CC BY
39
УДК 539.411
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ОДНОНАПРАВЛЕНО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕДАХ
А. Н. Андреев
MODELLING THE THERMAL CONDUCTIVITY PROCESSES IN UNIDIRECTIONALLY REINFORCED COMPOSITE ENVIRONMENTS
A. N. Andreev
Представлена структурная математическая модель теплопроводности однонаправлено армированного слоя, в рамках которой построены эффективные теплофизические и механические характеристики волокнистых композитов. Существенно новым элементом предлагаемой модели является проведение процедуры осреднения теплового потока по представительному объему двухкомпонентного композитного материала в соответствии с законом Рихмана о теплообмене, происходящем между телами, находящимися в соприкосновении, а не на основе правила простых смесей, как это обычно принято.
The paper presents a structural mathematical model of thermal conductivity of the unidirectionally reinforced layer; effective thermal and mechanical properties of fiber composites are constructed within the model. The essentially new element of the proposed model is the procedure of averaging the heat flux of the representative volume of the two-component composite material in accordance with the Richman law of heat exchange, rather than with the rule of mixtures, as it is usually done.
Ключевые слова: теплопроводность, структурная модель, волокнистый композит.
Keywords: thermal conductivity, structural model, fiber composite.
1. Основные допущения
Изложение структурной модели теплопроводности однонаправлено армированных волокнистых композитов здесь следует, в основном, материалам монографии [1]. Принимаются следующие допущения [1; 2; 10; 13; 12; 11; 14; 19].
1. Полиармированный слой представляет собой упругое изотропное однородное связующее, в которое
внедрена регулярная сеть однонаправленных упругих изотропных армирующих волокон.
2. Число армирующих волокон достаточно велико, так, что полиармированный слой можно считать квазиоднородным. Представительный элемент поли-армированного слоя показан на рис. 1.
Рис. 1. Представительный элемент полиармированного слоя
3. Градиенты внешних силовых и тепловых полей "не слишком велики" так, что изменением характеристик теплового поля и напряженно-деформированного состояния в пределах представительного объема можно пренебречь.
4. В каждой из фаз композиции связь между вектором теплового потока и градиентом температуры следует линейному закону теплопроводности Фурье [15]:
. (1.2)
Здесь 0п, 1п, Tn - вектор теплового потока, коэффициент линейной теплопроводности, температура связующего ( п = c) и армирующих элементов ( п = a) соответственно, V - оператор Гамильтона.
5. Армирующие волокна имеют прямоугольное поперечное сечение и находятся в условиях идеального контакта со связующим. Вектор напряжений на поверхности Г раздела фаз гетерогенной сплошной среды непрерывен при переходе через нее, а поле температур удовлетворяет на этой поверхности условиям идеального теплового контакта [3; 17]:
T = Т, 2 дТ^ = 2 . (1.3)
а С* а ^ о <■■•,
дv дv
Здесь V - вектор единичной нормали к поверхности Г. Локальными эффектами термоупругого напряженно-деформированного состояния вблизи таких поверхностей пренебрегаем.
6. Осреднение температуры по представительному объему двухкомпонентного композитного материала осуществляем в соответствии с законом Г. В. Рихмана [7; 18]. Согласно этому закону, если несколько тел с различными температурами привести в соприкосновение, то между ними произойдет теплообмен, приводящий к выравниванию температуры. Причем, если о1, щ, Т1 - удельная массовая теплоемкость, масса, температура первого тела, а о2, т2, Т2 - аналогичные характеристики второго
тела, то конечная температура Т обоих тел вычисляется по формуле Г. В. Рихмана [7; 18]:
Т = -
- Т+-
- Т
2 *
(1.4)
7. Осреднение по представительному объему вектора плотности теплового потока осуществляем по правилу, аналогичному (1.4):
0
о1т1
о1т1 + о2 т2
0! +
02 т2
о1т1 + о2 т2
02. (1.5)
8. Осредненные по представительному объему вектор плотности теплового потока 0 и температура Т следуют линейному закону теплопроводности Фурье для анизотропной среды.
