=0

Результаты численных исследований представлены на рис. 1 и 2 в виде графиков зависимостей максимальных относительных значений КИН поперечного сдвига К** = К/х/К * и продольного сдвига К** = КЩ/^/К * от полудлины

К шах =

разреза I. Значения КИН соотносятся с величиной К* = 0,25адЕу/Ш, которая соответствует значению КИН в пластине без теплообмена при действии однородного потока тепла интенсивности д перпендикулярно линии разреза [12].

Рис. 1. КИН для поперечного сдвига.

Сплошными кривыми показаны зависимости в случае одностороннего теплообмена, пунктирными - в случае симметричного теплообмена. Цифрами 1, 2, 3 обозначены графики, отвечающие значениям критерия Био (Вг) 1; 0,1; 0,01 соответственно.

к;-ю2

Рис. 2. КИН для продольного сдвига.

Детальный анализ этих графиков позволяет выявить такие особенности комплексной температурной нагрузки в отличие от однородной.

1. При действии лишь одного температурного градиента (до или д1) относительные максимальные значения КИН поперечного сдвига (К**) возрастают при любом уровне теплообмена [6-8]. При одновременном действии градиентов температуры д0 и д1 в случае слабого теплообмена (Вг = 0,01) К** увеличивается при любом виде теплообмена; в случае среднего теплообмена (Вг = 0,1) К2* увеличивается при одностороннем теплообмене и уменьшается при симметричном теплообмене, когда I > 2,5; в случае сильного теплообмена (Вг = 1) К** уменьшается при любом виде теплообмена, когда I > 1,5.

2. Когда действует лишь один температурный градиент (до или д1) значения К2* при одностороннем теплообмене всегда больше, чем при симметричном теплообмене [6, 8]. При одновременном действии градиентов температуры (до и д1) в случае сильного теплообмена (Вг = 1) К** при одностороннем теплообмене становится меньше, чем при симметричном теплообмене в диапазоне малых и средних длин трещин 1 < I < 3.

3. Разница значений К** для случаев одностороннего и симметричного тепло-обменов при одновременном действии градиентов температуры (до и д1) (рис. 1) намного меньше, чем при действии только градиента средней температуры (до) [6]. Так, для разреза длиной I = 3 в случае среднего уровня теплообмена (Вг = 0,1) эти значения различаются более, чем в два раза.

4. Из рис. 2 следует, что при одновременном действии температурных градиентов (до и д1) значения КЗ в случае симметричного теплообмена всегда больше, чем в случае одностороннего теплообмена. Обратная картина имеет место при действии лишь градиента температурного момента (д1) [8].

5. При одновременном действии температурных градиентов (до и д1) резко меняется характер зависимости КЗ от длины разреза (рис. 2) в отличие от случая действия лишь градиента температурного момента (д1) [7, 8]. Резкое уменьшение значений К* до нулевой отметки при длине разреза I = 2,5 является следствием достижения максимума этой величины при однородной температурной нагрузке д1 для данной длины разреза. Поведение К3* на рис. 2 является следствием сочетания характеров зависимостей данной величины при действии лишь градиента до [6] и при действии лишь градиента д1 [7, 8]. При этом необходимо учитывать тот факт, что максимальные значения КЦ/* достигаются в середине толщины пластины и обусловлены для рассматриваемых случаев касательными напряжениями противоположных направлений. В случае градиента средней температуры до - это локальные касательные напряжения, появляющиеся в результате температурного сжатия, а при действии градиента температурного момента д1 - это касательные напряжения в результате температурного расширения. Поскольку они имеют противоположные направления, то обусловленные ими значения КИН должны учитываться с разными знаками.

6. Эффект комплексной температурной нагрузки проявляется также в том, что в рассматриваемом диапазоне длин трещин максимальные значения К3* на

рис. 2 меньше чем в два раза по сравнению со случаем однородной нагрузки [7, 8]. При этом максимальные значения K2, на рис. 1 существенно больше по сравнению с аналогичными величинами при однородной нагрузке [6-8].

