Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек в нестационарном температурном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 197 7

№ /

УДК 629.735.33.015.4 -977

УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК В НЕСТАЦИОНАРНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ

ПОЛЕ

Л. Г. Белозеров, В. А. Киреев, И. Б. Мишулин

Рассматривается устойчивость невозмущенных форм равновесия многослойных цилиндрических оболочек при осевом сжатии и внешнем давлении, находящихся в неоднородном нестационарном поле температур. Приведен расчет температурных полей в таких оболочках.

На основе вариационных принципов выведены дифференциальноразностные уравнения теплопроводности и нейтрального равновесия. Составлен алгоритм расчета критических параметров, реализованный на ЭЦВМ. Приведен пример. Результаты сопоставлены с экспериментальными данными.

1. Рассмотрим многослойную толстую цилиндрическую оболочку, состоящую из чередующихся п слоев с повышенными механическими и теплофизическими характеристиками (армирующие слои) и п—1 слоев с пониженными характеристиками (связующие слои). Срединные поверхности слоев эквидистантны. Отнесем каждый слой оболочки к ортогональной криволинейной системе координат х, 5, С;- (координатные поверхности С, —0 совпадают со срединными поверхностями слоев; у'=1, 2, , п).

Пусть армирующие слои изготовлены из анизотропных однородных материалов, характеризуемых удельными объемными теплоемкостями су и компонентами тензоров коэффициентов теплопроводности Х“(у = 1, 2, . . . , п; і, к,= 1, 2, 3). Связующие слои изотропны и обладают теплоемкостями си коэффициентами теплопроводности Х'(у=1, 2, . . . , п — 1).

Примем, что армирующие слои имеют достаточно малую толщину и высокую теплопроводность в направлении нормали, так что распределение температуры по толщине слоя можно считать линейным

г;=Т0у(/, лг, *) + СД-(*, х, 5), (1.1)

где і — время.

Для связующих слоев предположим, что распределение температуры по толщине слоя удовлетворительно описывается четырьмя членами разложения по функциям Лежандра

где —Функции Лежандра.

Характеристики распределения температуры в связующем слое связаны с соответствующими характеристиками армирующего слоя условиями теплового контакта слоев. Предположим, что слои находятся в идеальном тепловом контакте, т. е. на границе армирующего и связующего слоев температуры и тепловые потоки в направлении нормали слоев равны

Здесь X" — коэффициенты теплопроводности армирующих и связующих слоев в направлении их общей нормали; А;-, — тол-

щины армирующих и связующих слоев соответственно.

Дифференциальные уравнения теплопроводности получим, следуя [2], из вариационного принципа, изложенного в [3]. В результате стандартных операций минимизации функционала вариационного принципа получим дифференциально-разностные уравнения теплопроводности для многослойных цилиндрических оболочек, которые для плоского осесимметричного температурного поля запишем в виде

3

(1.2)

(1.3)

х + •Нс;(т1;+87Ь,-с;_,(тг*;-. +87)х

/ '’>• ‘ ] 7І7" ^ 168Л* + і)чй-168Д;_,(—+ +

- [с;_, (13Г._1 + 27) - -2 л;_, (21 + 126) Го/_1] X

Х-Пл + {[С'.(22Х' + 78)^ я — С'_1 (22Х'_1 + 78) ц,

дТ0,

+[2 л; (211) +126) ^ я - 2 д}-1 (21 + 126)

гЗГ,

+ 210<*+ 8/л- *_Ь},)] т0 у) [с; (13 х} + 27)

-2Л'(21Х' + 126) Г,

0/+1

АУ-1

+ 13х;._1+ 13х;_! + 27) + 2 л;_, (14

- 21 х;_, -126) &/—+ 4^{[7ос/.+с;(8х;х;+44х;+63)^л +

н ^ . — // —н —« : п — Г — г

+ С/— I (8 Xу-1 Ху—44 Ху_! 63)1]^- +[840Л;-+2А/ (56 Ху Ху 4' 4- 42:Ху + 126) т)уя -} 2 Ау_1 (56 Х/_1 Ху_1 42 Ху_1 126) т]у 1

+ 2ю (х+ 8ул + х_ 8у л бу} - [с; (6 х; х;+1 з +13 х;+

дЬ1:

+ 27)-^-

+ 2 л; (14 х; х;—2 п; - 2 п;—126) еу+1 ]

= 210 (8ул х+ Г+ — 8у , х_ Г_ ). .

