CC BY
24
Термоустойчивость слоистых оболочек из композитного материала
при динамических нагружениях
В.И. Самсонов, А.В. Шульгин
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Предложена методика расчета слоистых армированных тонкостенных конструктивных элементов при кратковременных внешних воздействиях с учетом специфики деформирования композитного материала по слоям. Решены конкретные задачи о динамической устойчивости при всестороннем (а также раздельном) сжатии цилиндрической оболочки с регулированием анизотропии материала с целью выбора наилучшего проекта. Проведен анализ полученных результатов и даны практические рекомендации.
Thermal stability of layered composite shells under dynamic loading
V.I. Samsonov and A.V Shulgin
The design procedure of layered reinforced thin-walled constructive elements is proposed at short-term external influences in view of layer-by-layer deformation peculiarities in composite materials. Specific dynamic stability problems are solved at uniform (and at uniaxial) compression of a cylindrical shell with regulation of anisotropy of a material with the purpose to select the best project. The analysis of the results obtained is carried out and practical recommendations are given.
1. Введение
Расчетная модель нелинейного деформирования слоистых оболочек из композитного материала (КМ-обо-лочки) в уточненной постановке была предложена в [1]. После несложных преобразований она пригодна как для расчета гладких однослойных, так и подкрепленных силовым композитным набором оболочек. В тех случаях, когда необходимо рассматривать задачи, связанные с тепловым нагружением, в них следует внести дополнительные составляющие, используя обобщенные на случай термоупругости соотношения Дюамеля-Неймана для композитного материала. Опуская вывод основных разрешающих уравнений, аналогичный проделанному в [2], после всех преобразований получим следующую нелинейную систему термоупругого деформирования трехслойных КМ-оболочек в обобщенных перемещениях [2]:
X(Ainun +A'inan)-Jiw-U*-e 1V^+e 2qi3 = °,
n=1
2
X (Л'т«т + ДІЛ ) - А™ - К* - Є-1У£ + Є-= 0,
(1)
X (Ат ит + АХ ) - А3™ - 4 - - Є" ^ = 0,
т=1
Q8и 1^ = 0, і = 1,2.
Здесь Пі ™ — основные перемещения в отсчетной поверхности; аі — функции координат и времени, связанные с поперечными сдвигами; Літ, Л'іт, Л"іт и т.д. — дифференциальные операторы в частных производных; и*, К*, 4 — инерционные составляю-
© Самсонов B.K, Шульгин A.B., 2004
щие; qi3, дг-3, q — параметры внешней поверхностной нагрузки; Q, 8м — соответственно векторы обобщенных усилий и вариаций обобщенных перемещений на Г-линии, ограничивающей отсчетную поверхность оболочки. В системе (1) учтено влияние межслойных сдвигов, взаимодействие волокон и связующего и согласованы условия их контакта в пакете не только по перемещениям, но и по касательным усилиям [1]. Подчеркнутые слагаемые соответствуют температурным составляющим, в* = а в, где а — характерный коэффициент теплового расширения; Vi, V', У3 — линейные операторы, содержат упругие и, в общем случае, тепловые составляющие от поперечной координаты. Отметим также, что порядок полученной разрешающей системы уравнений (1) не зависит от числа слоев и их расположения.
Используем систему (1) для исследования процесса выпучивания цилиндрической композитной трехслойной оболочки при апериодических динамических воздействиях — силовых и температурных. Для этого к системе уравнений устойчивости, полученной из (1), следует добавить обобщенное уравнение теплопроводности, а также начальные условия. Отметим, что при решении задач устойчивости в граничных условиях должны быть отброшены температурные члены, поскольку они будут уже учтены при определении докри-тического состояния оболочки, а уравнения закритичес-кого деформирования будут сохранять вид, аналогичный приведенному в [3], независимо от присутствия температурной составляющей. Полученная таким образом полная задача динамической термоустойчивости имеет довольно сложный вид и структуру. Прямое ее решение затруднительно даже при использовании численных методов. Поэтому, следуя приведенному в [4] замечанию относительно подходов к решению подобных задач, рассмотрим два этапа их реализации. На первом этапе условно примем, что изменение термоупругой деформации по длине оболочки не зависит от прогиба и определяется из решения соответствующей одномерной задачи, как для упругого стержня. На втором этапе рассмотрим собственно задачу нелинейного закрити-ческого деформирования — выпучивания — под действием температурных и силовых факторов, причем температурные составляющие уже будут входить в систему уравнений как известные величины, найденные на предыдущем этапе.