2. Теплопроводность однонаправлено армированного слоя
Переходим к определению удельной теплоемкости армированной среды и компонент тензора ее линейной теплопроводности. Формулами оэ=ёШ, юг=д/к (рис. 2) вводим структурные параметры армирования - интенсивность армирования в плоскости
слоя (() и по его высоте ((Ог). Оси вспомогатель-
~ ~2 ~3
ной декартовой системы координат х , х , х = г вводим как показано на рис 1, 2. Величины, относящиеся к связующему, отмечаем индексом " о", к армирующим элементам - индексом " а", средние характеристики армирующего слоя заключаем в угловые скобки.
к
О
X
X
в __________~— — —
..................
й
с
В'
Рис. 2. Представительный элемент армированного слоя
Плоскостями А А' В В и ВВ 'С С, параллельными плоскостям слоя (рис. 2, рис. 3), выделим из представительного элемента армированной среды параллелепипед АВСВА 'В'С В'. Этот параллеле-
пипед, содержащий армирующее волокно (закрашено), назовем представительным элементом армирующего слоя (рис. 3) и вначале рассмотрим его средние характеристики.
1
I
Рис. 3. Представительный элемент армирующего слоя
Начнем с определения приведенной удельной массовой {рЕт) и удельной объемной {Сд ) тепло-
емкостей представительного элемента армирующего слоя при отсутствии деформаций. Удельная массовая теплоемкость С однородного изотропного вещества определяется по формуле [4; 6; 8; 9; 16]:
О
С . (2.1)
тАТ
Здесь О - количество теплоты, полученное образцом вещества при нагреве (или выделившееся при охлаждении), т - масса этого образца, АТ - приращение температуры. Осуществляя в физических испытаниях измерения в условиях отсутствия деформаций образца, получаем из (2.1) значение удельной
массовой теплоемкости СЕт, а при отсутствии напряжений (реализация такого испытания существенно проще) - значение удельной массовой теплоемкости
С . Между теплоемкостями С и С существу-
ат ^ Ет от
ет функциональная зависимость [5; 6], позволяющая свести вычисление одной из них к вычислению другой.
Определяя количество теплоты {О), полученное веществом квазиоднородного представительного элемента армирующего слоя, и его приведенную объемную плотность {р) по формулам:
О) = Оа + Ос , {р) = ®ра + (1 - ®)РС, (2.2)
находим из (2.1), (2.2) выражения для приведенной массовой теплоемкости (сдт^ и объемной теплоемкости { Сд)
{с ) = Шр!- са + (1 -ш) р
Ет {р) Ет {р)
{Сд ) = ШраСЕт + (1 -Ш)рсСЕт ■
с сс
дт'
(2.3)
(2.4)
В (2.2), (2.3) ра, Ст и р, С£т - объемные плотности и удельные массовые теплоемкости мате-
риалов армирующих элементов (а) и связующего (С).
Используя характеристики (2.3) и заключая в угловые скобки величины, осредненные по представительному элементу армирующего слоя, выводим из
(1.4), (1.5):
У{Т ) = ШУТа + (1 -Ш) УТс,
{©) = Ш© а + (1 -Ш) ©с , „а _
— сера ш = д а ш.
{СЕ)
Записывая (2.4) в развернутой скалярной форме и принимая во внимание (1.2), приходим к зависимостям
V! {Т ) = ШУхТа + (1 -Ш) У,ТС, V 2 {Т ) = ШУ 2Та + (1 -Ш) V 2Тс, У3 {Т) = ШУ 3Та + (1 -Ш) УЪТ; с (2.5) {6> ) = -ШаУгТа + (1 - ш)ХсУТс (г = 1,2, 3).
Учитывая, что квазиоднородный материал армирующего слоя следует линейному закону Фурье для анизотропной среды, имеем также:
{®, ) = "^ )У J {Т). (2.7)
В (2.7) (Л) - неизвестный пока тензор интегральных коэффициентов теплопроводности армирующего слоя.
Переходим к его определению. В силу допущения 6 на поверхности Г раздела фаз армирующего слоя (рис. 3) выполнены условия сопряжения (1.3):
Та = Тс, \У2Та =ЛСУ Т (направление нормали V совпадает с направлением
оси X ). Дифференцируя обе части первого из этих
равенств по переменным X , XX (оси X , X лежат
в плоскости Г раздела фаз армирующего слоя), приходим к соотношениям:
(2.6)
УТ =УТс, у3Та =у3Тс,
2Та =хсУ 2тс .
