CC BY
20
f dn Л где I — I и
1эг)
дп дС
являются постоянными для
данного вещества (и для разных сред могут иметь разный знак).
Проводя вычисления для фокусных расстояний тепловой и концентрационной линз с использованием равенств (9) —(14), получим:
8d aI0
1 + -
4at
du
dT
-i
^ I ; (15)
Fe = —.
8d aI0C0DT
(r02 + 4Dt )(r02 + 4at) fdn V1. (16)
at2
dC
ной только изменением температуры в одно-компонентной среде) и термодиффузионной линз существенно разные. Для оптической силы результирующей линзы = Г^1 + Г^1 имеем окончательное выражение:
D2 =
8 d aI0 X
f 2 ^ 1+
4at
v
-1
dn dT
(17)
"Co D
at
2
0 T (r02 + 4Dt)(r02 + 4at) 19C
dn
Таким образом, временные закономерности формирования обычной тепловой (обусловлен-
Полученные результаты могут быть использованы для развития методов термолинзовой спектроскопии и диагностики многокомпонентных жидкофазных сред.
2
U
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахманов, С.А. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде [Текст] / С.А. Ахманов, А.П. Сухоруков, Р.В. Хохлов // Успехи физических наук.—1967.— Т. 93.—Вып.1— С. 19-70.
2. Альтшулер, Г.Б. Нелинейные линзы и их применение [Текст] / Г.Б. Альтшулер, Г.Б. Инночкин // Успехи физических наук.-Т. 163.-№ 7-С. 65-84.
3. Giglio, M. Thermal lens effect in a binary liquid mixture: A new effect [Text] / M. Giglio, A. Vendramini // Appl. Phys. Lett.-1974.-Vol. 25.-No. 10. - P. 555-557.
4. Vicary, L. Pump-probe detection of optical nonlin-earity in water-in-oil microemulsion [Text] / L. Vicary // Philosoph. Mag. B.-2002.-Vol. 82.- P. 447-452.
5. Иванов, В.И. Самовоздействие гауссова пучка в жидкофазной микрогетерогенной среде [Текст] / В.И. Иванов, К.Н. Окишев, Ю.М. Карпец, А.И.
Ливашвили // Изв. Томск. политехи. ун-та.— 2005.— Т. 308.- № 5 - С. 23-24.
6. Иванов, В.И. Термоиндуцированное самовоздействие гауссова пучка излучения в жидкой дисперсной среде [Текст] / В.И. Иванов, А.И. Ливашвили, А.А. Кузин // Вестник НГУ. Сер. Физика.— 2010.Т. 5.- № 1- С. 5-8.
7. Полянин, А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики [Текст] / А.Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2000.- 576 с.
8. Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения [Текст] / Н.Н. Лебедев. - М.: Физматгиз, 1963- 312 с.
9. Там, Э.Э. Сверхчувствительная лазерная спектроскопия [Текст] / Э.Э. Там, Р.Р. Бердж, Х.Л. Фанг [и др.] Под ред. Клайджера Д. // М.: Мир, 1986.- 520 с.
УДК 539.3
В.М. Жгутов
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Оболочки как элементы разного рода кон- Тонкостенные элементы современных струкций широко применяются в различных конструкций в виде оболочек предназначены областях техники и строительства. для работы под воздействием механических
нагрузок (как статических, так и динамических) и нередко температурного поля, вызывающего появление чисто температурных деформаций.
Для придания в нужных местах большей жесткости профиль тонких оболочек может иметь плавные утолщения. С целью повышения жесткости тонкостенная часть оболочки может быть подкреплена дискретно расположенными ребрами. В обоих случаях существенно повышается несущая способность конструкции при незначительном увеличении ее массы.
Таким образом, всю конструкцию следует рассматривать как объект переменной толщины. В зависимости от характера изменения толщины будем различать оболочки гладко-переменной и, соответственно, ступенчато-переменной толщины (ребристые оболочки).
Известно, что тонкие оболочки могут допускать прогибы, соизмеримые с их толщиной (даже под воздействием только механических нагрузок, далеких от критических значений).
Расчеты на прочность, устойчивость и колебания оболочечных конструкций играют важную роль при проектировании современных аппаратов, машин и сооружений. Тем не менее, поведение тонкостенных конструкций переменной толщины, при котором проявляются геометрическая нелинейность, поперечные сдвиги, переменность профиля и возникают чисто температурные деформации, исследовано недостаточно. Причины этого состоят в сложности совместного учета упомянутых факторов и необходимости решения громоздких нелинейных краевых задач.
