Исследование параметрических колебаний вязкоупругой цилиндрической панели переменной толщины Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 539.3 DOI: 10.22227/1997-0935.2018.11.1315-1325

Исследование параметрических колебаний вязкоупругой цилиндрической панели переменной толщины

Р.А. Абдикаримов1, Д.А. Ходжаев2, Б.А. Нормуминов2, М.М. Мирсаидов2

1 Ташкентский финансовый институт (ТФИ), 100000, Узбекистан, г. Ташкент, ул. Амира Темура, д. 60А; 2 Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства (ТИИИМСХ), 100000, Узбекистан, г. Ташкент, ул. Кары-Ниязова, д. 39

АННОТАЦИЯ

Введение. Рассматриваются изотропные вязкоупругие цилиндрические панели переменной толщины, находящиеся под действием равномерно распределенной вибрационной нагрузки, приложенной по одной из параллельных сторон, приводящей (при определенных сочетаниях частот собственных колебаний и возмущающей силы) к параметрическому резонансу.

Материалы и методы. Считается, что под воздействием указанной нагрузки цилиндрические панели допускают перемещения (в частности, прогибы), соизмеримые с их толщиной. На основе классической гипотезы Кирхгофа—Лява построена математическая модель задачи о параметрических колебаниях вязкоупругой изотропной цилиндрической панели переменной толщины в геометрически нелинейной постановке. Выведены соответствующие нелинейные < П уравнения колебательного движения рассматриваемых панелей (в перемещениях). Предложена методика решения % с рассматриваемой нелинейной задачи на основе применения метода Бубнова—Галеркина при многочленной аппрок- з Н симации перемещений (и прогиба), а также численного метода, использующего квадратурные формулы. В качестве к X слабо-сингулярного ядра выбрано ядро Колтунова—Ржаницына с тремя различными реологическими параметрами. § * Результаты. Исследованы параметрические колебания вязкоупругих цилиндрических панелей переменной толщины О Щ под воздействием внешней нагрузки. При этом осуществлялся учет влияния на области динамической неустойчи- ^ О вости геометрической нелинейности, вязкоупругих свойств материала, а также других физико-механических и гео- . ^ метрических параметров и факторов (начальных несовершенств формы, соотношений сторон, толщины, граничных г условий, коэффициента возбуждения, реологических параметров). С

Выводы. Разработаны математическая модель и метод для оценки параметрических колебаний вязкоупругой ци- $ _ линдрической панели переменной толщины с учетом геометрической нелинейности при действии периодических П $ нагрузок. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами и данными других авторов. Проверена сходи- о 2 мость метода Бубнова—Галеркина. о 1

^ со

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: тонкостенные конструкции, цилиндрические панели, переменная толщина, периодиче- о 0 ская нагрузка, параметрические колебания, область динамической неустойчивости, математическая модель, метод о 3 и алгоритм

GO №

t rr

sn

CD

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А., Нормуминов Б.А., Мирсаидов М.М. Исследование параметрических колебаний вязкоупругой цилиндрической панели переменной толщины // Вестник МГСУ. 2018. Т. 13. U — Вып. 11. С. 1315-1325. DOI: 10.22227/1997-0935.2018.11.1315-1325 V $

Study of parametric oscillations of viscoelastic cylindrical panel CC 66

of variable thickness = (

--g i

cd cd,

Rustamkhan A. Abdikarimov1, Dadakhan A. Khodzhaev2, Bakhodir A. Normuminov2,

Mirziyod M. Mirsaidov2 n

1 Tashkent Institute of Finance, 60A A. Temur st., Tashkent, 100000, Uzbekistan; •

2 Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers (TIIAME), < ^

39 Kary-Niyazov st., Tashkent, 100000, Uzbekistan ¡r o

ji

ABSTRACT 1 w

Introduction. Isotropic viscoelastic cylindrical panels of variable thickness under the effect of a uniformly distributed vibration W ®

load applied along one of the parallel sides, resulting in parametric resonance (with certain combinations of eigenfrequencies s n

of vibration and excitation forces) are considered. U o

Materials and methods. It is believed that under the effect of this load, the cylindrical panels undergo the displacements W W

(in particular, deflections) commensurate with their thickness. Based on the classical Kirchhoff—Love hypothesis, a 11 mathematical model of the problem of parametric oscillations of a viscoelastic isotropic cylindrical panel of variable thickness in a geometrically non-linear formulation is constructed. Corresponding nonlinear equations of vibration motion of panels under consideration are derived (in displacements). The technique of the nonlinear problem solution by applying the

to to о о

© Р.А. Абдикаримов, Д.А. Ходжаев, Б.А. Нормуминов, М.М. Мирсаидов, 2018

1315

Bubnov—Galerkin method at polynomial approximation of displacements (and deflection) and a numerical method that uses quadrature formula are proposed. The Koltunov—Rzhanitsyn kernel with three different rheological parameters is chosen as a weakly singular kernel.

