CC BY
85
Том І
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
__ _
№ 1
УДК 629.7.015.4 :624.074.4
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕКЛОПЛАСТИКОВЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Л. Г. Белозеров, А. Л. Рубина
Решается в линейной постановке задача о потере устойчивости гладких конических и цилиндрических оболочек из композиционных материалов в случае нагружения их равномерным осевым сжатием. Получены расчетные формулы и проведены экспериментальные исследования для определения критической нагрузки и чисел волн, соответствующих моменту потери устойчивости оболочки.
1. Рассматривается нагружение осевой сжимающей силой Р гладкой тонкой стеклопластиковой оболочки, имеющей форму усеченного кругового конуса. Предполагается, что армирующие элементы стекло-
пластика совпадают с направлениями образующей и направляющей конуса, по которым выбраны оси ко-
путем предельного перехода от нулю угла конусности а.
ординат в и 6. Стеклопластик считается однородным монолитным ор-тотропным материалом, упругие характеристики которого удовлетворяют соотношениям обобщенного закона Гука с симметричной матрицей. Определяется нагрузка, при которой начальная форма равновесия перестает быть устойчивой. Задача решается методом Ритда. Минимизируя по трем параметрам потенциальную энергию деформации оболочки, определяем критическую силу и числа волн, соответствующие потере устойчивости оболочки.
В основу решения положены общие предположения теории тонких пологих оболочек.
Действительное напряженное состояние до потери устойчивости заменяется мембранным напряженным состоянием. Формулы для цилиндрических оболочек получаются конуса к цилиндру при устремлении к
2. Геометрические параметры конической оболочки задаются величинами а, вг и (фиг. 1). Вместо текущей координаты я вдоль
образующей конуса вводится координата z = In — и вместо 6 в ок-
_ si
ружном направлении — координата 0 = 0 sin а. При s = координата
S
z = О, при s = s2 она равна z = ln —= z0. Полная потенциальная
si
энергия деформации конической оболочки записывается в следующем виде (см. [1], [6]):
„ 2jtsinaZ|
П=Т I ^00
д2 w
[Сц N*, + С„ М2 - 2ц, Сп Ns Nb + сзз Т%] s\ +
+ £>»
dz'1
+
dw\2 . n (dw , d2w
- -ж) +2* (."37 +
I dw , dz w \2 \ dz
dft2 pg-z
+2 D
33
d2w
dz db
d2w
~dz*
dw\2
~~W)
dw
dz
g-22
s‘i
s\
/ dw у
dz dd;
0)
здесь w — оболочки;
itSj sin 2a у dz I
функция прогиба по нормали к срединной поверхности 1 ~ 1 Л 1
Си =
Exh ’
ЕЛ
'38
Gh '
Ех /г 3
ЕЛ3
h3
Da3 = G^,
где к — толщина стенки конической оболочки;
Ег — модуль упругости материала оболочки в направлении образующей;
Ег — модуль упругости в окружном направлении;
О — модуль сдвига;
Ръ р*2 ■— коэффициенты Пуассона, такие, что Е^^ Е2рг.
Погонные, нормальные и касательные усилия выражаются через функцию напряжения Г:
N=e— S . si
F+K + dAL
r dz ^ db2
9 s\ { dz2 ^ dz
e~z d2 F s*~ s\ dzdb '
(2)
Функция напряжения Р и функция прогиба та связаны уравнением совместности деформации:
diF di Г diF
0>2 -^4 (^*11 + ^22) Ь С11 Р “Ь (^38 2(Ах Си) ^92 "Т"
d2 F
+ 2СП^
-11
diF
dW
f dw
dzw
SlCtga^“^
(3)
Оболочка предполагается подкрепленной краевыми шпангоутами и считается свободно опертой по торцам. В этом случае w = 0 при 2 = 0 и z = z0. Примем для функции прогиба выражение, удовлетворяющее условию на торцах:
w = A sin xz cos т)0, (4)
где
тк
п
sin а
здесь /га — число полуволн в направлении образующей, л —число волн в окружном направлении.