Физические основы теплопроводности и термоупругости изложены в энциклопедическом курсе [1]. Анализ современного состояния теории оболочек, формулировка основополагающих принципов и построение модели термоупругих оболочек постоянной толщины приводится в весьма содержательной работе [2]. Разработке математических моделей термоупругости оболочек переменной толщины для задач статики посвящены публикации [3, 4], однако в статье [4] не учитываются поперечные сдвиги (используется модель Кирхгофа — Лява) и геометрическая нелинейность, а также не рассматриваются ребристые оболочки. В монографии [3] в задачах термоупругости (приведенных исключительно для ребристых оболочек) при-
меняется модель Кирхгофа — Лява при учете геометрической нелинейности.
Математическому моделированию деформирования ребристых оболочек и оболочек гладко-переменной толщины при учете различных свойств материала (нелинейная упругость, вязкоупругость) посвящены работы В.М. Жгу-това [5—7] и другие, а также Р.А. Абдикаримова и В.М. Жгутова [8, 9]. Но в указанных работах не учитываются возможное влияние температурного поля на напряженно-деформированное состояние и устойчивость исследуемых оболочек.
Проектирование и последующее создание легких, но вместе с тем прочных и надежных конструкций требует дальнейшего совершенствования механических моделей деформируемых тел, а также разработки новых интегральных методов их расчета.
В связи с этим разработка более совершенной математической модели термоупругости оболочек — актуальная и важная задача.
В настоящей статье предложены математические модели термоупругости оболочек переменной толщины (для задач статики и динамики), основанные на модели Тимошенко — Рейсснера (учитывает поперечные сдвиги).
В случае ребристых оболочек учитывается также дискретность расположения ребер, их ширина, сдвиговая и крутильная жесткости.
Постановка задачи
Рассматриваем оболочки общего вида с краем (пологие на прямоугольном плане, а также оболочки вращения, в частности цилиндрические, конические, сферические, торообразные, а также многие другие).
Некоторую внутреннюю поверхность оболочки принимаем за отсчетную поверхность г = 0. Координатные линии x и y криволинейной ортогональной системы координат (-a / 2 < х < a / 2 и -b / 2 < y < b / 2) направляем по линиям кривизны (параллелям и меридианам в случае поверхности вращения), а ось z — по внутренней нормали отсчетной поверхности так, чтобы система координат x, y, z была правой (полагаем, что определенная таким образом сеть координатных линий на отсчетной поверхности оболочки обеспечивает гладкость и регулярность ее параметризации).
Переменную толщину оболочки ¡г = = к( х, у) е Ск задаем ограничивающими ее (в направлениях нормалей к отсчетной поверхности) гладкими или непрерывными поверхностями гв = гв(х, у) и гн = гн(х, у) так, что к = гн - гБ и
^BV
< г <
Отметим,
что
принадлежность
функции / (х, у) к классу гладкости Ск означает, что функция имеет непрерывные частные производные до порядка к > 1 включительно (запись /(х, у) еС0 требует только непрерывности по совокупности аргументов). По лага ем, что векторы (ковекторы) градиентов Угв и Угн отличны от нуля и коллинеарны
(
rang
Эгв / дх dzH / дх
д1в/ ду dZH/ ду
= 1
Ех ~Ех е0; еу ~Еу е0; Чху -Уху,
где ех , еу, у— деформации удлинения вдоль линий х, у и сдвига в касательной плоскости (йх, йу), обусловленные механической нагрузкой; ё 0 — чисто температурные деформации.
Данные величины выражаются следующим образом:
1 ди 1 дА„ „„, 1 2.
ex =--+
x A dx
--V - KxW + -02
AB dy x 2 1
1 dV 1 dBTT
e y =--+--U - KyW + -02
y B dy AB dx y ° 2
1022
Y xy
1 dV 1 dU
A dx B dy
1
AB
(dAu+ ™v )
[dy dx )
+ 0102:
в любой точке поверхности г = 0.
В случае ребристой оболочки за отсчетную поверхность г = 0 принимаем срединную поверхность обшивки толщиной к. Ребра задаем с помощью функции Н = Н(х, у) е С0 , характеризующей распределение ребер по оболочке (как правило, с внутренней стороны обшивки вдоль координатных линий), их ширину и высоту [10, 11]. Таким образом, толщина ребристой оболочки равна к = к + Н, причем гв =—к/2 и гн =к/2 + Н.
Считаем, что оболочка находится в стационарном температурном поле Т = Т(х, у, г) (в градусах Кельвина) и под действием механической нагрузки (статической или динамической) при определенном закреплении ее края (контура).
Будем совместно учитывать геометрическую нелинейность, влияние температуры, поперечные сдвиги. В случае ребристых оболочек учитываем также дискретное расположение ребер, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости.
математическая модель термоупругости рассматриваемых оболочек
Как известно, математическая модель деформирования оболочки состоит из геометрических соотношений, физических соотношений и функционала полной энергии ее деформации (из условия минимума которого следуют уравнения равновесия или движения).
