CC BY
29
УДК 536.21
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПАКЕТА ПОЛИАРМИРОВАННЫХ СЛОЕВ
Ю. В. Немировский, А. В. Станиславович
THERMAL CONDUCTIVITY OF THE PACKET OF MULTIDIRECTIONAL REINFORCED LAYERS
Yu. V. Nemirovskii, A. V. Stanislavovich
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №15-01-00825.
В статье представлена структурная математическая модель теплопроводности пакета полиармированных слоев, в рамках которой построены эффективные теплофизические характеристики волокнистых композитов. Существенно новым элементом предлагаемой модели является проведение процедуры осреднения теплового потока по представительному объему двухкомпонентного композитного материала в соответствии с законом Рихмана о теплообмене, происходящем между телами, находящимися в соприкосновении, а не на основе правила простых смесей.
The paper presents a structural model of thermal conductivity of the packet of multidirectional reinforced layers, which includes effective thermal and physical characteristics of fiber composites. Significant distinction of the presented model is averaging of the rate of heat flow by representative volume element of two-component composite material using Richmann's law of heat transfer between bodies which are in contact instead of simple mixture rule.
Ключевые слова: теплопроводность, структурная модель, волокнистый композит, армированные среды.
Keywords: thermal conductivity, structural model, fiber composite, reinforced materials.
Введение
Используемые в настоящее время волокнистые композитные конструкции армируются, как правило, не одним, а несколькими семействами волокон различной ориентации и во многих случаях различной физической природы. Это является следствием требований, предъявляемых к прочностным характеристикам таких материалов: в армированных оболочках и пластинах несущие элементы - волокна - должны воспринимать соизмеримые напряжения на площадках, различно ориентированных по двум направлениям [17].
Разработке структурной модели теплопроводности пакета полиармированных слоев посвящена настоящая работа. Существенно новым элементом предлагаемой модели является проведение процедуры осреднения температуры и теплового потока по представительному объему двухкомпонентного композитного материала с использованием закона Рихмана о теплообмене соприкасающихся тел [11; 21].
Далее в работе под полиармированным слоем (ПАС) будем понимать слой, толщина h* которого
сравнима с толщиной пакета ПАС H. Представительный элемент ПАС представлен на рис. 1. Под однонаправле-но армированным слоем (ОАС) будем понимать слой, толщина которого много меньше толщины пакета ПАС, под толщиной ОАС будем понимать h®. Представительный элемент ОАС представлен на рис. 2.
1. Структурная модель теплопроводности од-нонаправлено армированного слоя
Переходим к изложению структурной модели теплопроводности однонаправлено армированного слоя. Изложение структурной модели теплопроводности однонаправлено армированных волокнистых композитов здесь следует, в основном, материалам монографий [3; 17], а также статьи [2]. Принимаются следующие допущения [1 - 3; 14 - 18; 22].
1. Число армирующих волокон достаточно велико, поэтому полиармированный слой можно считать макроскопически квазиоднородным анизотропным телом [2; 3; 17].
2. Материал полиармированного слоя получен путем внедрения в однородное и изотропное связующее регулярной сети однонаправленных трансверсально изотропных волокон. Причем главная ось анизотропии совпадает с направлением армирования. Армирующие волокна принимаются прямоугольными в поперечном сечении [2; 3]. Связь между вектором теплового потока и градиентом температуры в обеих фазах композиции подчиняется линейному закону теплопроводности Фурье [7; 19]:
=-k VTn, (1.1)
где 0 , Яп, Tn - вектор теплового потока, коэффициент линейной теплопроводности и температура связующего (п = «с») и арматуры (п = «а») соответственно, V - оператор Гамильтона.
3. Градиенты внешних силовых и тепловых полей «не слишком велики». Поэтому изменением характеристик теплового поля в пределах представительного объема можно пренебречь [2; 3].
4. На границе между связующим и арматурой реализуются условия идеального теплового контакта.
5. Осреднение температуры по представительному объему двухкомпонентного композитного материала выполняется в соответствии с законом Г. В. Рихмана [11; 21]:
T = ■
cm
cm + С2 m2
■ T +-
С2 m2
cm + С2 m2
■ T
2
(1.2.)
Здесь T - конечная температура двух соприкасающихся тел, Cj, Wj, Ty, С2, , T2 - удельная массовая теплоемкость, масса, температура первого и второго тел соответственно.
