CC BY
44
УДК 539.3
А.И. Бабин, Ю.В. Немировский Численное решение задачи термоупругого деформирования спирально армированных цилиндрических оболочек
A.I. Babin, Yu.V. Nemirovsky The Numerical Solution of the Problem of the Thermoelastic Deformation of Spirally Reinforced Cylindrical Shells
Разработана методика приведения трехмерной нестационарной задачи теплопроводности для многослойных оболочек к двухмерной. Решена несвязная задача упругого деформирования спирально армированных цилиндрических оболочек при действии температурных и силовых факторов.
Ключевые слова.. армированная оболочка, двухмерная, трехмерная нестационарная задача, температура, упругое деформирование.
The authors developed method to bring threedimensional unsteady heat conductivity problem for multi-layer shells to a two-dimensional one. The incoherent problem of the elastic deformation of spirally reinforced cylindrical shells under the influence of temperature and force factors is solved.
Key word: reinforced shell, two-dimensional, threedimensional non-stationary problem, temperature, elastic deformation.
Работа посвящена построению и численному решению уравнений нестационарной теплопроводности и несвязной термоупругости для спирально армированных цилиндрических оболочек.
Представим расчетную схему в виде двухслойной цилиндрической оболочки постоянной толщины, находящейся под действием термосиловых факторов. Слои цилиндра изготовлены из связующего с одинаковыми термомеханическими характеристиками и перекрестно армированы в направлении винтовых линий. На внутренней поверхности О введем ортогональную систему координат, координатные линии которой - линии кривизны поверхности О :
| (х, г) 0 < х < I,2к < г < 2к+1, к = 1, 2;
2Х = 0, 2^ = 23 = к1 + к2 = к}.
Здесь И\, к2 - толщины слоев; I - длина оболочки.
Параметры Ламе А1 = 1, А1 = Я и главные кривизны отсчетной поверхности к1 = 0, к2 = -1/Я, Я -внутренний радиус цилиндра. Торец оболочки при х = 0 жестко защемлен, при х = I свободен от усилий. Считая оболочку достаточно тонкой, принимаем приближенное равенство 1 - к22 ~ 1.
На кромках х = 0, х = I и на цилиндрической поверхности 2 = осуществляется теплообмен по закону Ньютона:
-л(^х>=М (т( к>-00),
Л^^(Г«-0О), (к = 1,2);
-л(23)7,22)= 0,5Сц + ^)(Т (2)-0). (2)
Здесь и далее нижний индекс после запятой обозначает частную производную по соответствующей переменной. /Ну, /и2 - коэффициенты теплообмена с окружающей средой, имеющей температуру -00.
В (1), (2) приняты следующие выражения для компонентов тензора теплопроводности модифицированной матрицы композита [1, с. 25]:
л( п)={(cos Y{k)) [^(k )^ik) (^) - A(k ))-
лСk)
-(sin ^k ))2
ЯТ.
k л )+(i -ет( k ))лak)
л )+-Zk])
л1 ^2)={(sin ^k)) [^(k )m(^) (лak) - лЛ )л )
j( k 4{k 4{k )
-(cos Y(k))
z a c
jk )лл)+(i-^k ))лak )
Л(k) = (33)
(k)
1 -ет.
(k)
V1
; к = 1, 2;
yk лл)+ (1 -ет k ^ 1 л;'
Л), л; i- теплопроводности армирующих вол и связующего k-го слоя соответственно; ш
14
Численное решение задачи термоупругого деформирования.
удельное содержание армирующих волокон в к-м слое на кромках х = 0, х = I цилиндра; > - интен-
сивность армирования в к-м слое по нормали к О ;
Пк ) = (-1)к«/7 с2 +1, с е (0,5) - постоянные углы,
которые винтовая линия составляет с образующей поверхности О [2, с. 92].
На поверхности 2 = = 0 задан кусочно-линей-
ный закон изменения температуры:
jr/To, О<г<г0;
(3)
f ( zi ) = f' (z2 ) = 0 ' (Z3 )+ 0,5 ( Mi + М2 ) f ( Z3 )= 0
(5)
Нестационарное уравнение для функции П(х, z), начальное и граничные условия в анизотропном теле получаем, используя вариационное уравнение теплопроводности для многослойных полиармиро-ванных оболочек, при отсутствии источников теплоты [1, с. 22], и уравнения (1-5):
СП( x,r) r =(^11)П( x,r)x ) -^33)П( x,r)-C, П( x,0) = 0;
Äii)n (X,T),l =0 = Mi [Г& -©- ^ П (XT )L0 ] ,
Äii)n(X,T), x|x = М2 [^ - ©-Г22 П( X,T|X=; ] •
(6)
(7)
( П) ' ' Л х|х=1
Начально-краевая задача (6-7) решается итерационно-интерполяционным методом, предложенным в работе [4, с. 6].