Геометрические соотношения. В отсчетной поверхности г = 0 с учетом геометрической нелинейности и влияния температуры указанные соотношения имеют вид:
где U, V и W — компоненты вектора перемещений точек вдоль линий x, y и оси z; A, B — метрические коэффициенты Ламе, зависящие от вида оболочки (например, A = B = 1 для пластин и пологих оболочек; A = const, B = B(x) в случае оболочек вращения); Kx, Ky — главные величины кривизны оболочки вдоль линий x и y соответственно (в частности Kx = Ky = 0 для пластин; 0 Ф Kx = Ky = const для сферических и Kx = 0 Ф Ky = const для цилиндрических оболочек вращения);
e,=-iidW+KU; dW
0j = -
A dx
^ +KyV
B dy y
A dx
1 dw_
B dy '
Деформации поперечных (так же как и продольных) сдвигов не зависят от температуры [ 1, 2] и могут быть определены по формулам
У« =У = с/(г )(¥1 -0Х);
у ж =У = С/(г )(Т2-02),
где с — константа; / (г) — функция, характеризующая распределение напряжений т, ту1 в главных нормальных плоскостях; она обладает такими свойствами, что выполняются соотношения
/ (О = / (гн) = 0;
1
-1 f (z )dz =1;
в
в
1 ZH
- J f 2(z)dz = 1/С.
hz
Далее, = tgyx, T2 = tgyy (уx , уy -углы поворота отрезка нормали к отсчетной поверхности в главных нормальных плоскостях (dx,dz) и (dy,dz)).
Будем использовать квадратичную (параболическую) зависимость
f (z) = (z - ZH )(z - ZB ) = f + hz + f2Z2, h
где f0 = -6zH zB / h2, f = 6(zH + zB) / й2, /2 = -6 / й2. Тогда с = 5/6.
Перемещения и деформации в слоях г = const вычисляем по формулам
Uz = U + zФl; Vz = V + zФ2; Wz = W; (1)
+ zX =eX; eV =ev + zX = eV;
Y xy = Y ™ + г • 2x12 ,
(2)
где Ф1 = -ех, Ф2 = Т2-02; е = аТ; еХ = ех + гХи егу = еу + гХ2.
Здесь а , К-1 — коэффициент линейного теплового расширения материала; Т — температура оболочки в данной точке;
Xi =
1 Эф 1 дА
+ -
--Ф0
Х2 =
А дх AB ду 1 дФ2 1 дВ
— Фл
в ду AB дх
2Х12 =
1 ЭФ
2 1 ЭФ,
2 + 1
1
AB
дА dB ^
— Ф1 +-Ф2
ду дх
T ( y, z ) = Tq (x,y ) + Tl (x,y) z +
+ T2 (x,y) z2 = i T-Z-1,
i=1
(3)
или линейной зависимости, применимой для тонких оболочек:
Т(х,у,1) = Т (х,у)+Т (х,у)г=
1=1
где т0 = Т0 (х,у), Т1 = Т (х,у), Т2 = Т2 (х,у) — известные функции.
В ряде случаев можно предполагать (равномерное температурное поле):
Т (х,у, г) = Т0 (х,у).
Известно, что для многих материалов (например металлов) при достаточно высоких или низких температурах модуль упругости Е и коэффициент а заметно изменяются. В этом случае для вычисления их значений могут быть использованы аппроксимации
3
Е = Е (Т) = Е0 + Е1Т + Е2Т2 = £ Е1-1Т1 -1; (4)
i=1
а = а(Т) = а0 + а1Т = ^ -1TJ
-i
(5)
j=i
А дх В ду ав у
Считаем, что температурное поле Т (х, у, z) задано (и соответствует установившемуся тепловому режиму теплопроводности). Вдоль оси г оно может быть представлено с помощью квадратичного закона распределения:
где Е0 и а0 — некоторые «начальные» значения Е и а ; Е1, Е2, а, — экспериментальные параметры.
Как правило, Е0, а0 (и, соответственно, коэффициенты Е1, Е2, а) отвечают значениям при Т = 20 °С.
В большинстве случаев модуль упругости материала понижается с ростом температуры (Е1, Е2 < 0). Для металлов и сплавов характерно возрастание модуля упругости при снижении температуры. Однако для некоторых неметаллических материалов модуль упругости с понижением температуры до —60 °С может снижаться более чем в два раза.
В целом коэффициент Пуассона ц материала не зависит от изменений температуры в достаточно обширной температурной области.
