Геометрически нелинейные математические модели термоползучести оболочек переменной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Геометрически нелинейные математические модели термоползучести оболочек переменной толщины

К.т.н., доцент В.М. Жгутов*,

ООО «Архитектурно-строительная компания «Китеж»

Ключевые слова: оболочки переменной толщины; ребристые оболочки; термоупругость; геометрическая нелинейность; поперечные сдвиги; ползучесть

Оболочки как элементы разного рода конструкций широко применяются в различных областях техники и строительства.

Тонкостенные элементы современных конструкций в виде оболочек предназначены для работы под воздействием механических нагрузок (как статических, так и динамических) и нередко температурного поля, обуславливающего появление чисто температурных деформаций.

Для придания в нужных местах большей жёсткости профиль тонких оболочек может иметь плавные утолщения. С целью повышения жёсткости тонкостенная часть оболочки может быть подкреплена дискретно расположенными рёбрами. В обоих случаях существенно повышается несущая способность конструкции при незначительном увеличении её массы.

Таким образом, всю конструкцию следует рассматривать как конструкцию переменной толщины. В зависимости от характера изменения толщины будем различать оболочки гладко-переменной и, соответственно, ступенчато-переменной толщины (ребристые оболочки).

Известно, что тонкие оболочки могут допускать прогибы, соизмеримые с их толщиной (даже под воздействием нагрузок, далёких от критических значений).

Расчёты на прочность, устойчивость и колебания оболочечных конструкций играют важную роль при проектировании современных аппаратов, машин и сооружений. Тем не менее, поведение тонкостенных конструкций переменной толщины, при котором проявляются геометрическая нелинейность, поперечные сдвиги, вязкоупругость (ползучесть) материала, переменность профиля и возникают чисто температурные деформации, исследовано недостаточно. Причины тому -сложность совместного учёта упомянутых факторов и необходимость решения громоздких нелинейных краевых задач.

Физические основы теплопроводности и термоупругости изложены в энциклопедическом курсе Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [1]. Прикладные аспекты теории упругости и ползучести обстоятельно освещены в трудах Н.И. Безухова [2] и Н.Н. Малинина [3]. Вопросам расчётов различного рода конструкций на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур посвящена монография Н.И. Безухова и др. [4]. Анализ современного состояния теории оболочек, формулировка основополагающих принципов и построение модели термоупругих оболочек постоянной толщины приводится в весьма содержательной работе П.А. Жилина [5]. Современное состояние теории ребристых оболочек отражено в работах В.В. Карпова [6], а также зарубежных учёных И. Бискова, Дж. Хансена, Б. Чробота, С. Фишера, С. Берта, В. Койтера, Ю. Джиунченга, Р. Лижо, Дж. Маковски, В. Петрашкевича, Х. Стампфа и др. [7 -12].

Разработке математических моделей термоупругости оболочек переменной толщины для задач статики посвящены публикации В.В. Карпова и др. [6, 13]. Однако в статье [13] не учитываются поперечные сдвиги (используется модель Кирхгофа-Лява) и геометрическая нелинейность, а также не рассматриваются ребристые оболочки. В монографии [6] в задачах термоупругости (приведенных исключительно для ребристых оболочек) используется модель Кирхгофа-Лява при учёте геометрической нелинейности. В работе В.М. Жгутова [14] построена математическая модель термоупругости оболочек (как гладко-переменной, так и ступенчато-переменной толщины) для задач статики и динамики при учёте поперечных сдвигов (модель типа Тимошенко-Рейсснера) и геометрической нелинейности. Тем не менее, в работе [14] не учитывается возможность проявления ползучести материала при достаточно длительных нагрузках.

Математическому моделированию деформирования ребристых оболочек и оболочек гладко-переменной толщины при учёте различных свойств материала (нелинейная упругость, ползучесть и т.д.) посвящены работы В.М. Жгутова [15 - 18] и др., а также Р.А. Абдикаримова и В.М. Жгутова [19, 20]. Но в указанных работах не учитывается возможное влияние температурного поля на напряжённо-деформированное состояние и устойчивость исследуемых оболочек.

Проектирование и последующее создание лёгких, но вместе с тем прочных и надёжных, конструкций требует дальнейшего совершенствования механических моделей деформируемых тел, а также разработки новых интегральных методов их расчёта.

В связи с этим разработка более совершенной математической модели термоползучести оболочек является актуальной и важной задачей.

В настоящей статье предложены математические модели термоползучести оболочек переменной толщины (для задач статики и динамики), основанные на модели типа Тимошенко-Рейсснера (учитывающей поперечные сдвиги).

В случае ребристых оболочек учитывается также дискретность расположения рёбер, их ширина, сдвиговая и крутильная жёсткости.

Постановка задачи

Рассмотрим тонкие оболочки общего вида с краем (пологие на прямоугольном плане и вращения, в частности, цилиндрические, конические, сферические, торообразные, а также многие другие оболочки) [15].

Некоторую внутреннюю поверхность оболочки принимаем за отсчётную поверхность x3 = 0 .

Координатные линии x1 и x2 криволинейной ортогональной системы координат

(- a /2 < x1 < a /2 и - b /2 < x2 < b /2) направляем по линиям кривизны (параллелям и

меридианам в случае поверхности вращения), а ось x3 - по внутренней нормали отсчётной

поверхности так, чтобы система координат x1,x2,x3 была правой. (Полагаем, что определённая

таким образом сеть координатных линий на отсчётной поверхности оболочки обеспечивает гладкость и регулярность её параметризации).

Дифференциалы длин дуг координатных линий x1, x2 и оси x3 определяем по формулам

[15]:

dl1 = H1 • dx1, dl2 = H2 • dx2, dl3 = H3 • dx3 = dx3,

где H1 = H1(x1,x2), H2 = H2(x1,x2) , H3 = 1 - метрические коэффициенты Лямэ. При этом H1 и H2 зависят от вида оболочки. Например: H1 = H2 = 1 для пологих оболочек и пластин; H1 = const и H2 = H2(x1) в случае оболочек вращения.

Переменную толщину оболочки h = h (xl3 x2)eCk задаем ограничивающими её (в направлениях нормалей к отсчётной поверхности) гладкими (или ступенчато-гладкими) поверхностями zB = zB (x1, x2) и zH = zH(x2, x2) так, что h = zH — zB и zB < x3 < zH . (Принадлежность функции f(x1,x2) классу гладкости Ck означает, что функция имеет

непрерывные частные производные до порядка k > 1 включительно; запись f (x1, x2) е C0 требует только непрерывности по совокупности аргументов). Полагаем, что векторы (ковекторы)

r rdzB / dx1 dzB / dx2 ^ ^

градиентов VzB и VzH отличны от нуля и коллинеарны любой точке поверхности x3 = 0 .

rang

v

dzH / dxx dzH / dx2

= 1

J

Пусть K1 = K1(x1,x2) и K2 = K2(x1,x2) - главные кривизны отсчётной поверхности x3 = 0

оболочки в направлениях x1 и x2 соответственно. Отметим, в частности, что для пластин

K1 = K2 = 0; 0 Ф K1 = K2 = const для сферических и K1 = 0 Ф K2 = const в случае цилиндрических оболочек вращения.