Функции ©(к> (х, z), присутствующие в (4), выражаются в конечном виде [1, с. 24]:
Чк)+ Кг Ч^( 2 М( 2к )] ,
(8)
Подставляя решение краевой задачи (6, 7) и выражения (8) в (4), находим нестационарное температурное поле двухслойного армированного цилиндра.
После определения поля температуры решается несвязная задача термоупругости по методике, изложенной, например, в [1, с. 26].
Примем гипотезу Кирхгофа-Лява для всего пакета слоев в целом [1, с. 26].
Разрешающая система уравнений статики многослойных армированных оболочек вращения и краевые условия представлены в [5, с. 77; 2, с. 27].
Приведем описание структурного критерия прочности армированной среды [5, с. 36]. Материалы матрицы и армирующих элементов подчиняются условию прочности Мизеса [5, с. 36]:
На цилиндрической поверхности г = г2 = к выполняются условия идеального теплового контакта [3, с. 168]. Нестационарное двухмерное температурное поле в к-м слое оболочки аппроксимировалось зависимостью [1, с. 23]:
Т(к) (х,7,г) = ©^к-1 (г,г) + /()П(х,г), к = 1, 2, (4)
где ©(кнепрерывно дифференцируемые функции, допускающие представление в замкнутом виде; П - независимая характеристика, учитывающая нелинейное распределение температуры на отсчетной поверхности; /Г) - достаточно гладкая функция г, удовлетворяющая условиям:
M
(CT(ß ) = k2, M ({aß)a )= kl • (9)
После решения соответствующей задачи термостатики находим средние напряжения и средние деформации є(к^ к-слоя. По методике, подробно описанной в [5, с. 36], восстанавливаем истин-
(к)
ные напряжения стк) в связующем и армирующих
волокнах a. Подставляя последние в (9), нахо-
дим значения: М (^ J , Mg = . SUPM (°S) с,а) ,
V Vk
М¡с,a) = maxМ(¡а •
Здесь Vk - область, занятая k-м слоем.
Если выполняется одно из равенств
М2 = min kfl , то считаем, что в данной точке
к
наступила потеря прочности композитного материала.
Рассмотрим цилиндрическую металлокомпозитную оболочку, нагруженную внутренним равномерно распределенным давлением интенсивности P = 2 МПа, радиусом R = 0,5 м, длиной l = 10R, изготовленную из алюминия (= Л(2 ) = = 240 Вт/(м-град), cf1 = с() = 757 Дж/(кг-град), р« = р« = 2687 кг/м3, E^ = Ef2) = 73-ГПа, сс^ = = af2) = 2,4 -106 °С 1, предел прочности (текучести) при растяжении kf1 = kf2) = 62-МПа [3, с. 173, 180]) и симметрично армированную двумя семействами стальных волокон (= 42) = 45 Вт/(м-град), с« = с(а2> = 568 Дж/(кг-град), р® = р(а2) = 7811 кг/м3, E(? = E{2) = 20-ГПа, а{- ] = а(2) = 13 -10-6 С-1, к(? = = kf= 413-МПа [3, с. 174, 180]) в направлении винтовых линий.
Температурное воздействие характеризуется следующими параметрами: ви = 500 С , в0 = 0 С, /^ = М2 = 20 Вт/(м2-град), г0 = 5 с. Параметры армирования: ) = шЩ^ = 0,5.
i5
^(1), град. 25,625 40,514 47,673 51,247 53,198
^( 2) , град. -25,625 -40,514 -47,673 -51,247 -53,198
М*), ГПа (с) ’ 0,806 0,814 0,882 0,923 0,947
В таблице представлена зависимость М*с> от
угла укладки арматуры в направлении винтовых линий при заданных термосиловых полях.
Библиографический список
1. Бабин А.И., Немировский Ю.В. Термоупругость узлов с полимерными подшипниками скольжения // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: тр. XXI Всерос. конф. / под ред. В.М. Фомина. - Новосибирск, 2009.
2. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. - М.; Л., 1947. - Ч. 1.
3. Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент: справочник. Кн. 2: Теплоэнергетика
и теплотехника / под общ. ред. В.А. Григорьева, В.М. Зорина. - 2-е изд., перераб. - М., 1988.
4. Гришин А.М., Кузин А.Я. О гетерогенно-гомогенном воспламенении пластины при обтекании потоком окислителя // Горение и взрыв. - М., 1969.
5. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: изгиб, устойчивость, колебания. - Новосибирск, 2001.