6. Осреднение по представительному объему вектора плотности теплового потока выполняется по правилу, аналогичному (1.2) [2; 3]:
0
c1m1
cm + c2 m
0i +
C2m2
cm + C2 m2
02. (1.3)
7. Связь между осредненным по представительному объему вектором теплового потока и температурой подчиняется закону теплопроводности Фурье для
анизотропной среды [7]: 0. = ЛjT .
Здесь л - тензор интегральных коэффициентов теплопроводности.
Переходим к определению компонент тензора линейной теплопроводности армированной среды. Формулами: а = d/l, az = 8/ h (рис. 2) вводим па-
раметры армирования - интенсивность армирования в плоскости слоя (а) и по его высоте ((Oz ). Оси прямоугольной декартовой системы координат
М Л2 Л3
X , X , X = Z направим, как показано на рис. 2.
Плоскостями A A D'D и BB'C'C , параллельными плоскостям слоя (рис. 2, 3), выделим из представительного элемента армированной среды параллелепипед ABCDA'B 'C D'. Этот параллелепипед, содержащий армирующее волокно (закрашено серым), назовем представительным элементом армирующего слоя (рис. 3) и сначала найдем его средние характеристики [2; 3].
Рис. 2. Представительный элемент армированного слоя
B '
Рис. 3. Представительный элемент армирующего слоя
Величины, относящиеся к связующему, будем от- (©Л = — [©Л jVjT + (1 — ©)Л VjT ] мечать индексом «с», к арматуре - индексом «а». а а с с (1.8)
Приведенную объемную плотность (р}, массо- = ~[©Ла2ViTa + (1 ](i = 2,3)
/ \ / \ Здесь Л, , Ла 2 - коэффициенты линейной теп-
вую \С ) и объемную \СЕ) теплоемкость квази- а1 а2
\ ' \ ' лопроводности арматуры в продольном и поперечном
°днор°дного вещества представительного элемента направлениях соответственно. армирующего слоя определим по формулам [2; 3]: В силу допущения 7 имеем:
(р) = ©ра +(1 — ©) Рс, (14) <©г> = —<Л ij >V j <T >. (1.9)
©p (1 — ©)p Здесь <Л> - неизвестный тензор интегральных
< сєш > = ~~ CL+—, N с Є, коэффициентов теплопроводности армирующего
слоя. Для его определения необходимо найти линей-
< сєЄ = ©Расаш + (1 — ©) Рссєш • (1 5) ную зависимость величин (©^ в (1.8) от Vi (Т) в
(1.7).
Здесь и далее в параграфе в угловых скобках - ве- В силу допущения 4 на поверхности Г раздела
личины, осредненные по объему представительного фаз арматуры и связующего (рис. 3) выполнены усло-
элемента армирующего слоя, Рп, с"є, с"єш - объемная вия идеального воттакта по температуре [4; 10]:
плотность, удельная объемная и массовая теплоем- Ta = Tс' —V2Та = Лс^ 2Тс (110)
кость арматуры (п = «а») и связующего (п = «с»). (направление нормали совпадает с направлением оси
Используя характеристики (1.5) из (1.2), (1.3) вы- л«2 водим: OX ). Дифференцируя обе части первого из равенств
__/v! /v3
V<T> = ©VTc + (1 — oyVTc, (110) по X, X , приходим к соотношениям:
<®> = —^а + (1 —©)©с, (16) VT = VT, V 3Та = V3TC
_ = _сє^ Ла V 2Ta = -v 2TC. .
© = . .©. Зависимости (1.7), (1.11) вместе составляют сис-
\сє / тему шести линейных алгебраических уравнений для
определения шести величин - VT , V2Tc , V3T ,
Записывая (1.6) в скалярной форме и учитывая (1.1), получаем зависимости: VT, V2T , V3T.
Vt (т) = ©VT + (1 — ©)VTc (i = 1,2,3), (1.7) Решив систему (1.7), (1.11), получаем:
v?c = VT = V1 <t >, v 3Tс = v 3Tc = V3 <t >,
v TT =-—-v 2 It) , v 2T =---v 2 T . (112)
2 с + (1 — ©)-2 2W а © + (1 — ©— w Подставляя (1.12) в (1.8), приходим к соотношениям:
©1 = —[ + (1 — ©— ] v^ т), © 2 = ——---—v 2 T,
©Лс + (1 — ©)-2 (1.13)
©3 =—[©-2 + (1 — ©)- ] T) .
Сравнивая (1.13) с (1.9), находим:
(Лп) = — + (1 — —, <Л22) =© -- ,
©Лс + (1 — © —2 (1.14)
(Л33) = ©-2 + (1 — ©—, (Лj) = 0 (i = 1,2,3; i * j).