Results. Parametric oscillations of viscoelastic cylindrical panels of variable thickness under the effect of an external load are investigated. The effect on the domain of dynamic instability of geometric nonlinearity, viscoelastic properties of material, as well as other physical-mechanical and geometric parameters and factors (initial imperfections of the shape, aspect ratios, thickness, boundary conditions, excitation coefficient, rheological parameters) are taken into account. Conclusions. A mathematical model and method have been developed for estimating parametric oscillations of a viscoelastic cylindrical panel of variable thickness, taking into account geometric nonlinearity under the action of periodic loads. The results obtained are in good agreement with the results and data of other authors. The convergence of the Bubnov—Galerkin method is verified.

KEYWORDS: thin-walled structures, cylindrical panels, variable thickness, periodic load, parametric oscillations, dynamic instability domain, mathematical model, method and algorithm

FOR CITATION: Abdikarimov R.A., Khodzhaev D.A., Normuminov B.A., Mirsaidov M.M. Study of parametric oscillations of viscoelastic cylindrical panel of variable thickness. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2018; 13(11):1315-1325. DOI: 10.22227/1997-0935.2018.11.1315-1325

co co

о о

N N

К Ф U 3

> (Л

с и

öS м il

го с

Ф

Ф Ф

ç g ^

О ш о ^

О

со О СО

4 °

О >1 СО --И

см <Л

z g

(Л I

CT- ф

■Ü <3

CL CO

^ g СО о

en у

СП

? О

ел g

со Ъ _ ф

ф

и о

с <л

i ï zs

U <Л Ф ш ta >

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в строительстве, в авиа-и ракетостроении находят свое применение легкие и прочные элементы тонкостенных конструкций типа пластин и оболочек, которые могут находиться под действием силовых нагрузок. Для обеспечения в необходимых местах требуемой жесткости, такие элементы конструкций могут быть подкреплены ребрами жесткости или иметь плавное изменение толщины. Вследствие этого расчетная схема рассматривается с учетом изменения толщины пластины или оболочки по гладко-переменному или ступенчато-переменному закону. При значительных воздействиях в таких элементах возникают большие прогибы, и поэтому для расчета данных конструкций появляется необходимость проводить исследования в геометрически нелинейной постановке.

В мировой практике особое внимание уделяется использованию при строительстве легких композиционных материалов, что приводит к необходимости рассмотрения конструкций, как с однородными, так и с неоднородными свойствами материала. Поведения тонкостенных конструкций, имеющих различные виды особенностей, с учетом вышеуказанных свойств материала при динамическом нагружении, исследованы недостаточно в виду сложности учета данных факторов и необходимости решения нелинейных краевых задач, приводящих к громоздким выкладкам.

Поэтому построение новых математических моделей деформирования тонкостенных оболочеч-ных конструкций переменной толщины при различных видах нагружения, а также эффективных методов и алгоритмов их исследования является актуальной задачей.

Изучению поведения пластин, панелей и оболочек постоянной толщины при динамических на-

грузках в упругой постановке посвящен ряд публикаций. В работах [1, 2] можно найти подробный обзор результатов этих исследований.

В трудах A.C. Вольмира [2], В.А. Крысько [3] и других авторов рассматривается нелинейная динамика пластин и пологих оболочек. В работе В.В. Карпова [4] была разработана геометрически нелинейная теория оболочек, имеющих ступенчато-переменную толщину. Обзор исследования поведения пластин и оболочек при динамических нагрузках с учетом вязкоупругих свойств материала можно найти в книге [5].

Научные статьи В.М. Жгутова [6, 7] посвящены решению задач об устойчивости оболочек с постоянной и ступенчато-переменной толщиной в геометрически нелинейной постановке с учетом и без учета ползучести материала.

Обзор работ, посвященных исследованию поведения пластин и оболочек гладко-переменной толщины, показывает, что в настоящее время недостаточно исследовано поведение таких элементов конструкций с учетом всех отмеченных существенных факторов.

Изучение параметрических колебаний тонкостенных конструкций стало отдельной областью исследований в механике деформируемого твердого тела. Они получили разносторонние приложения к различным механическим системам, в частности к пластинам и оболочкам.

В статье [8] предложен численно-аналитический метод исследования параметрических колебаний пластин под действием статических и периодических нагрузок.

Авторы [9-13] приводят результаты наблюдения динамической устойчивости различного типа пластин, подвергнутых гармоническому нагруже-нию с учетом и без учета нелинейности.

Публикация [14] посвящена решению задачи о динамической устойчивости цилиндрической оболочки, находящейся под действием нагрузки. При этом в качестве нагрузки рассматривается либо изменяющаяся во времени осевая сжимающая нагрузка, либо осевая циклическая нагрузка, изменяющаяся по заданному закону.

В труде [15] изучены модели с четырьмя степенями свободы, описывающие параметрические колебания цилиндрической оболочки при геометрически нелинейном деформировании. Динамика системы описывается уравнениями Доннелла—Муш-тари—Власова. Дискретизация проводится методом Бубнова—Галеркина.

Исследование нелинейных колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек, подверженных действию периодических продольных или поперечных нагрузок, описано в работе [16].