(1.4)

Здесь введены обозначения:

4 Л 'I

■,= С с,л, с-= / с;л, Л;=-^ |

*7 й" ' Лу

Л,

2

л" * Г 1" ,уг х • - ^ х* ~^/+1

лу— й»2 ) А-'~ А" ’ Л'~/ Д; '

л;

Пи

/?

<_____л/ + А/

2

Г/ =

Йу+1 + Лу.

8/п — символ Кронекера, /?у — радиус срединной поверхности /-го армирующего слоя.

В уравнения (1.4) входят величины, характеризующие теплообмен на поверхностях оболочки, который в данном случае принят конвективным с температурой среды вне оболочки Т+, внутри Т_, коэффициентом теплоотдачи извне в оболочку х+, изнутри х_. Теплообмен на торцевых поверхностях оболочки не учитывается.

Уравнения теплопроводности (1.4) совместно с начальными условиями

Т'й} 1<=о — Т 0 я 1<=о — 6; (1-5)

представляют собой задачу Коши относительно 2 п неизвестных функций времени Т0] и 6;. (_/== 1, 2, , п). Теплофизические по-

стоянные, входящие в уравнения (1.4), зависят от температуры.

Интегрирование системы (1.4) может быть выполнено с помощью ЭЦВМ. В случае стационарного температурного поля можно получить элементарное решение. Допустим, что оболочка имеет регулярное строение (все параметры не зависят от номера слоя), и пренебрежем величинами г’, и г'} по сравнению с радиусом оболочки /?. Кроме того, пусть распределение температуры по толщине связующих слоев линейное

- т;-пУ+св;.

В таком случае из уравнений (1.4) следует, что стационарное распределение температуры характеризуется равенством температурных градиентов по толщине армирующих и связующих слоев в отдельности

еу=е, в; = е\ (1.6)

Кроме того, справедливы формулы:

“'т1'. г».>

Т’о! + ?о п % — Т- + 7+ х>

где

-- Л х, _ х, —

Для окончательного решения задачи привлечем условия теплового контакта (1.3), из которых следует

Тоя==1=^1±^±Л1 , Тоу+\ Т'ду = Л(X —{— 1)в, (1.8)

где Ы=2{п- 1)(1 +■ 1)—%=. .

Формулы (1.7) и (1.8) дают полное решение для стационарного распределения температуры по толщине многослойной цилиндрической оболочки.

2. Допустим, что напряженно-деформированное состояние оболочки удовлетворяет, системе кинематических гипотез, описанных в [1]. При этом предполагается, что жесткости армирующих

(1.7)

слоев существенно превосходят жесткости связующих слоев. Для армирующих слоев справедлива гипотеза Кирхгофа — Лява, а для связующих существенными являются деформации поперечного сдвига и удлинения нормалей.

Примем, что армирующие слои изготовлены из ортотропных материалов с упругими постоянными Еп Е22}-, угі) и коэф-

фициентами теплового расширения а8у. Связующие слои состоят из трансверсально-мягкого изотропного материала с постоянными С., Е’зг V", а". Оболочка подвержена совместному воздействию нестационарных тепловых потоков, внешнего равномерного давления и сжимающих усилий, направленных вдоль образующей срединной поверхности оболочки и равномерно распределенных по толщине каждого армирующего слоя.

Введенные гипотезы позволяют записать выражения для перемещений у'-го армирующего слоя в виде

Положим, что контакт армирующих и связующих слоев представляет собой абсолютно жесткую связь. Тогда можно выразить перемещения связующих слоев через характеристики перемещений армирующих слоев

В формулах (2.1) и (2.2) введены обозначения: а^ гг^ — пере-

мещения точек армирующего слоя, находящихся на расстоянии С от срединной поверхности; , V"., — аналогичные перемещения

точек связующего слоя: и}, — перемещения точек срединной

поверхности У-го армирующего слоя.

Для вывода уравнений нейтрального равновесия воспользуемся вариационным принципом, аналогичным принципу Треффца в теории упругой устойчивости [4]. Для задач термоупругой устойчивости вариационный принцип запишем в виде

(2.1)

(2.2)

(2.3)

где Е — свободная энергия системы, символ §2 обозначает вторую специальную вариацию, когда вариации перемещений совпадают с действительными отклонениями.