Переходим к определению компонент тензора ли- (1.14), а материал прослоек связующего, дополняю-
нейной теплопроводности представительного элемен- щего этот параллелепипед до представительного эле-
та армированного слоя. В силу допущений 1, 7 счита- мента армированного слоя, подчиняется линейному
ем, что квазиоднородный анизотропный материал закону теплопроводности Фурье (1.1). Поверхность
элементарного армирующего слоя (на рис. 2 - прямо- Г раздела фаз состоит из прямоугольников
угольный параллелепипед ABCDA BCD) под- AA'D'D и BB'C'C [2' 3] чиняется закону Фурье для анизотропных сред (1.9),
Приведенную объемную плотность, массовую Цг )) _ , / Р)/с ) + (1 - \пгс
ц \\ ц \\ КК^-е// Ш2\у/\ ш/ \ ш2)усС am
(\Cm)) и объемную ((с)) теплоемкость квазиод- л. -
W атп \\a// Здесь и далее в параграфе в двойных угловых
нородного вещества представительного элемента ар- скобках - величины, осредненные по объему предста-
мированного слоя определим по формулам [2; 3]: вительного элемента армированного слоя.
(И _ - Р + (1 )Рс, (1.15) ^ со—11 : (L2X (13) с Учетом (1ЛХ
l/с )\_-Р/с ) + (1 --)рс с
a ' туa «Р» (1.16)
V! //т » _ - V! /т ) + (1 - - )V1TC, v 2 //т )) _ - v 2 /т ) + (1 - -) V 2tc,
V3m)_mzV3/т) + (1 -wzУзТ, - d-i7)
^ ^to)-.
<<0;)) _ -- /Л ,)V i /Т)- (1 )XCV?C. (1.18)
В силу допущения 7 имеем: деления, также как и выше, необходимо найти линей-
//©.)) _ -AtJVJ //T)). (1.19) ную зависимость величин ^{©i ^ от V^(Т^.
Д Повторяя рассуждения (1.10) - (1.13) почти до-
Здесь Л - тензор интегральных коэффициентов словно приходим к соотношениям: теплопроводности армированного слоя. Для его опре-
((©J) _ -[--М+(1 - -- )М ] V^ (Т)),
((©Л) -(1 ^ )М + (1 --(1 ))М 2 V ,
2// с -М+ (1 --М 2 XW/ (120)
((©г)) _ -М-^ 2 + (1 -V 3 3» .
^ 3// с-(1 )Ла2 + (1 --(1 --))М 33
Сравнивая между собой (1.19) и (1.20) приходим к соотношениям:
Л + п -- )М Л _ М -(1 - — )Мс + (1 - -(1 - — ))М2 Л11 _--Ла1 + (1 - К , Л22 _Мс-—---—-,
-Лс + (1 - -)Ла 2
2 (1.21)
Л =Дс--2 +(1 --)М-,Л о, i, j _ 1,2,3; i * j.
33 с -(1 --)Ма2 + (1 --(1 --))М У
Формулами (1.21) компоненты тензора теплопро- 1 _ Д2 •
w w л — л COS iD л Ы^^Ц' ,
водности определены во вспомогательной декартовой
1 2 3 2 /V1 Л2 системе координат X , X , X _ Z, направление оси X _ X Sinp + X COS^.
OX1 которой совпадает с направлением армирова- Отсюда из формул преобразования компонент тен-
ния. В любой другой координатной системе компо- зоров следует [3]:
ненты этого тензора можно получить, используя фор- Д д а в
мулы преобразования компонент тензоров. Пусть, ЛМ _ Лартмтц , (122)
например, система координат Xі, X2 получена из где mj _ т2 _ COS(, m^ _ -m^ _ sln^.
1 2
системы координат X , X путем поворота на угол ф.
2. Структурная модель теплопроводности па-Т°гда: кета полиармированных слоев Equation Section
Xі _ Xі COS (р + X2 sin (р, (Neti).
Л 2 1 2 Переходим к построению структурной модели те-
X _-X Sinp + X COS(, плопроводности пакета полиармированных слоев.
Для вывода эффективных коэффициентов теплопроводности пакета ПАС с квазирегулярной по толщине пакета структурой, образованной путем перио-
дического и многократного чередования ОАС с различными семействами волокон, примем следующие допущения [5; 17].
1. Материал пакета ПАС получен путем наложения друг на друга N семейств ОАС.
2. Направление армирования i-м семейством волокон в ОАС параллельно плоскости Ox1x2 прямоугольной декартовой системы координат и составляет с направлением оси Ox1 угол ф (i = 1, 2, ..., N).