На базе полубезмоментной теории В.З. Власова [17] решается задача о динамической устойчивости изотропной цилиндрической оболочки с учетом переменности толщины вдоль образующей и плотности под действием симметричного переменного по образующей внешнего давления при различных граничных условиях.

В статье [18] рассмотрены параметрические колебания различных типов оболочек, подверженных статическим и зависящим от времени периодическим нагрузкам, в которых уравнения движения получены с использованием теории оболочек Доннелла.

Решению задач о динамической устойчивости и параметрических колебаниях различных типов тонкостенных конструкций, таких как пластины и оболочки, подвергающихся воздействию переменных продольных сил, посвящены публикации [19-22 и др.].

Анализ доступной литературы показал, что работы посвященные исследованию нелинейных колебаний и динамической устойчивости тонкостенных конструкций типа вязкоупругих пластин, панелей и оболочек переменной толщины почти не встречаются. В данной статье численно исследуются параметрические колебания цилиндрических панелей переменной толщины с учетом вязкоупругих свойств материала и геометрической нелинейности. На основе алгоритма решения задачи составлена программа в среде программирования Delphi.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Рассматривается вязкоупругая цилиндрическая, прямоугольная в плане панель переменной толщины h = h(x, y) со сторонами a и b и радиусом кривизны срединной поверхности R при действии осевых динамических нагрузок. Пусть панель подвергается динамическому нагружению вдоль стороны a периодической нагрузкой P(t) = P0 + Pjcos(0t)

(P0, Pj = const, 0 — частота внешней периодической нагрузки).

При принятых предположениях, с учетом силы

п/ \д2 w

P (t)—— , математическая модель этой задачи от-

dx

носительно прогиба w = w(x, y, t) и перемещений

u = u(x,y, t), v = v(x,y, t) описывается уравнением [23]

(1 -Г ))h

1 dw 1 -ц д2u

du

-Т-Ц--+ 7

dx2 R dx 2 дУ

1 + ц д v dw д w 1 -ц дw д w +—--+--г + —---г +

2 дхду дх дх 2 дх ду

1 + ц дw д2 w 2 ду дхду

дк дх

дм ду 1

--+ ц--ц—w +

_дх ду R

1 ( дw 12 ц (д^

+2 Ьх1 +"'

2 I ду

1 -цдк (дм ду дw дw

2 ду V ду дх дх ду

(1 -ц2 )ph д

+Р:

E

дt2

= 0,

(1 -Г* )!*

д v 1 дw 1 -ц д v ду2 R ду 2 дх2

1 + цдм дw д w 1 -цдw д w +—--+--г + —---г +

2 дхду ду ду 2 ду дх

1 + ц дw д2w 2 дх дхду

дк ду

ду дм 1

--+ ц---w +

ду дх R

1 (д^ 1 ц(д^л 2 + 2 [ду ) + 2 v дх

1 -цдк (дм ду дw дw

+—^—I — + — +--у +

2 дх V ду дх дх ду (1 -ц2 )рк д2V А

+Ру------- = 0,

E

дt2

л w\,31 д4 w „ д4 w д4 w

(1 -Г )к I —- + 2 , , +—- | +

v ' I дх4 дх2 ду1 ду

+3 (1-Г* )

„,,дк 12 ,2 д2к 2к I — | + к —-

дх I дх

д2 w д2 w 1

+ J"

,/, „а,2 дк (д3w д3w

+6(1 -Г )к2— I—- +-- | +

v ' дх V дх3 дхду2

< п

№ ® t О

э.н

M,

G Г

S С

о

0 cd

cd _

1 (/) n <J) <П N 2 1

2, 9 С 9

n to

о g (

t r

s s g 2

ns

e N

r 2

t 3

y О

0 -en

1 Я 1 о

О

(1)

cd cd cd —'

î?

® w

w ? s □

s у с о î к

10 10 о о

т-Л/2 д* ( д3м д3м \ +6(1 -г) *

ду [ ду дх ду)

12(1 -Г ) *

ду дм 1 1 (дм ^ и (дм У

— + и---м + -|— I +—|— I

.ду ду Я 2 [ду) 2 [Йх)

со во

о о

N N

* о

и 3 > (Л

с «

оа я И

го

с

ф

Ф си С С

1= '[?

О ш

о ^ о

со О со

4 ° о >> оо

см £

сл | ст- Ф

■I <3

Сь (Л

00 о О Й

^ о

(Л с (Л Ъ _ Ф

Ф и о

С <«

"I £ *

5= i5

и <Л Ф ш

и >

+3 (1 -г*)