С учетом представления (3) аппроксимации (4), (5) могут быть записаны для каждой точки Р = Р (х, у, z) оболочки в виде
E = E (P) = E (x, y, z) = E0 + + E2z2 +
+ Ез Z' + Ел Z4 = £ E-\Zl ; i=1
a = a(P) = a(x, y, z) = a 0 + a 1z +
+ a 2Z 2 =Ea i-1Z
i-1
(6)
(7)
i=1
где
Eo = E%o(po) = E%o( x, У) = = Eo + ETo( x, y) + E2To2(x, y);
E = Hl(P0) = 0l(x, y) = = ET (x, y) + 2E2T0 (x, y )T (x, y);
i%2 = i%2 (P0) = Ё2( x, y) = ElT2 (x, y) + + E2 [2To(x,y)T2(x,y) + Tl2(x,y)];
E%3 = E%3(po) = Ез (x,У) = 2ET(x,y)T2(x,y);
E%4 = ЕШ) = E%4(x, У) = E2T^(x, y);
а о = a о (Pq ) = a о (x, y) = ao + ^T^ (x, y); a 1 = a 1(Pq) = a 1(x, y) = a1T1(x, y);
a 2 = a 2(Po) = a 2<x> У) = aiT2(x, У)
— суть функции точки P0 = P0(x, y) отсчет-ной поверхности z = 0 оболочки.
Для чисто температурных деформаций ё = aT с учетом выражений (6) и (7) будем иметь:
е = ё(Р) = a(P )T (P) =
2 ~ 3 ~ 4 v ~ i-1
= е о + EiZ + е2 г +езг +е4 г =Xei-\Z ,
E (Р)[
+ г(хх + цХ2)-(1+ц)ё(Р)] =
„Г.
-а ,
a ? = fp [%%у + * ] = ^ + ^ +
Г"' (11)
+ г(Х2 + цХх) - (1 + ц)ё(Р)] = af -aT ,
где
= ЕЦ [е* +у+^2>],
< = ¡-"Г [е - + ^2 +^Х1>]
— составляющие напряжений вдоль линий х и у, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке (с той разницей, что входящий в их выражения модуль упругости Е = Е (Р) зависит от температуры в точке Р);
г (1 + ц)а (Р)
° =-2—
1 -ц2
— составляющая напряжений, обусловленная чисто температурными деформациями;
сдвиговые напряжения (имеют тот же вид, что и при чисто механической нагрузке) —
/-1 (8)
E (P) , = E (P) *vy 2(1 + ц) xy 2(1 + ц)
т = -
(Уху + z 2Xi2) = <; (12)
I=0
где
ё* = ё*(Ро) = %%к(X,У) = £ «Л- (0 < к < 4) (9)
I=о
— суть коэффициенты при в представле-
нии (8) (считаем, что аi = 0 при [ > 2 и Тк= 0
при к -1 > 2).
В развернутом виде выражения (9) для ко-
эффициентов ёк в соотношении (8) приведены
в приложении 1.
физические соотношения. В случае линейно
упругого изотропного материала оболочки, находящейся в температурном поле, эти соотношения могут быть представлены в следующем виде:
напряжения растяжения (сжатия) —
% ^^ = 2EP) ^ ^^ = ^^ [cf )(У1 -6l)] =
c(Yt -91)x(P) ; 2(1 + ц) '
(13)
т Y [С/(z -02)] =
yz
2(1 + ц) yz 2(1 + ц) = c(^2 -02)T(P) =TM 2(1 + ц) yz'
В формулах (10) - (14)
(14)
a (P) = E (P) • e(P) = a 0 + a 1z + a 2 z2 + a 3z3 +
9
(15)
+a4z4 + a5z5 + a6z6 + <a7z7 + a8z8 = £ ai-1z' 1;
i=1
T(P) = E (P) • f (z) = т 0 + TiZ + т 2z2 +
- 3 - 4 - 5 - 6 ^ - M (16) + T 3Z + T 4 z +T 5Z +T 6Z =XT i-iZ ,
i=1
где
'к = дк(рс) = дк(х>У) = ЁËi-Чч ,
г=0
0 < к < 8 ;
(17)
Мх = | стхгйг = 12 (ех + ) +
+13 (XI + цХ2) - (1 + ц)М(Ро) = мМ - Мт;
Тк = Тк (ро) = Тк (Х У) = Е Е • /к-I ,
I=о
0 < к < 6 (18)
(считаем, что Д- = 0 при [ > 4 ; — = 0 при к -1 > 4 , /к-1 = 0 при к -1 > 2).
В развернутом виде выражения (17) и (18) для коэффициентов дк и тк в соотношениях (15) и (16) представлены в приложениях 2 и 3 соответственно.