Подставляя (4) в правую часть уравнения (3), получим дифференциальное уравнение в частных производных с заданной правой частью, решение которого имеет вид:
_ A Sx х Ctga (COSX z + x sin xz) COS
” C-2 x4 + (Cu + C2.J X* + (C33 - 2^ Cu) x2 71* + Cn (7)2- If ■ K)
С помощью соотношений (2), (4) и (5) подынтегральное выражение функционала (1) преобразуется в функцию переменных г и 0, после интегрирования которой получаем потенциальную энергию в зависимости от амплитуды прогиба А и чисел волн, выраженных через х и ч. Условие минимума потенциальной энер-
<Ш . -о
гии = 0 дает уравнение для определения сжимающеи силы Р,
при которой оболочка теряет устойчивость. Напряжение, соответствующее этой силе, вычисляется как отношение погонной сжимающей силы на контуре с наименьшим радиусом гг к толщине оболочки к\
h^Si sin 2а
+
2 si
II
хг
'її
-^fZoCtg2®
~T - 2^— ] + Cjja + C3
Dn (1 -j-2{is
+ 2 D
33
+
(6)
Поскольку при потере устойчивости образуется большое число волн, можно считать, что х и -/], а следовательно, и о изменяются непрерывно. Поэтому числа волн, соответствующие критическому напряжению, определяют из условия равенства нулю производ-
Совместное решение этих уравнений дает зависимости
, Set
In —
т = —га, (7)
те Sin а
--f г,
.(8)
Подставляя (7) и (8) в уравнение (6), приходим к формуле для определения критического сжимающего напряжения конической оболочки
и ______
а = к, — У Е1ЕЯ, СОБ а, (9)
Г1
где
ь _ 1 ___ ^ / £,1Ра + УЕ1Е^-\-2в(\ (Ю)
^3(1-^^) У УЩЁ1- ^ +
Зная критическое напряжение конической оболочки на контуре с радиусом гг, находим и величину критической сжимающей силы
РКр — 2izr1 зкр h cos а = k2nh2 у £j Е2 cos2 ос. (11)
3. Для перехода от конической оболочки к цилиндрической устремим к нулю угол конусности а. Для малых а имеем rx -> r2 -» R, Si , / sin а , s« / sin а
Подставляя эти соотношения в формулы (7) и (8) и переходя в них к пределу при а-»0, получим числа волн man, соответствующие потере устойчивости цилиндрической оболочки, имеющей длину /, радиус R и толщину 8:
т== те# ^
п = ;----;=----------- ...... (13)
Как показывает формула (13), число волн в окружном направлении не зависит от длины оболочки. Кривые изменения тип в зависимости от геометрических параметров цилиндрических оболочек представлены на фиг. 2.
Формулы для определения критического напряжения и критической сжимающей силы цилиндрической стеклопластиковой оболочки получаются соответственно из формул (9) и (11):
°кр. ЦИЛ=£ ^ У'Е-у Е%, (14)
Ркр. цил = £2тс&2 УЕг Е2. (15)
Следует отметить, что для стеклопластиков, имеющих низкий модуль сдвига ((/ примерно в 5—10 раз меньше £1), потеря устойчивости происходит по неосесимметричной форме, с образованием волн как в про-
дольном, так и в окружном направлениях. Коэффициент А, вычисленный по формуле (10), для ряда стеклопластиков оказывается равным 0,35— 0,45, в то время как осесимметричной форме выпучивания соответствует & = 0,6.
Аналогичный результат получен и в работе [2].
4. Исследование проводилось на гладких цилиндрических оболочках, стенки которых образовывали продольно-поперечной намоткой лент из стеклянных нитей НС-170/2 последовательным чередованием тангенциального и двух продольных слоев. В качестве связующего материала использовались резольная фенолформальдегидная смола Р-2 и клей БФ-4. Содержание связующего в стеклопластике ~30%, влаги и летучих фракций 3,6—3,9%.