„, , д*^ ,2 д2* 2*| — I +*2—т

ду) ду2

д2м д2м

—г + и—т 1 +

ду2 дх2

+6 (1 -ц)(1 -Г*) -12 (1 -Г*) *

„, д* д* ,2 д2* 2*--+ *2-

дх ду дхду

д2 м

дхду

1 дм 1 ду 1

I--+----2

Я дх Я ду Я2

1 (дм У 1 (дм^

+и 2я [ах ) + я [ду

-■2 £ (1 -Г* )!*

д и 1 дм

—г--+

5х2 Я дх

1 -иди 1 + и д у дм дм +—- —г + —--+--г +

2 ду 2 дхду дх дх

1 -идм дм 1 + идм дм +—---=- + -

дИ_

дх

2 дх ду 2 ду дхду

ди ду 1 1 (дм ^ и ( дм

— +и--и—м + —| — I + —|—

дх ду Я 2 [дх) 2 [ду

1 - ид* (ди ду дм дм +—-—| — + — +

2 ду [ ду дх дх ду

-12 ^ (1 -Г*) *

як-2 V )

дх

ди ду —+и--

.ду ду

1 1 (дм V и (дмл иЯм + 2[дх) + 2 [ду

-121С-г* И*

д у 1 дм ду2 Я ду

1 -иду 1+и д и

+—- —г- + —--+

2 дх 2 дхду

дм дм 1 -и дм дм 1 + идм дм +--^ + —---^ + -

ду ду 2 ду дх 2 дх дхду

д* ду

ду ди 1 1 (дм ^ и( дмл 2

— +и---м + -| — I + —|—

ду дх Я 2 [ду) 2 [дх

1 - ид* (ди ду дм дм +—-—| — + — +

2 дх [ ду дх дх ду

-12(1 (1 -г*)*(+дмЁм ,+

дхдук [ ду дх дх ду ^

12(1 -и2)р* д2м

Е

ди1

ъ/ \д2 м

----Р (и V 4

12 (1 -и2)

Е

где Г* — интегральный оператор с ядром релаксации

Г(и): г*ф = |г(и-т)ф(т)^ т; и — время наблюдения;

т — предшествующее моменту наблюдения время; ц — коэффициент Пуассона; Е — модуль упругости; р — плотность материала; ц — поперечная нагрузка.

Система уравнений (1) с соответствующими граничными и начальными условиями описывает движение вязкоупругой цилиндрической панели переменной толщины при воздействии периодической нагрузки Р(И) = Р0 + P■cos(0t) с учетом начальных несовершенств.

Пусть толщина панели изменяется по следующему закону *(х) = 1 *0 (1 + а*х), т.е. приводит

к линейному увеличению толщины панели (рис. 1). Здесь а* — параметр, характеризующий переменность толщины; *0 — толщина панели, соответствующая а = 0.

Будем считать, что панель имеет начальные прогибы м0 = м0(х, у).

Полный и начальный прогибы, а также перемещения панели будем искать в виде [24, 25]

N М

и (^ У, и) = XX ^ипт (и) Ф™ (^ у ) ,

п=1 т=1 N М

м

у ( ^ У, и ) = ХХупт (и) Фпт ( x, у) ,

п =1 т=1

N М

( ^ У, и ) = XXмпт (И) V пт ( ^ у ) ,

п =1 т=1

N М

м0 ( X, у ) = XX м0 пт V пт ( ^ у ) ,

(2)

п=1 т=1

где и = и (и), у = у (и), м = м (и) — неизвест-

пт пт 4 '7 пт пт 4 '7 пт пт 4 '

ные функции времени; фит (х,у), фпт (х,у), упт (х,у), п = 1, 2, ..., N т = 1, 2, ...,М — координатные функции, удовлетворяющие заданным граничным условиям задачи [26].

Подставляя (2) в систему (1), при этом выполнив процедуру Бубнова—Галеркина и введя следующие безразмерные величины

— и - у — м — м0

*0

*0

*0

м0 = -

*0

" х - у - * а х = —, у = —, * = —, Х = —,

х ^ Ь 4

о = —, к у =-, 4 = —

*0 *0Я Е

(Ъ_ ^ [ *0 )

Рис. 1. Изменение толщины панели в зависимости от значения параметра a . a — а* = 0,2 ; b — а* = 0,5 Fig. 1. Changes in plate thickness depending on a parameter: a — a* = 0.2; b — a* = 0.5

E E ю

g flklnm (Whm w0hm )

- Г(Л И Р

Г = ——, 50 = -Ц 5, = -Ц оо 0 Р Р

кр кр

с сохранением прежних обозначений, для определения неизвестных *с = *с (/), м = м (/), г' = г' (/),

«т «т 4 у нш пт 4 у «т пт 4

получим следующую систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений:

N М

У, У, ак1пт^пт ~

Y N М 1

+ 7 Z Z SaHWy (" W0,„ WO0 ) = 0-

^ 77,7=1 m,j= 1 J

77=1 777=1

JV M

-1.(1-0 ЕЁ К'/™"™ + ЧшЛт ) -

L 77=1 777=1

^K , / 0 --J- /ш™ V- J +

8 J

Y N M 1

Z Z SiM„m,j {w„mwij - w0l„w0j,) = 0-

^ 77,7=1 m,j= 1 J

TV M

УУЧ, -

/ .1 / .1 klrtm nm

Pklnm

77=1 777=1

f N M

L 77=1 777=1

+flklnm (W,m ~ W0„m )) ~

N M

- Z Z 8шш,у ("w„m wij - w0imW0ij) -

77 , 7=1 777,7 = 1

N M

(3)