Используя известные соотношения для цилиндрических оболочек, в результате минимизации функционала получим уравнения нейтрального равновесия, аналогичные [5]:

Л д2 иу- ( Ап і д2 Цу ( А3; д21» Л1;-ч12;-д®,

1 І дх2 ' 2 1ІГ ‘ 2 длгдя йх ^

+ В, [ит - и, - г, - г. -пУя -

_ / , ^®/_1 „ дюі \

- 5/-1 ( - И/_1 - Гу-1 - Г/_1 ) Т1р = О,

2 і Й52 2 дл:2 ^ 2 дхдэ '

+ В> (*>/+' -*і-г'іЧг-О-т)

- («, - V,., - г;_1 ^ - г;. 1 ,=о,

п 4-2п а4да/ і п а4^ 4-

^ і дх ~т~ и*і Шд& 1 2 і ~Ы^ +

І т] і ди,- <Эи;- ^ (2-4)

-г Ао

2 ^ Лу Я/ ^5 дх

- [Ві [ г/ -Щ- ^ - и'+1> + Г/¥ + (ГР* їг +

„ д2аь, * д2а>/ д2®,-,, 1

+^/-а£1+-5/+оо^Н +

+ В3} (и»у+1 — гг>і)| ц]п + |В]! ^г"_г (иу —%_]) 4-

_1_Г' Л.,--*. л_(ґ )2^__ґ ґ д^±__

' у-і <35 ^ ^ '- /-і > дх'і гу-і О-і а*2

д2а>/ д2®, ,П Ч

" (гУ-і )2 г/-і 0-1 Зі2""] + ^з/-1 ('ге’;‘і_ и’/-і)| г1] і +

V ід/і д2 д2 а»;

+ ^^ -ЙЇГ + ^22 ) ~^Г- + Л^12 } -дШ- = 0.

Здесь обозначено:

А +-

р2 £і ; ^ £ . р2 Е2) а Л2

— І і > — 1 і-----------> ^12 / = 2 І 01о/с?С,

-А _*/ Н1

2 2 — ~

д 0г^= _*£«_ с л ^

.І 1 ^12 / У21 / ^ ^ у!2 у '^21 / ,*

й/ А/ А;.

+ — -+• —

//;«. ]Ч«-

_5?_ _^/_

2 2

Величины Мп р N22), -^18/ имеют смысл докритических усилий в армирующих слоях, которые вычисляются в предположении тождественности невозмущенного и недеформированного состояния и включают в себя термоупругие составляющие. Для поставленной задачи можно принять с достаточной точностью, что наперед задано как функция времени (внешние сжимающие усилия), а Л^^О.

Определим ЛГ21, в предположении, что докритическое состояние безмоментно для каждого армирующего слоя. Вычисления будем производить по приближенной формуле, считая, что в докри-тическом состоянии тангенциальные составляющие вектора перемещений пренебрежимо малы по сравнению с нормальными составляющими

-^22 і---- ^2 }

т>°і

(2.5)

где чаг.— нормальные перемещения в невозмущенном состоянии, под а2р понимаются осредненные характеристики по толщине.

Для определения привлечем уравнения равновесия, которые запишем в виде

.Л/дв / ./V•з 4 і 1 _

-4і - Чу» + чл +Р+ Ь» - р- 1 = 0. (2.6)

V Я/ "/-1

Здесь величины ! определяются по формуле

у = ^(®/+1-«?-А;в/7;/) (2.7)

и имеют смысл нормальных усилий в связующих слоях; р± — давление среды снаружи и внутри оболочки.

Используя соотношения (2.5), (2.6), (2.7), получим систему алгебраических уравнений для определения докритических перемещений

но

Ва/-1 Пі 1 - ( Вг} Ц}п + Взі-і г\}, - | + да°+1 вз ] гЧп =

— в9і а; «; г0! -г\]п ~ Взг-і л;_ г т;Н1 Чл —

— + (2-8)

Таким образом, система уравнений (2.4) вместе с (2.8) и (2.6) позволяет провести анализ устойчивости невозмущенной формы равновесия. Механические характеристики, входящие в уравнения, являются заданными функциями температуры. На основе анализа системы (2.4) возможно исследование как „интегральных1* эффектов, связанных с потерей устойчивости оболочки как однородной, так и „локальных" эффектов, когда теряют устойчивость отдельные слои.

Система уравнений допускает аналитическое решение, если принять гипотезу Кирхгофа — Лява для всего пакета слоев. Примем С. -+оо, Л”-* О и воспользуемся приемом, описанным в работе [4]. В результате получим систему линейных уравнений устойчивости оболочки из однородного ортотропного материала относительно перемещений точек срединной поверхности оболочки:

А^ + Ли.-------

дх2 2 дз*

А,^+ А»

+

Аг *^12 д да

2 дх дв

0,^5-+ 20,

дв'2 2 дх2

д* w

дх1

-------Ь А—

дх2 д«2 дв*

2 дх дз д* те .