Здесь и ниже в двойные угловые скобки заключе-(2.8) ны средние по объему представительного элемента армированного слоя величины.
Из формулы (1.4), примененной для осреднения
Зависимости (2.5), (2.8) вместе составляют систему шести линейных алгебраических уравнений для температуры по представительному элементу арми-
определения шести неизвестных величин -
V Т V Т V ТУ Т V Т V Т
М'' а> М'' О у 21 а> у 2^ с у 3^ а' у 31 с '
Решив эту систему, получаем:
VlTc =V1Ta {Т),
VзTc =Vз {Т),
Л — V2 {Т),
рованного слоя, следуют соотношения:
V1 {{Т )) = Шг ^ {Т) + (1 -Шг) VlTc, V 2 {{Т )) = шг V 2 {Т) + (1 -Ш) V 2 тс , Vз {{Т)) = {Т) + (1 - Ш ) VЪTC, (2.13)
V2TC =
Ш = {р){СЕт)
{{Сд))
Ш =
Ш.
V Т =
У 21 а
оЛс + (1 -ш)Л --^—v2 {Т).
шЛ + (1 -Ш)Ла
(2.9)
ям:
Подставляя (2.9) в (2.6), приходим к соотношени-
{0, ) = -(ШЛа + (1 -Ш)Л) V, {Т),
{02 ) = -
ЛаЛ
^2 {Т),
ШК + (1 ш)Ла {03 ) = -(ШЛа + (1 -ш)^ {Т),
Составив для поверхности Г раздела фаз условия теплового контакта:
{Т) = Тс, {Л33 ^3 {T) = ЛVзTc (направление нормали V к этой поверхности совпадает с направлением оси X ) и, продифференцировав первое из этих равенств по переменным XX , X , приходим к соотношениям:
^ {Т ) = V1Tc,
V2 {Т) = V2Тр , {Л33 )V3 {Т) = ЛУ3Т.
(2.14)
Зависимости (2.13), (2.14) вместе составляют сис-сравнивая которые с (2.7), находим в^1ражения для тему шести линейных алгебраических уравнений для
компонент тензора теплопроводности представитель ного элемента армирующего слоя
{ЛП) = {Л33 ) = ШЛа + (1 -Ш)Л,
{Л22 ) =-^-, {Л,.,. ) = 0
4 22/ ШЛ+(1 -Ш)К 4 .
((,. = 1, 2, 3; , * .). (2.10)
Переходим к определению удельной теплоемкости представительного элемента армированного слоя и компонент тензора его линейной теплопроводности. Считаем, что квазиоднородный анизотропный материал элементарного армирующего слоя (на рис. 2 -прямоугольный параллелепипед АВСОА'В'СО')
определения шести искомых величин -
^ {Т), V2 {Т), Vз {Т), VlTc, V2Tc, VзTc. Решая эту систему и учитывая (2.10), получаем:
VlTc ^ {Т) = V1 {{Т)),
V2TC ^2 {Т) = V2 {{Т)), Vз {Т ) = - Л
V3T =
3 с
Ш(1 -Шж )Ла + (1 -Ш(1 -Шж ))Л ШЛа + (1 -Ш)Л
^{{Т)),
_ _ _ _-V3((T)). (2.15)
ш(1 - С02)Ла + (1 - Ш(1 - Шг))Л
Далее, из формулы (1.5) осреднения теплового потока по представительному элементу армированно-подчиняется линейному закону Фурье (2.7), (2.10). го слоя находим соотношения: Материал прослоек связующего, дополняющего этот {{0 )) = Ш {0 ) + (1 - Ш )0 (, = 1 2 3) параллелепипед до представительного элемента ар- 1 ж 1 ж с ' '
мированного слоя, подчиняется закону Фурье (1.2). которые в силу (1.2Х (2.7), (2.10) приводятся к виду:
{{0,)) = Ш {Л,, ^ {Т) - (1 -Шж) Лv,Tc. (2.16)
Подставляя (1.1.15) в (1.1.16), приходим к зави-
Поверхность Г раздела фаз в данном случае состоит из прямоугольников АА'О'О и ВВ'С 'С .