В случае ребристой оболочки за отсчётную поверхность x3 = 0 принимаем срединную поверхность обшивки толщиной h. Рёбра задаем с помощью ступенчато-гладкой функции

в

Н = Н(х„ х2) е С0, характеризующей распределение рёбер по оболочке (как правило, с внутренней стороны обшивки вдоль координатных линий), их ширину и высоту (возможно переменные) [21, 22]. Таким образом, толщина ребристой оболочки равна к = к + Н, причем

zВ = -к/2 и zН = к/2 + Н.

Считаем, что оболочка находится в стационарном температурном поле Т = Т(х„ х2, х3)

[К ] и под действием механической нагрузки (статической или динамической) при определённом закреплении её края (контура).

Будем совместно учитывать геометрическую нелинейность, влияние температуры, нелинейную упругость (упругопластичность), поперечные сдвиги. В случае ребристых оболочек учитываем также дискретное расположение рёбер, их ширину, сдвиговую и крутильную жёсткости.

Математические модели термоползучести рассматриваемых оболочек

Как известно, математическая модель деформирования оболочки состоит из геометрических соотношений, физических соотношений и функционала полной энергии её деформации (из условия минимума которого следуют уравнения равновесия или движения).

Геометрические соотношения

Геометрические соотношения (зависимости деформаций от перемещений) в отсчётной поверхности х3 = 0 с учётом геометрической нелинейности и влияния температуры имеют вид:

£11 = £11 -£0 ; £22 = £22 — £0 ; У 12 =712 = У21 = У21 , (1)

где еп, £22 и у12 =у21 - деформации растяжения или сжатия вдоль линий х1зх2 и сдвига в касательной плоскости (йх1з йх2) - составляющие геометрических соотношений (1), обусловленные исключительно механической нагрузкой; ~0 - чисто температурные деформации («температурные» составляющие).

Здесь:

Би1 1

еп = —+ -

д11 2

Бщ д11

2

_ Би2 1

; ^22 =~д/7 + 2

Би

2

V д12 J

Би2 Би1 Би3 Би3

; г12 =г21 =—2+—1+—3 —3, (2) д11 д12 д11 д12

где и1 = и1(х1,х2), и2 = и2(х1,х2) и и3 = и3(х1,х2) - компоненты вектора перемещений точек

... _ Б ^ отсчётной поверхности вдоль координатных линий х, х2 и оси х3 соответственно;-, 1 <а< 3

дК

- операторы ковариантного дифференцирования по направлениям 1а произвольных полей (в частности, скалярного поля а = а(х„х2,х3), векторного поля аг = аг(хг, х2, х3), 1 < ■ < 3, поля тензора второго ранга агк = агк(х1, х2, х3), 1 < ■,к < 3 и т.д.).

Б

Напомним, что операторы ковариантного (абсолютного) дифференцирования -

д1 а

действуют по правилам [23, 24]:

Ба 1 да

а а

д1а На дх.

а

Ба, 1 даг -Л _

а а —L =---L - > ак Ггка

■ д1а На дха ^ ^^ ^

а а

и, соответственно,

'k 1---дГ~ — ^^ rila + ail Гк1а ) >

atk a

' д/а ha дха l =1

где ГШа = х2,х3) - символы Кристоффеля (1-го рода), 1 <г,к,а <3 .

Как известно, символы Кристоффеля симметричны по крайним индексам при к Ф г, к Фа (Га = ГсМ) и антисимметричны по первым двум индексам (Ггка = -Гка), а потому величины Ггка с разными значениями индексов равны нулю (Ггкс = 0 при г Ф к ,г Ф а, к Фа). Это значит, что в ортогональной криволинейной системе координат из 27 величин Ггка ненулевыми могут быть не более 12: гШк = -ГЫк .

При этом Г-кк = -Гкк =

1

H-Hk

дИ, 1 д 1п И,

к =----, а те 12 из 27 величин 1 ка, которые в

дхг Иг дХ

ортогональной криволинейной системе координат могут быть отличными от нуля, имеют вид:

Г = -Г =

-М22 212

1

дН

2

H1H2

дх1

■ Г =-Г = 0 ■ Г =-Г =

' х 133 х 313 u ' х 211 х 121

1

дН1

Н1Н2 дх2

■ Г = -Г = 0

, i 233 i 323 и

Г =-Г = — .-дН1 = -К ■ Г =-Г = — дН2 =-К

J-111 J-111 ■ 322 232 ° '

Н1 дх3

Н 2 дх2

Таким образом,

Du

1 дм1

+ -

1

дН1

д/1 Н1 дх1 Н1Н2 дх2

• и2 - Ki • u3;

Du

1 дм1

Du2

1 ди2

■ + ■

1

дД

д/1 Н1 дх1 Н1Н2 дх

• U1;

2

Du3 1 ди3

—3 =---3+к • U1;

д/1 Н1 дх1 Введём обозначения:

13

Du2

+ -

1

дН 2

д/2 Н2 дх2 Н1Н2 дх1

• и2;

1 ди2

■ + ■

1

дН 2

д/2 Н2 дх2 Н1Н2 дх1

• U1 - К 2 • U3;

Du3 1 ди3 —3 =---3 + К2 • и2.

д/2 Н 2 дх2

(3)

DU

1 ди

^^ ^ ^ Du

©1 = ©1(х1,х2) = —— = — + К • и ■ 02 = ©2(х17х2) =—3 = + К2 • и

1 ди3

д/1 Н1 дх1

д/2

Н 2 дх2

22

(4)

Тогда с учётом выражений (3) и (4) составляющие от механической нагрузки (2) геометрических соотношений (1) принимают вид:

Г12 = Г21 =

*11 =

1 ди2

1 ди1

Н1 дх1

1 ди

Н

- + -

1

Н1Н 2

2 дх2 1

+ -

Н1Н 2

дН1 1 2

—1 • и2 - К. • и3 + —©1;

дх2 2 1 3 2 1

дН2 1гл2

•—— • и1- к 2 • и3 +-©2;

дх, 2

дН1

Н1 дх1 Н1Н2 дх2

и1 +

ди1

Н 2 дх2

+ -

1

дН 2

Н1Н2 дх1

• и2 + ©1 ©2.

(5)

В ряде случаев можно полагать, что в процессе деформирования

1 ди3 1 ди3

---3 >> К1 • и1;---3 >> К2 • и2,

И, дх, И 2 дх2

а значит,

©1 ^ Н1 йх1

©2 «-!_-ди3

Н 2 дх2

1

Для пластин K1 _ K2 _ 0 и Нх _ H2 _ 1 (как было отмечено выше), а потому операторы

D

ковариантного дифференцирования -, 1 <а<3 совпадают с операторами обычного

да

д

дифференцирования - и составляющие (2), (5) от механической нагрузки геометрических

дХа

соотношений (1) максимально упрощаются:

ди, 1

Еп —-1 + —

дх1 2

С ди3 ^ чдх1 у

ди2 1

' ^22 — + дх2 2

Сди, ^

\дх2 J

ди2 ди, ди3 ди3

; Ун — Ун——+—+——3 ■ (6)

12 21

дх1 дх2 дх1 дх2

В соотношениях (2), (5) и (6) квадратичные члены характеризуют геометрическую нелинейность, которую следует учитывать в случаях, когда поперечные перемещения и3

(прогибы) соизмеримы с толщиной оболочки к .