,,, u.. +e,,, ..v.. +

Aklnmij ij Aklnmij ij

iV M л

zzNk

L«=i ш=1\л

n=i ¡и

N M

I 77 , 7=1 777,7 = 1

+е4к„ш^'ц ~ W0y )) +

iV Л/

+ Z Z £«,„,/,>/w„m (l - r*) (>vvt'„ - vt'o„ )

77,7,7"=1 m,j,S=\

= 12ri,(l-|a2)X"

< DO

№ <D ¡2, О

2.3

* I

о Щ

о о cd

cd _

9- (Л

=! (Л

CQ 2

co

2, 9

° g

n ^

о w

g ^

(/) XI

О) ~

5 </5

I w

cd ^

а к

У О

О f>

О aj °

= °

^ О

с| i.

=S 3

cd cd

cd —'

ll • w

W ?

t/Г э (я «< с о (D X

10 10 о о

со со

о о

сч сч

* ш О 3

> (Л

Е J2

m (О т-

l|

(0) = "0,ш,",т (0) = (0) =

= V0- v„m (0) = v0lm - w,„ (0) = №„„„,. W,„ (0) = w0nm,

где P = —;-г /: — — статическая критиче-

4 3(1-ц2) Ы_

екая нагрузка; со = ^л' lil( /^/(р/'1) — частота основного тона колебаний; р2Мпт = fMnm -4тгА,2 р'м„тЪ0; 2п2Х2рИя

Pkla

-Sp остальные входящие в полу-

ченную систему постоянные коэффициенты связаны с координатными функциями и их производными.

Полученная система (3) численно решается с помощью метода, предложенного в работе [23]. Здесь при расчетах используется слабо-сингулярное ядро Колтунова—Ржаницына вида [27]

Т{1)=А^Г-\ (0<а<1),

где ,4 — параметр вязкости; а — параметр сингулярности, определяемый экспериментом; (3 — параметр затухания.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Результаты вычислений, выполненных на компьютере, отражаются графиками, приведенными на рис. 2-6.

На рис. 2 показано влияние вязкоупругих свойств материала цилиндрической панели на ее поведение.

Анализ полученных результатов показывает, что учет вязкоупругих свойств материала приводит к сужению области динамической неустойчивости.

На рис. 3 приведены результаты расчета без учета (кривая 1) и с учетом распространения упругих волн (кривая 2). Проведенные исследования показали, что увеличение параметров внешней нагрузки и соотношений между геометрическими параметрами панели приводит к различию в расчетах по амплитудным значениям, которые возникают уже в начальные моменты времени. С течением времени различия в результатах продолжают увеличиваться.

На рис. 4 показаны результаты исследования поведения панели при различных значениях кривизны ку. Из рисунка видно, что увеличение этого параметра приводит к увеличению амплитуды колебаний и сдвигу фаз.

Результаты исследования поведения панели при различных значениях параметра изменения толщины а* показаны на рис. 5.

Изменение толщины вязкоупругой панели по вышеуказанному закону приводит к уменьшению максимальных перемещений. При этом учитывается, что у панелей постоянной и переменной толщины объемы равны. Полученные результаты показывают, что с увеличением параметра изменения толщины панели увеличиваются амплитуды колебаний и происходит сдвиг фаз.

О)

с

ф

ф ф

с с Ъ '|> О Ш

О О

CD О со

4 °

О >1 сп

см <Л

£ >

" ф ■I з

9-. <75

^ Щ

СП о

оз у

ст>

? о

Z о) (Л с (Л Ъ — Ф

Ф и о

С </>

il is

О i/i ф 0)

во >

-0,05 ■

0 10 20 30 40 50

Рис. 2. Зависимость прогиба от времени при А = 0 (i); 0,05 (2); ОД (5) Fig. 2. Dependence of deflection on time at A = 0 (7); 0.05 (2); 0.1 (5)

Рис. 3. Зависимость прогиба от времени при: 1 — без учета; 2 — с учетом распространения упругих волн Fig. 3. Dependence of deflection on time at: 1 — without; 2 — taking into account the propagation of elastic waves

< DO

№ <d t О

3.S G Г

S С

о

0 cd cd

1 (/) з ' CO CO

o

in

CD CD

n 9

n CD o

g (

t Г

s t g о

ns

e N

r О

t 3

y о

0 -

cn

1 Я v °

о о

no

Рис. 4. Зависимость прогиба от времени при = 10 (1); 20 (2) Fig. 4. Dependence of deflection on time at k = 10 (1); 20 (2)

cd cd cd —'

[м

• w

I ы

W у с о e к

кз 10

о о

Рис. 5. Зависимость прогиба от времени при а* = 0,3 (1); 0,5 (2); 0,8 (3) Fig. 5. Dependence of deflection on time at а* = 0.3 (1); 0.5 (2); 0.8 (3)

" Ф

■I <3

CL (Л

^ Щ

oo О сп у

СП

? °

ел д

(Л Ъ

(Л (3

i:

s= is

U (Л Ф ш a >

Рис. 6. Зависимость прогиба от времени при S0 = 0 (1); 0,5 (2); 1,0 (3) Fig. 6. Dependence of deflection on time at S0 = 0 (1); 0,5 (2); 1,0 (3)

На рис. 6 продемонстрирована зависимость прогиба панели от времени при различных значениях коэффициента возбуждения 50. Результаты исследования показывают, что с увеличением значения данного коэффициента увеличиваются частоты колебаний.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

Разработаны математическая модель, метод и компьютерная программа для оценки параметрических колебаний вязкоупругой цилиндрической панели переменной толщины с учетом геометри-

ческой нелинейности при действии периодических нагрузок.