Приведенную объемную плотность ({рУ} представительного элемента армированного слоя определяем по формуле:
((р» = Шж <р + 0 -Шж ) рс. (2.11)
его приведенную массовую и объемную
«с^ теплоемкости - по формулам:
симостям:
{{01)) = - [ШШЛа +(1 - )Лс {{Т)), {{02)) = -Лс Ш(1-Ш]Лс ))Ла V2<{7)),
{{03 )) =
= -Л
шЛс +(1-Ш) Ла
ССЛа + (1 -Ш)Л
^ {{).
(2.17)
({С )) = ША£1{с )+ (1 -Шж)р сС
{{р))КЕ {{р)) Е
{{Сд)) = Шж {р){Сдт ) + (1 С ж ) рсССЕт.
ш(1 -шж )Ла + (1 -Ш(1 -шж ))Л
Учитывая, что квазиоднородный анизотропный материал армированного слоя следует линейному за-(2 12) кону Фурье, имеем также
{{0, )) = -Л. V ; {{Т)). (2.18)
Установленными зависимостями решается (в рамках принятых модельных представлений) задача построения эффективных теплофизических характеристик однонаправлено армированного слоя. Этими формулами компоненты тензора теплопроводности определены во вспомогательной системе координат, направления осей которой связаны с направлениями армирующих волокон. В любой другой координатной системе компоненты этого тензора можно получить, используя тензорные формулы преобразования этих компонент. Отметим еще, что в результате предельного перехода Ка ^ К0 соотношения (2.18), (2.19)
переходят в закон Фурье изотропной однородной среды с коэффициентом линейной теплопроводности, равным Я0.
Литература
1. Андреев А. Упругость и термоупругость слоистых композитных оболочек. Математическая модель и некоторые аспекты численного анализа. Saarbrucken, Deutschland: Palmarium Academic Publishing, 2013. 100 с.
2. Андреев А. Н., Немировский Ю. В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.
3. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964.
4. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.
5. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970. 308 .
6. Коваленко А. Д. Термоупругость. Киев: Вища школа, 1975. 215 с.
7. Кухлинг Х. Справочник по физике. М.: Мир, 1985. 520 с.
8. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
9. Мелан Э., Паркус Г. Температурные напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: ГИФМЛ, 1958. 166 с.
10. Немировский Ю. В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров. 1972. № 5. С. 861 - 873.
11. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Моделирование процессов теплопроводности в ортогонально армированных гибридных композитах с дисперсным упрочнением связующего // Прикладная физика. 2008. № 5. С. 10 - 17.
12. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Определение эффективных физико-механических характеристик гибридных композитов, перекрестно армированных трансверсально-изотропными волокнами, и сопоставление расчетных характеристик с экспериментальными данными // Механика композитных материалов и конструкций. 2007. № 1. Т. 13. С. 3 - 32.
13. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Рациональное проектирование армированных конструкций. Новосибирск: Наука, 2002. 488 с.
14. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Теплопроводность однородных и композитных тонкостенных конструкций. Новосибирск: Арт-Авеню, 2008. 512 с.
15. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.
16. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: ГИФМЛ, 1963. 252 с.
17. Подстригач Я. С., Ломакин В. А., Коляно Ю. М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.
18. Поль Р. В. Механика, акустика и учение о теплоте. М.: ГИТТЛ. 1957. 484 с.
19. Янковский А. П. Моделирование процессов теплопроводности в пространственно армированных композитах с произвольной ориентацией волокон // Прикладная физика. Научно-технический журнал. 2011. № 3. С. 32 - 39.
Информация об авторе:
Андреев Александр Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой фундаментальной математики КемГУ, algebra@kemsu.ru.
Alexander N. Andreev - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Fundamental Mathematics, Kemerovo State University.
Статья поступила в редколлегию 26.02.2015 г.
Здесь Л ■ - компоненты тензора интегральных
У
коэффициентов теплопроводности армированного
2 "■З
слоя в системе координат XX , X , X = г. Сравнивая между собой (2.17) и (2.18), приходим к выражениям для этих компонент:
Лп=((л+(1 К,
Л =К ((1 )Ло + (1 -((1 ))Ла
22 0 (Ко +(1 -()Ла '
Л =К (Ка + (1 -(К
(1 -шг )ла + (1 -0(1 -шг ))л
а
Ау. = 0, i, j = 1, 2, 3; i * j.
(2.19)