Деформации поперечных (также как и продольных) сдвигов не зависят от температуры [1, 14] и могут быть определены по формулам:

У13 = С/(х3 )Ф1 ; У23 = С/(х3 )Ф2 .

Здесь /(х3) - функция, характеризующая распределение напряжений т13 и т23 в главных нормальных сечениях (йх„йх3) и (йх2,йх3) оболочки, такая, что /(1В) = /(1Н) = 0,

1 2н 1 Zh Du Du

~ ff= 1, ff 2(x3)dx3 = 1/с (c - константа); Ф1 =% + —-3 и Ф2 = ^ + —3 -

h J h J dl1 dl2

zB zB

полные углы сдвигов, где ^ = tgyx и х¥2 = tgy2, причём у/1 = у1(х1,х2) и у/2 = щ2(х„х2) -углы поворота отрезка нормали к отсчётной поверхности в соответствующих главных нормальных сечениях оболочки [14, 15].

В качестве f (х3) используем квадратичную зависимость [14, 15]:

f (хз) = ~2 Х3 — ZH ХХ3 — ZB ) = f0 + Ах3 + f2х3 , h

6 zH z В 6( zH + zB )„ 6

где f0 =--; f = H~2 и f2 = -T2, и тогда с = 5/6.

h h h

Перемещения в слоях х3 = const вычисляем по формулам [14, 15]:

UхТ) = u1 + х3 • Ф1, u2х3) = u2 + х3 • Ф2, u3х3) = u3. (7)

Отсюда для деформаций в слоях х3 = const получаем выражения:

~П ) = ~11 + х3 • Х1 = S 11 ) — ~ ; ~22 3 = ~22 + х3 ' Х2 = S22 ^ — ~ ; У12 ^ = У12 + х3 ' 22Х12 , (8)

где ~ = aT , г1(1х3) = su + х3 • Х1 и s223 = s22 + х3 • X2.

Здесь a - коэффициент линейного теплового расширения материала [K— ]; T - температура оболочки в данной точке;

v —Ф1 1 дФ1 1 дН

Х1 =-1 =--1 +--1Ф2 ;

dlx Н1 дхх НН2 дх2

г _ РФ 2 = 1 дФ 2 1 дН2

l2 _ — +

д12 Н2 дх2 НХН2 дх1

БФ2 £>Ф, 1 дФ2 1 дФ, 1

=-2 +-1 =--2 + 1

12 д!1 dl2 H дх1 H2 дх2 HXH2

ÔH. дH 2 . —1Ф1 +—2 Ф2 v дх2 дх1

»2 щ ^ 12

Считаем, что температурное поле Т(х1 ,х2,х3) (определяемое из решения уравнения

теплопроводности) задано и соответствует установившемуся тепловому режиму. Вдоль оси х3 оно может быть представлено с помощью квадратичного закона распределения [14]:

3

Т (1 ,х2 ,х3 ) = Т0 (1 ,х2 )+ Т1 (1 ,х2 )• х3 + Т2 (1 ,х2 )• х32 = £ Тг—Ь • ^-1 (9)

г=1

или линейной зависимости, применимой для тонких оболочек:

2

Т (х1, х2 ,х3 ) = Т0 (х1, х2 ) ++ Т1 (х1, х2 ) • х3 = £ Тг-1- • х3 ,

г =1

где Т0 = Т0 (х1 ,х2), Т1 = Т1(х1 ,х2 )и Т2 = Т2 (х1 ,х2) - известные функции.

В ряде случаев можно предполагать (равномерное температурное поле):

Т (х1, х2 ,х3 ) = Т0 (х1, х2 ) .

Известно, что для многих материалов при достаточно высоких или низких температурах модуль упругости Е и коэффициент а заметно изменяются. В этом случае для вычисления их значений могут быть использованы аппроксимации [14]:

Е = Е (Т) = Е0 + ЕХТ + Е2Т2 = £ Ег _ХТ-1; (10)

г=1

2

а = а(Т) = а0 + а1Т =£а;.-1Т;-1, (11)

1=1

где Е0 и а0 - некоторые «начальные» значения Е и а; Е1 , Е2 и а1 - экспериментальные параметры.

Как правило, Е0 и а0 (и, соответственно, коэффициенты Е1 , Е2 и а1) отвечают значению

Т = 200 С .

В большинстве случаев коэффициент Пуассона / материала не зависит от изменений температуры в достаточно обширной температурной области.

С учётом представления (9) аппроксимации (10) и (11) могут быть записаны для каждой точки Р = Р(х1, х2, х3) оболочки в виде [14]:

Е Е (Р) — Е (х, х2, х3) — Е0 + Е1 • х3 + Е2 • х3 + Е3 • х3 + Е^ • х3 — —1 • х3 ; (12)

г=1

3

а = а(Р) = а(х1,х2, х3) = а0 + ах • х3 + а2-х32 = £ а._j • х3г. (13)

i=1

Здесь E0, E1, E2, E3, E4 и а0, а1, а2 - суть функции точки Р0 = Р0(х1з х2) отсчётной поверхности х3 = 0 оболочки, подробные выражения для которых приведены в основном тексте работы [14].

Для чисто температурных деформаций s =аТ с учётом выражений (12) и (13) будем иметь:

5

s = s (Р) = а(Р)Т(Р) = s0 + s • х3 + s2 • х3 +s3 • х3 + s4 • х3 =£ s._ • х3'_ , (14)

i =0

где

~ = екР = ~(х,х2) = £аТк_г , 0 < k < 4 (15)

i=0

суть коэффициенты при 1к (функции точки Р0 = Р0(х1,х2)) в представлении (14) (считаем, что аг = 0 при г > 2 и Тк—г = 0 при к — г > 2).

В развернутом виде выражения (15) для функций ~к в соотношении (14) приведены в приложении 1 работы [14].

Физические соотношения

Как известно, в настоящее время существует несколько теорий ползучести, каждая из которых применима для определённого круга материалов в зависимости от многих факторов.

Для металлов (ползучесть в которых развивается только при высоких температурах) обычно пользуются теорией течения, которая хорошо описывает ползучесть при напряжениях, изменяющихся монотонно и медленно, но основана на ярко выраженной нелинейной зависимости / Ш = 1 (а, ').

Более полное описание ползучести дает теория упрочения, согласно которой Шг /Ш = 1 (а,

Шг/Ш). Теория упрочения правильно улавливает особенности ползучести при изменяющихся напряжениях и удобна для анализа кратковременной ползучести при высоком уровне напряжений, однако её применение связано с большими математическими трудностями.

В механике полимеров и для бетона широко используется линейный вариант теории наследственности, основанный на принципе суперпозиции деформаций и учитывающий историю напряжённого состояния.

В соответствии с линейной теорией наследственности физические соотношения для изотропного материала могут быть записаны в виде:

Е

а11 =

а22 =

1—и

Е

(*3) + 11 22

1 — и

— | ( + /22:3))^1(Г, s)ds

'0 _ t

4х3) + — |(г223) + иг1^)Я1(', s)ds

Е

Т12 =

2(1 — /)

Е

Т13

Т23

2(1 — /)

Е

Г13

2(1 — /)

У 23

у(23)Я2(', s)ds у13 Я2(', s)ds

|х23Я2(', s)ds

(16)

где Я1(', 5) и Я2(', 5) - функции влияния (ядра релаксации) материала при растяжении (или сжатии) и сдвиге соответственно, 5 - переменная интегрирования (имеющая смысл времени).