На основе многочленной аппроксимации прогибов исследовано динамическое поведение цилиндрической панели переменной толщины.

Оценено влияние на амплитудно-временные характеристики и на напряженно-деформированное состояние изменения физико-механических и геометрических параметров материала панели.

Предлагаемый в работе метод может быть использован для различных типов тонкостенных конструкций, таких как пластины, панели и оболочки переменной толщины.

переменной толщины

ЛИТЕРАТУРА

1. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М. : Гостехиздат, 1956. 600 с.

2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М. : Наука, 1967. 984 с.

3. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов : Изд-во Саратовского университета, 1976. 216 с.

4. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. СПб. : Изд-во АСВ; СПбГАСУ, 1999. 154 с.

5. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М. : Стройиздат, 1968. 416 с.

6. Жгутов В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала // Известия Орловского государственного технического университета. Сер. : Строительство, транспорт. 2007. № 4. С. 20-23.

7. Жгутов В.М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости ребристых оболочек с учетом ползучести материала при конечных прогибах // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. 2010. № 2. С. 53-59.

8. Kurpa L., Mazur O.S., Tkachenko Ya.V. Parametric vibration of multilayer plates of complex shape // Journal of Mathematical Sciences. 2014. Vol. 203. No. 2. Pp. 165-184. DOI: 10.1007/s10958-014-2098-2

9. Darabi M., Ganesan R. Nonlinear dynamic instability analysis of laminated composite thin plates subjected to periodic in-plane loads // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 91. Issue 1. Pp. 187-215. DOI: 10.1007/ s11071-017-3863-9

10. Huynh H.Q., Nguyen H., Luong H. Non-linear parametric vibration and dynamic instability of laminated composite plates using extended dynamic stiffness method // Journal of Engineering Technology. 2017. Vol. 6. Pp. 170-185.

11. Kumar R., Dutta S.C., Panda S.K. Linear and non-linear dynamic instability of functionally graded plate subjected to non-uniform loading // Composite Structures. 2016. Vol. 154. Pp. 219-230. DOI: 10.1016/J.C0MPSTRUCT.2016.07.050

12. Kumar R., MondalS., Guchhait Sh., Jamatia R. Analytical approach for dynamic instability analysis of functionally graded skew plate under periodic axial compression // International Journal of Mechanical Sciences. 2017. Vol. 130. Pp. 41-51. DOI: 10.1016/j. ijmecsci.2017.05.050

13. Евзеров И.Д. Задачи устойчивости для стержней и пластин // Инженерно-строительный журнал. 2014. № 1 (45). С. 6-11.

14. Дубровин В.М., Бутина Т.А. Моделирование динамической устойчивости цилиндрической обо-

лочки при циклическом осевом воздействии // Математическое моделирование и численные методы. 2016. № 3 (11). С. 24-32.

15. Кочуров Р.Е., Аврамов К.В. Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек // Проблемы машиностроения. 2010. Т. 13. № 3. С. 55-61.

16. Игнатьев О.В. Геометрически нелинейные модели оболочек ступенчато-переменной толщины и численные методы их исследования : дис. ... д-ра техн. наук. Волгоград, 2001. 247 с.

17. Мочалин А.А. Параметрические колебания неоднородной круговой цилиндрической оболочки переменной плотности при различных краевых условиях // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. : Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. Вып. 2. С. 210-215. DOI: 10.18500/18169791-2015-15-2-210-215

18. Dey T., Ramachandra L.S. Dynamic stabil- ^ ™ ity of simply supported composite cylindrical shells t о under partial axial loading // Journal of Sound and Vi- k | bration. 2015. Vol. 353. Pp. 272-291. DOI: 10.1016/j. s * jsv.2015.05.021 О Г

19. An H., Zhou L., Wei X., An W. Nonlinear С Q analysis of dynamic stability for the thin cylindrical Г shells of supercavitating vehicles // Advances in С Mechanical Engineering. 2016. Vol. 9. No. 1. Pp. 1-15. d _ DOI: 10.1177/1687814016685657 _

20. Bazhenov V.A., Luk'yanchenko O.A., Vorona 0 1 Yu.V., Kostina E.V. Stability of the parametric vibra- M S tions of a shell in the form of a hyperbolic paraboloid // Cg International Applied Mechanics. 2018. Vol. 54. Issue 3. | ft Pp. 274-286. DOI: 10.1007/s10778-018-0880-4 to