дх

Аг у12 дно _ И “

w 1 дv

№ /? дз

д2 пи

= 0, = 0.

ч21 ди А? дх

дх2

д.?2

дх дв

■ =0,

(2.9)

где

А,

1

0,5 Я

0,5 Я

Л12 = 2

■0,5 Я 0,5 Я

I

-0,5 Я

-0,5 Я

| 0)2(С)<К, Л3 = 2Л^21 + Л12,

А

^12 *31

0,5 Я

| (С) (С —С0)2^С, а = ,-

1

-0,5 я

— ч12 *21

0,5 Я

| £2(У<С-Со)2^

-0,5 Я

А* = Т С12(С)(С-—С0)2^г,

—0,5 я

0,5 Я

£, = 2 А,

I £1(С)С<*С

/-V г _______ —0,5 Я

*12 А, =

0,5 Я

Г £1(0<<С

0,5 Я

С — расстояние от срединной поверхности оболочки до рассматриваемой точки, Н — толщина оболочки, Я — радиус срединной поверхности.

Систему (2.9) используем для определения критических параметров при наперед заданной внешней осевой нагрузке

Nn = P, Nn = N22 = Q. (2.10)

Рассмотрим локальные формы потери устойчивости. Решение ищем в виде

w —■ sin а х sin р s, а = £/cos а л: sin р s, v = V sin а х cos р s, (2.11) где W, U, V — некоторые постоянные;

_ т к _п_

““ l’ R '

т — число полуволн в направлении образующей, п — число волн в окружном направлении, / — длина оболочки. .

Отметим, что выражения (2.11) соответствуют шарнирному опи-ранию торцов оболочки.

Подставляя (2.11) в (2.9) с учетом (2.10), получим систему линейных алгебраических однородных уравнений относительно величин U, V, W. Из условия существования нетривиального решения этой системы следует выражение

п ' ■—J (D\ х4 -t- 2 D3 x2 4- D2) -f-

-*-*+2 - v21 \^ + -J

(2.12)

0,5 H 0,5 H

где обозначено

* = (С)</С, Л,- | С,

* -0,5 Н -0,5 Н

1Х, 1$ — длины полуволн вдоль соответствующих направлений.

Минимизируя выражение (2.12) по волновым числам, получим спектр критических значений внешней нагрузки для различных чисел р

р = ^ / (Р\ %«+ 203%а + Р2) А2 ,2 10|

КР НП Л/ ] 2 , ^ '

При х — оо найдем выражение для минимального критического усилия для осесимметричной формы потери устойчивости

' <2-14)

Минимизируя Ркр по параметру х, получим

Отсюда следует выражение для критической нагрузки при произвольной форме потери устойчивости

Аналогичным образом для уравнений (2.4) ищем решения в виде = Wj sin а х sin р s, Uj = Uj cos a x sin p s, Vj — Vj sin a x cos s. (2.16)

Условием существования нетривиальных решений системы алгебраических уравнений относительно амплитуд Wj, Uj, Vj является равенство определителя системы Д нулю.

При нестационарном нагреве поля температур и сжимающих усилий являются функциями времени t. Проверка устойчивости при таких воздействиях сводится к вычислению определителя Д в зависимости от времени при различных волновых числах а и р, принадлежащих области их реальных значений. Пусть в начальный момент времени Д>0. Тогда, если в момент времени t минимум определителя Д по числам а и 3 больше нуля, то невозмущенная форма равновесия устойчива. В момент времени t#, когда впервые

min Д = О,

а. р

невозмущенная форма равновесия становится неустойчивой. Критические параметры, определенные таким образом, получены в рамках несвязанной квазистатической задачи термоупругости.

3. Алгоритм, описанный выше, был реализован на ЭЦВМ БЭСМ-6. Приведем пример расчета, результаты которого далее сравним с экспериментом. Рассмотрим семислойную оболочку, ортотропные армирующие слои которой образованы продольно-поперечной намоткой стеклонитей. Подробное описание оболочки приведено в работе [6].

Примем, что теплофизические и механические характеристики армирующего слоя, имеющего ориентацию стеклотканей вдоль образующей цилиндра, при комнатной температуре составляют:

с■= 1300 Дж-кг~1 К-1; р= 1,6-10_3 кг-см~3;

>.= 3,5 Дж-см-1-с-1 К-1; £1 = 2500 кН-см-2;

а, = 6* 10~6 К-1; Оп = 300 кН-см-2; v12 = 0,l42; v21 = 0,124; Е2 — 1800 кН• см-2; а2 = 7-10-6 К-1; /г = 0,016см.