Для полимерных материалов и старого бетона функции влияния имеют вид соответственно:

Я1(', 5) = Я1 • ехр(—в') • (' — 5)Г1—1, Я2(', 5) = Я2 • ехр(—в2') • (' — 5)

72 —1 ;

Я1(', 5) = пЕС0 ехр[— п(1 + ЕС0) • (' — 5)], Я2(', 5) = 2Я1 (', 5) •

О Е

(17)

(18)

где Я1, Я2, в , в2, 7\, У2, П и С0 - экспериментальные параметры; О = Е/2(1 + /).

Весьма хорошо удовлетворяет опытным данным теория упругоползучего тела - линейный вариант наследственной теории, обобщённый на случай учёта процесса старения материала (в частности, бетона).

0

0

(Предполагается случай простого нагружения, при котором внешние силы возрастают пропорционально некоторому параметру (например, времени) или постоянны; тогда главные оси напряжённого состояния сохраняют свои направления в процессе деформирования в каждой точке).

Опыт показывает, что с ростом температуры вязкоупругие свойства материалов ещё более усиливаются.

В соответствии с теорией упругоползучего тела физические соотношения в случае вязкоупругого изотропного материала оболочки, находящейся в температурном поле, могут быть представлены в следующем виде.

Напряжения растяжения (или сжатия) в направлениях Хх и х

2

о11 = OE -ос= t—ME о11 MC -о11

022 ~ E = 022 022 = l^ME о22 MC -о22

I ^TC ТО

\о - О

); (19)

)-(рТЕ -О ). (20)

Здесь:

1) оЕ , о— - термоупругие составляющие напряжений растяжения или сжатия [14]:

О = ^Ч[ + ^]=^Ч[[ + Ч22 + Хз(Х +<их2) - (1 + Ч)~(Р)] = оМ -оТЕ; (21) 1 -ч 1 -Ч

Е-Ч [ + Ч(Х3)] = Е-Ч [22 + Ч11 + х3(Х2 +Ч1) - (1 + Ч)~(Р)] = <Е - оТЕ, (22) 1 -4 1 -Ч

022 =

где = [ + Ч22 + Хз(Х +4X2)], о^ = [22 + Ч11 + Хз(Х 2 + ИХ )] -

1 -Ч 1 -Ч

составляющие термоупругих напряжений растяжения, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке (с той разницей, что входящий в их выражения модуль упругости

Е = Е(Р) является зависящей от температуры в точке Р величиной); оТЕ = (1 +Ч°(Р) -

1 -Ч

составляющая термоупругих напряжений растяжения, обусловленная чисто температурными деформациями (величину о(Р) = Е(Р) ■ е(Р) вычисляем по формуле (25), приведённой ниже);

2) О , О - термовязкоупругие составляющие напряжений растяжения:

:с = е(Р)m(t, s, р) |~(хз)+ ~х3) ]= 11 _ . 2 L&11 И-ь22 1 -И

E(р)тц sр) I + ^22 + хз(х + их2) - (1 + M)~(P)]=ofMC - о

1 -и

(23)

о р = E (р) s, р) |~( хз) + ~(х хз) ]=

22 . 2 L 22 г^ 11 J"

1 -И

E(р)rn(t,sр) I + + хз(х2 +иХ)- (1 + м)~(р)]=оМ2с -оТ

1 -И

(24)

где = [ + Ч22 + Хз(Х1 + 4X2)], = Е(Р\т1(28Р [22 + Ч1 + Хз(Х2 + ИХ)] -

1 - Ч 1 - Ч

составляющие термовязкоупругих напряжений растяжения, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке (с той разницей, что входящие в их выражения модуль упругости Е = Е(Р) и функция влияния Я1(1,8,Р) являются зависящими от температуры в точке Р

ТР (1 + Ч)0(Р) Щ, Р)

величинами); о =--- - составляющая термопластических напряжений

1 -Ч

растяжения, обусловленная чисто температурными деформациями. В формулах (21) - (24)

где

а( Р) = Е (Р) •£( Р) =

9 (25)

~ ~ ~ 2 ~ 3 ~ 4 ~ 5 ~ 6 ~ 7 ~ 8 ~ г —1

= а0 + а1 х3 + а2 х3 + а3 х3 + а4 х3 + а5 х3 + а6 х3 + а7 х3 + а8 х3 = £ аг—1 х3 ,

г=1

а =а(Р0) = ак(х1,х2) = £ег , 0<к<8 (26)

г=0

(считаем, что = 0 при г > 4 , гк—г = 0 при к — г > 4) [8].

В развёрнутом виде выражения (26) для коэффициентов ак в соотношении (25) представлены в приложении 2 работы [14].

Напряжения сдвигов в плоскостях (Шх1,Шх2) и (Шх1, Шх3) , (Шх2,Шх3) имеют тот же вид, что и при чисто механической нагрузке:

~12 = ~12 — ~12 ; ~13 = ~13 — ~13 ; ~23 = ~23 — ~23 . (27)

Здесь:

1) ~Е и т1Е, ~23 - термоупругие составляющие напряжений сдвига [14]:

= № = (/и + х3 • 2Х12); (28)

12 2(1 + и/12 2(1 + и){/12 3 12/

-Е

Е(Р) Е(Р) г ■, сФ1 ~(Р)

тг^г ^13 = \ [с/(х3 )Ф1 ]=—1^;

Т3 =-=-|с/ (х3)Ф^ = —' ; (29)

13 2(1 + /) 13 2(1 + /) 2(1 + /) ( )

= ШЛ = ^ [/(х,)Ф, ]= ^; (30)

2(1 + и) 2(1 + и) 2(1 + и)

~ Р ~ Р ~ Р

2) 12 и 13 , 23 - термовязкоупругие составляющие напряжений сдвига:

Р = Е<Р>Я2с,*Р> „„3, = Е<Р)Я2С,Р) (уа + х3. 2ХИ); (31)

12 2(1 + и) 12 2(1 + и) 3

~е = Е(Р)Я2(',5,Р) у = Е(Р)Я2(',5,Р) г )ф]= сФ1Я2(',5,Р) т(Р) ; (32)

Т13 = 2(1 + и) Г13 = 2(1 + и) ^ (х3)Ф^ = 2(1 + и) ; (32)

~Е = Е(Р)Я2(',цР) у = Е(Р)Я2(',^Р) г )ф]= сф2Я2(^цР)~(Р) (33)

23 ч '23 — , ч ч . (33)

2(1 + и) 2(1 + и) 2(1 + и)

В формулах (32) и (33):

7

~ (Р) = Е (Р) • / (х3) = ~0 + ~х3 + ~2 х32 + ~3 х33 + ~4 х34 + ~5 х35 + ~6 х36 = £ ~—1х3г — , (34)

г =1

где

к ~

~к = ~к(Р0) = ~к(х1, х2) = £Ег • /к—г , 0 < к < 6 (35)

г=0

(считаем, что = 0 при г > 4 и /к—г = 0 при к — г > 2) [14].