Выводы. Проведённые численные расчёты показали, что на максимальные по модулю значения КИН существенное влияние оказывает как длина разреза, так и характер и интенсивность теплообмена с внешней средой. Поэтому при проведении прочностных расчётов тонкостенных элементов конструкций в случае действия комплексных температурных нагрузок необходимо учитывать размеры возможных дефектов и теплообмен с окружающей средой.

1. Тuchapskyy R.I. Equations of thin anisotropic elastic shells of revolution in the {m, n}-approximation method / R.I. Tuchapskyy // Journal of Mathematical Sciences. - 2017. - 226, No. 1. - P. 52-68.

2. Зеленський А.Г. Фундаментальш розв'язки визначально! системи диференщальних piB-нянь математично! теори пластин / А.Г. Зеленський // Вкник Запоpiзького национального ушверситету. - 2018. - № 1. - С. 13-29.

3. Zelensky A. The method of integrating systems of high-order equilibrium equations of the mathematical theory of thick plates under intermittent loads (part 1) / A. Zelensky, A. Privarnikov // Innovative scientific researches : European development trends and regional aspect. Collective monograph. - 4th ed. - Riga, Latvia : «Baltija Publishing», 2020. - P. 221-255.

4. Zelensky A. G. The method of successive approximations in the mathematical theory of shallow shells of arbitrary thickness / A. G. Zelensky // World Science. - 2019. - Vol. 1, No. 11 (51).

- P. 31-39.

5. Пелех Б.Л. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений / Б.Л. Пелех, В.А. Лазько. - Киев : Наукова думка, 1982. - 296 с.

6. Бондаренко Н. С. Исследование влияния длины разреза на коэффициенты интенсивности напряжений в изотропной пластине на базе обобщённой теории / Н.С. Бондаренко,

A.С. Гольцев // Труды института прикладной математики и механики. - 2015. - Т. 29. -С. 20-28.

7. Бондаренко Н.С. Исследование влияния длины теплоизолированного разреза при термоупругом изгибе изотропных пластин / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Вестник ДонНУ. Сер. А : Естественные науки. - 2018. - № 2. - С. 3-11.

8. Бондаренко Н.С. Коэффициенты интенсивности напряжений при термоупругом изгибе изотропных пластин с теплоизолированным разрезом в случае произвольного теплообмена / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Журнал теоретической и прикладной механики.

- 2018. - № 1-2 (62-63). - С. 35-44.

9. Кит Г. С. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами / Г.С. Кит, М.Г. Кривцун.

- Киев : Наукова думка, 1984. - 280 с.

10. Шевченко В.П. Задачи термоупругости тонких оболочек с разрезами: учебное пособие /

B.П. Шевченко, А.С. Гольцев. - Киев : УМК ВО, 1988. - 84 с.

11. Хижняк В.К. Смешанные задачи теории пластин и оболочек: учебное пособие / В.К. Хиж-няк, В.П. Шевченко. - Донецк : ДонГУ, 1980. - 128 с.

12. Панасюк В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В.В. Па-насюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. - Киев : Наукова думка, 1976. - 444 с.

N.S. Bondarenko, A.S. Goltsev

Analysis of thermoelastic state of isotropic plates with a heat-insulated cut based on the generalized theory.

The thermoelastic problem for an isotropic plate with a heat-insulated cut is solved on the basis of the generalized theory in the variant {1,0}-approximation. The case of arbitrary heat exchange with the external environment and the action of a complex temperature load, combining a uniform heat flow and a temperature moment flow, are considered. The results of numerical investigations for the influence of the characteristics of the cut and heat exchange on the stress intensity factors are presented.

Keywords: generalized theory, Legendre polynomials, isotropic plate, heat-insulated cut, complex temperature load, stress intensity factors.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 03.07.2020

Bondarenko.Natalya.Sergeevna@gmail.com

a.goltsev@donnu.ru