Характеристики связующих слоев примем равными

с" = 1200 Дж-кг-1 К-1; Р" = 1,2-10~3 кг-см"3;

Г = 2,1 Дя-см-1с-‘К-'; О" = 120 кН-см-2; Е"3 = 300 кН-см'2; а" = 2-10-5 К-1; h" = 0,01 см.

Зависимости механических характеристик от температуры аппроксимируем формулами

Еиг I = Е\'2 (1 - 0,002 Т0,); G12/ = G12(1 — 0,002 Т0 ,);

G”. = G" exp (— 0,02 Г0'.); E’3J = E; exp (-0,02 T'0J).

Допустим, что остальные характеристики не зависят от температуры.

Внутренняя поверхность оболочки теплоизолирована (х_ = 0). Наружная поверхность нагревается так, что ее температура изменяется от комнатной температуры (Г= 20° С) пропорционально времени нагрева с темпом И К-с-1. В соответствии с этим принимаем

х+ со, Г+ = (293 -f 1 It) К.

На фиг. 1 и 2 изображены зависимости от времени температур срединных поверхностей армирующих слоев оболочки и температурных градиентов по их толщине. Графики изменения во времени внутренних окружных Ып ^ (/=1, 2,..., п) и трансверсальных усилий Щ .(]=!, 2, . . . , п — 1) приведены на фиг. 3 и 4. Отметим тот факт, что распределение усилий по толщине может носить существенно нелинейный характер. Для данной траектории нагрева в результате многократного вычисления критических параметров по-

1 с

Температура поверхностей оболочка ^

0,5

10 Зу К С М 7

1=’*

5

— "Т

Фиг.

го го *,<•

Фиг. 2

лучена кривая, соответствующая нейтральному равновесию и разделяющая области устойчивых и неустойчивых состояний. На фиг. бэта кривая, найденная из уравнений (2.4), изображена сплошной линией. Пунктирная линия соответствует критическим параметрам, вычисленным по формуле (2.13). Там же изображены экспериментальные точки, полученные в результате испытаний цилиндрических стеклопластиковых оболочек в условиях, соответствующих расчетным. Методика эксперимента и его результаты описаны в работе [6]. Отметим достаточно хорошее совпадение результатов расчета и эксперимента, несмотря на то, что в настоящей работе не учтены

явления, сопутствующие нагреву полимерных материалов (ползу" честь, структурные превращения и т. д.). Форма потери устойчивости характеризуется длиной полуволны в направлении образую-

у 10*;* Н-см 7 о экспе, оимент

Многое а5ол1 'л о иная тчка^- \ч Ортоп \ тролная очна

\ \

10 20 30 40 %с

Фиг. 5

Фиг. 6

щей цилиндра, равной 3,5 см, и шестью полуволнами по окружности. По толщине оболочки имеет место поверхностная форма потери устойчивости (фиг. 6).

Из фиг. 6 видно, что в данном случае форма потери устойчивости близка к форме потери устойчивости однородной оболочки. Этот факт объясняет близость двух кривых на фиг. 5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Б о л о т и н В. В. К теории слоистых плит. „Изв. АН СССР. ОТН“. Мех. и машиностроение, 1963, № 3.

2. Новичков Ю. Н., Федосеев Г. Н. Исследование термоупругих краевых эффектов в толстых многослойных оболочках. „Изв. АН СССР. МТТ-, 1972, № 4.

3. Болотин В. В. Уравнения нестационарных температурных полей в тонких оболочках при наличии источников тепла. ПММ, т. XXIV, вып. 2, 1960.

4. Б о л о т и н В. В. О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к одномерным и двумерным задачам. В сб. „Проблемы устойчивости в строительной механике*, Стройиздат, 1965.

5. Б о л о т и н В. В., Синицын Е. Н. Локальное выпучивание сжатых элементов из слоистого вязко-упругого материала. Механика полимеров, 1968, № 5.

6. Б е л о з е р о в Л. Г., К и р е е в В. А. Устойчивость при нестационарном нагреве сжатых, в осевом направлении цилиндрических оболочек из композиционных материалов. Механика полимеров, 1973, № 2.

Рукопись поступила 29/Х]/ 1975 г.

7—Ученые записки № 1

97