В развёрнутом виде выражения (35) для коэффициентов ~к в соотношениях (34) представлены в приложении 3 работы [14].

Проинтегрируем напряжения (19), (20), (27) по переменной Х3, гБ < Х3 < гн. Получим

следующие выражения для внутренних силовых факторов, приведённых к отсчётной поверхности оболочки (и приходящихся на единицу длины сечения, т.е. погонных).

Усилия растяжения или сжатия в направлениях х1 и х2 :

Ы„ = ~Е - = (м^ - <С)- (ыТЕ - ЫТС); (36)

м- = ~Е2 - МС = (мМЕ - мМС )-(мТЕ - мТС). (37)

Здесь:

1) ЫЦ, ЫЕ - термоупругие составляющие усилий растяжения [14]:

гн

ТЕ _ Г ~ Е ^х т (_ , ___ \ , 7 (-V ..V \ /-1 , л тМЕ лтТЕ

NE = ¡о^ = ¡1 (11 + иа22) +¡2(Х1 + ИХ2)- (1 + И)~(р0) = NMe - NTE ; (38)

z В

NE2 = \оЕ<Х = ¡1 (22 + 4^11)+ ¡2(Х2 + ИХ)- (1 + И)~(р) = NM2E - NTE , (39)

В

где Ы^ = ¡1 (( + Чц) +¡2 ( + Ч2) и К—1 = ¡1 (е22 + Чи ) +¡2 (X2 + ИX) - составляющие термоупругих усилий растяжения, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке

1 2н 1 2н

(величины ¡1 =-— |Е(Р)ёх3 , ¡2 =-2 |Е(Р)Х3йх3 вычисляем по формулам (57), (58),

1 Ч 2в 1 Ч 2В

приведённым ниже); ЫТЕ = (1 + ч)ЫЕ(Р0) - составляющая термоупругих усилий растяжения,

~ 1 2н ~

обусловленная чисто температурными деформациями (величину N (Ро) = — -2 |о(Р)сХ3

тЕ \ р ) =-

2В

вычисляем по формуле (59), приведённой ниже);

^ И ZB

2) N° , N° - термопластические составляющие усилий растяжения:

ZH

ЫС = \&&Х3 = ¡1С(е11 +Ца22)+ ¡С(^ +4X2)-(1 + ч)ЫС(Р0) = ЫМС-ЫТС ; (40)

гВ

~ гн ~

N22 = \0С2йх3 = ¡С(2 + маи)+ ¡С(X2 + 4X1)-(1 + Ч)ЫС(Ро) = К—С - ЫТС , (41)

где Ы—С = ¡С ( + Ча22) + ¡С (X! + 4х2), Ы—С = ¡С (е22 + /леп ) + ¡С (X2 + Ч ) - составляющие термопластических усилий растяжения, имеющие тот же вид, что и при чисто механической

нагрузке

( 1 ZH 1 ZH Л

IC = —т JЕ(р)R1(t,s,р^з, ¡р = J—2 \Е(р)ЯЩ,s,р)ХзсЫз

V И ZB И ZB J

= (1 + И)N (Р0) - составляющая термопластических усилий растяжения, обусловленная

Г , z« Л

чисто температурными деформациями

1H

(р0) = Y^ /о(р)R1(t,s,р^хз

у+о! 2 I ^ V-1 Глл3

- И

V ^ ZВ У

Усилие сдвига в касательной плоскости ёх.^) имеет тот же вид, что и при чисто механической нагрузке:

^ =Ы~Е - NС (42)

1У\2 12 12 '

Здесь:

1) N2 - термоупругая составляющая усилия сдвига [14]:

N2 = J ~l! dx3 = ¡1 (I1Y12 +12 ■ 2Х12 ), (43)

ZH

- Е = HlVl7l2^ i 2 '2Л12

zB

где ¡1 = (1 -¡¡)/2 ;

2) N12 - термовязкоупругая составляющая усилия сдвига:

~ ZH

Nc2 = J ~1С2dx3 =М(Îcy12 + 1С ■ 2Х12), (44)

ZB

1 ZH 1 ZH

где 1С =-r J Е(P)R2(t, s, P)dx3, 12С =-2 JE(P)R2(t, s, P)x3dx3 .

1 "¡2 ^ " 1

ZB

Изгибающие моменты вдоль линий х1 и х2:

М„ = МЕ -= ( -М^)- (мте -МТС); (45)

л~22 = МЕ2 - МС2 = (мм 22е - ММС)- МТЕ - МТС). (46)

Здесь:

1) м 1Е1, м 2Е2 - термоупругие составляющие изгибающих моментов [14]:

L 22

ZH

А—й = JctЕ Хзdx3 = I2( + ¡822) + /3(Х + ¡2)-(1 + A)M(P0) = MME -MTE ; (47)

z В

~ ZH

M 22 = j<?E Х3 dx 3 = /2 (822 +¡8 1) + /3 (Х2 + ¡¡0-(1 + a)A~(Po) = MM2e - MTE, (48)

z В

где M1AAE = I2 ( + ¡822 )+ 13 (Х j + ¡Х 2 ), M ME = I2 (s22 + ¡¡8 )+13 (Х 2 + ¡Х ) - составляющие термоупругих изгибающих моментов, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке

1

(величину 13 =-^ |Е(Р)х3ёх3 вычисляем по формуле (60), приведённой ниже);

1 ^ ¿В

МТЕ = (1 + /)М (Р0) - составляющая изгибающих моментов, обусловленная чисто

~ 1

температурными деформациями (величину МЕ(Р0) =-- I ¿~(Р)х3оХ3 вычисляем по формуле

1 - /

(61), приведённой ниже);

2) МС , M12 - термовязкоупругие составляющие изгибающих моментов:

Z

А—С = JS1C хз dx3 = IС (811 +¡822 ) + /зС (Х1 +аХ2 )-(1 + v)Mc (P,) = М1ААС - MTC ; (49)

ZB

M22 = [<?СХЗdx3 = Il(822 +¡81 ) + ^(Х2 + ¡1 )-(1 + a)A-(PO) = ММС -МТС, (50)

ZB

В

где ММС = ¡С ( +^22) + /зС (X! +мХ 2), ММ = /2С (^ +меи ) + ¡С (Х2 + ^) -составляющие термовязкоупругих изгибающих моментов, имеющие тот же вид, что и при чисто

Г , 2н Л

механической нагрузке

1 ¿H

1С =-2 jE(P)R1(t, P)x32dx3

1 — zB J

M = (1 + —)MC (P0)

составляющая изгибающих моментов, обусловленная чисто температурными деформациями

( ~ 1 2н Л

Мс(Р0) =-^ |<г(Р)Р1(Г, я,Р)xзdxз

V 1 ^ 2в ;

Крутящий момент вдоль касательной плоскости (dx1,dx2) имеет тот же вид, что и при чисто механической нагрузке:

М12 =М2 - Мс2 ■ (51)

Здесь:

1) М!2 - термоупругая составляющая крутящего момента [14]:

МЕ = = //,[¡2^ + 13 • 2Х!2 ]; (52)

2 В

2) МС - термовязкоупругая составляющая крутящего момента:

М^ = | ~1СXзdXз = я (12е/12 + /зС • 2X^2) , (53)

2 В

1 2н

где ¡С =-^ |Е(Р)Я2(Г, я, Р)xз2dxз ■

^ 2 В

Поперечные усилия в главных нормальных сечениях (dxl, dxз), (dx2, dxз) имеют тот же вид, что и при чисто механических деформациях:

Оз = ОЕ - ОЗ; Оз = ОЕ - ОС ■ (54)

Здесь:

1) ОЗ и ОЗ - термоупругие составляющие поперечных сил [14]:

zH zH

QiE = j ~Edx3 = СФ1 • Q(Po); Q~23 = j ~2Edx3 = сФ2 • Q(P), (55)

2 В 2 В

~ 1 7 ~

где величина 0Е(Р0) =- I ~(P)dxЗ вычисляется по формуле (62), приведённой ниже;

2(1+я>;В

2) ОЗ, О2З - термопластические составляющие поперечных сил:

zH zH

QC = j dx3 = СФ1 • (Po) ; Q~23 = j ~23dx3 = сФ2 • (Po) , (56)

ВВ zH

~ 1

где QP(Po) = j ~(P)R2(t,5,P)dx3.

Приведём для величин, входящих в формулы (36) - (39), (42), (43), (45) - (52), (54), (55) некоторые расчётные соотношения, полученные в работе [14]:

= £ Ет-1 А-1 = Ео А + ~ А + ~2л2 + ~3А3 + Е4л4; (57)

1 1 -И 1 -и2 '

5 ~

= £Ет-1 Ат = Ео л + л2 + е2 А3 + Е3 л4 + Е4 А5; (58)

2 1 -и2 1 -и2 '

-1 л-1 = ОоА + (~1 А + О2А2 + О3А3 + О4А4 + О5А5 + о6л6 + о7л7 А . (59)

£ Ет-1 А,

ЫЕ (Ро) = . 2 ,2

1 - и 1 - и

г = _ = ЕоА + Е1А3 + Е2А4 + Е3А5 + Е4А6 . (60)

1 1

3 1 - И 1 - и2

9

£от-1А

МЕ (р ) = т=1 т^ = Оо А + О А + 0~2 А3 + 0~3 А4 + 0~4 А5 + <~5 А6 + <~6 А7 + 0~7 А + А ; (61)

Ш (Го) 2 л 2 ;

1 -и 1 -и

7

£ Тт-1 Ат-1

(Ро)=

Е,п^_т=1 _*о А +Т А1 + Т2 А2 + Т3 А3 + Т4 А4 + Т5 А5 + Т6 А6 (62)

2(1 + и) 2(1 + и)

Нам понадобится ещё одно выражение, приведённое в статье [14]:

12

£ Пт-1 Ат-1

ЫЕ (Р ) = 1 = т=1~ т 1 т 1 = [о Ао +П~1 А +П~2 А + ... + ПТп А11 + 2 А12 ] (63)

1 о 1 -и21 3 1 -и2 1-Ч '

где

13

~(Р) = 0(Р) е(Р) = ~о + ~1х3 + ~2 х3 +... + ~11х3 + ~12 х3 = £ Е _1х31 (64)

1=1

причём

к

~к =~к (Ро) = ~к (Х1, Х2) = £01 ■~к-1 , о < к < 12 (65)

1=о

(считаем, что 0i = о при 1 > 8 и ек= о при к -1 > 4).

Выражения (65) для коэффициентов ~к , входящих в соотношение (64), в развернутом виде приведены в приложении 4 работы [14].

zн

В формулах (57) - (63) Ат-1 = | х™1йх3 , 1 < т < 12 - геометрические характеристики

ZВ

главных нормальных сечений оболочки [14].

Функционал Ж полной энергии деформации Функционал Ж полной энергии деформации рассматриваемых оболочек на данном отрезке [о, ^ ] времени ^ для задач динамики в соответствии с [5, 25, 26] имеет вид:

Ж = }((-и + а) , (66)

(о

где К и и - кинетическая и потенциальная энергии оболочки; А - работа внешних сил.

В задачах динамики подлежащие определению функции перемещений и1, и2, и3 и углов Ч, Ч2 являются не только функциями координат х1з х2, но и времени I: и1 = и1(х1, х2, /), и2 = и2(х1,х2,t), и3 = и3(х1, х2, t) и Ч1 = Ч1(х,t), Ч2 = Ч2(х,t).

Для задач статики полная энергия деформации оболочки (функционал Лагранжа) может быть записана в виде [1, 2, 5 -26]:

W = U - Л.

В соотношениях (66) и (67):

*=2 ///

2 Q

U=-2 /№

H

du\

(Х3) Л2 с

dt

+

H

du.

(x3) л2 с du3x3) л

dt

+

dt

da;

?(x3)

°neii ' + & 22е 22 ) + ~i2Yi2 ) + ~i3/i3 + ~23Y23 ]d°;

Л = JJ(Pu + P2u2 + qu3)dS .

(67)

(68)

(69)

(70)

Здесь р - плотность материала оболочки (р « const); P(, P2 и q = /3 - компоненты внешней механической нагрузки в направлениях x(, x2 и x3 (в задачах динамики - функции не только координат x( и x2, но и времени t); Q = [-a/2,a/2]х[-b/2,b/2]x[zB,zH] - компакт в пространстве (x(, x2, x3); S = [-a/2,a/2]x[-b/2,b/2] - компакт на плоскости (x(,x2) ; dQ и dS - дифференциалы объёма и отсчётной поверхности данной оболочки (dQ = H1H2dx(dx2dx3;dS = H1H2dx1dx2) . (Координаты x1, x2, x3 считаются неподвижными).

С учётом соотношений (8), (19), (20), (27) выражение для потенциальной энергии (69) запишем в виде:

U = ( № El - в )?li3) + в - вС )?2(2x3) + ( ~(E - ~С )Y(2x3) +

a

+ (ri3 - ~13 )Yi3 + ( ~23 - ~23 )Y23 ]da =

2///[(< -)(8(Х3) - e) + (^22 -^)(*2f -e) + ~i2Yi(23) + ~i3Yi3 + ^dO = 2 a

ue - gc = um - ur.

(71)

Здесь:

U~E = 2 JJJter + <^Ee223) + + ~iEYi3 + ~Ey23 );

2a

a

~=i ///(■

?iieii +<~22e22 + ~i2 Yi2 + ~i3 Yi3 + ~23Y23 )о

(72)

(73)

суть термоупругая и термовязкоупругая составляющие потенциальной энергии (69) деформирования оболочки;

UM = 2 ///( eii3) + + адГ + ~i3Yi3 + ЗДв )

O =

2 //J

a

r^me МСч (x3) . / me „.mc\„

ME _„МСЛс (x3) 22

+

+ ( ~u - ~ic2 )Yi(X3) + ( - ~С )Yi3 + ( ~23 - )Y

23

dO =

(74)

= uME - uMC

2

a

S

a

является составляющей потенциальной энергии (69), имеющей тот же вид, что и при чисто механической нагрузке, а

иТ = 2Ш°Т1 +е(2?)+(< +оМ2 е + 2оТе] =

— гл

1 ггг( (оТЕ-оТС а3 + е—3 )+

2ш\[[Е-оМС)+ом -оОмс)]+2(сте -отс а

Ю =

(75)

= иТЕ - иТС

имеет смысл составляющей потенциальной энергии (69), обусловленной чисто температурными деформациями.