Оболочки отличались геометрическими размерами. Первая партия: длина / = 550 мм, внутренний диаметр с1вн = 287 мм, толщина стенки 6 = 2 — 3 мм. Вторая партия: длина I = 800 мм, наружный диаметр йв = 500 мм, толщина стенки 6 = 2 — 5 мм.
Оболочки подвергались воздействию неизменной по направлению осевой сжимающей нагрузки, равномерно распределенной по контуру. Нагрузка от нагружающего устройства передавалась либо через утолщенные торцы оболочек, либо через стальные шпангоуты с кольцевыми пазами, в которых свободно располагались торцы оболочек. Относитель-
ные деформации в продольном и окружном направлениях измерялись с помощью тензодатчиков К-25, которые приклеивались к наружной и внутренней поверхностям стенок. Сближение торцов оболочек измерялось визуальными и дистанционными индикаторами (мессурами).
Перед испытаниями проверялась приторцовка оболочки, которая предварительно обжималась, и определялась равномерность распределения нагрузки в окружном направлении. В процессе испытаний нагружение велось сначала ступенями с интервалом нагрузки ДРя=*0,1 Ркр до Р «й 0,7 Ркр, а затем непрерывно с постоянной скоростью деформаций 0,04 мм/сек до начала выпучивания. При непрерывном нагружении с помощью электронных измерителей деформаций и электронных потенциометров регистрировались показания нескольких тензодатчиков и дистанционных индикаторов.
1 1 -1 Г мг]
•< , ^ - •*='» ' •
• 1, 1 I* * 1 ^ 1
-
50 50 Л/е?
Фиг. 3
Испытания позволили определить для каждой оболочки критическую нагрузку Ркр, модуль упругости в продольном направлении £1 (фиг. 3) и коэффициент Пуассона Ц1. Для определения модуля упругости Ег и коэффициента Пуассона ^2 испытывались дуговые образцы. Модуль сдвига О определялся при нагружении оболочек крутящими моментами по торцам.
На основании анализа результатов испытаний оболочек можно сделать предположение о. существовании двух областей значений Р/6, которые отличаются характером разрушения в закрйтическом состоянии.
Первая область соответствует Р/6 > 50. В этой области происходило выпучивание стенок оболочки, сопровождавшееся хлопком. На фиг. 4 представлены кадры киносъемки процесса разрушения такой оболочки. На кадре 2, который снят через 1/144 секунды после начала выпучивания, зафиксирован момент образования волн.
Круглые вмятины свидетельствуют о потере устойчивости стенок. Дальнейшее развитие деформаций показано на кадрах 3—5, которые сняты через 2/144, 6/144 и 9/144 секунды соответственно после начала выпучивания. С течением времени вмятина из круглой превращается в ромбовидную. На гребнях, разделяющих области выпучивания, видны расслоившиеся наружные слои, а во впадине — трещина, вытянутая в окружном направлении. Кроме этого, процесс сопровождается уменьшением числа вмятин и резким снижением нагрузки (Р — 0,4 — 0,5 Ркр) ■ После снятия нагрузки оболочка стремится возвратиться
9—Ученые записки № 1
129
Фиг.
к первоначальной форме. На кадрах 6—12 показано постепенное распрямление стенок.
При осмотре оболочек после снятия нагрузки всегда обнаруживались остаточные явления: расслоения на гребнях и трещины в окружном направлении.
Вторая область соответствует значениям Я/5 < 50. Разрушение здесь имело иной характер. Промежуток времени между началом выпучивания и образованием окружной трещины был более коротким. В районе трещины часть материала расслаивалась и выкрашивалась (фиг. 5).
Фиг. 5
Критические напряжения для различных чисел /?/б приведены на фиг. 6. Выпучивание стенок происходило в упругой области. Об этом свидетельствуют диаграммы напряжения-деформации, которые были линейными вплоть до начала выпучивания. Величина относительной деформации перед началом выпучивания не превышала значений вкр ^ 0,75.