21. Samukham S., Raju G., Vyasarayani C.P. 1 ) Parametric instabilities of variable angle tow composite n _ laminate under axial compression // Composite Struc- 1 ft tures. 2017. Vol. 166. Pp. 229-238. DOI: 10.1016/j. у 00 compstruct.2017.01.044 f -

22. Awrejcewicz J., Kurpa L., Mazur O. Dy- о g namical instability of laminated plates with external ft ( cutout // International Journal of Non-Linear Me- g l chanics. 2016. Vol. 81. Pp. 103-114. DOI: 10.1016/j. 1' 1 ijnonlinmec.2016.01.002 |С

23. Верлань А.Ф., Абдикаримов Р.А., Эшма- ft тов X. Численное моделирование нелинейных за- < дач динамики вязкоупругих систем с переменной U 0 жесткостью // Электронное моделирование. 2010. 3 1 Т. 32. № 2. С. 3-14. Q «

24. Колтунов М.А., Мирсаидов М., Троянов- Q Ы ский И.Е. Установившиеся колебания осесимме- s у тричных вязкоупругих оболочек // Механика поли- ф £ меров. 1978. № 2. С. 290-295. 1 1

25. Мирсаидов М., Трояновский И.Е. Вынуж- 2 2

денные осесимметричные колебания вязкоупругой 2 1

8 8

цилиндрической оболочки // Механика полимеров. 1975. № 6. С. 1111-1114.

26. Ишматов А.Н., Мирсаидов М.М. Нелинейные колебания осесимметричного тела при неста-

ционарных воздействиях // Прикладная механика. 1991. № 4 (27). С. 68-74.

27. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М. : Высшая школа, 1976. 276 с.

Поступила в редакцию 23 августа 2018 г. Принята в доработанном виде 24 сентября 2018 г. Одобрена для публикации 30 октября 2018 г.

со во

о о

N N

Об авторах: Абдикаримов Рустамхан Алимханович — доктор физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Ташкентский финансовый институт (ТФИ), 100000, Узбекистан, г Ташкент, ул. Амира Темура, д. 60А, rabdikarimov@mail.ru;

Ходжаев Дадахан Акмарханович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и строительной механики, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства (ТИИИМСХ), 100000, Узбекистан, г. Ташкент, ул. Кары-Ниязова, д. 39, dhodjaev@mail.ru;

Нормуминов Баходир Ашурович — старший преподаватель кафедры высшей математики, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства (ТИИИМСХ), 100000, Узбекистан, г. Ташкент, ул. Кары-Ниязова, д. 39, bnormuminov1977@mail.ru;

Мирсаидов Мирзиед Мирсаидович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической и строительной механики, академик АН РУз, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства (ТИИИМСХ), 100000, Узбекистан, г. Ташкент, ул. Кары-Ниязова, д. 39, theormir@mail.ru.

* О U 3

> (Л

с и

m (О

и

го с

Ф

Ф Ф

с с ^

О ш о ^

О

CD О CD

4 °

О >1

со

см <Л

оо § " ф

■Ü <3 о. со

REFERENCES

СО о

сп у

СП

15

LO С СО Ъ _ Ф

Ф U О

¡1 <л

^ í

s= JS

U (Л

Ф ш

ta >

1. Bolotin V.V. Dynamic stability of elastic systems. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1956; 600. (rus.).

2. Vol'mir A.S. Steadiness of deformable systems. Moscow, Nauka Publ., 1967; 984. (rus.).

3. Krysko V.A. Nonlinear statics and dynamics of inhomogeneous shells. Saratov, SGU Publ., 1976; 216. (rus.).

4. Karpov V.V. Geometrical nonlinear problems for plates and shells and the methods of their solution. Saint-Petersburg, SPbGASU Publ., 1999; 154. (rus.).

5. Rzhanitsyn A.R. Creep theory. Moscow, Stroi-izdat Publ., 1968; 416. (rus.).

6. Zhgutov V.M. Mathematical models and algorithms for studying the stability of shallow ribbed shells, taking into account various material properties. News of the Oryol State Technical University. Ser. : Construction, transport. 2007; 4:20-23. (rus.).

7. Zhgutov V.M. Mathematical models, research algorithm and stability analysis of ribbed shells, taking into account the material creep during finite deflections. Scientific and technical statements of the St. Petersburg State Polytechnical University. 2010; 2:53-59. (rus.).

8. Kurpa L., Mazur O.S., Tkachenko Ya.V. Parametric vibration of multilayer plates of complex shape. Journal of Mathematical Sciences. 2014; 203(2):165-184. DOI: 10.1007/s10958-014-2098-2

9. Darabi M., Ganesan R. Nonlinear dynamic instability analysis of laminated composite thin plates subjected to periodic in-plane loads. Nonlinear Dynamics. 2017; 91(1):187-215. DOI: 10.1007/s11071-017-3863-9

10. Huynh H.Q., Nguyen H., Luong H. Non-linear parametric vibration and dynamic instability of laminated composite plates using extended dynamic stiffness method. Journal of Engineering Technology. 2017; 6:170-185.