Проинтегрируем напряжения (10) — (14) по переменной г, гв < г < zн. Получим выражения для внутренних силовых факторов, приведенных к отсчетной поверхности оболочки (и приходящихся на единицу длины сечения, т. е. погонных):
усилия растяжения (сжатия) и сдвига —
«•н
^х =/ ° хйг = 1\ (е х + це у) +
гв
+12 (Х, + цХ2) - (1 + ц)Й(Ро) = - Мт; Йу = \ъуй1 = 11 (еу +№х) + /2 (х2 + цХ)-
(19)
(20)
- (1 + ц)М(Р0) = ММ - Мт;
Му = | д угйг = 12 (е у + ^х) +
(23)
+13 (Х2 + ) - (1 + ц)М(Ро) = ММ - Мт;
н
МХу = |Тхугйг = ц [/2уху + 2/зХ12 ] = мМ, (24)
где
Ы^ = 12 (е* +ЦЕ у ) + 1з (X! +цХ2 )
и МХУ — составляющие моментов, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке; Ыт = (1 + (Р0) — составляющая изгибающих моментов, обусловленная чисто температурными деформациями;
поперечные, или перерезывающие усилия (имеют тот же вид, что и при чисто температурных деформациях) —
0Х = | тХ1йг = -е1)-0(Ро) = аМ; (25)
ау = \~Ту1йг=с(^2-е2)-ё(Ро)=аМ. (26)
«•н
йХу = \~тхуйг =цх \_Iiyху + 21 2Х12 ] = , (21)
где
= I, (ех +ЦЕ у ) + 12 (Х, +цХ2 ),
мМ = !\ (еу + ЦЕх ) + 12 (х2 + цХх)
и ЫМу — составляющие усилий, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке; Ыт = (1 + ц)^ (Р0) — составляющая усилий растяжения (сжатия), обусловленная чисто температурными деформациями;
изгибающие и крутящий моменты —
В формулах (19) — (26)
1 15
71 = п?1Е (р =ги1
1 -ц 1 -ц Ш=1
1 5
2 X Ет-1Ат-1 = ц т=1
[Ео А) + Е1А1 + Ё2 А2 + Еъ А3 + Ё4 А4 ];
1 - ц2
(27)
1 <« 13
^ =--21 Е(р№ = ~,-2X
1 -Ц . 1 -Ц т=1
Ет-1Ат =
(28)
[Е0 А1 + Е1А2 + Е2 А3 + Е3 А4 + Е4 А5 ];
1 - Ц2
в
в
в
в
1 гн 1 9 (считаем, что = 0 при / > 8; ёк— = 0 при
^(Р) = "-2 1 д(Р№ = ~1-2 Е дш-1 Ат-1 = к — / > 4).
1 -К г 1 -V2 т=1 т.™„„
- Выражения (35) для коэффициентов пк ,
\д0 Л +а1Л1 +а2Л2 + оЛ + (29) входящих в соотношение (34), в развернутом 1 - ц виде помещены в приложение 4.
+ст 4 Л4 + ст5 Л5 + а6 Л6 + ст7 Л7 + ст8 Л8 ];
В формулах (27)—(33)
= (1 -ц)/2; ^ , = г
1 ^ __ 9 , 1 5
= | 1 < те < 12
I _ 1 г е(рV2 ^ _ 1 у Е А _ — геометрические характеристики главных
3 1 ] 1 Ш-1 1 (30) нормальных сечений оболочки. Величины
—Ц-[Е0А2 + Е1А3 + Е2А4 + Е3А5 + Е4А]; А = | А1 = | гйги А2 = | г2йг имеют см^1сл
1 - ^ гв гв гв
1 V,™ , 1 9
погонных площади, статического момента и момента инерции данного главного нормаль-
М(Р0) =-^ } =-2 Едт-1Ат = ного сечения оболочки (соответственно).
11т=1 Заметим, что в случае симметричной по тол-
щине оболочки (гв = —гн) величины
--2 [ст0 А1 +&1 А2 +а2 А3 + о3 А4 + (31)
1 -ц2
гн
+ д4А + а5А6 + а6А7 + д7А8 + а8А9 ]; Ат-1 = | гт~ йг = О,
если т — 1 нечетно (сравнимо с 1 по модулю 2: 0/р ) = 1 Н т(р\иг = т -1 = 1(шоё 2)), и соотношения для внутренних
2(1 + ц) • силовых факторов существенно упрощаются. По-
7 в этому целесообразно (если при этом не нарушает-
=_1_^ т 1А 1 =_1_[т0А0 + (32) ся условие гладкости отсчетной поверхности, как
2(1 + Ц) т=1 2(1 + Ц) например, в случае ребристых оболочек) ввести
т1 А1 + т2А2 + т3А3 + т4А4 + т5А5 + т6А6 ]. новую отсчетщго поверхность ^ = ^ (х, у) так,
чтобы Ат-1 = 0 , если т -1 = 1(шоё 2). Нам понадобится также выражение Положение поверхности г0 можно опреде-
лить из условия г0 = (гн + гв) /2 [9] и тогда
1 гн
= -—2 \П(Р )йг =
1 -ц
2 j V
12
1 12 1
т ^Пт-1Ат-1 =--2[П0 А + (33)
Н , ч ^_1
Ат-1 = I (г* ) = 0,
г;
1 -ц т=1 1 -ц где т -1 = 1(шоё 2), г* = г - г0, гН = гн - г0,
т * —
П1А1 +П2А2 + ••• + П10А10 +П11А11 +П12А12 " - .