В функционалах (74), (75) величины

иМЕ = 2 /ЖГ+ ~ ^ + ~ Еги + ~Е3У23 ),

2

ттМС 1 [[[(^МС (х

и = 2/1/(о11 еп

2 г\

х3 + оМСе™ + ЕЛ? + + ЕС3У23)

можно трактовать как термоупругую и термовязкоупругую составляющие энергии и , а величины

иТЕ = 2 ///[ ( + е223))+ (оМ1 + оМЕ е + 2оТЕ~ ]

иТС =

2 ///[ ( +е2? )+(оМС +оМС)~ + 2оТСе ] 2

- как термоупругую и термовязкоупругую составляющие энергии ит .

Проинтегрируем по переменной х3, zB < х3 < zн выражения (68) и (69) в функционалах (66) и (67). В результате получаем следующие выражения:

*=| /А а

+ 2 А

н

2 дц_ дф

1 д( д( ' '

+н

ди1 ^

. 1 2 ди2 дФ2

д( д(

+ 1 н.

+А

ди2

+

ди3

К

+

(76)

н дФГ+Гн дф2V

1 д(

д(

и, в частности,

где, с учетом формулы (70),

Ж = (иМ - л)-иТ,

иМ - л =

2//[е„ + ЫМе + N12У 12 + ММXl + ММ2X2 + МXl2 - 2(Ри + Р2щ + ф3)] ;

иТ = 2 //[ (+е22)+ 2МТ ( +X2)-2ЫТ ].

(77)

(78)

(79)

В формулах (78) и (79) ЫЦ = ЫЦ1 - ЫЦС ; ЫМ = ЫМ - ЫМ? ; ЫЦ = ЫЦЕ - ЫЦР ;

ММ = М^ - М^ ; ЫТ = ЫТЕ - ЫТС ; МТ = МТЕ - МТС ; ЫТ =(1 + и)[(ЫЕ(Ро) + Ы(Ро)], где величина ЫЕ(Ро) вычисляется по формуле (63), а

ММ = ММ1 - МЦС

Т

Ы-

С

1

(Ро) =-2 Р) К2((, 8, Р)ёХ3 .

1 -и :

г ZВ

и

2

2

2

5

Уравнения движения или равновесия оболочки могут быть получены, исходя из фундаментальных принципов наименьшего действия (в форме Гамильтона-Остроградского) или минимума потенциальной энергии (в форме Лагранжа) [1, 5, 6 - 26], согласно которым

5Ш = 3Д( - и + а) = 0 (80)

'о

или, соответственно,

5\¥ = дф - А) = 0 ,

где 3 - символ вариации.

Таким образом, математическая модель деформирования оболочек переменной толщины, находящихся под воздействием механической нагрузки и температурного поля, для задач статики и динамики построена. Начальные и граничные условия, соответствующие тому или иному способу закрепления контура оболочки, предполагаются заданными.

Предложенная математическая модель термоползучести (термовязкоупругости) может быть обобщена на иные случаи различных свойств материалов рассматриваемых оболочек (нелинейная упругость, ортотропия и др.).

В задачах статики для отыскания минимума функционала (67), записанного с учётом выражений (68) - (79), может быть эффективно применён метод Ритца при разложении искомых

функций перемещений и1, и2, и3 и углов Ч1 и Ч2 в ряды.

В задачах динамики для решения системы уравнений движения оболочки, эквивалентной вариационному уравнению (80), целесообразно последовательно применить методы Власова-Канторовича и Рунге-Кутта.

Как отмечалось в работах [14, 15], если априори считать функции перемещений и1, и2, и3

компонентами потенциального вектора (что, очевидно, почти всегда выполняется, поскольку возможные локальные повороты, нарушающие симметрию деформаций сдвига, не искажают картину деформированного и напряжённого состояния оболочки), то в этом случае мы имеем:

Ви1 Пи2 Ч Ви1 Ви3 Ч Пи2 Ви3

— , 1 — — , 2 — — ,

д12 д11 дх3 д11 дх3 д12

а значит, полные углы сдвигов:

, _ Du3 , _ Du3 Ф1 = 2—3, Ф 2 = 2—3

dli dl2

и, кроме того,

Х = 2 Du3 х = 2 Du3 = 2 Du3

Aii = . Х22 = > 2Ai2 = 2"

д11 д12 д11 д12 Таким образом, полученные математические модели существенно упрощаются.

Литература

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. М.: Физматлит, 2007. 264 с.

2. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. 512 с.

3. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.

4. Безухов Н. Н. [и др.] Расчёты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / под ред. И. И. Гольденблата. М.: Машиностроение, 1965. 566 с.

5. Жилин П. А. Прикладная механика. Основы теории оболочек. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. 167 с.

6. Карпов В. В., Игнатьев О. В., Сальников А. Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. М.: АСВ. СПб.: СПбГАСУ, 2002. 420 с.

7. Byskov E., Hansen J. C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction // J. struct. mech. 1980. № 2. Pp. 205-224.

8. Chrobot B. Mathematical models of ribbed shells // Studia Geotechnica et Mechanica. 1982. Vol. IV. №3-4. Pp. 55-68.

9. Fisher C. A., Berit C. W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers // Trans. ASME. Ser. E. 1973. Vol. 40. №3. Pp. 736-740.

10. Koiter W. T. On the nonlinear theory of thin elastic shells // Proc. Konikl. Ned. Acad. Wetenscap, 1966. Ser. B69. Pp. 1 - 54.

11. Wu Jiuncheng, Pan Lizhou. Nonlinear theory of multilayer sandwich shells and its application. 1. - General theory // Appl. Math, and Mech. / Еngl. Ed.1997.18. № 1.Pp. 19 -27.

12. Makowski J., Pietraszkiewicz W., Stumpf H. On the general form of jump conditions for thin irregular shells // Arch. Mech. 1998. 50. № 3. Pp. 483-495.

13. Карпов В. В., Филатов В. Н. Математические модели термоупругости оболочек переменной толщины при учете различных свойств материала // Вестник гражданских инженеров. 2006. №3. С. 42-45.

14. Жгутов В. М. Геометрически нелинейные математические модели термоупругости оболочек переменной толщины // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Сер. «Физико-математические науки». 2011. №4. С. 46-56.

15. Жгутов В. М. Математические модели деформирования оболочек переменной толщины с учётом различных свойств материалов // Инженерно-строительный журнал. 2012. №1. С. 79-90.

16. Жгутов В. М. Математическая модель, алгоритм исследования и анализ устойчивости нелинейно-упругих ребристых оболочек при больших перемещениях // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Сер. «Физико-математические науки». 2009. №4. С. 24-30.

17. Жгутов В. М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости ребристых оболочек с учетом ползучести материала при конечных прогибах // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Сер. «Физико-математические науки». 2010. №2. С. 53-59.

18. Жгутов В. М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости упругих ребристых оболочек при конечных прогибах // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Сер. «Физико-математические науки». 2011. №1. С. 122-129.