11. Kumar R., Dutta S.C., Panda S.K. Linear and non-linear dynamic instability of functionally graded plate subjected to non-uniform loading. Composite Structures. 2016; 154:219-230. DOI: 10.1016/J.C0MP-STRUCT.2016.07.050

12. Kumar R., Mondal S., Guchhait Sh., Jamatia R. Analytical approach for dynamic instability analysis of functionally graded skew plate under periodic axial compression. International Journal of Mechanical Sciences. 2017; 130:41-51. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2017.05.050

13. Ievzerov I.D. The stability problems for bars and plates. Magazine of Civil Engineering. 2014; 1:611. (rus.).

14. Dubrovin V.M., Butina T.A. Simulation of dynamic stability of a cylindrical shell under cyclic axial impact. Mathematical Modeling and Computational Methods. 2016; 3(11):24-32. (rus.).

15. Kochurov P.E., Avramov K.V. Models of nonlinear parametric oscillations of cylindrical shells. Problems of mechanical engineering. 2016; 3(11):24-32. (rus.).

16. Ignatiev O.V. Geometrically nonlinear models of shells of step-variable thickness and numerical methods for their study. Diss. ... Doc. tech. sciences. Volgograd, 2001; 247. (rus.).

17. Mochalin A.A. The parametric oscillations of heterogeneous circular cylindrical shell of variable density under different boundary conditions. Izvestiya of Saratov University. New Series. Series Mathematics. Mechanics. Informatics. 2015; 15(2):210-215. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-2-210-215 (rus.).

18. Dey T., Ramachandra L.S. Dynamic stability of simply supported composite cylindrical shells under partial axial loading. Journal of Sound and Vibration. 2015; 353:272-291. DOI: 10.1016/j.jsv.2015.05.021

19. An H., Wei X., An W., Zhou L. Nonlinear analysis of dynamic stability for the thin cylindrical shells of supercavitating vehicles. Advances in Mechanical Engineering. 2016; 9(1): 1-15. DOI: 10.1177/1687814016685657

20. Bazhenov V.A., Luk'yanchenko O.A., Vorona Yu.V., Kostina E.V. Stability of the parametric vibrations of a shell in the form of a hyperbolic paraboloid. International Applied Mechanics. 2018; 54(3):274-286. DOI: 10.1007/s10778-018-0880-4

21. Samukham S., Raju G., Vyasarayani C.P. Parametric instabilities of variable angle tow composite laminate under axial compression. Composite

Structures. 2017; 166:229-238. DOI: 10.1016/j.comp-struct.2017.01.044

22. Awrejcewicz J., Kurpa L., Mazur O. Dynamical instability of laminated plates with external cutout. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2016; 81:103-114. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2016.01.002

23. Verlan A.F., Abdikarimov R.A., Eshmatov H. Numerical modeling of nonlinear problems of the dynamics of viscoelastic systems with variable rigidity. Electronic modeling. 2010; 32(2):3-14. (rus.).

24. Koltunov M.A., Mirsaidov M., Troyanovs-kiy I.E. Transient vibrations of axissymmetric viscoelastic shells. Polymer Mechanics. 1978; 2:290-295. (rus.).

25. Mirsaidov M., Troyanovskiy I.E. Forced axi-symmetric oscillations of a viscoelastic cylindrical shell. Polymer Mechanics. 1975; 6:1111-1114. (rus.).

26. Ishmatov A.N., Mirsaidov M.M. Nonlinear vibrations of an axisymmetric body acted upon by pulse loads. International Applied Mechanics. 1991; 27(4):68-74. (rus.).

27. Koltunov M.A. Creep and relaxation. Moscow, Higher school Publ., 1976; 276. (rus.).

Received August 23, 2018

Adopted in a modified form on September 24, 2018 Approved for publication October 30, 2018

About the authors: Rustamkhan A. Abdikarimov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Tashkent Institute of Finance, 60 A. Temur st., Tashkent, 100000, Uzbekistan, rabdikarimov@ mail.ru;

Dadakhan A. Khodzhaev — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers (TIIAME), 39 Kary-Niyazov st., Tashkent, 100000, Uzbekistan, dhodjaev@mail.ru;

Bakhodir A. Normuminov — Senior Lecture, Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers (TIIAME), 39 Kary-Niyazov st., Tashkent, 100000, Uzbekistan, bnormuminov1977@ mail.ru;

Mirziyod M. Mirsaidov — Academician of Academy of Sciences of Uzbekistan, Doctor of Technical Sciences, Professor, Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers (TIIAME), 39 Kary-Niyazov st., Tashkent, 100000, Uzbekistan, theormir@mail.ru.

< DO

№ <d

t о i k 1

s, G I

S С

о о ф ф

о

з '

со

сп О

СЛ

CD CD

n g n

О

о ( t r

s t о о

ns

e N

D

t 3

У о О -

en

о

О о ПО

ф ф ф —'

Î?

Ü " W P

s 3

s у с о e к

to M о о