функционал Е полной энергии деформации.
Указанный функционал рассматриваемых обо-п(Р) = д(Р) • ё(Р) = п0 +щг + п2г +... + лочек на данном отрезке [70, ^ ] времени ^для за-
13 (34) дач динамики, в соответствии с [4, 12], имеет вид
+ пюг10 +п11^11 +п12^12 =ЕП--1; .
Е = | (к-П + Ае (36)
к _ Пк = Пк(Р0) = Пк(х,у) = -гк-1, 0 < к < 12 (35) где К и П — кинетическая и потенциальная '=0 энергии оболочки; АЕ — работа внешних сил.
где
'=1
при этом
В задачах динамики подлежащие определению функции перемещений и, V, Жи углов Т2 есть не только функции координат х, у, но и времени £ и = и(х, ), V = V(х, у,1), Ж = Ж (х, у, г )и Х¥1 = ^ (х, у, г), т2 = т2 (х, у, г).
Для задач статики полная энергия деформации оболочки (функционал Лагранжа) может быть записана в виде [1, 2, 4—12]
Е = П - Ae . В соотношениях (36) и (37)
(37)
к=2 /л
JUz ndVz
A + B
dt dt
/ \2
, dt ,
V У
(38)
d Q;
П = -2
V x Е X + V y Е Zy +Т xy Y Xy +
2 ш[
+ T xz Y xz +T yz Y yz ] d й
Ae = U (PxU + PyV + qW )dS,
(39)
(40)
П = -2
2 /;/[<».
^ o
M -J )(ei -B) +
+ (°M -vT)(вУ -B) + TxyYX
+ T Y + T Y
xzjxz. yz>yz.
xy i xy
do = nM-nT,
где
Пм =-
2 ^ (
aM Ez +a M £z +T Y z + ux bx^uy by^ xyi xy ^
+ T xz Y xz +T
yz Y yz )d Q
(42)
представляет собой составляющую потенциальной энергии (39), имеющую тот же вид, что и при чисто механической нагрузке;
пт =-
2 ffF Н)+
(о* + ау )е + 2а е
(43)
где р — плотность материала оболочки (р ~ const); Px, Pyи q = Pz — компоненты внешней механической нагрузки в направлениях x, y, г (в задачах динамики это функции не только координат x, у, но и времени t);
Q = [-а/2,a/2]-[-b/2,b/2] -[^ Zh ]
— компакт (замкнутое связное множество) в пространстве (x, у, г);
S = [-a/2,a/2]-[-b/2,b/2]
есть составляющая потенциальной энергии (39), обусловленная чисто температурными деформациями.
Проинтегрируем по переменной г, гв < г < гн выражения (38), (39) в функционалах
(36), (37) с учетом соотношений (1), (41) — (43), (19) - (26).
В результате получаем следующие выражения.
*=?/Л л»
dW dt
+ 2 А
а ™ i2+(B £ ,2 + dt I { dt
\dU ЭФ, ndV дФ2
А--1 + B 2
+ А0
dt
dt dt ЭФ-
ЭФ, ^ ^
+
dt
+ (44)
— компакт на плоскости (х, у); d^ , dS —
дифференциалы объема и отсчетной поверхности данной оболочки;
dQ, = ABdxdydz; dS = ABdxdy;
координаты х, у, г считаются неподвижными.
С учетом соотношений (2), (10) — (14) выражение для потенциальной энергии (39) запишем в виде
Е = (Пм - Ae)-Пг,
где с учетом формулы (40) 1
пм -ae = -\
x £x + Nу еy +
(45)
+NMy у xy + MM X + MM X 2 + 2MХУ X12 - (46)
-2 (PxU + PyV + qW)] dS;
2
2
+
+
2
+
Пт =-
2 \\[™т (в,,)+
(47)
+ 2Мт (х, + Х2) - 2ЫТ ] йБ.
В формуле (47) N1 = (1 + ц)N (Р0), где величина N1 (Р0) вычисляется по формуле (33).
Уравнения движения или равновесия оболочки могут быть получены, исходя из фундаментальных принципов наименьшего действия (в форме Гамильтона—Остроградского) или минимума потенциальной энергии (в форме Лагранжа) [1, 2, 4—12], согласно которым
к
8Е = 8| (К-П + Ае = 0
(48)
или, соответственно,
=
Би1 _ Би3
^ =
дх3 д11 Би2 Би3
2 дх3 д12 ' а, значит полные углы сдвигов —
Би3 Би3
Фх = 2—-; Ф2 = 2—-Э/0
Ых
и кроме того,
Вы
Би3
Х1 — 2^——; Хо — 2^——, Х12 — 2
Б \
8Е = 8(И-Ае ) = 0, где 8 — символ вариации.
Таким образом, математическая модель деформирования оболочек переменной толщины, находящихся под воздействием механической нагрузки и температурного поля, для задач статики и динамики построена. Начальные и граничные условия, соответствующие тому или иному способу закрепления контура оболочки, предполагаются заданными.