Эмпирический закон изменения аКр = $ (/?/6) по аналогии с аналитической формулой был выбран в виде гиперболы:
£ 8________
°кр==/?/8~= к 'ЯУЕ'Е*- (16)
Коэффициент пропорциональности & = 743, при котором эта гипербола наилучшим образом согласуется с экспериментом, определялся с помощью метода наименьших квадратов. Полученная кривая представлена на фиг. 6 пунктирной линией.
Из формулы (16) следует, что
, 743
к=тт- (17)
Статистическая обработка результатов эксперимента проводилась в соответствии с методикой, изложенной в [3], [4]. Средние арифметические значения х, средние квадратичные ошибки ю, квадратичные
ошибки средних арифметических о>а и коэффициенты вариации V, полученные при определении модуля упругости Еи коэффициента Пуассона (XI и коэффициента устойчивости приведены в таблице. Предельные отклонения принимались равными 3 ю.
Определяемая величина Число измерений X ш “а V [%] Границы отклонений определяемой величины
к 24 0,356 0,0345 0,007 9,7 0,3043<*<0,4078
Ех [кгс/мм3] 25 2,3-Юз 0,143-103 0,0286-10» 6,2 2,09-108<£1<2,52.10»
14 0,136 0,0238 0,00634 17,5 о.юозснсо.гоп
5. На основании проведенных исследований установлены следующие значения упругих характеристик материала оболочек при нормальной температуре:
Ех = 2,32 • 103 кгс!мм2; Е2 = 2,00 • 103 кгс/мм2-, р-1 = 0,142; р,2=0,121; в = 0,39*103 кгс/мм2.
Коэффициент устойчивости, вычисленный по формуле (10) для материала с такими характеристиками, составляет & = 0,375, отличаясь на ~4% от экспериментального значения, приведенного в таблице.
[яге/мм у
т,
\,
V • расчет по урабнени/о (/4) змлц рцчесяая яра бая
\
• зясперамелт
ч ч,
•> •ч
• к
V л N.
Ч
• •ч _ <
ч. ••
•*
"и 0 50 60 70 во 90 100 ПО НО !50 Л/Л
Фиг. 6
Кривая критических напряжений, вычисленная согласно (14) для ряда значений Я/6, близка к эмпирической кривой (фиг. 6). Критическая сжимающая сила, при которой оболочка толщиной 6 = 4,5 мм теряла устойчивость, составляет Рк$. цил = 103 000 кгс. В момент потери устойчивости образовались ромбовидные вмятины, причем в окружном направлении оболочки насчитывалось 7—8 волн. Расчеты по формулам (15) и (13) дали Ркр.цил = Ю1 600 кгс и п = 7.
Таким образом, все расчетные величины, определяющие устойчивость стеклопластиковой цилиндрической оболочки при осевом сжатии, достаточно хорошо согласуются с результатами эксперимента.
* *
*
1. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. Физматгиз, 1963.
2. Буштырков А. А. Нелинейная задача устойчивости цилиндрической ортотропной оболочки при осевом сжатии и поперечном давлении. В сб. «Проблемы устойчивости в строительной механике». Госстройиздат, 1965.
3. Ушаков Б. А. Определение параметров линейной зависимости двух переменных по способу наименьших квадратов. Труды ЦАГИ, вып. 680, 1949.
4. Яковлев К. П. Математическая обработка результатов измерений. Гостехтеориздат, 1950.
5. Смирнов Н. В., Дуни н-Б а р х о в с к и й В. И. Краткий курс математической статистики при технических приложениях. Физматгиз, 1959.
6. S с h п е 11 W. Die dunnwandige Kegelschale unter Axial-und Innendruck. Zeitschrift fur Flugwissenschaften, Nr. 4/5, 1962.
Рукопись поступила 29/IV 1969