Обобщенное уравнение теплопроводности для анизотропного тела получим по методике, изложенной в [5]. В безразмерных переменных окончательно представим его в виде:
Эв*
Эт
-Л
д 2в*
д гщ
д£? дтд^
= 0,
(2)
где в* = атв, т = с^, с = ^Е0/р, Л=А_£^2СЕрс, t — размерное время; L, R — соответственно длина и средний радиус цилиндрической поверхности оболочки; ^ = еА1*1Т0(ат)2 Е0/Сер, ^ = хх/R; Е0 — модуль упругости изотропного связующего материала; р — средняя плотность материала оболочки; м1 — отнесенное к полной толщине оболочки Н перемещение точек срединной поверхности в направлении образующей; А11 — упругий модуль композитного материала вдоль образующей; е = . Уравнение (2) отличается от
обычного уравнения теплопроводности дополнительным членом, связанным с работой деформации, т.е. имеем так называемое связанное уравнение теплопроводности. Это уравнение следует рассматривать совместно с уравнением движения (1) при i = 1. Приводя его к безразмерному виду с учетом принятых выше обозначений, получим
д2», дв- К д2», = 0
ИГ-К^=0'
(3)
где К = R 2/L2 А* . Уравнения (2) и (3) образуют полную систему дифференциальных уравнений обобщенной термоупругости композитной цилиндрической оболочки в одномерном варианте. Краевые и начальные условия в исследуемом случае принимаем следующими:
дв
__ = М1 = 0 при Ё1 = 0, ЦR, дЁ1
дих
дт
= м = 0 при т = 0 и
(4)
в* = в0 при т = 0, Ё1 = 0.
Последнее условие в (4) отвечает приложению теплового импульса в0 на одном из торцов оболочки в начальный момент времени, т.е. рассматривается резкий местный нагрев с оставшейся теплоизолированной поверхностью [4]. При решении основной задачи выпучивания композитной слоистой оболочки следует внести в разрешающую систему уравнений устойчивости дополнительную составляющую от воздействия температуры по формуле
Т10(т, Ё1) = А-
Г дм1 в*Л
е—1 -в ЭЁх
(5)
где Ъих! д^1 и в* определяются из решения задачи (2)-(4).
Заметим, что в тех случаях, когда тепловые источники медленно изменяются во времени, можно в уравнении (3) пренебречь инерционной составляющей и представить в явном виде
о 2 4 6 1,
Рис. 1. Зависимость прогибов для различных углов косой укладки армирующих элементов
L|R
Т (т) = - А* R | в(т, №, (6)
L 0
где функция в(т, Ё1) определяется из решения задачи обобщенной теплопроводности (2) и (4). Таким образом, задача первого этапа свелась к интегрированию системы уравнений (2) и (3) при начально-краевых условиях (4).
Повторяя процедуру решения исходной системы уравнений устойчивости, предложенной в [4], после довольно громоздких преобразований получим следующую нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно безразмерных амплитудных значений ^1 и £2 (отнесенных к полной толщине оболочки Н):
1 — 2 Г
——+ Сх (1 + а01Т1° - a0t*) --Ь —и.
- а1 ^2 + а22 + а3^Л = 0
6е-1 —2С2 , г ( , 0 ^0 , , (7)
- -----Г- + £2 (а4 + 2а01Т1 - a5t* ) -
>Ь dt*
- а6С2 - а7 С2 + а8?2С2 + а9С2 = 0
Обозначения в (7) соответствуют [4] и здесь не приводятся. Таким образом, на втором этапе решения задачи о термоустойчивости имеем систему (7) с начальными условиями для ^1, С2 и &&& 1? С2 при t- = 0. Тем самым, задача о выпучивании оболочки при динамических термосиловых воздействиях поставлена полностью.
При исследовании процесса выпучивания считаем, что неустойчивость оболочки наступает в тот период, когда амплитуда максимального прогиба резко возрастает с ростом t- для ближних к оси ординат значений п (параметр п фиксируется). Можно также считать дос-
тигшей критической величины нагрузку при динамическом нагружении, если принять, что стрела максимального прогиба превышает статический прогиб, отвечающий наибольшему значению внешнего воздействия. Другие авторы считают опасной такую нагрузку, при которой интенсивность напряжений достигает предельной величины. Все эти критерии условные, не носят универсального характера и относятся к конкретным оболочкам для определенно выбранных механических и геометрических параметров. Поэтому здесь в качестве критерия неустойчивости примем первый как более наглядный и при котором происходит так называемый «хлопок» оболочки и дальнейшее динамическое нагружение в этом случае очень быстро приводит к исчерпанию ее несущей способности.