19. Абдикаримов Р. А., Жгутов В. М. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины // Инженерно-строительный журнал. 2010. №6. С. 38-47.

20. Абдикаримов Р. А., Жгутов В. М. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих изотропных пластин и оболочек гладко-переменной толщины (асимметричный случай) // Инженерно-строительный журнал. 2010. №8. С. 47-55.

21. Жгутов В. М. Метод конструктивной анизотропии для ортотропных и изотропных ребристых оболочек // Инженерно-строительный журнал. 2009. №8. С. 40-46.

22. Жгутов В. М. Ответ профессору Карпову, Владимиру Васильевичу (о научном приоритете в методе конструктивной анизотропии для ребристых оболочек и на функционал, описывающий ползучесть их материала) // Инженерно-строительный журнал. 2011. №3. С. 75-80.

23. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. 428 с.

24. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. М.: Наука, Физматлит, 1969. 352 с.

25. Компанеец А. С. Теоретическая физика. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1957. 564 с.

26. Жилин П. А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. СПб.: Изд-во СПбГТУ. 339 с.

* Владимир Михайлович Жгутов, Санкт-Петербург, Россия Тел. раб.: +7(812)378-20-83; эл. почта: abc_kitezh@mail.ru

© Жгутов В.М., 2012

doi: 10.5862/MCE.31.6

Geometrically nonlinear creeping mathematic models of shells

with variable thickness

V.M. Zhgoutov,

"Architectural and Engineering Company Kitezh" LTd.

+7(812)378-20-83; e-mail: abc_kitezh@mail.ru

Key words

smoothly variable shells; ribbed shells; thermoelasticity; geometrical nonlinearity; creeping; transverse shear

Abstract

Calculations of strength, stability and vibration of shell structures play an important role in the design of modern devices machines and structures. However, the behavior of thin-walled structures of variable thickness during which geometric nonlinearity, lateral shifts, viscoelasticity (creep) of the material, the variability of the profile take place and thermal deformation starts up is not studied enough.

In this paper the mathematical deformation models of variable thickness shells (smoothly variable and ribbed shells), experiencing either mechanical load or permanent temperature field and taking into account the geometrical nonlinearity, creeping and transverse shear, were developed. The refined geometrical proportions for geometrically nonlinear and steadiness problems are given.

References

1. Landau L. D., Lifshits Ye. M. Teoreticheskaya fizika. T. VII. Teoriya uprugosti [Theoretical physics. Vol. VII. Theory of elasticity]. Moscow: Fizmatlit, 2007. 264 p. (rus)

2. Bezukhov N. I. Osnovy teorii uprugosti, plastichnosti i polzuchesti [Fundamentals of theory of elasticity, plasticity and creeping]. Moscow: Vysshaya shkola, 1968. 512 p. (rus)

3. Malinin N. N. Prikladnaya teoriya plastichnosti i polzuchesti [Applied theory of plasticity and creeping]. Moscow: Mashinostroyeniye, 1975. 399 p. (rus)

4. Bezukhov N. N. [and others] Raschety na prochnost, ustoychivost i kolebaniya v usloviyakh vysokikh temperatur [Strength, stability and oscillations analysis in high temperatures]. Moscow: Mashinostroyeniye, 1965. 566 p. (rus)

5. Zhilin P. A. Prikladnaya mekhanika. Osnovy teorii obolochek [Applied mechanics. Fundamentals of theory of shells]. Saint-Petersburg: Izd-vo Politekhn. un-ta, 2006. 167 p. (rus)

6. Karpov V. V., Ignatyev O. V., Salnikov A. Yu. Nelineynyye matematicheskiye modeli deformirovaniya obolochek peremennoy tolshchiny i algoritmy ikh issledovaniya [Nonlinear mathematical models for variable thickness shells deformation and algorithms of their inestigation]. Moscow: ASV. Saint-Petersburg: SPbGASU, 2002. 420 p. (rus)

7. Byskov E., Hansen J. C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction. J. struct. mech. 1980. No. 2. Pp. 205-224.

8. Chrobot B. Mathematical models of ribbed shells. Studia Geotechnica et Mechanica. 1982. Vol. IV. No. 34. Pp. 55-68.

9. Fisher C. A., Berit C. W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers. Trans. ASME. Ser. E. 1973. Vol. 40. No. 3. Pp. 736-740.

10. Koiter W. T. On the nonlinear theory of thin elastic shells. Proc. Konikl. Ned. Acad. Wetenscap, 1966. Ser. B69. Pp. 1-54.

11. Wu Jiuncheng, Pan Lizhou. Nonlinear theory of multilayer sandwich shells and its application. 1. -General theory. Appl. Math, and Mech. 1997.18. No. 1. Pp. 19 -27.

12. Makowski J., Pietraszkiewicz W., Stumpf H. On the general form of jump conditions for thin irregular shells. Arch. Mech. 1998. No.50. No. 3. Pp. 483-495.

13. Karpov V. V., Filatov V. N. Vestnikgrazhdanskikh inzhenerov. 2006. No. 3. Pp. 42-45. (rus)

14. Zhgutov V. M. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta. Ser. «<Fiziko-matematicheskiye nauki». 2011. No. 4. Pp. 46-56. (rus)

15. Zhgutov V. M. Magazine of Civil Engineering. 2012. No.1. Pp. 79-90. (rus)

Zhgoutov V.M. Geometrically nonlinear creeping mathematic models of shells with variable thickness 82

16. Zhgutov V. M. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta. Ser. «<Fiziko-matematicheskiye nauki». 2009. No. 4. Pp. 24-30. (rus)

17. Zhgutov V. M. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta. Ser. «<Fiziko-matematicheskiye nauki». 2010. No. 2. Pp. 53-59. (rus)

18. Zhgutov V. M. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta. Ser. «<Fiziko-matematicheskiye nauki». 2011. No. 1. Pp. 122-129. (rus)

19. Abdikarimov R. A., Zhgutov V. M. Magazine of Civil Engineering. 2010. No. 6. Pp. 38-47. (rus)

20. Abdikarimov R. A., Zhgutov V. M. Magazine of Civil Engineering. 2010. No. 8. Pp. 47-55. (rus)

21. Zhgutov V. M. Magazine of Civil Engineering. 2009. No. 8. Pp. 40-46. (rus)

22. Zhgutov V. M. Magazine of Civil Engineering. 2011. No. 3. Pp. 75-80. (rus)

23. Kochin N. Ye. Vektornoye ischisleniye i nachala tenzornogo ischisleniya [Vector calculuss and principles of tenzor calculus]. Moscow: Nauka, 1965. 428 p. (rus)

24. Akivis M. A., Goldberg V. V. Tenzornoye ischisleniye [Tenzor calculus]. Moscow: Nauka, Fizmatlit, 1969. 352 p. (rus)

25. Kompaneyets A. S. Teoreticheskaya fizika [Theoretical physics]. Moscow: Gos. izd-vo tekhn.-teor. lit-ry, 1957. 564 p. (rus)

26. Zhilin P. A. Teoreticheskaya mekhanika. Fundamentalnyye zakony mekhaniki [Theoretical mechanics. Fundamental laws of mechanics]. Saint-Petersburg: Izd-vo SPbGTU. 339 p. (rus)

Full text of this article in Russian: pp. 43-59