Предложенная математическая модель термоупругости может быть обобщена на случаи различных свойств материалов рассматриваемых оболочек (нелинейная упругость, вязкоу-пругость, ортотропия и другие)
В задачах статики для отыскания минимума функционала (37), записанного с учетом выражений (44) — (47), может быть эффективно применен метод Ритца при разложении искомых функций перемещений и, V, Жи углов ^ , Т2 в ряды.
В задачах динамики для решения системы уравнений движения оболочки, эквивалентной вариационному уравнению (48), целесообразно последовательно применять методы Власова— Канторовича и Рунге — Кутта.
Если считать функции перемещений ых, и2, ы3 компонентами потенциального вектора, то в этом случае
Бщ _ БЫ2
д12 В11 '
э/, э/2 э/1 э/2
Таким образом, полученные математические модели существенно упрощаются.
Приложение 1
Выражения коэффициентов гк в развернутом виде (формулы (9) в соотношении (8) основного текста)
ёо =ёо(Ро) = а0(х, у )Т0( х, у); ё = ёх ) = а0(х, у Щх, у) + а1(х, у)Т0 (х, у);
Ё2 = ^ Ро) = ао(х, У )Г2 (х, у) + + ах(х, у )Тх(х, у) + а2(х, у)То( х, у);
ёэ = ёз (Р) = ^(х, у Т2 (х, у) + а2 (X, у)Т (х, у);
Ё4 =Ё4(Ро) = а2( х, у )Т2( X, у).
Приложение 2
Выражения коэффициентов а к в развернутом виде (формулы (17) в соотношении (15) основного текста)
б 0 =°о(Ро) = Ео(х, у)ё0(х, у);
= ) = Ео(х, уЩх, у) + Е1(х, у )ё0 (х, у);
д2 =д2(Р0) = Ё0 (х, у )е2 (х, у) + +Ёх(х, уЩх, у) + Ё2 (х, у )ёо (х, у);
о
йэ = (ро) = Ео (х, У)ёэ (х, у) + Ех (х, у)ё2 (х, у) + + Е2 (х, у)ё1 (х, у) + Еэ (х, у)е0 (х, у);
5 4 = ¿4 (Р0 ) = Ё0(Х, У )Ё4 (X, у) + +ЁХ (X, у )§3 (х, у) + Ё2 (X, у )ё2 (х, у) + +Ё3 (х, уЩх, у) + Ё4 (х, у )ёо (х, у);
а5 =д5(Р0) = Е1(х, у )ё4 (х, у) + Ё2 (х, у )ё3 (х, у) + + Ё3(х, у)ё2 (х, у) + Ё4 (х, у)Ё1 (х, у);
=°в(ро) = Е (х, у >§4 (х, у) + + Ё3(х, у)ё3( х, у) + ¿4( х, у )е2( х, у);
а7 =д7(Р0) = Ё3 (х, у )ё4(х, у) + Ё4(х, у)ё3( х, у);
=б8(Ро) = Ё4(х, у)г4( х, у).
Приложение 3
Выражения коэффициентов т к в развернутом виде (формулы (18) в соотношении (16) основного текста)
То =То(Р)) = Ё0(х, у )М х, у);
т 1 = т 1 Ро) = Е (х, У )1\(х, У) + Ё1(х, у)/0 (х, у);
т 2 = т 2 Ро) = Ё0 (х, у )/2 (х, у) + +Ёх(х, у)/(х, у) + Ё2 (х, у )/о(х, у);
Тз = *з Ро) = Щх, У )/2(х, У) + +Ё2(х, у Щх, у) + Ёз(х, у )/о (х, у);
Т 4 = *4 Ро) = Ё2 (X, у )/2 (X, у) + +Ё3(х, у)Л (х, у) + Ё4 (X, у)/о (х, у);
Т5 = Т5 Ро) = Е (х, у) ¡2 (X, у) + Ё4 (х, у)/х (х, у);
Тб = ^бРо) = Ё4(х, у )/2(х, у).