3. Для каждого ОАС остаются справедливыми предположения 1 - 7 параграфа 1.
4. На границах между ОАС задаются условия идеального теплового контакта [4; 10]:
Л'+1)
«t> У' = ( (T»'
{T)) W = **?*,( {T))
(i+1)
i = 1,2,...,N -1.
5. Число ОАС достаточно велико, так что пакет ПАС можно считать макроскопически квазиоднородным анизотропным телом, одна из главных осей анизотропии которого совпадает с направлением оси Ox3.
6. Допущения 5 - 6 параграфа 1 остаются справедливыми для всего пакета ПАС в целом, где под фазой композиции будем понимать ОАС. Формулы (1.2), (1.3) для случая N тел преобразуются следующим образом [11]:
7 Y1
т=X
Е
V J
cJmJ
CiWiTi
0=X
f
Y
Zcm
] ]
cm 0
(2.1)
(2.2)
Л J ^
где c, m, Ti, 0, , так же как и в первом параграфе, -
удельная массовая теплоемкость, масса, температура, вектор плотности теплового потока для i-го тела соответственно. Здесь и далее (если не указаны пределы суммирования) суммирование ведется от единицы до N.
Для определения эффективных коэффициентов теплопроводности пакета необходимо установить
связь между осредненным тепловым потоком ^ и градиентом осредненной температуры V ^(Т^ .
Приведенную объемную плотность ^ пакета
ПАС определяем по формуле, аналогичной (1.4), (1.15):
«Р» = ^(< Р))(1) + Q 2« Р(2) +
+ъ{( Р(N}Р °},
(2.3)
где q = А. - удельное содержание ОАС с i-м семей" h
ством волокон в пакете ПАС, hi - суммарная толщина ОАС с i-м семейством волокон, H - толщина пакета
ПАС, ((рУ} - осредненная объемная плотность
ОАС с i-м семейством волокон. Здесь и далее в угловых скобка с индексом вверху будем обозначать величины, осредненные по объему ОАС с i-м семейством волокон, а в двойных угловых скобках без индекса - величины, осредненные по всему пакету ПАС. Выполняются следующие условия нормировки:
x h = h , xq = 1 (q > 0).
i i
Приведенную массовую ^'(c.^ и объемную
((ce)) теплоемкости для всего пакета ПАС найдем по формулам:
«а =щ р(i '« c"
((c,)}=m(( Р)) li '« c..))"'. <»>
i
Из выражений (2.1), (2.2), использованных для осреднения температуры и вектора плотности теплового потока для пакета ПАС, с учетом характеристик (2.4) и закона теплопроводности Фурье (1.19), получим:
(2.5)
v^t»=ір?т г
((&))=- xqkд<;->v, <т>)+xqkл(к>v^(т)у
к k
«®3»=-S« k л <т> >'k',
i = 1, 2,
(2.6)
k
где Q _Q , а л(k)- тензор интегральных
г ((c^ г коэффициентов теплопроводности ОАС с k-м семейством волокон. Причем также выполняется условие нормировки X Q, =
Компоненты тензора интегральных коэффициентов теплопроводности ОАС с k-м семейством волокон
л( k)
V
получаются из (1.21) с учетом (1.22):
Л<<> _ m?>mJ>ЛЦ + (-Jk>m«Л«
(k) (k) (k) (k) • • • і о л (k) Д (k) (2.7)
m^i _ m22 _ cos pk, m{2 _ m2/ _ Sin pk, z, j _ 1,2, Л33 _ Л33 ,
Л(k) (i = 1, 2, 3) задаются формулами (1.21). v1 ((Т)k) _ v1 ((Т),
В силу допущения 4 на поверхностях Г|^ кон- V (Т)k) _ v ^(Т)(2 12)
такта между ОАС с k-м и m-м семействами волокон (к (1)
выполнены условия идеального теплового контакта: v ^(Т)^ л(3 _v ^(Т^ л(1)
«Т>Я =(<Т»І • ^ k _ 2,3,...,N
km km Зависимости (2.5), (2.12) вместе составляют сис-
тему ^линейных алгебраических уравнений для оп-л (k )v / (т\у k) _л (m )v / у m) ределения 3N неизвестных величин
33 3 " '' km 33 3 \\ // m . (2.9) //тд\(k)
v((T)) (i = 1, 2, 3; k = 1, 2, ..., N). k,m _ 1,2,...,N, k * m "
Решая систему, получаем:
В связи с тем, что пакет ПАС представляет собой Vi ((т)) _ ((т)) _ Vi ({т)) ,
сплошное макроскопически квазиоднородное анизо- ' (213)
тропное тело, одна из главных осей анизотропии ко- ^ /тух _lQV /(т\У1 _v ((т))
торого совпадает с осью Ox3 и тем, что ОАС имеет 2\\ // ^ ' 2W '/ 2\\//
элементарную толщину соотношения (2.8), (2.9) мож- Из последнего из равенств (2.12) следует: но заменить эквивалентной системой равенств: (1)
«Т»" ЦТ)'", (2.10) V3«T)r V^T))». (2.14)
33
л3зЧ(( Т)) ^v,^ Т»"', (2 1|) Подставив (2.14) в (2.5) получим:
Д;ф,3'...,- б (210) ., т»^Л33.у<тj41». (2.15)
Дифференцируя обе части равенства (2.10) по х , , V Л33 J
x2, приходим к соотношениям:
Подставляя (2.13), (2.14) в (2.6) и учитывая (2.15), получаем:
«©Л _-(іа,л('Х« т»+£Й, л^ 2« т)} ), «®2» _ "(і а л 2<Х «т»+л 22v 2«т)} j, (2.16)
«©Л-{іАЇ' v,«т».