При решении задачи о динамической термоустойчивости трехслойной композитной оболочки к системе (7) с начальными условиями ^1 = С2 = 0.001 и &&& 1 = £ 2 = 0 при t-= 0 была применена схема Гира. Система же уравнений (2), (3) при начально-краевых условиях (4) была проинтегрирована конечно-разностным методом. В случаях, допускающих известные упрощения, использовалось соотношение (6). При проведении вычислений структура слоистой оболочки была подчинена условию сохранения общего объемного содержания армирующих элементов по слоям [3].
На рис. 1 приведены характерные зависимости ) для различных углов косой укладки армирующих элементов в среднем слое и жесткостных параметров слоев (вариант 3 из [1]) при воздействии только температурного импульса в0 = 0.3, 0.5. Видно, что коэффициент динамичности (К0 = t-) возрастает по мере уве-
^ Л/(3)
личения угла наклона косых семейств X , причем для п = 4 раньше других значений волнообразования по
С1
о 2 4 1
Рис. 2. Совместное воздействие температурного и силового импульсов на трехслойную оболочку
окружности начинается процесс «прощелкивания» к другому равновесному состоянию. Результаты расчетов Т10(т) показали, что зависимости ^(^) практически совпадали при введении Т * (т), вычисленной по приближенной и точной формулам. Разница проявлялась лишь в незначительном уменьшении амплитуды колебаний после «хлопка» оболочки, а начало перехода оболочки в другое состояние совпало полностью.
Аналогичная картина в поведении зависимости ) наблюдалась и для других вариантов армирования, поэтому в дальнейших расчетах принималось п = 4, а варьировались другие параметры. В частности, при совместном действии температурного импульса и силового импульса интенсивности ^ = 98 -107 Па/с на рис. 2 приведены зависимости (^0*) при варьировании
Л,(3)
угла X косой укладки армирующих элементов в среднем слое (верхний индекс у х; индексы 1 и 2 отвечают нижнему и верхнему слоям оболочки). Как видно из рисунка, наибольший коэффициент динамичности (па-
(3)
раметр 4) будет при X = 0.4п. Такая же структура обеспечивает и наибольшую статическую критическую нагрузку, полученную по линейной теории [1]. Срав-
(3)
нивая кривые при X = 0.1л и 0.4п видим, что изменением угла косой укладки армирующих элементов можно добиться значительного увеличения коэффициента динамичности при постоянных остальных параметрах (интенсивностях армирования и их соотношениях по слоям).
Здесь уместно заметить, что предложенная методика расчета динамической устойчивости слоистых КМ-обо-лочек будет справедливой и при дополнительном воздействии агрессивных сред [6] в процессе их деформирования. Влияние агрессивной среды отразится лишь на механических характеристиках компонентов композитного материала в слоях, и, следовательно, процедура решения новой задачи будет аналогична.
В заключение следует отметить, что приведенные результаты являются иллюстрацией разработанного подхода к определению динамических характеристик КМ-оболочек слоистой структуры в различных термосиловых режимах нагружения и использования геометрически нелинейной теории изгиба. Для более сложной реологии здесь необходимо только внести изменения в определители кинематических матриц-операторов основной системы (1) и воспользоваться предлагаемым подходом к решению динамической задачи нелинейного деформирования. В этом плане приведенные примеры показывают эффективность использования предложенной уточненной модели. В то же время, она может быть использована для более широкого класса тонкостенных конструкций, применяемых в различных отраслях машиностроения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 04-01-00006а).
Литература
1. Немировский Ю.В., Самсонов В.И. Прочность, жесткость и оптимальное проектирование конструкций при статических и динамических воздействиях. - Новосибирск, 1992. - 35 с. / Препринт РАН, Сиб. отд-ние, ИТПМ, № 17-92.
2. Самсонов В.И. Выпучивание композитных цилиндрических оболочек при динамическом нагружении // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1992. - С. 121129.
3. Немировский Ю.В., Самсонов В.И. Устойчивость слоистых компо-
зитных оболочек при динамическом нагружении // Матер. 2-го Всесоюз. симп. «Устойчивость в механике деформируемого твердого тела». - Калинин, 1986. - С.138-143.
4. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. - М.: Наука, 1972. - 520 с.
5. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. - М.: Мир, 1970. - 256 с.
6. Самсонов В.И., Шульгин А.В. Влияние агрессивной среды на деформирование полимерных материалов // Труды XVI Межреспубл. конф. «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности». - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - С. 146-151.