Приложение 4
Выражения коэффициентов Пк в развернутом виде (формулы (35) в соотношении (34) основного текста)
По = По (Ро) = а0 (х, у )ё0 (х, у);
П = й1(Ро) = до( х, У )ёх (х, у) + Й (х, у)е0 (х, у);
п2 = п2 (Р0) = сто (х, у )ё2 (х, у) + + д1(х, у )§! (х, у) + СТ2 (х, у)ёо (х, у);
Пз = Пз (Ро) = ¿о (х, у)ёз (х, у) + + а (х, у)е2 (х, у) + а 2 (х, у (х, у) + ¿3 (х, у)§о (х, у);
П4 = П4 (Р0 ) = Ст0 (X, у)Ё4 (X, у) + (х, у)Ё3 (х, у) + + ст2 (х, у)е2 (х, у) + ст3 (х, у )Ё! (х, у) + ст4 (х, у )е0 (х, у); П5 =П5(Р0) = (X, у)е4 (X, у) + ст2 (х, у )ёз (х, у) + + ст3 (х, у )ё2 (х, у) + ё4 (х, у ^ (х, у) + ё5 (х, у)е0 (х, у);
Пб = Пб (Ро) = °2 (х, У (х, У) + (х, У )ёз (х, у) + + СТ4 (х, у )Ё2 (х, у) + ст5 (х, у )§! (х, у) + а б (х, у)ёо (х, у);
Пу = П7 (Р0) = д3 (X, у)е4 (X, у) + д4 (х, у)е3 (х, у) + + ст5 (х, у )е2 (х, у) + д6 (х, у)е1 (х, у) + Сту (х, у)е() (х, у);
П8 =П8(Р0) = а 4 (х, у)е4 (х, у) + ст5 (х, у)ёз (х, у) + + а 6 (х, У )ё2 (х, у) + а 7 (х, у)е1 (х, у) + а8 (х, у)е0 (х, у);
П9 = П9 (Р0) = ст5 (X, у)е4 (X, у) + + (X, у )ё3 (X, у) + ст7 (X, у )е2 (X, у) + ст8 (х, у)е1 (х, у);
П10 =П:о(Ро) = о6(х, у)г4( х, у) + + ст7 (х, у )е3(х, у) + ст8 (х, у )ё2 (х, у);
П11 = Пп (Ро) = ст7 (х, у)е4( х, у) + ст8 (х, у )ё3 (х, у);
П12 = П12 (Ро) = (х, У)ё4(Х, у).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. В 10 т. Т. VII. Теория упругости [Текст]: Учеб. пос. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — М.: Физматлит, 2007. — 264 с.
2. Жилин, П.А. Прикладная механика. Основы теории оболочек [Текст]: Учеб. пос. / П.А. Жилин. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. — 167 с.
3. Карпов, В.В. Математические модели термоупругости оболочек переменной толщины при учете различных свойств материала [Текст] / В.В. Карпов, В.Н. Филатов // Вестник гражданских инженеров. — 2006. — № 3. — С. 42—45.
4. Карпов, В.В. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования [Текст]: Учеб. пос. / В.В. Карпов, О.В. Игнатьев, А.Ю. Сальников. — М.: АСВ; СПб.: СПбГАСУ, 2002.— 420 с.
5. Жгутов, В.М. Математическая модель, алгоритм исследования и анализ устойчивости нелинейно-упругих ребристых оболочек при больших перемещениях [Текст] / В.М. Жгутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2009. — № 4. — С. 24—30.
6. Жгутов, В.М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости ребристых оболочек с учетом ползучести материала при конечных прогибах [Текст] / В.М. Жгутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2010. — № 2. — С. 53—59.
7. Жгутов, В.м. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости упругих
ребристых оболочек при конечных прогибах [Текст] /
B.М. Жгутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2011. — № 1. - С. 122 - 129.
8. Абдикаримов, Р.А. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих орто-тропных пластин и оболочек переменной толщины [Текст] / Р.А. Абдикаримов, В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2010. — № 6. —
C. 38 — 47.
9. Абдикаримов, Р.А. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих изотропных пластин и оболочек гладко-переменной толщины (асимметричный случай) [Текст] / Р.А. Абдикаримов,
B.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2010. — № 8. — С. 47 — 55.
10. Жгутов, В.М. Метод конструктивной анизотропии для ортотропных и изотропных ребристых оболочек [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2009. — № 8. — С. 40 — 46.
11. Жгутов, В.М. Ответ профессору Карпову Владимиру Васильевичу (о научном приоритете в методе конструктивной анизотропии для ребристых оболочек и на функционал, описывающий ползучесть их материала) [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2011. — № 3. —
C. 75 — 80.
12. Жилин, П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики [Текст]: Учеб. пос. / П.А. Жилин. — СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2003. — 339 с.
УДК 539.3, 537.226.4
Н.Г. Осипова, А.С. Семёнов
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕйНОГО ПОВЕДЕНИЯ ПЬЕЗОКЕРАМИКИ ТЕТРАГОНАЛЬНОй СТРУКТУРЫ методами конечно-элементной ГОМОГЕНИЗАЦИИ
Сегнетоэластики и сегнетоэлектрики являются перспективными материалами новой техники и находят все более широкое применение на практике. Они используются в автомобилестроении, 1Т-технологиях, радиоэлектронике, медицинской технике в качестве актюаторов, сенсоров, датчиков
давлений, позиционеров, микромоторов и элементов памяти. Сегнетоэлектроупругие материалы обладают способностью сохранять остаточные деформации и спонтанную поляризацию даже при удалении источников механического или электрического воздействия.