v i 33 у
Сравнивая равенства (2.16) с (1.19), получаем:
- { А j'1
Лу _ ІАkЛ^), i,J _ 1,2,Л33 _ . (2.17)
k V k Л33 J
Литература
1. Андреев А. Н., Немировский Ю. В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.
2. Андреев А. Н. Моделирование процессов теплопроводности в однонаправлено армированных композитных средах // Вестник КемГУ. 2015. № 2(62). Т. 1. С. 6 - 10.
3. Андреев А. Упругость и термоупругость слоистых композитных оболочек. Математическая модель и некоторые аспекты численного анализа. Saarbrucken, Deutschland: Palmarium Academic Publishing, 2013. 93 с.
4. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. 517 с.
5. Горынин Г. Л., Немировский Ю. В. Математическое моделирование процесса теплопроводности для 2D-периодических композитных анизотропных материалов // Математические методы и физико-механические поля. 2014. Т. 57. № 2. С. 142 - 151.
6. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.
7. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: учебное пособие. 3-е изд., перераб и доп. М.: Высш. шк., 2001. 550 с.
8. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970. 308 с.
9. Коваленко А. Д. Термоупругость. Киев: Вища школа, 1975. 216 с.
10. Коляно Ю. М., Ломакин В. А., Подстригач Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.
11. Кухлинг Х. Справочник по физике. М.: Мир, 1985. 520 с.
12. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
13. Мелан Э., Паркус Г. Температурные напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: ГИФМЛ, 1958. 166 с.
14. Немировский Ю. В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Мех. полимеров. 1972. № 5. С. 861 - 873.
15. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Моделирование процессов теплопроводности в ортогонально армированных гибридных композитах с дисперсным упрочнением связующего // Прикладная физика. 2008. № 5. С. 10 - 17.
16. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Рациональное проектирование армированных конструкций. Новосибирск: Наука, 2002. 488 с.
17. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Теплопроводность однородных и композитных тонкостенных конструкций. Новосибирск: Арт-Авеню, 2008. 512 с.
18. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Определение эффективных физико-механических характеристик гибридных композитов, перекрестно армированных трансверсально изотропными волокнами, и сопоставление расчетных характеристик с экспериментальными данными // Механика композитных материалов и конструкций. 2007. Т. 13. № 1. С. 3 - 32.
19. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М: Мир, 1970. 256 с.
20. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: ГИФМЛ, 1963. 252 с.
21. Поль Р. В. Механика, акустика и учение о теплоте. М.: ГИТТЛ, 1957. 479 с.
22. Янковский А. П. Моделирование процессов теплопроводности в пространственно армированных композитах с произвольной ориентацией волокон // Прикладная физика. 2011. № 3. С. 32 - 39.
Информация об авторах:
Немировский Юрий Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, nemirov@itam.nsc.ru.
Yury V. Nemirovskii - Doctor of Physics and Mathematics, Leading Research Assosiate at Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics of the Siberian Branch of the RAS.
Станиславович Алексей Вячеславович - программист «ПКП РИФ», соискатель кафедры алгебры и геометрии КемГУ, alexey.st@bk.ru.
Alexey V. Stanislavovich - post-graduate student at the Department of Algebra and Geometry, Kemerovo State University.
Статья поступила в редколлегию 21.09.2015 г.
